概率論與數(shù)理統(tǒng)計復(fù)習(xí)

1、 第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念1 隨機(jī)試驗、樣本空間和隨機(jī)事件一、隨機(jī)現(xiàn)象 在個體試驗中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，在大量重復(fù)試驗中其結(jié)果具有一定的規(guī)律性的現(xiàn)象，稱之為。二、隨機(jī)試驗若某種試驗具有以下的特點： （1）可以在相同條件下重復(fù)地進(jìn)行； （2）每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并在 事先知道所有可能的結(jié)果； （3）進(jìn)行一次試驗之前不能確定其結(jié)果； 則稱這種試驗為。例如： ： 將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)；1E ： 將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正反面的情況；2E ： 拋一顆骰子，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)； 3E ： 在一個袋子中放有4黑2白6個球，反復(fù)從袋中摸 一個球，觀察其顏色

2、后，再放回袋中，記錄第一 次摸到白球時已進(jìn)行的摸球次數(shù)。4E三、樣本空間 我們將隨機(jī)試驗E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為樣本空間，樣本空間，記為S，稱樣本空間的元素為樣本點樣本點。 ：0，1，2，3； 1S： 。, 2 , 14S2S：TTT，TTH，THT，HTT，HHT，HTH， THH，HHH；3S：1，2，3，4，5，6;四、隨機(jī)事件1、定義在每一次試驗中，若某個隨機(jī)事件中的一個樣本點出現(xiàn)時，則稱這一。 稱隨機(jī)試驗E的樣本空間S的子集為E的。(注：不是S的所有子集都是隨機(jī)事件)。將由一個樣本點組成的單點集稱為，將樣本空間S稱為，記作 ；將空集稱為記作。S2、事件間的運算和關(guān)系（1）和運算

3、 ， |BxAxxBA或類似可定義 和 ； nkkA11kkA（2）積運算 ， 也可記作為 ，|BxAxxBA且BAAB 類似可定義 和 ；nkkA11kkA（3）差運算 ； |BxAxxBA且(4) 若 ，則稱事件B包含事件A；BA(5) ，則稱事件A等于事件B， 記作 A=B ；ABBA,（6） 若 ，則稱A，B是的 （的）；AB（7）若 且 ，則稱A，B 互為（），A的對立事件 記作為 ；ABSBAA3、事件運算定律（1）交換律 ABBA BAAB （2）結(jié)合律 CBACBA)()(CABBCA)()()()(CABABCA（3）分配律 )()()(ACABCBABABA（4）德摩根律

4、BAAB要學(xué)會利用已知的事件來表示另外的事件要學(xué)會利用已知的事件來表示另外的事件例如假設(shè)A、B、C是三個事件，試表示以下事件：（1） A、B、C都發(fā)生；（2） A、B、C都不發(fā)生；（3） A、B、C中至少有一個發(fā)生；2 概率的定義及其性質(zhì)一、概率的定義設(shè)S是隨機(jī)試驗E的樣本空間， 是一個定義在由E的所有事件組成的集合上的集合函數(shù)，即對E的每一個事件A，都有一個實數(shù) 和它對應(yīng)，并且 滿足以下條件：)(P)(AP)(P(1) 非負(fù)性 對每一個事件A，都有 ；(2) 規(guī)范性 ；(3) 可列可加性 設(shè) 是可列個兩兩互不相 容事件，則有 0)(AP1)(SP11)()(kkkkAPAP 則稱 是樣本空間

5、S的一個,并稱 是。)(P)(AP,21AA二、概率的性質(zhì) (1) ； 0)(P (2) 有限可加性有限可加性 設(shè) 是有限個兩兩互不相容 事件，則 ;nAAA,21nkknkkAPAP11)()(3) 設(shè)A，B是兩個事件，若 ，則 , 并且 ;BA)()()(APBPABP)()(APBP(4) 對于任一事件A，都有 ；1)(AP(5) 對于任一事件A，有 ；)(1)(APAP)(ABBABA)()()(ABBPAPBAP)()()(ABPBPAP)(ABBABAB 因為所以(6) 加法公式加法公式 對于任意兩個事件A、B，有 )()()()(ABPBPAPBAP性質(zhì)(6) 還可以作以下進(jìn)一步

6、的推廣：)()()()()()()()(321323121321321AAAPAAPAAPAAPAPAPAPAAAPnkjinnkjinjijiniinAAPAAAPAAPAPAAAP1111121)() 1()()()()(由P（A）=0，不能就得出A為不可能事件的結(jié)論！注意 ：由由 不能推出，同樣由不能推出，同樣由 也不得出也不得出 。 0)(APA1)(APSA)()()()(ABPAPBAPBAP)(1)()(BAPBAPBAP)(1)()(ABPABPBAP)()()(BPAPBAP當(dāng)A、B不相容時，三、幾個常用的概率公式古典概型與幾何概型一、古典概型定義我們將滿足以下條件的試驗稱為

7、：(1) 試驗的樣本空間只包含有限個元素；(2) 試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同；例如1 中的第 、 個試驗都是等可能概型。2E3E設(shè)試驗的樣本空間為，若事件中包含個基本事件，即 ，則有。,21neeeSk21kiiieeeA中基本事件的總數(shù)所包含的基本事件數(shù)SAnkePAPklil1)()(例1：將一枚硬幣拋擲三次，（1）設(shè)事件 為 “恰有一次出現(xiàn)正面”；（2）設(shè)事件 為“至少 有一次出現(xiàn)正面”，求 。1A2A)(),(21APAP二、舉例例2：將 只球隨機(jī)地放入 個盒子中， 試求每個盒子至多有一只球的概率。)(nNNnnnNnNnNPAPPAnNSn)(,)(,)(（）注：求任意 個人

8、有同一天生日的概率。rrrrrAPPAnSn365)1365(3643651)(,)(,365)(365例3： 設(shè)袋中有只白球，只紅球，按無放回方式從中隨機(jī)地抽取只球，求其中恰有 只白球的概率。nab)(akk ()nbaknbkaknbkanbaCCCAPCCAnCSn)(,)(,)(有件產(chǎn)品，其中有件次品，從中任取件，問其中恰有 件次品的概率為多少？NDn)(Dkk注意：這里我們是按組合的方式來考慮樣本空間，也 可以以排列的方式來考慮樣本空間。nNknDNkDknDNkDnNCCCAPCCAnCSn)(,)(,)(例： 袋中有只白球， 只紅球，現(xiàn)有 個人依次在袋中取一只球，作不放回抽取,

9、求第 人取到白球的概 率。ab), 2 , 1(kiik11)(,)(kbakbaAAnAn例5：在 的整數(shù)中隨機(jī)地取一個數(shù)，問取到 的整數(shù)不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？200011、用古典概型來求事件A的概率時，首先要根據(jù)實際問題的需要，一定要使得該樣本空間滿足古典概型的兩個條件；然后計算和。2、特別要注意放回抽樣和不放回抽樣兩種抽樣方式的 樣本空間的確立。3、另外，在計算某一事件的概率時，可先求其它事件的概率，然后利用事件的和來求得所要求的事件的概率。三、小結(jié)4 隨機(jī)事件的條件概率一、條件概率的定義樣本空間為 ， ， ，由此可知在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率為 ，即

10、。,TTTHHTHHS ,THHTHHA,TTHHB 31)()(APABP舉例：將一枚硬幣拋擲兩次，觀察其出現(xiàn)正反面的情況，設(shè)事件 為“至少有一次為正面”，事件 為“兩次擲出同一面”。求已知事件 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件 發(fā)生的概率。ABAB例如：在一個袋子中有5個黑球，3個白球，連續(xù)兩次 摸球（不放回），（1）求第一次摸到白球，第 二次再摸到白球的概率；（2）已知第一次摸到 白球，求第二次摸到白球的概率。注意: 條件概率與積事件的不同含義。定義1： 設(shè) 是兩個事件，且 ，稱 為在事件 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的，記作 。0)(AP)()(APABP)|(ABPABA、條件概率符合概率定義

11、中的三個條件：(1) 非負(fù)性 ：對于每一事件B，都有 ；0)|(ABP(2) 規(guī)范性： ；1)|(ASP(3) 可列可加性： 設(shè)是 兩兩互 不相容的事件，則有 。,321BBB11)|()|(iiiiABPABP注：一般概率所具有的性質(zhì)，條件概率也具有，例如：)|()|()|(),|(1)|(ABCPABPACBPABPABP二、 乘法定理（1）設(shè) ，則有 ；0)(AP)()|()(APABPABP（2）設(shè) ，則有 0)(ABP)()|()|()(APABPABCPABCP（3）設(shè) ，則有0)(121nAAAP)()|()|()|()(112221112121APAAPAAAAPAAAAPAA

12、APnnnnn三、舉例例1：設(shè)袋中裝有 只紅球， 只白球，每次從袋中任意取一只球，觀察其顏色然后放回，并再放入 只與所取出的那只球同色的球，若在袋中連續(xù)取球四次，試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率。rta四、全概率公式和貝葉斯（Bayes）公式定義1： 設(shè)S為試驗的E樣本空間， 為 E的一組事件，若滿足 （1） ；（2） ； 則稱 為樣本空間S的一個劃分劃分。nBBB,21jiBBnjiji, 2 , 1,SBnii1nBBB,21定理1： 設(shè)隨機(jī)試驗E的樣本空間為S，A為E的事件， 為S的一個劃分,且 ， 則 。 nBBB,21), 2 , 1(0)(niBPi)()|()()

13、|()()|()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAPAP通常，稱上為。定理2：設(shè)隨機(jī)試驗E的樣本空間為S，A為E的事件， 為S的一個劃分，且 ， ，則 稱上式為。nBBB,210)(AP), 2 , 1(0)(niBPinkkkiiiBPBAPBPBAPABP1)()|()()|()|(五、舉例例1： 對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時，產(chǎn)品的合格率為98%，而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障時，其合格率為55%。每天早上機(jī)器開動時，機(jī)器調(diào)整良好的概率為95%。試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時，機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少？注：注：這里有兩個機(jī)器調(diào)整良好的概率，前一個機(jī)器調(diào)整良好的概率是由

14、以往的數(shù)據(jù)分析得到的，往往稱這個概率為；而第一件產(chǎn)品是合格品時，機(jī)器調(diào)整得良好的概率是得到信息之后再重新加以修正的概率，往往稱它為。注：應(yīng)用全概率公式和貝葉斯公式時，要確定好哪一組事件作為樣本空間的劃分。5 隨機(jī)事件的獨立性一、隨機(jī)事件的獨立性定義 若 ，一般情況下，A的發(fā)生對B發(fā)生的概率是有影響的。如果B的發(fā)生概率不受A發(fā)生的影響，這也就意味著 ， 因此 。這時就說A、B是獨立的，所以采用以下的定義來定義兩個事件的獨立性。 0)(AP)()|(BPABP)()()()|()(BPAPAPABPABP 定義1： 設(shè) 是兩個事件，如果滿足 則稱事件 相互獨立（相互獨立（簡稱獨立）獨立）。)()(

15、)(BPAPABPBA、BA、 定義2：設(shè)是A、B、C三個事件，如果滿足 則稱A、B、C事件，若滿足前三個條件,則稱A、B、C。)()()(BPAPABP)()()(CPAPACP)()()(CPBPBCP)()()()(CPBPAPABCP可以將獨立性的概念推廣到三個事件獨立性是指一個事件的發(fā)生不影響另一個實件的發(fā)生獨立性是指一個事件的發(fā)生不影響另一個實件的發(fā)生。同樣，可將獨立性的概念推廣到 個事件的情況。n定理1：設(shè)A、B是兩個事件，且 ，若A、B相互 獨立的，則 ，反之也成立 。0)(AP)()|(BPABP定理2：若事件A、B相互獨立，則 與 ， 與 ， 與 各對事件也相互獨立。ABA

16、BAB注： （1） ，若 ， 則 A、B獨立；反之也成立；1)(0AP|ABPABP（2）要注意獨立和不相容是兩個不同的概念 不相容（或互斥）獨立意味著 獨立是意味著 AB)()()(BPAPABP例1、一個元件（或系統(tǒng)）能正常工作的概率稱為元件（或系統(tǒng)）的可靠性。如下圖所示，設(shè)有4個獨立工作的元件1，2，3，4按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式連接。設(shè)第 個元件的可靠性為 ，試求系統(tǒng)的可靠性。i)4 , 3 , 2 , 1( ipi例2： 甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為 （ ）。問對甲而言，采用三局二勝制有利，還是采用五局三勝制有利？p21p例3： 在某通信信道中，傳送的字符為AAAA ，BB

17、BB，CCCC三者之一，假定傳送這三組字符的概率分別0.3, 0.4, 0.3。由于信道噪聲的干擾，每個字母被正確接收到的概率為0.6，而接收到其他兩個字母的概率為0.2，假定前后字母是否被誤傳送不受影響，若接收到的字母為ABBC，求被傳送的字母為AAAA的概率。一、隨機(jī)變量的定義定義1：設(shè)隨機(jī)試驗E的樣本空間為S，在S上定義一單值實函數(shù) ， ， 稱為。)(eXX Se)(eXX1 隨機(jī)變量第二章 隨機(jī)變量及其分布 為了能用數(shù)學(xué)分析的方法來研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，將樣本空間S中的每一個樣本點對應(yīng)到一個實數(shù)。有的隨機(jī)試驗，它的結(jié)果本身是一個數(shù)，即樣本點 本身就是一個數(shù)，例如某工廠一天的耗電量，這

18、時，令 ，那么 就是一個隨機(jī)變量。eeeXX)(X例如： 將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正反面的情況； 它的樣本空間為 S：TTT，TTH，THT，HTT，HHT， HTH，THH，HHH；二、用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件設(shè)隨機(jī)試驗E的樣本空間為S， 為定義在S上的，則 是一個隨機(jī)事件，該事件表示為 。aX )(|aeXeSeeX),(同樣，用 表示隨機(jī)事件 ，用 表示隨機(jī)事件 ，等等 。 )(|beXaebXaaX)(|aeXe一、離散型隨機(jī)變量的定義定義1 若隨機(jī)變量 的所有可能取值為有限或可列無限多個，則稱 為。XX雖然可以用分布函數(shù)來描述一個隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律，但對于離散型隨機(jī)變量來說，如果知

19、道它的所有可能 取值及其每一個可能值的概率，即知道 就可以知道它的統(tǒng)計規(guī)律性，所以我們可以用上式描述離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律，通常我們稱該式為離散型離散型隨機(jī)變量的分布律隨機(jī)變量的分布律，分布律也可以用以下表格的形式來表示： kkpxXP, 2 , 1k2 離散型隨機(jī)變量及其分布律 由概率的定義， 滿足如下條件： （1） ; （2） 。 kp, 2 , 1, 01kpk11kkp二、常見的離散型隨機(jī)變量及其分布律 1、(0-1) 分布分布 如果 只能取0，1兩個值，取1的概率為 ，則稱 服從(0-1)分布，它的分布律為 XXpkkppkXP1)1 (1, 0k2 2、二項分布、二項分布 如果一

20、個試驗 中只考慮兩個事件 和 的發(fā)生，則稱 為伯努利伯努利(Bernoulli) 試試驗，將 獨立地進(jìn)行 次，則稱這一串重復(fù)的獨立試驗為 重伯努利重伯努利(Bernoulli) 試試驗。 EAAEnnE 例如，擲一顆骰子， 表示事件“擲出的點數(shù)大于3”，在試驗中只考慮事件 和 的發(fā)生，這就是一個伯努利試驗；將這個試驗重復(fù)地做10次，這就是10重伯努利試驗。 AAA在 重伯努利試驗中，事件 發(fā)生的概率為 ，以 表示 重伯努利試驗中 發(fā)生的次數(shù)，則稱 服從參數(shù)為 ， 的二項分布。其分布律為 記作),(pnbXnApXnAknkknppCkXP)1 (nk, 3 , 2 , 1 , 0Xnp設(shè) 件產(chǎn)

21、品中有 件次品，從中有放回取出 件產(chǎn)品，設(shè)取出的件產(chǎn)品中的次品數(shù)為 ，則 的分布律為NMnXXMk, 2 , 1 , 0knkknNMNNMCkXP例2：假設(shè)某種型號電子元件的使用壽命超過1500小時的為一級品，已知某一大批產(chǎn)品的一級品率為 ，現(xiàn)在從中隨機(jī)地抽查20只，問(1) 20只元件中恰有只為一級品的概率是多少；(2) 20只元件中至少有2只為一級品的概率是多少？2 . 0例3： 有一批數(shù)量非常大的產(chǎn)品，次品率為 ，現(xiàn)從中抽出 件樣品進(jìn)行檢驗，如果全部合格，則這批產(chǎn)品被接收。但檢驗過程可能會出差錯：一件次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為 ，而一件合格品被認(rèn)為是次品的概率為 ，假設(shè)各件產(chǎn)品的檢驗

22、是獨立的，（1）求這批產(chǎn)品被接收的概率；（2）如果這批產(chǎn)品經(jīng)檢驗被接收，求這 件樣品確實都是合格品的概率。 apnnb3 3、泊松（、泊松（Possion）分布分布 !kekXPk, 2 , 1 , 0k記作 或)(PX)0()(X當(dāng) 充分大時， ，即近似服從 。 !)(),(kenppnbnpkn)(np例5：某一醫(yī)院在一天內(nèi)的急診病人數(shù) 服從參數(shù)為4的泊松分布，求一天有6個病人的概率，并求病人人數(shù)超過3的概率。X一、分布函數(shù)的定義由此可見， 是一個關(guān)于 的重要函數(shù)，它能反映隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，因此把它定義為分布函數(shù)。xxXP在實際中，一個隨機(jī)事件 往往可用 ， 或 來表示。這樣 的概率為 。

23、 bX aX bXa,1,aXPbXPaXPbXPAA3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)二、分布函數(shù)的性質(zhì)1、 是一個不減函數(shù)，對于任意實數(shù) ， 有 。)(xF)(,2121xxxx0)()(2112xXxPxFxF2、 ，且 1)(0 xF1)(lim, 0)(limxFxFxx3、 是右連續(xù)的， 即 。)(xF)()(lim0 xFuFxu隨機(jī)變量的分布函數(shù)是用來描述隨機(jī)變量的規(guī)律性的函數(shù)。定義2：設(shè) 為一個隨機(jī)變量，是任意實數(shù) ，我們稱函數(shù) 為 的分布函數(shù)。x)(xXPxFXX例1： 設(shè) 的分布函數(shù)為 求 。0.41.3, 1.5, 1.72PXP XPXX00/201( )1/2 11.511.5

24、xxxF xxxx 若離散型隨機(jī)變量 的分布律為 X則它的分布函數(shù)為 。 xxiipxF)(三、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)例2： 設(shè)隨機(jī)變量 的分布律為X求 的分布函數(shù)，并求X32,2/52/3,2/1XPXPXP32/3 XP。，4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 一、連續(xù)型隨機(jī)變量的定義 定義1：如果對于隨機(jī)變量 的分布函數(shù) ， 存在非負(fù)函數(shù) ，使對于任意實數(shù) 有 則稱 為連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量，稱函數(shù) 為 的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)(簡稱概概 率密度率密度) )。 )(xFX)(xfxxdttfxF)()(XX)(xf注：連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函

25、數(shù)。 二、概率密度函數(shù) （1） ；0)(xf（2） ；1)(dxxf（3）對于任意實數(shù) ，有)(,2121xxxx21)()()(1221xxdxxfxFxFxxxP（4）若 在 點處連續(xù)，則有 )(xfx)()(xfxF像離散型隨機(jī)變量的規(guī)律性可用分布律來描述一樣，連續(xù)型隨機(jī)變量可用概率密度來描述其規(guī)律性。 對于連續(xù)型隨機(jī)變量 來說，它取任一指定實數(shù) 值的概率均為0，即 Xa0 aXPbadxxfbXaPbXaPbXaP)(bdxxfbFbXPbXP)()(bdxxfbXPbXPbXP)(111因此，有這也就說明概率為零的事件不一定是不可能事件。 )0()()0()0(aFaFaFaFaXP

26、注意：在一般情況下有三、幾種常見的連續(xù)型隨機(jī)變量 1、均勻分布 定義2：若連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度為 X其它01)(bxaabxf則稱 在區(qū)間 上服從均勻分布，記為 。 X),(ba),(baUX均勻分布的分布函數(shù)為 bxbxaabaxaxxF10)(2、 指數(shù)分布 定義3：若連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度為 X其它001)(/xexfx0稱 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。 X指數(shù)分布的分布函數(shù)為 其它001)(/xexFx服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量具有無記憶性無記憶性，即 |tXPsXtsXP3、 正態(tài)分布 X定義4：若連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度為 X222)(21)(xexfx其中 為常數(shù)，則稱服從參

27、數(shù)為 的正態(tài)分布正態(tài)分布（或高斯分布）高斯分布）記為 。 )0(,),(2NX2/221)(xexxtdtex2/221)()(1)(xx21)0(注：定理定理1 若 ，則 。),(2NX) 1 , 0( NXZ當(dāng) 時，稱 服從，它的概率密度和分布函數(shù)分別用 表示，即 1, 0)(),(xx X若 ， 則它的分布函數(shù)為 ),(2NXxxXPxXPxF)(abbXaP因此對于一般正態(tài)分布事件的概率，可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù) 來求，而 的值可以查表得到（見課本附錄）。 )(x)(x1) 1 (2) 1() 1 (1|XPXP注：注： 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 ，則，則 概率概率 并不隨并不隨 的

28、變化而變化的變化而變化。 ),(2NX|XP,定義5：設(shè) ，若 滿足 ， ，則 稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 上上 分位點分位點。 ) 1 , 0( NXzXP10zz1)(2)()(aaaaXP(注意：怎樣通過查表求得上注意：怎樣通過查表求得上 分位點！分位點！) 注意 : 。zz1 X0.2 0.3 0.1 0.4例1：設(shè)隨機(jī)變量 具有以下的分布律 試求 的分布律。 X2) 1( XY -1 0 1 2kp5 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、離散的情形二、連續(xù)的情形 例2、設(shè)隨機(jī)變量 具有概率密度 ， ，求 的概率密度。 X)(xfXx2XY 特別地，若 ，則 （這是自由度為1的 分布）。 ) 1 , 0(

29、 NX00021)(2/2/ 1yyeyyfyY2 定理：設(shè)隨機(jī)變量 具有概率密度 ， 又設(shè) 處處可導(dǎo)且恒有 （或 ）， 則隨機(jī)變量 的概率密度為 其中 是 的反函數(shù)，且 X)(xfXx)(xgy 0)( xg0)( xg)(XgY 其它0| )(|)()(yyhyhfyfXY)(),(mingg)(),(maxgg)(yhx )(xgy 第三章第三章 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布1 二維隨機(jī)變量及其分布一、二維隨機(jī)變量定義定義定義1 1： 設(shè) 是隨機(jī)試驗E的樣本空間，設(shè) 和 是定義在 上的隨機(jī) 變量，由它們構(gòu)成的一個向量 叫作 二維隨機(jī)向量二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量。二維隨機(jī)變量

30、。eS )(eXX )(eYY S）（YX,例如 S=某地區(qū)的全部學(xué)齡前兒童，對于S中每一個樣本點 表示一個學(xué)齡前兒童， 和 分別表示這個這個兒童的身高和體重，則 就是一個二維隨機(jī)變量。e)(eH)(eW),(WH二、二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義定義定義2 2：設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，對于任意實數(shù) ，稱二元函數(shù) 為二維隨機(jī)變量(X,Y)的，或稱為隨 機(jī)變量X和Y的。yx、,)()(),(yYxXPyYxXPyxF記成三、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的性質(zhì)(1)1),(0yxFyx,（2） 是 或 的單調(diào)不減函數(shù)，),(yxFxy且對任意固定的 ，y0),( yF對任意固定的 ，x0),(xF0),

31、(F1),(F，(3) 關(guān)于 (或 )是右連續(xù)的；),(yxFxy),(),(),(),(,211112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP(4)四、二維離散型隨機(jī)變量定義3：如果二維隨機(jī)變量 全部可能取到 的不相同的值是有限對或可列無限對，則稱 是二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量。),(YX),(YX二維離散型隨機(jī)變量 的統(tǒng)計規(guī)律可以用),(YXijjipyYxXP),(, 2 , 1,ji來描述，我們稱它為二維離散型隨機(jī)變量的分分布律（布律（或稱為隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布律）聯(lián)合分布律）。通常也可用以下表格來表示 和 的聯(lián)合分布律XY這里的 滿足 ，0ijp111ijijpi

32、jp五、二維連續(xù)型隨機(jī)變量1、定義定義4：對于二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù) ，如果存在非負(fù)函數(shù) 使得則稱(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱函數(shù) 為二維型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度概率密度（或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度聯(lián)合概率密度）。),(yxF),(yxf),(yxf xydudvvufyxF),(),(2、聯(lián)合概率密度的性質(zhì)0),(yxf(1) 1),(dxdyyxf(2)（3）設(shè)G是平面上的區(qū)域，點(X,Y)落在G內(nèi)的概率為GdxdyyxfGYXP),(),(4) 若 在點 連續(xù)，則有 ),(yxf),(yx),(),(2yxfyxyxF3、兩個重要的二維連續(xù)型隨機(jī)變量(1)

33、二維均勻分布設(shè) 是平面上的有界區(qū)域，其面積為 ，若二維隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合概率密度為其它0),(/1),(DyxAyxf則稱 (X,Y) 服從。DDA(2) 二維正態(tài)分布 22222112112)(2121221121),(yyxxeyxf),(yx若二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合概率密度為),(YX其中 為常數(shù)，且 ，則稱 服從，記為 ,21211| , 0, 021),(),(222121NYX),(YX六、 維隨機(jī)變量n 維隨機(jī)變量的定義為n,),(221121nnnxXxXxXPxxxF若存在非負(fù)函數(shù) ,使對于任意實數(shù) 有 則稱 為 的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)。),(21nxxxfnxxx,

34、21 nnxxxnnndxdxdxxxxfxxxF11212121),(),(),(21nxxxf),(21nXXX七、邊緣分布定義定義1 1：設(shè) 是一個二維隨機(jī)變量，它的分布 函數(shù)為 ，通常我們可以分別將 和 看作是一維的隨機(jī)變量，并將一維隨 機(jī)變量 和 所對應(yīng)的分布函數(shù) 分別稱為二維隨機(jī)變量 關(guān)于X 和關(guān)于Y的。),(YX),(yxFXYXY、)(xFX)(yFY),(YX),(,)(xFYxXPxXPxFX),(,)(yFyYXPyYPyFY1、二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布對于二維離散型隨機(jī)變量，它的分布律為ijjipyYxXP),(, 2 , 1,ji則X和Y的分布函數(shù)為xxjijXi

35、pxFxF1),()(yyiijYjpyFyF1),()(X和Y的分布律為1)(jijipxXP, 2 , 1i1iijjpyYP, 2 , 1j, 2 , 1i, 2 , 1j定義定義2 2：記 1jiijixXPpp1ijijjyYPpp則稱 和 為(X,Y) 關(guān)于X和關(guān)于Y的。), 2 , 1(ipi), 2 , 1(jpj例1： 一個整數(shù)N等可能地在 十個值 中取一個值，設(shè) 是能整除N的正整 數(shù)的個數(shù)， 是能整除N的素數(shù)的個數(shù)。 試求 和 的聯(lián)合分布律，并求它們的邊緣 分布律。 10, 3 , 2 , 1)(NDD )(NFF DF2、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布dyyxfxfX),(

36、)(定義3：對于連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)，設(shè)它的概率密度為 ，則X和Y的分布函數(shù)為),(yxfxXdudvvufxFxF),(),()(yYdvduvufyFyF),(),()(令 ，dxyxfyfY),()(我們稱 為(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣邊緣概率密度概率密度。)(),(yfxfYX二維正態(tài)分布的邊緣概率密度為21212)(121)(xXexf)(x22222)(221)(yYeyf)(y注意：在一般情況下，由關(guān)于注意：在一般情況下，由關(guān)于X X和關(guān)于和關(guān)于Y Y的邊緣分布是的邊緣分布是 不能確定隨機(jī)變量不能確定隨機(jī)變量X X和和Y Y的聯(lián)合分布的的聯(lián)合分布的。一、條件分布1、二維離

37、散型隨機(jī)變量的條件分布定義4：設(shè)(X，Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對于固定的 ，若 ，則稱j0jyYPjijjjijippyYPyYxXPyYxXP)(,|, 2 , 1i為在 條件下隨機(jī)變量 的；jyY X對于固定的 ，若 ，則稱i0ixXP為在 條件下隨機(jī)變量 的；ixX YiijijiijppxXPyYxXPxXyYP)(,|, 2 , 1j2 條件分布與隨機(jī)變量的獨立性條件分布與隨機(jī)變量的獨立性2、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布yyYxyydyyfdxdyyxfyYyxXP)(),(|xYYxdxyfyxfyfdxyxf)(),()(),(定義定義3 3： 設(shè)二維隨機(jī)變量 的概率密度為 ，

38、 關(guān)于Y的邊緣概率密度為 ，若對 于固定的 ， ，則稱 為在 的條件下X的，記為 ；同時稱 為在 的條 件下的，記為 或 。),(yxf)(yfYy0)(yfY)(),(yfyxfYyY )|(|yxfYXxydxyfyxf)(),(yY )|(|yxFYX)|(yYxXP),(YX),(YX類似地可定義在 的條件下Y的條件概率密度 和條件分布函數(shù))(),()|(|xfyxfxyfXXYxX yXXYdyxfyxfxyF)(),()|(|注：這里 意味著在 的條件下， 的概率，即 yx|YPXyY aX aYXdxyxfyYaXP)|(|二、二、二維隨機(jī)變量的獨立性例如：人的身高和體重這兩個隨

39、機(jī)變量不是獨立的， 但身高與視力是獨立的兩個隨機(jī)變量。注意：注意：隨機(jī)變量的獨立性與隨機(jī)事件的獨立性的隨機(jī)變量的獨立性與隨機(jī)事件的獨立性的 關(guān)系關(guān)系。定義定義4:4: 設(shè) 和 分別是二維隨機(jī)變量 的分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)，若對于所有 都有則稱隨機(jī)變量X 和Y是獨立的。),(yxF)(),(yFxFYXyx,),(),()()(),(yFxFyFxFyxFYX),(YX1、離散型隨機(jī)變量的獨立性對于離散型隨機(jī)變量(X,Y)來說，X與Y相互獨立等價于對所有可能的取值( )都有jiyx ,jijiyYPxXPyYxXP2、連續(xù)型隨機(jī)變量的獨立性對于連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)來說，X與Y相互獨立等價于幾

40、乎處處成立。),()()(yxfyfxfYX對于二維正態(tài)分布（對于二維正態(tài)分布（X，Y）來說，來說，X和和Y 相互獨相互獨立的充要條件是參數(shù)立的充要條件是參數(shù) 。0若 的分布函數(shù)為 ，則關(guān)于 的邊緣分布函數(shù)為),(21nXXX),(21nxxxF), 2 , 1(niXi),()(iiXxFxFini, 2 , 1三、 維隨機(jī)變量的獨立性n若對于所有的 ，有nxxx,21)()()(),(212121nXXXnxFxFxFxxxFn則稱 是。nXXX,21若對于所有的 有nmyyyxxx,;,2121),(),(),(2122112121nmnmyyyFxxxFyyyxxxF則稱隨機(jī)矢量 與

41、是。),(21mXXX),(21nYYY定理定理1 1：設(shè)隨機(jī)矢量 與 相互獨立，則 和 相互獨立；若 是連續(xù)函數(shù)，則 和 相互獨立。),(21mXXX),(21nYYY), 2 , 1(miXi), 2 , 1(njYjgh,),(21mXXXh),(21nYYYg3 兩維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、 的分布YXZ1、連續(xù)的情況設(shè) 的概率密度為 ，則的分布函數(shù)為),(yxfYXZdydxyxfdxdyyxfzZPzFyzzyxZ),(),()( zzyuxdudyyyufdudyyyuf),(),(),(YX所以 的概率密度為 或dyyyzfzfZ),()(dxxzxfzfZ

42、),()(Z當(dāng) 和 相互獨立時，可得dxxzfxfzfYXZ)()()(XY)(*)()()(yfxfdyyfyzfYXYX同時，若 ，且相互獨立相互獨立，則), 2 , 1)(,(2niNXiii),(12121niiniinNXXX當(dāng)當(dāng) 和和 相互獨立相互獨立且且 ，則，則),(),(222211NYNX),(222121NYXZ)()( ,(222121babaNbYaXXY若 服從二維正態(tài)分布，則 服從正態(tài)分布;若 服從二維正態(tài)分布，則 都服從正態(tài)分布;若 都服從正態(tài)分布且相互獨立，則 服從正態(tài)分布。),(YXbYaX ),(YXYX,YX,),(YX若 都服從 (0-1) 分布,且相

43、互獨立,則 iX), 2 , 1(ni),(21pnbXXXn2、離散的情況若 相互獨立，且則 的概率分布律為, 2 , 1,kbkYPakXPkkYX,YXZririiribairYiXPrYXPrZP00,若 且相互獨立，則 。 )(),(21YX)(21YX若 且相互獨立，則 ),(),(21pnbYpnbX),(21pnnbYX二、 和 的分布),max(YXM ),min(YXN 設(shè) 是兩個相互獨立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)為 和 ，則 的分布函數(shù)為YX,)(xFX)(yFY),max( YXM )()(,),max()(maxzFzFzYzXPzYXPzFYX 的分布函數(shù)為),mi

44、n(YXN ,1),min(1),min()(minzPzXPzYXPzYXPzF)(1)(1 11zFzFzYPzXPYX 和 的分布函數(shù)為設(shè) 是相互獨立的隨機(jī)變量，則nXXX,21),max(21nXXXM),min(21nXXXN)()()()(21maxzFzFzFzFnXXX)(1 )(1)(1 1)(21minzFzFzFzFnXXX第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征我們知道隨機(jī)變量的分布函數(shù)能夠完整地描述隨機(jī)變量我們知道隨機(jī)變量的分布函數(shù)能夠完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計特性，但有時不需要去全面考察隨機(jī)變量的變化的統(tǒng)計特性，但有時不需要去全面考察隨機(jī)變量的變化情況，而只

45、需知道隨機(jī)變量的某些特征。與隨機(jī)變量有情況，而只需知道隨機(jī)變量的某些特征。與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖然不能完整地描述隨機(jī)變量，但能描關(guān)的某些數(shù)值，雖然不能完整地描述隨機(jī)變量，但能描述隨機(jī)變量在某些方面的重要特征。述隨機(jī)變量在某些方面的重要特征。 1 1 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望的定義一、數(shù)學(xué)期望的定義定義定義1： 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量 的分布律為的分布律為 若級數(shù)若級數(shù) 絕對收斂，則稱級數(shù)絕對收斂，則稱級數(shù) 為為 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望，記為，記為 。kkpxXP, 2 , 1k1kkkpx1kkkpx)(XEXX注：對某一隨機(jī)變量來說，其數(shù)學(xué)期望不一定存在，

46、注：對某一隨機(jī)變量來說，其數(shù)學(xué)期望不一定存在， 例如習(xí)題例如習(xí)題4 4。數(shù)學(xué)期望簡稱為數(shù)學(xué)期望簡稱為期望期望，又稱為，又稱為均值均值。定義定義2：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度為的概率密度為 ， 若積分若積分 絕對收斂，則稱該積分絕對收斂，則稱該積分 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量 的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望，記為，記為 。)(xfdxxxf)()(XEXX二、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)二、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)ccE)(1)(2)()(XcEcXE(3)()()(YEXEYXE其中性質(zhì)（其中性質(zhì)（3）（）（4）可推廣到有限個隨機(jī)變量的情形。）可推廣到有限個隨機(jī)變量的情形。(4) 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 和和 相互

47、獨立相互獨立，則有，則有)()()(YEXEXYEXY三、六種常見的分布的數(shù)學(xué)期望三、六種常見的分布的數(shù)學(xué)期望1、（、（0-1）分布）分布 pXE)(2、 二項分布二項分布nkinpXEXE0)()(3、 泊松分布泊松分布011)!1(!)(kkkkeekekekXE4、 均勻分布均勻分布babadxabxXE2)(5、指數(shù)分布、指數(shù)分布000/0/|1)(dxexexdedxexXExxxx0/|xe若若 ，則，則 6、正態(tài)分布、正態(tài)分布),(2NX)(XEXZ0)(2/2dtteZEt)()()(ZEZEXE四、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望四、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1、一個隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期

48、望、一個隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望注：這個定理告訴我們，求注：這個定理告訴我們，求 時，不需要算出時，不需要算出 的的 分布律或概率密度函數(shù)，只需利用分布律或概率密度函數(shù)，只需利用 的分布律或概的分布律或概 率密度函數(shù)。率密度函數(shù)。)(ZEZX定理定理1 1：(1) 當(dāng)當(dāng) 為離散型隨機(jī)變量時，則為離散型隨機(jī)變量時，則 的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué) 期望為期望為 ； (2)當(dāng)當(dāng) 為連續(xù)型隨機(jī)變量時，則為連續(xù)型隨機(jī)變量時，則 的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué) 期望為期望為 。 )(XgZ 1)(iiipxg)(XgZ dxxfxg)()(XX2、二個隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望、二個隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理定理2： (1) 當(dāng)當(dāng) 為離

49、散型隨機(jī)變量時，則為離散型隨機(jī)變量時，則 的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為 ； (2) 當(dāng)當(dāng) 為連續(xù)型隨機(jī)變量時，則為連續(xù)型隨機(jī)變量時，則 的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為 。),(YX),(YXgZ 11),(ijijjipyxg),(YX),(YXgZ dydxyxfyxg ),(),( 2 2 方方 差差一、方差的定義一、方差的定義定義：定義： 設(shè)設(shè) 是一個隨機(jī)變量，若是一個隨機(jī)變量，若 存在，則稱存在，則稱 為為 的的， 記作記作 （或（或 ），同時稱），同時稱 為為(或或) ，記作，記作 。X)(2XEXE)(2XEXEX)(XD)(XVar)(XD)(X注：隨機(jī)變量的方差反映了它的取值與其數(shù)學(xué)期望

50、的偏注：隨機(jī)變量的方差反映了它的取值與其數(shù)學(xué)期望的偏 離程度，它是衡量取值分散程度的一個尺度。離程度，它是衡量取值分散程度的一個尺度。對于離散型隨機(jī)變量對于離散型隨機(jī)變量12)()(kkkpXExXD對于連續(xù)型隨機(jī)變量對于連續(xù)型隨機(jī)變量dxxfXExXD)()()(222)()()(XEXEXD二、方差的性質(zhì)二、方差的性質(zhì)（1 1） 0)(cD（2 2） )()(2XDccXD（3 3） )()(2)()()(YEYXEXEYDXDYXD若若 獨立獨立，則，則 YX,)()()(YDXDYXD（4 4） 的充要條件是的充要條件是 以概率以概率1 1取常數(shù)取常數(shù) ，即即0)(XDXc1 cXP注

51、：注：1 1、 不一定成立不一定成立。)()()(YDXDXYD2 2、 )()()()()(YEXEXYEYEYXEXE3、 若若 獨立，則獨立，則YX,)()()(222121YDkXDkYkXkD三、三、六種六種常見分布的方差常見分布的方差1 1、（、（0-10-1）分布）分布)1 ()(ppXD2 2、 二項分布二項分布)1 ()()(1pnpXDXDnkk3 3、 泊松分布泊松分布)(XD02!) 1()()1() 1()(kkkekkXEXXEXXXEXE2222)!2(kkke4 4、均勻分布、均勻分布12)(21)(222abbadxabxXDba5 5、指數(shù)分布、指數(shù)分布02

52、/0/200/2/2222|)(1)(dxxeexedxdxexXExxxx222)()()(XEXEXD6 6、正態(tài)分布、正態(tài)分布),(2NXXZ0)(ZE121|2121)(2/2/2/22222dtetedtetZEttt22)()()(ZDZDXD1)()()(22ZEZEZD 3 3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的定義一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的定義定義定義1 1：我們稱：我們稱 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量 與與 的的協(xié)方差協(xié)方差，記作，記作 ，同時，同時 稱稱 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量 與與 的的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)。)()(YEYXEXEX),(YXCov)()(),(YD

53、XDYXCovXYXYY協(xié)方差、數(shù)學(xué)期望與方差有以下關(guān)系：協(xié)方差、數(shù)學(xué)期望與方差有以下關(guān)系：)()()(),(YEXEXYEYXCov),(2)()()(YXCovYDXDYXD二、協(xié)方差的性質(zhì)二、協(xié)方差的性質(zhì)0),(cXCov( 1 )( 2 )(),(XDXXCov( 3 ),(),(XYCovYXCov( 4 ),(),(YXabCovbYaXCov( 5 ),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov三、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)及其含義三、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)及其含義1|XY（1）（2） 的充要條件是存在常數(shù)的充要條件是存在常數(shù) 使使 , ,并且當(dāng)并且當(dāng) 時時, , ,當(dāng)當(dāng) 時時 。1|X

54、Yba,1YbaXP0a1XY0a1XY相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) 是反映是反映 之間線性關(guān)系緊密程度的量，之間線性關(guān)系緊密程度的量，當(dāng)當(dāng) 較大時，說明較大時，說明 之間線性關(guān)系的程度較好，之間線性關(guān)系的程度較好，反之，說明它們之間線性關(guān)系的程度較差反之，說明它們之間線性關(guān)系的程度較差。XYYX,|XYYX,若若 ，則稱，則稱 和和 不相關(guān)不相關(guān)，若，若 和和 相互獨立，相互獨立，則則 和和 不相關(guān)，反過來，若不相關(guān)，反過來，若 與與 不相關(guān)，不相關(guān)， 和和 卻不一定相互獨立。卻不一定相互獨立。0XYXYXYYXXYYX例如例如 設(shè)設(shè) 的分布律為的分布律為),(YX對于二維正態(tài)分布來說，對于二維正態(tài)分布來說， , ,而而 ， 相互獨立相互獨立的充要條件是的充要條件是 ，所以對于二維正態(tài)分布不相關(guān)，所以對于二維正態(tài)分布不相關(guān)與獨立是等價的。與獨立是等價的。XYXY0注：注： 成立的充要條件是成立的充要條件是 不不 相關(guān)，并不要求相關(guān)，并不要求 相互獨立相互獨立。)()()(YDXDYXDYX,YX,定義定義1 1：設(shè)：設(shè) 和和 是隨機(jī)變量，若是隨機(jī)變量，若 存在，存在， 則稱它為則稱它為 的的 階原點矩階原點矩