高數(shù)函數(shù)極限與連續(xù)（課堂PPT）

1、1函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)、極限與連續(xù)一、一、 函數(shù)函數(shù)二、二、 函數(shù)的極限函數(shù)的極限三、三、 函數(shù)的連續(xù)與間斷函數(shù)的連續(xù)與間斷 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2記記作作的的函函數(shù)數(shù)，是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)，則則稱稱則則總總有有確確定定的的數(shù)數(shù)值值和和它它按按照照一一定定法法，變變量量集集如如果果對(duì)對(duì)于于每每個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)是是一一個(gè)個(gè)給給定定的的數(shù)數(shù)是是兩兩個(gè)個(gè)變變量量，和和設(shè)設(shè)定定義義)(xfyxyyDxDyx 叫叫做做因因變變量量叫叫做做自自變變量量，叫叫做做這這個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域數(shù)數(shù)集集yxD( ),.Wy yf xxD函函數(shù)數(shù)值值全全體體組組成成的的數(shù)數(shù)集集稱稱為為

2、函函數(shù)數(shù)的的值值域域一 函數(shù)1、函數(shù)的定義、函數(shù)的定義機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 3函數(shù)兩要素：定義域和對(duì)應(yīng)法則函數(shù)兩要素：定義域和對(duì)應(yīng)法則例例1、 下列各組函數(shù)是否相同下列各組函數(shù)是否相同 ? 為什么為什么? (1)( )1f xx21( )1xxx與2(2)( )lnf xx( )2lnxx與sin(3)uxsinyx與不同不同不同不同相同相同機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 4221010,( ),.xxf xxx例例如如12 xy12 xy在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中, 對(duì)應(yīng)法則用不同的對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來

3、表示的函數(shù)式子來表示的函數(shù), 稱為稱為分段函數(shù)分段函數(shù).2. 分段函數(shù)分段函數(shù)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 5例例2 2、1013212( ),().xf xf xx設(shè)設(shè)求求函函數(shù)數(shù)及及定定義義域域解解:103132132()xf xx101212,( ),.xf xx132221,.xx 31,故所求定義域?yàn)楣仕蠖x域?yàn)闄C(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 6(1) 函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)有有對(duì)對(duì)于于關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)對(duì)稱稱設(shè)設(shè),DxD ;)()()(為為偶偶函函數(shù)數(shù)稱稱xfxfxf ;)()()(為為奇奇函函

4、數(shù)數(shù)稱稱xfxfxf yxoxyoxy 3xy 3. 3.函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 7(2) 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性: 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈，區(qū)間，區(qū)間I D，如果對(duì)于區(qū)間，如果對(duì)于區(qū)間I上上任意兩點(diǎn)任意兩點(diǎn) 及及 ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，恒有：時(shí)，恒有： (1) ,則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間I上是上是單調(diào)增加的單調(diào)增加的；或或(2) , 則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間I上是上是單調(diào)遞減的單調(diào)遞減的；單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù)。1x2x21xx )()()()(2121x

5、fxfxfxf)(xf)(xfxyo2xy ;0時(shí)為減函數(shù)時(shí)為減函數(shù)當(dāng)當(dāng) x;0時(shí)為增函數(shù)時(shí)為增函數(shù)當(dāng)當(dāng) xxoy機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 8.)(,)(, 0,否否則則稱稱無(wú)無(wú)界界上上有有界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)成成立立有有若若XxfMxfXxMDX (3) 函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:;), 0()0 ,(上上無(wú)無(wú)界界及及在在 .), 11,(上上有有界界及及在在 xyoxy1 11 xoy-11機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 94. 4. 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 1),(Duufy,),(Dxxgu1( )g DD且則則Dxxgfy,

6、 )(設(shè)有函數(shù)鏈設(shè)有函數(shù)鏈稱為由稱為由, 確定的確定的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) , u 稱為稱為中間變量中間變量. 注意注意: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件 1( )g DD不可少不可少. 例如例如 函數(shù)鏈函數(shù)鏈 :,arcsinuy 2 ,ux但函數(shù)鏈但函數(shù)鏈22,arcsinxuuy不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù) .可定義復(fù)合函數(shù)可定義復(fù)合函數(shù)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 10兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù)兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù). 例如例如, ,0yuu可定義復(fù)合函數(shù)可定義復(fù)合函數(shù):,2cotxy ,) 12( ,2(kkxkZ02cot,22xkxk時(shí)

7、),2, 1, 0(,cotkkvvu,(,)2xvx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1111,( )f xx2( )xg x例例3、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)求求 ( ) ( )f g xg f x和和 ( ), ( )( )2211( ) 12111解解：f g xg f xf xg xxx機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 121020,( ),( )xxg xexxf x例例4、 設(shè)設(shè)求求 ( ) ( )f g xg f x和121002220220( ),ln ,( ), ( )( ),( ),ln , ( ),xf xxxg xf g xg

8、 xg xexexg f xeex解：21,( )xf xx求求.)(xff練習(xí)練習(xí)1、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 13例例5 5、13( )ln( )()f xxf xf x設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)，求求及及的的定定義義域域. .11(3)3,3故故的的定定義義域域?yàn)闉閒 xxxee01ln0解解：由由xx1( )的的定定義義域域?yàn)闉閒 xxe( )f x求求 的定義域的定義域. .(cos )fx練習(xí)練習(xí)2、 設(shè)設(shè) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?,1, 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 14例例6 6、22arcsin.xy將將分分解解成

9、成幾幾個(gè)個(gè)簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單函函數(shù)數(shù)的的復(fù)復(fù)合合2222arcsin,arcsin ,xyxyuuv v故故 可可以以把把分分解解成成的的復(fù)復(fù)合合（由由外外向向內(nèi)內(nèi)脫脫“函函數(shù)數(shù)”這這解解：件件衣衣服服）( )xxf x練習(xí)練習(xí)3、 將將 分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單 函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合.機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 155. 5. 初等函數(shù)初等函數(shù)(1) 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、冪函數(shù)、 指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、 對(duì)數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、 三角函數(shù)、三角函數(shù)、 反三角函數(shù)反三角函數(shù)(2) 初等函數(shù)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為否則稱為非初等函數(shù)

10、非初等函數(shù) . 例如例如 ,2,yx00,xxyxx在定義域上在定義域上可用一個(gè)式子表示可用一個(gè)式子表示的函數(shù)的函數(shù) ,稱為稱為經(jīng)過經(jīng)過有限次有限次四則運(yùn)算和復(fù)合四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)運(yùn)算算所構(gòu)成所構(gòu)成 ,初等函數(shù)初等函數(shù) .可表為可表為故為初等函數(shù)故為初等函數(shù).機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 16例例7 7、2132( )ln()( )sinsin(sin )yxyx判判斷斷下下列列函函數(shù)數(shù)是是否否為為初初等等函函數(shù)數(shù)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 172、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限 二、二、 函數(shù)的極限函數(shù)的

11、極限 , )(xfy 對(duì)0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(5( )()xn x)6(自變量變化過程的六種形式自變量變化過程的六種形式:1、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 :3、無(wú)窮小與無(wú)窮大、無(wú)窮小與無(wú)窮大4、兩個(gè)重要極限、兩個(gè)重要極限機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 5 5、無(wú)窮小階的比較、無(wú)窮小階的比較181、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限Axfx )(limAxfx )(limlim( )xf xAlimnnaAlim:( )xf xA定定理理.)(lim)(limAxfAxfx

12、x 且且機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 191010100,( ).,( ),( ),( ).xxxf xxnf nnxf xexf xe 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)無(wú)無(wú)限限接接近近于于 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)無(wú)無(wú)限限接接近近于于 當(dāng)當(dāng)+ + 時(shí)時(shí)無(wú)無(wú)限限接接近近于于 當(dāng)當(dāng)- - 時(shí)時(shí) 無(wú)無(wú)限限接接近近于于例例如如機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 202、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限0( );f xx函函數(shù)數(shù)極極限限與與在在點(diǎn)點(diǎn)是是否否有有定定注注義義無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)：224242422,( ),( ).xxf xxxf xxx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)無(wú)無(wú)限限接接近

13、近于于但但在在例例處處無(wú)無(wú)定定義義如如機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 21左極限左極限:右極限：右極限：000lim ( )()xxf xAf xA或000lim ( )()xxf xAf xA或2） 單側(cè)極限單側(cè)極限:00( ).xxxf x從從左左側(cè)側(cè)無(wú)無(wú)限限趨趨近近時(shí)時(shí)的的極極限限00( )xxxf x從從右右側(cè)側(cè)無(wú)無(wú)限限趨趨近近時(shí)時(shí)的的極極限限. .00000: lim( )()().xxf xAf xf xA定定理理機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 22例例1、21010,( ),.xxf xxxyox1xy 112 xy求求0l

14、im( ).xf x 當(dāng)當(dāng)x從從0左右兩側(cè)趨近于左右兩側(cè)趨近于0時(shí)，時(shí)，( )f x的表達(dá)式不一樣的表達(dá)式不一樣, 須須考察左右極限考察左右極限.2000000011111lim( )lim (),lim( )lim (),lim( )lim( )lim( ).xxxxxxxf xxf xxf xf xf x0 x 是是函函數(shù)數(shù)的的分分段段點(diǎn)點(diǎn), ,解：解：機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 230lim.xxx求求11 yxo00limlimxxxxxx左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,0lim.xxx不不存存在在例例2、解：解：011lim ()x 00li

15、mlimxxxxxx011limx機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 24練習(xí)練習(xí)1、設(shè)設(shè)211141321,( ),.xxxxf xxxx 求極限求極限111111lim( ), lim( ), lim( ),lim( ), lim( ),lim( ).xxxxxxf xf xf xf xf xf x機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 253 3、無(wú)窮小與無(wú)窮大、無(wú)窮小與無(wú)窮大lim ( )0f x1lim0( )f x定理定理2. 有限個(gè)無(wú)窮小的和還是無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小的和還是無(wú)窮小 .定理定理1 . 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小有界函數(shù)與

16、無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 . 例：例： 10sinlimlimsin.xxxxxx反例：反例：22212limnnnnnnnn( )稱稱函函數(shù)數(shù)在在此此極極限限過過程程為為無(wú)無(wú)窮窮小小f x( )稱稱函函數(shù)數(shù)在在此此極極限限過過程程為為無(wú)無(wú)窮窮大大f x機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 26例例3 3、3232235741lim.xxxxx求求解：解：,.x 時(shí)時(shí) 分分子子 分分母母的的極極限限都都是是無(wú)無(wú)窮窮大大()型型3,.x先先用用去去除除分分子子分分母母 分分出出無(wú)無(wú)窮窮小小 再再求求極極限限323323352235417417limlimxxxxxxxxxx27

17、.“ 抓大頭抓大頭”機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 27解：解：例例4 4、221123lim.xxxx求求1,.x 時(shí)時(shí) 分分子子 分分母母的的極極限限都都是是零零1.x 先先約約去去不不為為零零的的無(wú)無(wú)窮窮小小因因子子后后再再求求極極限限22111113123()()limlim()()xxxxxxxxx113limxxx12.0()0型型機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 28解：解：例例5 5、222367lim.xxxxx求求()型型分分子子有有理理化化法法22222367442367limlimxxxxxxxxxxx2244223

18、6711limxxxxxx ()型型機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 294 4、 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 11lim()xxex11lim()e101lim()e01sinlimxxx01sinlim機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 30例例6 6、 求下列極限：求下列極限：2310123sinlnlim(),lim(ln )xxxxexx( (1 1) )( (2 2) )練練習(xí)習(xí) 、1114( )limxxx13115sin( ) limsinxxx02sin( ) limsinxxxxx23321( ) lim ()xxxx機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)

19、 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 3110( )lim,( )o如如果果，就就說說是是比比高高階階的的無(wú)無(wú)窮窮小小記記作作；定義定義: :0,. 設(shè)設(shè)是是同同一一過過程程中中的的兩兩個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)窮窮小小 且且30( )lim,;C如如果果就就說說與與是是同同階階的的無(wú)無(wú)窮窮小小1lim,;特特殊殊地地， 如如果果則則稱稱與與是是等等價(jià)價(jià)的的無(wú)無(wú)窮窮小小記記作作( )lim 如如果果，就就說說是是比比低低階階的的無(wú)無(wú)窮窮小小5、無(wú)窮小階的比較、無(wú)窮小階的比較機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 32常用等價(jià)無(wú)窮小常用等價(jià)無(wú)窮小:xsin;xxtan;xxcos

20、1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1)1 (x;x注：注：利用等價(jià)無(wú)窮小計(jì)算極限是一種基本方法利用等價(jià)無(wú)窮小計(jì)算極限是一種基本方法 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 0 x 當(dāng)時(shí)，33不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換.切記：切記：只可對(duì)函數(shù)的因子作等價(jià)無(wú)窮小代換，只可對(duì)函數(shù)的因子作等價(jià)無(wú)窮小代換， 對(duì)于代數(shù)和中的各個(gè)無(wú)窮小不能分別代換對(duì)于代數(shù)和中的各個(gè)無(wú)窮小不能分別代換. .注意：注意：例例7 7、01()sinlim.arcsinxxxx求求解：解：0,sin,arcsin.xxxxx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)01()limxxxx

21、原原式式1 .01lim()xx機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 34例例8 8、302tansinlim.sinxxxx求求錯(cuò)誤錯(cuò)誤解法：解法：0, tan,sin.xxxxx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)302lim()xxxx原原式式0.正確解法：正確解法：0,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)1tansintan (cos )xxxx312,x22sin,xx330122lim()xxx原原式式116. 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 35例例9 9、4401211ln(sin);( ).xxxxx證證明明當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，(1)(1)與與是是等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小與與 是是同同階階無(wú)

22、無(wú)窮窮小小證：證：444400441111ln(sin)sin( ) limlim,ln(sin)xxxxxxxx故故與與是是等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小00111221111( ) limlim.xxxxxxxxx，故故與與 是是同同階階無(wú)無(wú)窮窮小小機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 362. 求求. )1(lim2xxxx4. 試確定常數(shù)試確定常數(shù) a，b 使使02lim1xaxbx練習(xí)題練習(xí)題: :3113111.lim()xxx求求()型型(0) 型型2030502332321() ().lim()xxxx()型型機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)

23、束 37可見可見 , , 函數(shù)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x三、三、 函數(shù)的連續(xù)與間斷函數(shù)的連續(xù)與間斷1 1、定義、定義: :)(xfy 在在0 x的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義 , , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數(shù)則稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf(1) (1) )(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x即即)(0 xf(2) (2) 極限極限)(lim0 xfxx(3)(3). )()(lim00 xfxfxx設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件連續(xù)必須具備下列條件: :存在存在 ; ;且且有定義有定義 , ,存在存在 ; ;機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 38定理定理1 1

24、、 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理定理2 2、 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都連續(xù)內(nèi)都連續(xù).定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.003( )( )f xxf xx定定理理在在處處連連續(xù)續(xù)在在處處既既、左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 39設(shè)設(shè)220320sin( )xxf xxxxkxk問問 為為何何值值時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù)在在定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)例例1 1、0010cos ,( ).,xxaf xxaxx練練習(xí)習(xí) 、求求 使使在在處處連連續(xù)續(xù)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目

25、錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 402 2、間斷點(diǎn)、間斷點(diǎn)( (不連續(xù)的點(diǎn)不連續(xù)的點(diǎn)) )分類分類: :00()f x 第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):00()f x 及及00()f x 均存在均存在.0000()(),f xf x若若也稱也稱0 x0000()(),f xf x若若也稱也稱0 x第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):及及中至少一個(gè)不存在中至少一個(gè)不存在 ,也稱也稱0 x若其中有一個(gè)為振蕩若其中有一個(gè)為振蕩 , 也稱也稱0 x若其中有一個(gè)為若其中有一個(gè)為,為為可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn) .為為跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn) .為為無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn) .為為振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn) .特別地，特別地

26、，特別地，特別地，00()f x 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 41xytan) 1 (2,xkkZ為第二類間斷點(diǎn)中為第二類間斷點(diǎn)中的無(wú)窮間斷點(diǎn)的無(wú)窮間斷點(diǎn) . .0 x為為第二類間斷點(diǎn)中第二類間斷點(diǎn)中的的振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn) .xy1sin) 2(1x為第一類間斷點(diǎn)中的為第一類間斷點(diǎn)中的可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn) . .11)3(2xxyxoy1例例2 2、 求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類型求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類型xytan2xyoxyxy1sin0機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 42222132( ).xf xxx討討論論的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)并并

27、判判斷斷練練習(xí)習(xí)其其類類型型、(4) 100010,( ),xxyf xxxx001(), f001()f0 x為第一類中的跳躍間斷點(diǎn)為第一類中的跳躍間斷點(diǎn) .xyo11機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 43注意注意: 若函數(shù)在若函數(shù)在開區(qū)間開區(qū)間上連續(xù)上連續(xù),則結(jié)論不一定成立則結(jié)論不一定成立 .3 3、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最值定理最值定理：在在閉區(qū)間閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上在該區(qū)間上即即: 設(shè)設(shè), ,)(baCxfxoyab)(xfy 12則則, ,21ba使使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa一定有最大一定有最大值和最小值值和最小值. .或在閉區(qū)間內(nèi)或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)有間斷點(diǎn) 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 44例如例如,)1,0(,xxy無(wú)最大值和最小值無(wú)最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也無(wú)最大值和最小值也無(wú)最大值和最小值 又如又如, 推論：推論：在閉區(qū)間上連續(xù)的