函數(shù)的連續(xù)性67970PPT課件

1、2.連續(xù)的定義定義定義 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,如如果當(dāng)自變量的增量果當(dāng)自變量的增量x 趨向于零時(shí)趨向于零時(shí), ,對(duì)應(yīng)的函對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量數(shù)的增量y 也趨向于零也趨向于零, ,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x連續(xù)連續(xù), ,0 x稱為稱為)(xf的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn). .,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是第1頁(yè)/共26頁(yè)定義定義 2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,如果如果函

2、數(shù)函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)的極限存在時(shí)的極限存在, ,且等于它在且等于它在點(diǎn)點(diǎn)0 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x連續(xù)連續(xù). .:定義定義 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)?shù)?頁(yè)/共26頁(yè)例1.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又),0()(lim0fxfx 由定義2知.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf第3頁(yè)/共26頁(yè)3.單側(cè)連續(xù);)(),()0(,()(0000處左

3、連續(xù)處左連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf .)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfbxxf 定理.)()(00處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù)在在是函數(shù)是函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)xxfxxf第4頁(yè)/共26頁(yè)例2.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故

4、函數(shù) xxf第5頁(yè)/共26頁(yè)4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,)(,),(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間函數(shù)函數(shù)則稱則稱處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點(diǎn)在右端點(diǎn)處右連續(xù)處右連續(xù)并且在左端點(diǎn)并且在左端點(diǎn)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,.),(內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)的有理整函數(shù)在區(qū)間有理整函數(shù)在區(qū)間第6頁(yè)/共26頁(yè)例3.),(sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間函數(shù)函數(shù)證明證明 xy證),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2c

5、os( xx.2sin2xy 則則,0,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對(duì)任意的對(duì)任意的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).),(sin都是連續(xù)的都是連續(xù)的對(duì)任意對(duì)任意函數(shù)函數(shù)即即 xxy第7頁(yè)/共26頁(yè)例4 證明 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在),( xay證只須證明，有，有對(duì)對(duì)),(0 x00limxxxxaa limlim0000 xxxxxaay 1lim00 xxxaa )1(lim00 xxxaa 0 處連續(xù)處連續(xù)在在故故),(0 xayx第8頁(yè)/共26頁(yè)二、函數(shù)的間斷點(diǎn):)(0條件條件處連續(xù)必須滿足的三個(gè)處連續(xù)必須滿足的三個(gè)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)xx

6、f;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點(diǎn)或間斷點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)為為并稱點(diǎn)并稱點(diǎn)或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)則稱則稱要有一個(gè)不滿足要有一個(gè)不滿足如果上述三個(gè)條件中只如果上述三個(gè)條件中只xfxxxf第9頁(yè)/共26頁(yè)1.跳躍間斷點(diǎn).)(),0()0(,)(0000的跳躍間斷點(diǎn)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)但但存在存在右極限都右極限都處左處左在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxfxfxxf 例5.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解, 0)00( f, 1)00( f

7、),00()00( ff.0為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn) xoxy第10頁(yè)/共26頁(yè)2.可去間斷點(diǎn).)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)義則稱點(diǎn)義則稱點(diǎn)處無(wú)定處無(wú)定在點(diǎn)在點(diǎn)或或但但處的極限存在處的極限存在在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例6.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 第11頁(yè)/共26頁(yè)解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為為函函數(shù)數(shù)的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x注意 可去間斷點(diǎn)只要

8、改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).第12頁(yè)/共26頁(yè)如例6中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxfoxy112跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn).0處的左、右極限都存在處的左、右極限都存在函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn) x第13頁(yè)/共26頁(yè)3.第二類間斷點(diǎn).)(,)(00的第二類間斷點(diǎn)的第二類間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)在在右極限至少有一個(gè)不存右極限至少有一個(gè)不存處的左、處的左、在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxf例7.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解, 0)00( f,)00( f.1為

9、函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn) x.斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱為無(wú)窮間這種情況稱為無(wú)窮間oxy第14頁(yè)/共26頁(yè)例8.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解,0處沒(méi)有定義處沒(méi)有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn) x.斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱為的振蕩間這種情況稱為的振蕩間xy1sin 注意 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).第15頁(yè)/共26頁(yè)狄利克雷函數(shù) , 0, 1)(是無(wú)理數(shù)時(shí)是無(wú)理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn). ,)(是無(wú)理數(shù)時(shí)是無(wú)理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理

10、數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxf僅在x=0處連續(xù), 其余各點(diǎn)處處間斷.第16頁(yè)/共26頁(yè) , 1, 1)(是無(wú)理數(shù)時(shí)是無(wú)理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxf在定義域 R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷, 但其絕對(duì)值處處連續(xù).判斷下列間斷點(diǎn)類型:o1x2x3xyx xfy 第17頁(yè)/共26頁(yè)例9.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時(shí)取何值時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解,)0(af xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ),0()00()00(fff 要使要使, 1 a,1時(shí)時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf第

11、18頁(yè)/共26頁(yè)例10 討論的連續(xù)性的連續(xù)性xxxxfnnn 2211lim)(若有間斷點(diǎn)判別其類型，并作出圖形解)1|(|0lim qqnn由于由于則則若若故故1| xnnnxxxxf2211lim)( x 則則若若1| xnnnxxxxf2211lim)( 1)1(1)1(lim22 nnnxxxx 則則若若1| x0)( xf第19頁(yè)/共26頁(yè) 1|1|01|)(xxxxxxf外連續(xù)外連續(xù)除去除去1)( xxf時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1 x1)01(, 1)01( ff1)01(, 1)01( ff躍間斷點(diǎn)）躍間斷點(diǎn)）都是第一類間斷點(diǎn)（跳都是第一類間斷點(diǎn)（跳1 x第20頁(yè)/共26頁(yè)三、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);3.間斷點(diǎn)的分類與判別;間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.第二類間斷點(diǎn):無(wú)窮型,振蕩型.(見(jiàn)下圖)第21頁(yè)/共26頁(yè)第一類間斷點(diǎn)oyx0 x可去型oyx0 x跳躍型第二類間斷點(diǎn)oyx0 x無(wú)窮型oyx振蕩型第22頁(yè)/共26頁(yè)思考題 若若)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，則則| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)(xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？ 第23頁(yè)/共26頁(yè)思考題解答)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)， )()(lim00 xfxfxx )()