必修五不等式的知識點歸納和習(xí)題訓(xùn)練

1、必修五：不等式知識點一：不等式關(guān)系與不等式一、不等式的主要性質(zhì)：(1)對稱性：a . b：= b ： a傳遞性：a b,b c= a c 加法法則：a b= a c b c ；a b, c d= a c b d乘法法則：a b, cac bc ；a b, c ： 0 二 ac : bc a b 0, c d 0= ac bd1 1倒數(shù)法則：a b,ab 0=a b乘方法則：a b 0二an - bn(n N *且n -1)開方法則：a b 0= n a n b (n N *且n 1)【典型例題】Dy?1. 已知a，b為非零實數(shù)，且a<b，則下列命題成立的是()A . a <bB.

2、a b<ab C. 2 2 <02.如杲 a ：- 0,b 0，則下列不等式中正確的是(）1 1 A.B .、-a ：、. b2C. a : ba b3.已知a, b,c, d均為實數(shù)，有下列命題：c dc d（1）若ab>0，bcad>0，則ad>° ；若ab>0，a?0,則bcad>0 ；c d若bc ad>0, ； b>0,則ab>0，其中正確命題的個數(shù)是 （）A . 0 B. 1C. 2 D. 34.設(shè)a、b、c、d R，且a>b, c>d，則下列結(jié)論中正確的是 （）a bA. a + c>b+ d

3、B. a c>b d C. ac>bd D.>d c【習(xí)題訓(xùn)練】1：已知a b, c d，且c、d不為0 ,那么下列不等式成立的是()A. ad bcB. ac bcC. a c b dD. a c b d二、含有絕對值的不等式1 .絕對值的幾何意義：|x|是指數(shù)軸上點x到原點的距離；| X -屜I是指數(shù)軸上X1, X2兩點間的距離2、如果a>0,則不等式：|x|>a <=x > a或 x ca''| x |c a <=> a c x v a|x|啟a<二> xa或x 蘭aL | x a <=> a蘭

4、x蘭a3.當(dāng) c 0 時， | ax b | c = ax b c 或 ax b ： -c ,2 2A .若 a b，貝U ac bcB .若 a b , c d,貝U a c b d1C.若 ab 0 , a b，則一 a3.下列命題中正確命題的個數(shù)是（1< b)D 若 a b,ac ：. d，則一c 若 x y z，貝V xy|yz ， a b,c d , abed = 0,1 1 2若0，則ab : b ；若a b ,a1b -1>a -1C. 34.如果a R，且 a2 a ： 0，那么 a ,_a , a的大小關(guān)系是（5.用“a2 a-a2 卡-aC.-aa2a w -a

5、2.”“：:”號填空：如果a b 0 c ,6.已知a , b , c , d均為實數(shù)，且ab 0 ,A. bc : adB. bc adB.-aa2-a2a那么7.已知實數(shù)a和b均為非負數(shù)，下面表達正確的是（A . a 0 且 b 0C . a _0或 b_08 .已知 -1 ： a b ： 3且2： a - b ： 4 ,蔦）B （刖2 2 2 2A ( 13 17D. a2-J,則下列不等式中成立的是ba bC.c d)0或b 0_0且b _0D .則2a+3b的取值范圍是（C（-鸞）D2 2)(-I,2 2| ax b | ： c = -c : ax b ： c ；當(dāng) c ：0 時，|

6、 ax b | c二 x 三 R , | ax b I： c：= x 三.4、解含有絕對值不等式的主要方法： 解含絕對值的不等式的基本思想是去掉絕對值符號，將其等價轉(zhuǎn)化為一元一次（二次）不等式（組）進行求解； 去掉絕對值的主要方法有：（1 ）公式法：|x|： a （a . 0）= -a ： x ： a，| x| . a （a . 0） x a或 x ： -a .（2 ）定義法：零點分段法；（3）平方法：不等式兩邊都是非負時，兩邊同時平方.【典型例題】1. 給出下列命題： a > b n ac2 > be2 : a > b| n a2 > b2 : a a b n a&g

7、t; b3 :2 2a a bn a >b .其中正確的命題是（）A .B .C .D .2. 設(shè)a, b R，若a-|b|>0，則下列不等式中正確的是 （）A . b a>0B. a3+ b3<0C. a2- b2<0D. b+ a>03.不等式3蘭5-2xc9的解集為（ ）（運用公式法）A. -2,1)4,7)B . (-2,1U(4,7 C . (-2,-1U4,7) D . (-2,1U4,7)4.求解不等式：|2x - 1| ' |2| 4 .(運用零點分段發(fā))5.函數(shù)y = x -4 + x -6的最小值為（）（零點分段法）A . 2 B

8、 .2 C . 4 D . 6【習(xí)題訓(xùn)練】1. 解不等式|x| |x -1| 32. 若不等式|3x+2R2x+a|對xR恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為、其他常見不等式形式總結(jié):分式不等式的解法：先移項通分標準化，則f(x) O：=f(x)g(x) 0;f (x)f(x)g(x) _0g(x) =o 指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式af(x) -ag(x)(a .1)：= f(x) g(x); af(x) -ag(x)(0 :a ："= f(x) :：: g(x) af(x) b(a 0,b0)：= f (x) Ig a lg b 對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式f(x)0f(x)0logaf

9、(x) logag(x)(a .1)：= g(x)0; 嘰 f(x) logag(x)(0 ：a ：1)= g(x)0(f (x) >g(x)(f(x)<g(x)例1 不等式lg(x? -1) cl的解集是.例2.解不等式|g(x -丄)：0.x例3.解關(guān)于x的不等式2x *(a j)x+3>1.x +ax例4.不等式.5 - x > x 1的解集是()(A)x| -4 w x w 1 (B)x|x w -1(C)x|x w 1(D)x | -1 w x w 1四、三角不等式:|a|-|b2|a b|a| |b|五、不等式證明的幾種常用方法比較法（做差法、做商法）、綜合

10、法、分析法、換元法、反證法、放縮法 【典型例題】2 _ 21.若泊-3x -x 1 , =2x x，則()2若x = 2或y = T , M - x2 y4x 2y，、二-5，則劃與、的大小關(guān)系是（）3.若a b 0, m . 0, n .0,則-,-,-一,-一-按由小到大的順序排列為 b a a+m b + n4.若a=且2, b=陀,c=貝U a, b, c按從小到大排列應(yīng)是2355設(shè) a= 2- 5, b= 5 2, c= 5 2 5，貝U a、6下列各式中，對任何實數(shù)x都成立的一個式子是（2A. Ig X 1 - lg2x2B. x 1 2xb、c之間的大小關(guān)系為）1 彳C.1X21

11、7.若a、b是任意實數(shù)，且a b，則（）A. a2 b2B . - : 1aC.Ig a-b > 08.已知 a b 0 , c : d ： 0 , e ： 0 ,求證:e e>acb-d【習(xí)題訓(xùn)練】2 2 2 2 21.不等式a 2 2a，a 'b_2a-b-1，a bab恒成立的個數(shù)是（）A. 0B. 1C. 2D. 32.已知a b 0, b ：0，那么a , b ,-a , -b的大小關(guān)系是（）C. a -b b-aD. a b a b23.若 f x =3x-x 1,2g x=2xx -1，則f x , g x的大小關(guān)系是（B. f xl=g xC. f x g

12、xD .隨x值的變化而變化A. a bbaB. a b a b4.已知a、b R，且a = b，比較a5 b5與a3b2 a2b3的大小.六、數(shù)軸穿跟法：奇穿，偶不穿2 2例題：不等式(x 3x 2)(x_4)M的解為()x +3A1<x< 1 或 x>2B . xv 3 或 1<x< 2C. x=4 或3<x< 1 或 x>2D . x=4 或 x< 3 或 1< x< 2知識點二：一元二次不等式及其解法、一元二次不等式ax2 bx c 0和ax2 bx c : 0(a = 0)及其解法A：>0也=0A <0y =

13、 ax2 + bx + cy = ax2 + bx + c2y = ax + bx + c=a(x xj(x x2)=a(x -X1)(x -X2)二次函數(shù) 1i fy(2 _1Tyry =ax +bx +c /(a=0)的圖象p一兀二次方程有兩相異實根有兩相等實根2ax + bx + c = 0b無實根X1,X2(X1 <X2)一 x?(a a 0 的根2a2ax + bx + c > 0b 1 x X C Xt 或X A X2 fx x -一 ,R(a >0)的解集j2a J2ax +bx+cvOJ iI X Xd C X CX200(a>0)的解集順口溜：在二次項

14、系數(shù)為正的前提下：大于型取兩邊，小于型取中間分式不等式 f(x) 0二 , 分式不等式 丄(° _ 0 = .g(x)g(x)【典型例題】1. 集合 A=x|x2 -5x 4 乞 0, B=x|x2 -5x 6 _0,則 A B 等于()A.x |1 _x _2或 3 _x_4B.x|1_x_ 2 且 3 _ x _ 4C. 1,2,3,4D.x|1x 匕一 4 或 2 乞x 乞32. 設(shè)二次不等式ax2 bx 1 0的解集為x | -1 x 1,則ab的值為()例11不等式|x2 3x|> 4的解集是 .3. 已知函數(shù)科二axD . a= _ 2x 3,若x的取值范圍是全體實

15、數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是()、iiiA. a 0 B.ac.ad.0 a _3 334. 若不等式ax2 bx c 0(a = 0)的解集為',則()A. a : 0,b2 4ac - 0 B.2 2 2a : 0,b 4ac _ 0 C. a 0,b 4ac _ 0 D. a 0,b 4ac ： 05.若關(guān)于實數(shù)x的方程x2 ax a2 -1 =0有一正根和一負根,則實數(shù)a的取值范圍是.例1.已知關(guān)于x的不等式(a+b)x+(2a -3b) <0的解集是一旳，_,求關(guān)于x的不等式 <3丿(a -3b)x (b -2a)0 的解集.例2 :解關(guān)于x的不等式ax2 - 2(a

16、 1) x 4 . 0(a R).例3已知不等式ax2 bx c 0的解集為j ： (0 ：-)，求不等式cx2 bx a 0的 解集.例4.解關(guān)于x的不等式:x2 -(a a2)x a3 01例5不等式1 + x>的解集為1 xA . x|x > 0C. x|x > 1x 3例6與不等式 > 0同解的不等式是2 -xA . (x 3)(2 x) > 0 B. 0 v x 2< 1B.x|x> 1D.x|x> 1 或 x= 02 -X> 0C .-x 3D . (x 3)(2 x) w 01A. av 21C. a=2例8解不等式3x -7

17、x2 2x -3ax例7不等式 v 1的解為x|x v 1或x > 2，則a的值為x T1B . a> 一2例 9已知集合 A = x|x 2 5x + 4< 0與 B = x|x 2 2ax + a+ 2 < 0，若 B A，求 a的范圍.例10 解關(guān)于x的不等式(x 2)(ax 2)> 0 .X 例12解關(guān)于x的不等式： v 1 a(a R).x 1【提高訓(xùn)練】1.設(shè)集合P =m | _1m潮，Q =m w R | mx2+4mx 一4(0對任意實數(shù)x恒成立，則下列關(guān)系中成立的是()A. P - QB. Q - P2.不等式x2 - | x | -2 0(x

18、R)的解集是(A. -2,2B. -：，-22,:C. -1,1D. -,1 、1,=13.若a>0,b>0，則不等式-ab的解集是x11x | x 0或0 x ab1 , , . . 1x | x 0 或 0 x baA.C.B. x| -! x -b aD. x | x -或x 丄 a b4.2 2關(guān)于實數(shù)x的方程x - 2mx - 2m3=0有兩個正根，則實數(shù)m的取值范圍是5.2已知不等式ax -3x 6 4的解集為x|x：1,或x b .(1)求a,b;2解不等式ax 一(ac b)x be ： 0.【習(xí)題訓(xùn)練】1.解下列不等式(1)(x 1)(3 x) v 5 2x;(2

19、)x(x + 11)> 3(x + 1)223 2(3) (2x + 1)(x 3)>3(x2 + 2)(4) 3x - 3x 1 > _ ? x2(5) x2 一 x 1 > x(x 一 1)32 .不等式(x+2) (1 x)>0的解集是A.xC.x| x<2或 x>1 B| 2 <x< 1D23 .設(shè) f(x)=x +bx+1,且 f( 1)=f(3)，則I x< 1或 x > 2.x|1<x<2f(x)>0的解集是()A. (-=, -1) 一(3,：)C.xx= 14.已知集合 M =x|x2 4,

20、N二x I x2- 2x-30,則集合M N等于（A. x | x ： -2B.x | x 3C. x| -1 x 2D.x|2 x 35 .若不等式ax2+x+av 0的解集為，則實數(shù)a的取值范圍（6:設(shè)R,解關(guān)于x的不等式m2x2 2mx - 3 ： 0 .7若0 a ： 1，則不等式xax 0的解是（a1A. a< x< -aC.1B. v x< aax > 1 或 x< a ax< 或x> aa9.不等式(x+5)(3 2x) >6的解集為(9A. x| xW 1 或x一29C. x| x> 1 或 x<2)9B. x| 1

21、WxW 29D.x| WxW 1 210 .設(shè)一元二次不等式 ax2+bx+1>0的解集為xA. 6B. 511WxW ,貝U ab的值是(3C. 6)D. 511.不等式組丿'X2 <22Iog2(x -1) >1的解集為(A. ( 0,(、3 , 4)D . (2, 4)12.設(shè)集合4x -1 _ 9, x 三 R ,貝y An B=(-3, -25】.(-3,-2_.0,亍25、.(-：-廠3) _.廠：-)213.關(guān)于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一負根，則a的取值范圍是 14 .不等式(x-2 ) Jx2 -2x -30的解集為 .知識點三：簡單

22、的線性規(guī)劃1、一元一次不等式與線性規(guī)劃(1)若三0,AxBy0 C 0，則點Px°,y°在直線By0的上方.若m : 0, Ax三y0 C ： 0 ,則點p x0,y0在直線Zx My C = 0的下方.線性約束條件n可行域線性規(guī)劃：*線性目標函數(shù)(截距、斜率、距離) 可行解n最優(yōu)解【典型例題】x + y 1<01.下面給出的四個點中，位于表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是 ()ky+1>0A . (0,2)B. ( 2,0)C . (0, 2)D . (2,0)x> 1 ,2 .已知變量x、y滿足條件Jx yw 0,則x + y的最大值是()K+ 2y 9 w 0,

23、A. 2B. 5 C. 6D. 8x v+1 w 0 y一3.若實數(shù)X、y滿足l>0，則y的取值范圍是（）x>0xA . (0,1)B.(0, 1C . (1 ,+s ) D.1, +m )1,3.已知實數(shù)x,y滿足'yw 2x 1,如果目標函數(shù)z= x y的最小值為1，則實數(shù)m等于（）iX+ yw m,A . 7B . 5C . 4D . 3【提高訓(xùn)練】*1 ,1 .已知變量x、y滿足條件x yw 0,則x + y的最大值是（）/+ 2y 9 w 0，A . 2B. 5 C . 6D . 82 .點P(x, y)在直線4x+ 3y= 0上，且滿足14w x yw 7,則點

24、P到坐標原點距離的取值范圍是( )A . 0,5 B . 0,10 C . 5,10 D . 5,15x+ 2yw 101 2x+ y> 33. 設(shè)D是不等式組表示的平面區(qū)域，則D中的點P(x, y)到直線x+ y = 10距離0 w xw 4y> 1的最大值是.i x y w 35.設(shè)x、y滿足條件 y w x -1，則 = (x 1)2y2的最小值.y > 0【習(xí)題訓(xùn)練】yw 2x,1 .已知實數(shù)x、y滿足iy> 2x,則目標函數(shù)z= x 2y的最小值是 >w 3,x>°,不等式組»>o,表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點（橫坐標和縱坐標都

25、是整數(shù)的點）共有個.4x+ 3y<12x+ y > 2,若實數(shù)x, y滿足不等式組2x- yw 4,則2x+ 3y的最小值是x-y > 0,x _2y滿足約束條件 <2,則z=x+2y 的取值范圍是 （）x + y 32A、2,6 B、2,5C、3,6 D、( 3,5知識點四:基本不等式a、(1)彳 a、b R,a2 b2 _ 2ab b R,a b 一 2 . Oba、ab. 2 . ab W)2,（當(dāng)且僅當(dāng)a二b時成立等號）,2 b2和定，積最大；積定，和最小。一正二定三相等。（特別留意等號成立的條件）擴展：平均不等式：平方平均算術(shù)平均幾何平均調(diào)和平均 （a、b為正

26、數(shù)）,j 口王丄（當(dāng)a = b時取等）2_ 2_ _丄 1a b拐點：(-jk,-2jk)，(jk,2jk)21a b Ax+ Bx + CDxX +、+、 2x b aDxAx+ Bx +C基本不等式1.基本不等式(1) a2 b2 _2ab(a,b R).(a 0,b 0),其中色衛(wèi)和.ab分別叫做正數(shù)a,b的 平均數(shù)和2 2平均數(shù).變式:a2 b2(a,b R)(4) ab 乞(？ b)2(a,b R)2以上各不等式當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.2. 最值問題設(shè)x, y都為正數(shù),則有若x y二s(和為定值),則當(dāng)x二y時,積xy取得最大值:若xy = p(積為定值),則當(dāng)x=y時，和x y取得最小值

27、 .利用基本不等式求最值應(yīng)注意：x,y 一定要都是正數(shù)；求積xy最大值時,應(yīng)看和x+y 是否為定值；求和x+y最小值時,看積xy是否為定值；等號是否能夠成立.題型一：求值域技巧一：湊項54例1 :已知x ，求函數(shù) y =4x-2 的最大值。44x5技巧二：湊系數(shù)例1.當(dāng)L時，求y = x(8 -2X)的最大值。技巧三：分離x? + 7 x +10例3.求y = （x -1）的值域。X+1題型二：條件求值1.若實數(shù)滿足a 2，則3a - 3b的最小值是192 :已知x . 0, y 0，且1，求x y的最小值。x y23.已知x, y為正實數(shù)，且x 2 +芻=1,求x 1 + y 2的最大值.4

28、.已知x, y為正實數(shù)，3x+ 2y = 10,求函數(shù) W 3x + 2y的最值.【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1.下列結(jié)論正確的是1A .當(dāng) x 0 且 x=1 時，lg x 一 2 lgxB.當(dāng)x - 0時,1C.當(dāng)x_2時，x 的最小值為2x 1 12.已知a> 0, b> 0, a + b= 1,則？+ b的取值范圍是D.0 . 2 時，A . (2 ,+ )B. 2 , +8 ) C. (4,D . 4 ,+ )A. (5,10)B. (6,6) C. (10,5)D . (7,2)112 28若 Ovacb，且 a+b =,則一，a , 2ab, a +b 中最大的是229. 設(shè)函數(shù) -

29、 I '則.'（）XA.有最大值B.有最小值C.是增函數(shù)D.是減函數(shù)10. 函數(shù)-. I - - 111的值域為（）XA. B. （：；：, 2:C. :- 2,2:D. （：, 2 2廠二、11. 已知不等式（x + y）+a >9對任意正實數(shù)X, y恒成立，則正實數(shù) a的最小值lxy丿12. 不等式1的最大值是y=gx） （Ocxcg4 111(A) 243 (B)藥(C) 64(D) 72【提高訓(xùn)練】21.已知x, y R；x-2y3z=o，則丄的最小值 .xz2已知點（記< ）在直線- : 上,其中.,則一止+上-（）A.有最大值為2 B.有最小值為2C.有最大值為1D.有最小值為13.已知非負實數(shù)、:滿足.：亠亍_，則：怎+?的最大值是（）A. .H B. _ C.5 D.1O4 設(shè):.i . 口 2!，則（）A.才-有最大值8有最小值8 C.,有最大值8 D.