函數(shù)的極限01739PPT課件

1、:數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的定義:limaxnn,).01 , )().2正正整整數(shù)數(shù)N ,).3時時當當Nn .).4成成立立 axn:數(shù)極限定義數(shù)極限定義修改數(shù)列極限定義為函修改數(shù)列極限定義為函, )(nfnxn的函數(shù)的函數(shù)看成是看成是把數(shù)列的通項把數(shù)列的通項:limaxnn)(xfx,).01 , )().2正整數(shù)正整數(shù)N ,).3時時當當Nn .).4成成立立 axn)(xf)(正實數(shù)正實數(shù)XXx nxX.)(axf無限接近于常數(shù)無限接近于常數(shù)一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第1頁/共24頁:)(limaxfx,0. )1 ,0. )2 X,. )3時時當

2、當Xx .)(. )4成立成立 axf:時時沿實軸趨于沿實軸趨于當自變量當自變量 xxXX:時時趨于趨于當自變量當自變量 x:)(limaxfx,0. )1 ,0. )2 X,. )3時時當當Xx .)(. )4成立成立 axfoX()Xxxx)235(定義定義P第2頁/共24頁XX a aoxy)(xfy a幾何解釋幾何解釋:直線直線 y = a 為曲線為曲線)(xfy 的水平漸近線的水平漸近線:)(limaxfx,0. )1 ,0. )2 X,. )3時時當當Xx .)(. )4成立成立 axfx極限存在極限存在函數(shù)在函數(shù)在 | x | X 上有界上有界.這表明這表明: 第3頁/共24頁,

3、. )01 ,. )02 X,. )3時時當當Xx .)(. )4成立成立 axf.01lim.1 xx證明證明例例)(重要結(jié)論重要結(jié)論,|1.x 證證01 x,0 ,|1 x設(shè)設(shè),1| x則則,1 X取取,|時時則當則當Xx .成立成立 01 x.01lim xx.)(lim)(lim)(lim.1axfxfaxfxxx 定理定理:,1得得根據(jù)定理根據(jù)定理,lim01xx.lim086xx第4頁/共24頁:. )10 xx 從右側(cè)趨于從右側(cè)趨于)0:(00 xxxx或或記號記號:)(limaxfxx000 x0 xx) 0 x,. )01 . )2. )3.)(. )4成立成立 axf,0

4、,00時時當當 xxxx:. )20 xx 從左側(cè)趨于從左側(cè)趨于)0:(00 xxxx或或記號記號:)(limaxfxx00,. )01 . )3.)(. )成立 axf40 x0 xx 0 x(x. )2,00時時當當xxx .)(axf無限接近于常數(shù)無限接近于常數(shù),0 .)(axf無限接近于常數(shù)無限接近于常數(shù)二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限第5頁/共24頁:. )30 xx 趨于趨于)(0 xx :)(limaxfxx0,. )01 . )2. )3.)(. )4成立成立 axf0 x0 xxx) 0 x 0 x(,|00時時當當 xxxx,0 .)(axf

5、無限接近于常數(shù)無限接近于常數(shù):特特別別注注意意.,)30 xx 中中!)(lim. )10限限是最重要的一種函數(shù)極是最重要的一種函數(shù)極axfxx , )0()(lim. )2000 xfxfxx還記為還記為左極限左極限:注意注意. )0()(lim000 xfxfxx又記為又記為右極限右極限:又記為又記為)(,)(0 xxaxf)132(定定義義P第6頁/共24頁幾何解釋幾何解釋:0 x0 x a aAx0 xy)(xfy 極限存在極限存在函數(shù)局部有界函數(shù)局部有界(P36定理定理2)這表明這表明: xx.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線在以直線在以直線圖形完全落圖形

6、完全落函數(shù)函數(shù)鄰域時鄰域時的去心的去心在在當當 ayxfyxx .,越越小小越越好好后后找找到到一一個個顯顯然然 注意注意：;)(. 10是是否否有有定定義義無無關(guān)關(guān)在在點點函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf. 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) 第7頁/共24頁例例2. 證明)(lim0為常數(shù)CCCxx證證:Axf)(CC 0故,0對任意的,0當00 xx時 , 0CC因此CCxx0lim總有第8頁/共24頁例例3. 211lim21 xxx證明證明證證211)(2 xxAxf, 0 任給任給, 只只要要取取,00時時當當 xx函數(shù)在點函數(shù)在點x=1處沒有定義處沒有定義. .1 x,)( A

7、xf要要使使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx的范圍的范圍要估計要估計|1| x第9頁/共24頁.,)(lim10必唯一必唯一如果存在如果存在定理定理xfxx)( 36P)(.略略反證法反證法證明證明)36()(2P局部有界性局部有界性定理定理,)(lim0 和和那么存在正常數(shù)那么存在正常數(shù)如果如果Maxfxx .)(,00成立成立有有時時當當Mxfxx ,)(lim0axfxx 由由證證,0,1 對于對于,00時時當當 xx,1)(成立成立 axfaaxfxf )()(,a 1.1aM 取取.證畢證畢.)(兩個不同的數(shù)無限接近兩個不同的數(shù)無限接近不能同時向不能同時向函數(shù)函數(shù)

8、xf0 x0 x a aax0 xy)(xfy xx.,)(lim:axfx 對于對于注注MxfXx | )(|,|有有時時當當三、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限的性質(zhì)第10頁/共24頁)37()(3P局部保號性局部保號性定理定理,0)(lim0 Axfxx如果如果,0 那么存在常數(shù)那么存在常數(shù).0)(,00 xfxx有有時時當當 0 0 ,0)(lim0 Axfxx設(shè)設(shè)證證,02 A 對于對于,0,00時時當當 xx,)(成立成立 Axf Axf)(.02 A0 x0 xAAAx0 xy)(xfy .,)(lim:axfx 對于對于注注.)(,|同號同號與與有有時時當當axfXx )(逆逆否否定

9、定理理推推論論,0)()(0 xfxU內(nèi)內(nèi)如果在如果在,)(lim0Axfxx 而且而且.0 A那么那么0 0 第11頁/共24頁:定理定理保號性保號性.),(,0)(0)(lim00時成立時成立當當 xUxxfxfxx .|,0)(0)(lim時成立時成立當當Xxxfxfx .,00lim時成立時成立當當Nnxxnnn 000000:逆否定理逆否定理.)(lim,0)(lim0)(00存在存在如果如果xfxfxfxxxx .)(lim,0)(lim0)(存在存在如果如果xfxfxfxx .lim,0lim0存在存在如果如果nnnnnxxx , 不能改成不能改成逆否定理中的逆否定理中的.0li

10、m,02 nnnnxx但但例如數(shù)列通項例如數(shù)列通項000000第12頁/共24頁例例4:設(shè)設(shè)f (x) 在在 點某鄰域內(nèi)有定義點某鄰域內(nèi)有定義, 且且 0 x,1)()()(lim2000 xxxfxfxx必存在某鄰域必存在某鄰域 使使,),(0 x),()()(0 xfxfA ),()()(0 xfxfB ),()()(0 xfxfC ).()()(0 xfxfD 解解: 令令,)()()()(200 xxxfxfxF 有有01)(lim0 xFxx由保號定定理得由保號定定理得,必存在某鄰域必存在某鄰域 使使F (x) 0,),(0 x且且 ,0)(20 xx,0)()(0 xfxf即即 )

11、,()(0 xfxf 正確答案為正確答案為 ( C ). 第13頁/共24頁, ,)(lim400的數(shù)列的數(shù)列為任一收斂于為任一收斂于如果如果定理定理xxaxfnxx .)(limaxfnn 則則,4321xxxx),(),(),(),(4321xfxfxfxf0 xa.sinlim:不存在不存在證明證明例題例題xx, nnxnx則則令令證證 .sinlim0 nnx,22 nnyny則則再令再令 .sinlim1 nny.sinlim不存在不存在xx第14頁/共24頁.5定理定理那么那么有定義有定義是初等函數(shù)是初等函數(shù)若若,)(,)(0 xfxfy . )()(lim00 xfxfxx)(

12、現(xiàn)在不證現(xiàn)在不證2342lim.5221 xxxx例例2)1(34)1()1(222 .53 6523lim.6222 xxxxx例例)0,0,2(分子也為分子也為分母為分母為代入代入以以 x)3)(2()1)(2(lim2 xxxxx)0)2( ,2,2(因子因子為非為非但但 xxx312xxxlim.1 |0:0 xx定義中第三句定義中第三句極限的求法極限的求法第15頁/共24頁 1211lim.721xxx例例)(,1,)1(xfxf化簡化簡程中程中極限過極限過無定義無定義 )(lim11211xxxx)(lim1111xxxx)10( x因子因子約去非約去非111xxlim.21)2c

13、os2(lnlim.86xx 例例32 cosln.0 )( 111x第16頁/共24頁145lim.91 xxxx例例xxxxxxxx45145451limxxxxxx451451)(lim)1(0( x因子因子約去非約去非xxx 454lim11454 .2 第17頁/共24頁.)(lim)(lim)(lim.6000axfxfaxfxxxxxx 定理定理 001)(.102xxxxxf例例. )(lim0 xfx討論討論為分為分分段函數(shù)不是初等函數(shù)分段函數(shù)不是初等函數(shù)此為分段函數(shù)此為分段函數(shù)分析分析0.)( ,: x.,0,必須分別討論必須分別討論一樣一樣之左右兩側(cè)定義方式不之左右兩側(cè)定

14、義方式不界點界點 x:. 左極限左極限解解)(lim)(xffx000)(lim10 xx,1:右極限右極限)(lim)(xffx00020 xx lim.0.)(lim,0不存在不存在所以所以左右極限不相等左右極限不相等xfx第18頁/共24頁:函數(shù)極限的定義函數(shù)極限的定義, )(limxfxx0, )(limxfxx00, )(limxfxx00, )(limxfx, )(limxfx. )(limxfx:的六種趨限方式的六種趨限方式它們分別對應于自變量它們分別對應于自變量,0 xx ,00 xx,00 xx,x,x.x內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)第19頁/共24頁:相關(guān)定理相關(guān)定理.)(lim)(lim)(lim. )axfxfaxfxxx 1.)()()(lim. )axfxfaxfxx 002000.,)(lim. )30必唯一必唯一如果存在如果存在xfxx:).4局部有界性局部有界性.)()(limMxfaxfxx 0:).5局部保號性局部保號性.)()(lim000 xfaxfxx)(0 xUx 0 0 第20頁/共24頁那么那么有定義有定義是初等函數(shù)是初等函數(shù)若若,)(,)(. )80 xfxfy . )()(lim00 xfxfxx) .( 極限計算舉例極限計算舉例.01lim xx重要結(jié)論重要結(jié)論0;)(lim)