離散傅里葉變換PPT課件

1、1離散傅里葉變換discrete fourier transform2內(nèi)容提要離散傅里葉變換 (discrete fourier transform，dft)是時(shí)間函數(shù)是離散的，而且頻譜函數(shù)也是離散的變換。離散傅里葉變換定義dft物理意義dft基本性質(zhì)討論頻率取樣理論。dft的應(yīng)用 3傅里葉變換的各種形式連續(xù)時(shí)間、離散頻率的傅里葉變換對于周期為t的連續(xù)時(shí)間信號，可以采用傅里葉級數(shù)展開：連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率的傅里葉變換對于非周期的連續(xù)時(shí)間信號，可以進(jìn)行傅里葉變換：它在時(shí)域和頻域都是連續(xù)的。4 離散時(shí)間、連續(xù)頻率的傅里葉變換對于非周期的序列，其傅里葉變換在頻域是以2為周期的連續(xù)函數(shù)。5設(shè)x(n)是一

2、個(gè)長度為m的有限長序列， 則定義x(n)的n點(diǎn)離散傅里葉變換為10( ) ( )( ), k=0, 1, &, n-1 (3.1.1)nknnnx kdft x nx n wx(k)的離散傅里葉逆變換為101( ) ( )( ), k=0, 1, &, n-1 (3.1.2)nknnnx kdft x nx n wn式中， ， n稱為dft變換區(qū)間長度, nm， 通常稱(3.1.1)式和(3.1.2)式為離散傅里葉變換對。note:有限長序列x(n)的dft即x(k)仍是有限長序列。2jnnwe6例 3.1.1 x(n)=r4(n) ，求x(n)的8點(diǎn)和16點(diǎn)dft.解： 設(shè)變換區(qū)間n=8，

3、則273880038( )( )sin()2,0,1,7sin()8jknknnnj kx kx n wekekk7對長度為m的序列x(n)，其z變換n點(diǎn)dft進(jìn)行對比，可以看出式中，表示z平面單位圓上輻角(k=0,1,n-1)的n個(gè)等間隔點(diǎn)。 2,0,1,1jknxkxekn8說明：序列x(n)的n點(diǎn)dft是其z變換在單位圓上的n點(diǎn)等角距取樣，如圖3.4(a)。序列x(n)的dft是其ft在區(qū)間0,2上的n點(diǎn)等間隔取樣。如圖3.4(b)。9dft變換對中(),kk mnnnwwk m n均為整數(shù) 所以式(3.1.1) 中， x(k)滿足1()010()( )( )( )nk mn nnnnk

4、nnnx kmnx n wx n wx k同理可證明式(3.1.2) 中 x(n+mn)=x(n)10 x n任何周期為n的周期序列 都可以看做長度為n的有限長序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)是 的一個(gè)周期 mnx nx nmnx nx n rn x n(3.1.5) (3.1.6) 11定義：為敘述方便，將式(3.1.5)該寫成 表示x(n)以n為周期的周期延拓序列，符號(n)n表示n對模n的余數(shù)，即 這里k是商。 的主值區(qū)間：周期序列 中從n=0到n-1的范圍 的主值序列：主值區(qū)間上的序列 nxn12由此對長度為n的序列x(n)，且 ，則 的dfs為結(jié)論：與dft定義比較，可見有限長

5、序列x(n)的dft即x(k)是x(n)的周期延拓序列 的離散傅里葉級數(shù)系數(shù) 的主值序列。例如，n=7, =x(n)7，則有 77770881xxxxxx nx nxn 111000110011nnnknknknnnnnnnnnnknknnnnnx kx n wxnwx n wx nx k wx k wnn nxnx k nx kx k rk13解：因此得 x(0)=4.16114 x(1)=0.71063-j0.92558 x(2)=0.50746-j0.40597 x(3)=0.47017-j0.16987 x(4)=0.46235x(5)= 0.47017+j0.16987x(6)= 0

6、.50746+j0.40597x(7)= 0.71063+j0.92558matlab實(shí)現(xiàn) fft1.m例3. 1 求有限長序列的dft，其中a=0.8，n=8。 14關(guān)于離散傅里葉變換(dft)：序列序列x(n)在時(shí)域是有限長的在時(shí)域是有限長的(長度為長度為n)，它的離散傅里葉變，它的離散傅里葉變換換x(k)也是離散、有限長的也是離散、有限長的(長度也為長度也為n)。n為時(shí)域變量，為時(shí)域變量，k為頻域變量。為頻域變量。dft的物理意義：序列的物理意義：序列x(n)的的z變換在單位圓上的等角距取變換在單位圓上的等角距取樣。序列傅里葉變換在區(qū)間樣。序列傅里葉變換在區(qū)間0,2上的等間隔取樣。上的等

7、間隔取樣。離散傅里葉變換離散傅里葉變換(dft)具有唯一性。具有唯一性。離散傅里葉變換與離散傅里葉級數(shù)沒有本質(zhì)區(qū)別，離散傅里葉變換與離散傅里葉級數(shù)沒有本質(zhì)區(qū)別，dft實(shí)實(shí)際上是離散傅里葉級數(shù)的主值，際上是離散傅里葉級數(shù)的主值，dft也隱含有周期性。也隱含有周期性。15 dft隱含著周期性，因此在討論dft的性質(zhì)時(shí)，常與dfs的概念聯(lián)系起來，并把有限長序列看作周期序列的一個(gè)周期來處理。設(shè)x1(n)和x2(n)的長度都為n，且它們對應(yīng)的dft分別為x1(k)和x2(k)。 設(shè)x3(n)=ax1(n)+bx2(n)，a和b都為常數(shù)，則 若它們長度不等，取長度最大者，將短的序列通過補(bǔ)零加長，注意此時(shí)d

8、ft與未補(bǔ)零的dft不相等。3.2 離散傅里葉變換的性質(zhì)16 一個(gè)長度為n的序列x(n)的循環(huán)移位定義為 循環(huán)移位分3步計(jì)算：(1)將x(n)延拓成周期為n的周期序列 ； (2)將 移位得 或 x(n+m)n；(3)對 x(n+m)n 取主值得 x(n+m)nrn(n)。這個(gè)過程如下圖所示。a) 序列的循環(huán)移位：17 從圖中兩虛線之間的主值序列的移位情況可以看出，當(dāng)主值序列左移m個(gè)樣本時(shí)，從右邊會(huì)同時(shí)移進(jìn)m個(gè)樣本，而且好像是剛向左邊移出的那些樣本又從右邊循環(huán)移了進(jìn)來。因此取名“循環(huán)移位”。 顯然，循環(huán)移位不同于線性移位 181920對長度為n的有限長序列x(n)，其循環(huán)移位后序列y(n)的df

9、t為 證明：b) 時(shí)域循環(huán)移位定理時(shí)域循環(huán)移位定理 1100nnknknnnnnnnny kdft y nxnmrn wxnmw令n+m=n，則有： 11nmnmk nmkmknnnnnnnmnmy kdft y nxnwwxnw knnnxnw 因?yàn)?以n為周期，上式中的求和區(qū)間任取一個(gè)周期即可，取主值區(qū)間為求和區(qū)間，得證。21若則c) 頻域循環(huán)移位定理頻域循環(huán)移位定理 22 長度分別為n1和n2的有限長序列x1(n)和x2(n)的n點(diǎn)dft分別為： （ n=max n1, n2 ）。則由上式表示的卷積稱為循環(huán)卷積x1(k)=dftx1(n)x2(k)=dftx2(n)如果x(k)=x1(k

10、)x2(k) 11201210idftnnnmnnnmx nx kx m xnmrnxm xnmrn23循環(huán)卷積的過程：(1)周期延拓 x2(m)x2(m)n(2)折疊 x2(m)nx2(-m)n(3) 移位和取主值 x2(-m)nx2(n-m)nrn(m)(4)相乘 x2(n-m)nrn(m) x1(m) x2(n-m)nrn(m)(5)相加 summ0,1,n-1循環(huán)反轉(zhuǎn)序列note: 兩個(gè)長度為n的序列的循環(huán)卷積長度仍為n，（與線性卷積不同），記為： 112120121210nnnmnnnmx nx nxnx m xnmrnxnx nxm xnmrn242526循環(huán)卷積計(jì)算說明：x1(n

11、)的n個(gè)值按順時(shí)針方向均勻分布在內(nèi)圓周上，x2(n)的n個(gè)值按反時(shí)針方向均勻分布在外圓周上，把內(nèi)外圓周上對應(yīng)的數(shù)值兩兩相乘，然后把乘積相加就得到y(tǒng)(0)。若將外圓周順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)一格，將內(nèi)外圓周上對應(yīng)的數(shù)值兩兩相乘并把乘積相加，便得到y(tǒng)(1)。依次類推，可以得出y(n)的其它值。因此循環(huán)卷積也叫做圓卷積?？紤]到dft關(guān)系的對偶性，可以證明，長為n的兩序列之積的dft等于它們的dft的循環(huán)卷積除以n，即 頻域循環(huán)卷積定理2728 是長度為n的序列x(n)的復(fù)共軛序列， xn x kdft x n則 ,01dft xnxnkkn 且 0x nx類似 ,01dft xnnxkknnote：對實(shí)序列有

12、 x kxnk293.2.5 dft的共軛對稱性的共軛對稱性 1. 有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列分別用xep(n)和xop(n) 表示有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列， 則二者滿足如下定義式： xep(n)=x*ep(n-n), 0nn-1 (3.2.9) xop(n)=-x*op(n-n), 0nn-1 (3.2.10) 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， 將上式中的n換成n/2-n可得到()(),01222()(),01222epepopopnnnxnxnnnnnxnxnn 30圖 3.2.3 共軛對稱與共軛反對稱序列示意圖 （圖中*表示對應(yīng)點(diǎn)為序列取共軛后的值） 31 如同任何實(shí)函數(shù)都可以分解成偶對

13、稱分量和奇對稱分量一樣， 任何有限長序列x(n)都可以表示成其共軛對稱分量和共軛反對稱分量之和， 即 x(n)=xep(n)+xop(n), 0nn-1 (3.2.11) 將上式中的n換成n-n， 并取復(fù)共軛， 再將式(3.2.9) 和式(3.2.10) 代入得到 x*(n-n)=x*ep(n-n)+x*op(n-n)=xep(n)-xop(n) (3.2.12) xep(n)=1/2x(n)+x*(n-n) (3.2.13) xop(n)=1/2x(n)-x*(n-n) (3.2.14)32 2. dft的共軛對稱性(a) 若將序列x(n)分成實(shí)部xr(n)與虛部xi(n)，即 x(n)=x

14、r(n)+jxi(n)根據(jù)復(fù)共軛序列的dft可得 11dftdft2211dftdft( )22repiopxnx nxnx kxnkxkjx nx nxnx kxnkxk再由dft的線性性質(zhì)可得 x=dftdftdftdft( )ririepopkx nxnjx nxnjx nxkxk33(b) 若將序列x(n)分成共軛對稱部分xep(n)與共軛反對稱部分xop(n)，即 x(n)=xep(n)+xop(n)根據(jù)復(fù)共軛序列的dft可得 11dftdftre2211dftdftim( )22epopxnx nxnnx kxkx kxnx nxnnx kxkjx k 因此 x=dftdftepo

15、prikx nxnxnxkjxk34結(jié)論：如果序列x(n)的dft為x(k),則 x(n)的實(shí)部和虛部（包括j）的dft分別為x(k)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量； x(n)的共軛對稱部分和共軛反對稱部分的dft分別為x(k)的實(shí)部和虛部乘以j.35有限長實(shí)序列dft的共軛對稱性：對長度為n的實(shí)序列，x(k)=dftx(n)，則 x(k)共軛對稱，即 若x(n)=x(n-n),則x(k)實(shí)偶對稱，即 若x(n)=-x(n-n)，則x(k)純虛奇對稱，即 x=kx nk ,01x kxnkkn x=kx nk36 這意味著，對于時(shí)間有限信號，可以像頻帶有限信號進(jìn)行時(shí)域采樣而不丟失任何信息一樣，

16、可以在頻域上進(jìn)行采 樣而不丟失任何信息。這正是傅里葉變換中時(shí)域和頻域?qū)ε缄P(guān)系的反映，這有著十分重要的意 義。dft實(shí)現(xiàn)了頻域離散化，開辟了在頻域采用數(shù)字技術(shù)處理的新領(lǐng)域。 這使我們自然想到，對于任意一個(gè)頻率特性，是否均能用頻域采樣的辦法來逼近，這是一個(gè)很吸引人的問題，因?yàn)橛妙l率采樣來逼近，可使問題大大簡化。因此我們要討論頻率采樣的可行性以及所帶來的誤差。 3. 3 頻率域采樣 37頻率取樣是指對序列的傅里葉變換或系統(tǒng)的頻率特性進(jìn)行取樣 。本節(jié)討論在什么條件下能夠用得到的頻譜取樣值無失真地恢復(fù)原信號或系統(tǒng)。 設(shè)任意長序列x(n)絕對可和，其z變換表示為如果在單位圓上對x(z)進(jìn)行等角距取樣，取樣

17、點(diǎn)數(shù)為n，則得 22( )( )( )jknjknnz enx kx zx n e根據(jù)dft的定義，對x(k)求反變換 =idftpxnx k38根據(jù)上面兩式可得：因?yàn)樗?上式表明，在z平面的單位圓上對序列的z變換進(jìn)行等角距取樣，將導(dǎo)致時(shí)間序列的周期延拓。這一結(jié)果與對連續(xù)時(shí)間信號取樣導(dǎo)致頻譜周期延拓類似。 現(xiàn)在我們來考察xp(n)與原序列x(n)的關(guān)系，看它如何才能代表原序列x(n)。 110011=nnk n mkmknpnnnkmmkxnx m wwx mwnn 101,1,0,nk n mnkmnrnwrmnrnn為任意整數(shù) =prxnx nrn39 xp(n)是原非周期信號x(n)的

18、周期延拓序列，因此xp(n)是一個(gè)周期序列，其主值為 在x(n)為有限長度m的情況下，如果取樣點(diǎn)nm，那么x(n)周期延拓的結(jié)果不會(huì)產(chǎn)生混疊。這時(shí)，xp(n)的主值xn(n)與原序列x(n)一樣，因此xn(n)完全能代表原序列x(n)，可由頻域采樣x(k)恢復(fù)x(n)。 如果n=m，則有42令則 上式就是用x(z)在單位圓上的n個(gè)取樣值x(k)表示x(z)的內(nèi)插公式，內(nèi)插函數(shù)為 。因?yàn)?knnw所以 x z 1111nkknzznwz 10nkkx zx kz kz43如果 則可以得到傅里葉變換的內(nèi)插公式，結(jié)論：長度為n的序列x(n)，其n個(gè)頻域取樣值x(k)可以不失真地代表它，x(k)還能完

19、整的表示序列的z變換x(z)和傅里葉變換 。 2/10111j nkjk nnjkkenex ex k443. 4 dft應(yīng)用舉例 1. 線性卷積實(shí)際應(yīng)用中一般以線性卷積和相關(guān)運(yùn)算處理為依據(jù)，如一個(gè)fir數(shù)字濾波器的輸出等于輸入與濾波器的單位取樣響應(yīng)的線性卷積。dft計(jì)算循環(huán)卷積dft的快速算法fft的出現(xiàn)， 使dft在數(shù)字通信、 語言信號處理、 圖像處理、 功率譜估計(jì)、 仿真、 系統(tǒng)分析、 雷達(dá)理論、 光學(xué)、 醫(yī)學(xué)、 地震以及數(shù)值分析等各個(gè)領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用。 2. 譜分析45線性卷積 線性卷積不受主值區(qū)間限制循環(huán)卷積 在一定條件下與線性卷積相等。兩個(gè)長度都為n的因果序列的循環(huán)卷積仍是一個(gè)長

20、度為n的序列，而它們的線性卷積卻是一個(gè)長度為2n-1的序列。3. 4.1 利用循環(huán)卷積計(jì)算線性卷積 46 如果能將線性卷積轉(zhuǎn)化成循環(huán)卷積，那么根據(jù)dft的循環(huán)卷積性質(zhì)，就能夠用循環(huán)卷積來計(jì)算線性卷積，而循環(huán)卷積可以用fft 進(jìn)行快速計(jì)算。因此，首先需要討論在什么條件下，循環(huán)卷積與線性 卷積相等的問題。 設(shè)h(n)和x(n)分別是長度為n和m的有限長序列，它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別為 1010nlmlcllmynh nx nh m x nmynh nx nh m xnmrn其中，l=maxn,m47所以對照線性卷積的公式，可以看出因 為 lqxnx nql 1010nclmqnlqmynh m

21、x nmql rnh m x nqlm rn 10nlmh m x nqlmynql48 yc(n)是yl(n)以l為周期的周期延拓序列的主值序列。而yl(n)是個(gè)長度為n+m-1的序列，所以(1)如果l=n+m-1） 計(jì)算l點(diǎn)dfth(n), dftxk(n) 計(jì)算 yk(n)=xk(n)h(k) 用l點(diǎn)ifft求yk(n)=idftyk(k) 將yk(n)的重疊部分相加，最后輸出為由于yk(n)的長度為n+m-1，而xk(n)長度為m，所以相鄰兩段yk(n)序列必然有n-1個(gè)點(diǎn)發(fā)生重疊，如圖3.4.4所示。這些重疊部分應(yīng)該相加起來才能構(gòu)成最后的輸出序列，這就是“重疊相加法”這一名稱的由來。

22、54圖 3.4.4 重疊相加法卷積示意圖 m0nmmx1(n)x0(n)x2(n)n m 1n m 1y0(n)y1(n)n m 1y2(n)2mm3m n 10n 1y(n) y0(n) y1(n) y2(n) nnnnnnh(n)553. 4.2 用dft對信號進(jìn)行譜分析 所謂信號的譜分析就是計(jì)算信號的頻譜，包括振幅譜、相位譜和功率譜。處理對象：連續(xù)信號和離散信號1 用dft對連續(xù)信號進(jìn)行譜分析（近似分析） 設(shè)連續(xù)信號xa(t)（經(jīng)預(yù)濾波和截取處理的有限長帶限信號）持續(xù)時(shí)間為tp， 最高頻率為fc， 如圖3.4.5所示。 xa(t)的傅里葉變換為()( )( )j taaaxjft x t

23、x t edt 56 對xa(t)以采樣間隔t1/2fc(即fs=1/t2fc)采樣得x(n)= xa(nt)。 x(n)的傅里葉變換為x(ej).12()jamx exjmttt x(ej)與 的關(guān)系為(3.4.6)x(n)的長度為ppstnt ft()axj將 代入t 121()defj taamx exjmxjttt57x(n)的n點(diǎn)dft 2( )dft01jnknx kx nx ekn 22( )22aafaafxfxjxjfxfxxf21212( ),01jknaapx kx exkxkkntnttt代入式（3.4.6），可得所以，令58 11( ),0,1,1pdefaakkfn

24、ttanx kxfxkfknttxkftx kt dft x n可得f表示對模擬信號的頻譜的采樣間隔，稱為頻率分辨率，即頻域取樣中兩相鄰點(diǎn)間的頻率間隔。說明：由上式可得，對連續(xù)信號采樣并進(jìn)行dft再乘以t，就可近似得到模擬信號頻譜的周期延拓函數(shù)在第一個(gè)周期0,fs上的n點(diǎn)等間隔采樣。如圖1spfftntn5960結(jié)論：對滿足假設(shè)的持續(xù)時(shí)間有限的帶限信號，在滿足時(shí)域采樣定理時(shí)， 包含了模擬信號頻譜的全部信號，可由x(k）恢復(fù) 。缺點(diǎn)：柵欄效應(yīng)對持續(xù)時(shí)間有限的帶限信號axkf aaxjxt 或61截?cái)嘈?yīng)用dft分析理想低通濾波器單位沖激響應(yīng)的頻率響應(yīng)特性截取理想低通濾波器的單位沖激

25、響應(yīng)的一段tp：sin()( )ath tt 假設(shè)tp=8 s， 采樣間隔t=0.25 s(即采樣速度fs=4 hz)， 采樣點(diǎn)數(shù)n=tp/t=32。 此時(shí)頻域采樣間隔f=1/nt=0.125 hz。 則ha(kf)=tdfth(n), 0k16其中 h(n)=ha(nt)r32(n)注意：對實(shí)信號，其頻譜函數(shù)具有共軛對稱性，只需分析正頻率頻譜62圖 3.4.7 用dft計(jì)算理想低通濾波器頻響曲線 63從上圖(c)可看出： 低頻部分近似理想低通頻響特性；高頻誤差較大 截?cái)嘈?yīng)整個(gè)頻響都有波動(dòng)減少截?cái)嘈?yīng)的途徑： 加長信號分析時(shí)間tp，增加采樣點(diǎn)數(shù) 先用窗函數(shù)處理64連續(xù)信號譜分析的參數(shù)選擇原則

26、：關(guān)心的問題：譜分析范圍0,fs/2和頻率分辨率f1) 為避免頻譜混疊現(xiàn)象，fs 2fc2) 譜分辨率f=fs/n, 若n不變，要提高頻譜分辨率，必須降低fs 若fs不變，為提高頻譜分辨率，可增加采樣點(diǎn)數(shù)n，即增加觀察時(shí)間tp。21cpfnftf選取原則：65例3.4.2 對實(shí)信號進(jìn)行譜分析， 要求譜分辨率f10 hz，信號最高頻率fc=2.5 khz， 試確定最小記錄時(shí)間tpmin， 最大的采樣間隔tmax， 最少的采樣點(diǎn)數(shù)nmin。 如果fc不變， 要求譜分辨率增加一倍， 最少的采樣點(diǎn)數(shù)和最小的記錄時(shí)間是多少? 解： 因此tpmin=0.1 s， 因?yàn)橐骹s2fc， 所以110.110p

27、tsf3maxmin110.2 1022250022250050010cctsffnf66為使頻率分辨率提高一倍， f=5 hz， 要求minmin225001000510.25pnts672 用dft對序列進(jìn)行譜分析單位圓上的z變換序列的傅里葉變換序列的dft：0,2上對傅里葉變換的n點(diǎn)等間隔采樣。頻譜分辨率： 2/n可用dft計(jì)算序列的ft周期為n的周期序列 的頻譜函數(shù)： x n21022() ( )( ) ()( ) ( )( )jknjknnnx eft x nx kknnx kdfs x nx n e 其中 note: 周期序列的頻譜結(jié)構(gòu)可用其離散傅里葉級數(shù)系數(shù)表示68由dft的隱含

28、周期性， 截取 的主值序列 并進(jìn)行n點(diǎn)dft得到( )x n ( )nx nx n rn( ) ( ) ( )( )( )( )nnx kdft x ndft x n rnx k rk( )x n( )x n因此可用x(k)表示 的頻譜結(jié)構(gòu)。 如果截取長度m等于 的整數(shù)個(gè)周期， 即m=mn， m為正整數(shù)， 則2102(1)0( )( )( )( )( )( )( )0,1,1mmmknmmmnm nknmnnxnx n rnxkdft xnx n ex n ekmn69令 n=n+i n, i=0, 1, , m-1, n=0, 1, , n-1,則2 ()110221100210210( )

29、()( )()()nrn kmnjmnmrnnmnjkjrkmnmrnmjrkmrmjrkmrxkx nrn ex n eekxemkxem 210,0,mjkrmrme因?yàn)?k/m=整數(shù)k/m整數(shù) 70(),( )0,mkmxxkmk/m=整數(shù)k/m整數(shù) 結(jié)論： k=im時(shí)，表示周期序列的第i次諧波譜線，幅度擴(kuò)大m倍，故截取周期序列的整數(shù)個(gè)周期進(jìn)行dft可得到其頻譜結(jié)構(gòu)。周期序列的周期不知道時(shí)的處理：截取m點(diǎn)做dft 截取長度擴(kuò)大1倍做dft 分析主譜頻率差別71 在實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)只對信號的某一頻段感興趣，或只需計(jì)算單位圓上某一段的頻譜值。例如，在對窄帶信號進(jìn)行分析時(shí)，常希望在窄頻帶內(nèi)對頻

30、率的取樣很密集，以便提高頻率分辨率，而在窄頻帶外不予以考慮。 對于這種情況，如果采用dft方法，則需要在窄頻帶內(nèi)外都增加頻域取樣點(diǎn)，而窄頻帶外的計(jì)算量是浪費(fèi)的。此外，有時(shí)對非單位圓上的取樣感興趣，例如在語音信號處理中，常常需要知道其z變換的極點(diǎn)所在處的復(fù)頻率，這時(shí)就需要在這些極點(diǎn)附近的曲線上進(jìn)行頻域取樣，這樣，就要沿著螺旋線對z變換取樣。這種沿螺旋線上取樣點(diǎn)計(jì)算的z變換，稱為線性調(diào)頻z變換(chirp z transform，簡稱czt)。72圖 3.4.7 單位圓與非單位圓采樣 73要計(jì)算序列在半徑為r的圓上的頻譜， 那么n個(gè)等間隔采樣點(diǎn)為 , k=0, 1, 2, , n-1， zk點(diǎn)的頻

31、譜分量為 2jknkzre210()( )( )knjknnkz znx zx zx n r e( )( )nx nx n r210()( ) ( ),01njknnknx zx n edft x nkn令 若要計(jì)算有限角度2/m內(nèi)的n點(diǎn)等間隔頻譜采樣，可取l=mn，作n點(diǎn)dft，只取分析角度內(nèi)的n點(diǎn)等間隔采樣。對曲線，分別計(jì)算很多弧線上的采樣，運(yùn)算量大，效率低。743 chirp-z變換一個(gè)長度為n的序列x(n)，其z變換為為了使z可以沿著z平面更一般的路徑(不只是單位圓)取值，可以沿一段螺旋線對z作等分角取樣，這些取樣點(diǎn)上的zk表示為其中m為所要分析的復(fù)頻譜的點(diǎn)數(shù)，不一定等于n。w和a為任

32、意復(fù)數(shù)，極坐標(biāo)下可表示為得到a0，w0正實(shí)數(shù)75取樣點(diǎn)zk所在的路徑如圖所示(1)a0表示起始取樣點(diǎn)z0的矢量長度，通常a01，否則將處于單位圓|z|=1之外。(2)0表示起始取樣點(diǎn)z0的矢量的相角，它可以是正值或負(fù)值。(3)0表示兩相鄰取樣點(diǎn)矢量之間的角度差。0為正時(shí)，表示zk的路徑沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)；0為負(fù)時(shí)，zk的路徑沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。(4)w0表示螺旋線的伸展率。w01時(shí)，隨著k的增加螺旋線向內(nèi)盤旋；w01時(shí)，則隨k的增加螺旋線向外盤旋；w0=1對應(yīng)于半徑為a0的一段弧線，在a0=1時(shí)這段弧線是單位圓的一部分。76將zk代入z變換公式得到1010()( )( ),01nknknnnknnx zx nawx n a wkm2221() 2nknkkn直接計(jì)算上式，總