函數(shù)的連續(xù)性和連續(xù)函數(shù)PPT課件

1、1定定義義 1 設設函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點點 0 x的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，如如果果 例1 證明函數(shù)yx2在給定點x0處連續(xù)。 證 在x0處，函數(shù)的改變量為所以 y x2 在給定點x0處連續(xù)。，因因為為0)(2limlim2000 xxxyxx2 2、函數(shù)在一點處連續(xù)的定義、函數(shù)在一點處連續(xù)的定義那那么么就就稱稱函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點點 0 x連連續(xù)續(xù)。 0)()(limlim0000 xfxxfyxx2020)(xxxy ,)(220 xxx 第1頁/共32頁2,0 xxx 記記),()(0 xfxfy ,00 xxx 等價于等價于.0 )()(0 yxfxf等等價價于

2、于下面給出函數(shù)連續(xù)的定義的另一種等價形式。 0)()(limlim0000 xfxxfyxx定定義義 2 設設函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點點 0 x的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，如如果果 那那么么就就稱稱函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點點0 x連連續(xù)續(xù)。 ，)()(lim00 xfxfxx 第2頁/共32頁3說說明明：)(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù)要要滿滿足足三三條條： （3 3）函函數(shù)數(shù)值值與與極極限限值值相相等等. . （1 1）)(xf在在0 x處處有有定定義義, ,即即)(0 xf存存在在； （2 2）極極限限)(lim0 xfxx存存在在； )()(lim00 xfxfxx .0,

3、0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf例2證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在所所以以函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 第3頁/共32頁4;)(),()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點在點則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf 定理.)()(00既左連續(xù)又右連續(xù)既左連續(xù)又右連續(xù)處處在在是函數(shù)是函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點在點則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfbxxf 3. 3.

4、單側連單側連續(xù)續(xù)第4頁/共32頁5例3.00,10 ,0 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxf解)1(lim)(lim00 xxfxx1 ),0(f )1(lim)(lim00 xxfxx1 ),0(f 即不右連續(xù)也不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點故函數(shù)故函數(shù) xxfx y-1 1 O第5頁/共32頁6.0, 0, 0,cos)(, 處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時取何值時當當 xxxaxxxfa例4解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,

5、1時時故當且僅當故當且僅當 a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a第6頁/共32頁7若若)(xf在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)每一點處連續(xù)內(nèi)每一點處連續(xù), ,則稱則稱)(xf在在),(ba內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). . 如如果果)(xf在在整整個個定定義義域域上上連連續(xù)續(xù), ,則則稱稱之之為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù). . 二、連續(xù)函數(shù)二、連續(xù)函數(shù)若若)(xf在在),(ba上上連連續(xù)續(xù), ,且且在在ax 處處右右連連續(xù)續(xù), ,在在bx 處處左左連連續(xù)續(xù), ,則則稱稱)(xf在在 ba,上上連連續(xù)續(xù). . 第7頁/共32頁8例5.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證),( x任取

6、任取xxxysin)sin( , )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則, 對任意的對任意的,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時時當當.),(sin都都是是連連續(xù)續(xù)的的對對任任意意函函數(shù)數(shù)即即 xxy第8頁/共32頁9三、連續(xù)函數(shù)的運算和初等函數(shù)的連續(xù)性三、連續(xù)函數(shù)的運算和初等函數(shù)的連續(xù)性 定理1,)(),(0處連續(xù)處連續(xù)在點在點若函數(shù)若函數(shù)xxgxf例如,),(cos,sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)故故xxxx1、連續(xù)函數(shù)的四則運算法則三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).)0)()(

7、)(),()(),()(0 xgxgxfxgxfxgxf則則.0處處也也連連續(xù)續(xù)在在點點x第9頁/共32頁10定理2 嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,2,2sin上上單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)在在 xy. 1 , 1arcsin上也是單調(diào)增加且連續(xù)上也是單調(diào)增加且連續(xù)在在故故 xy;1 , 1arccos上上單單調(diào)調(diào)減減少少且且連連續(xù)續(xù)在在同同理理 xy.,cotarc,arctan上單調(diào)且連續(xù)上單調(diào)且連續(xù)在在 xyxy反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).2、反函數(shù)的連續(xù)性、反函數(shù)的連續(xù)性第10頁/共32頁11且且連續(xù)連續(xù)在點在點設函數(shù)設函數(shù),0)(xxxu 定理33、復合函數(shù)的

8、連續(xù)性、復合函數(shù)的連續(xù)性,)(,)(000連續(xù)連續(xù)在點在點而函數(shù)而函數(shù)uuufyux .)(0也連續(xù)也連續(xù)在點在點則復合函數(shù)則復合函數(shù)xxxfy 極限運算與函數(shù)運算可以交換)()(lim00ufxfxx ).(lim0 xfxx 第11頁/共32頁124、初等函數(shù)的連續(xù)性、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.)1, 0( aaayx指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù);),(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)在在 )1, 0(log aaxya對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù);), 0(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在 xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 ,不同值不同值討論討

9、論 均在其定義域內(nèi)連續(xù).第12頁/共32頁13所有基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.也就是說，對初等函數(shù)來說，連續(xù)區(qū)間即為其定義域。第13頁/共32頁14 利用函數(shù)的連續(xù)性可以計算一些極限利用函數(shù)的連續(xù)性可以計算一些極限. . 初等函數(shù)求極限的方法：代入法.例6.1esinlim1 xx求求1esin1 原原式式.1esin 例7.11lim20 xxx 求求解解11lim20 xxx原式原式20 .0 )()()(lim000定義區(qū)間定義區(qū)間 xxfxfxx第14頁/共32頁15例8.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原

10、式原式)1(limln10 xxx eln 解) 0()1ln( xxx)()(lim00ufxfxx ).(lim0 xfxx 處連續(xù)處連續(xù)在在eln uuy極限運算與函數(shù)運算可以交換第15頁/共32頁16例9.1elim0 xxx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式解,1eyx 令令),1ln(yx 則則. 0,0yx時時當當yyy10)1ln(1lim 類似可得.ln1lim0axaxx ) 0(1e xxx) 0(ln1 xaxax第16頁/共32頁17例10.(1)1(lim0）為非零實常數(shù)為非零實常數(shù)求求 xxx xxxxx)1ln()1ln(1)1(lim0 原式原式

11、解,1)1(yx 令令, )1ln()1ln(yx 則則. 0,0yx時時當當)1ln(lim0yyy .111xnxn 前面已證. xx 1)1 ( xxxxxx)1ln(lim)1ln(1)1(lim00 ) 0( x)0(x第17頁/共32頁18,0時時當當x,sinxx,)1ln(xx ,tanxx,1exx ，221cos1xx ,arcsinxx,arctanxx常用等價無窮小常用等價無窮小: :,ln1axax ,ln)1 (logaxxa xx 1)1 ( 第18頁/共32頁19等價代換原理：等價代換原理：.limlim,lim, 則則存在存在且且設設證 lim)lim( li

12、mlimlim.lim 只有在乘、除的極限運算中才能替換；注意在加、減的極限運算中不能替換！第19頁/共32頁20例11.cos12tanlim20 xxx 求求解.22tan,21cos1,02xxxxx 時時當當2202/1)2(limxxx 原式原式.8 第20頁/共32頁21例12.2sinsintanlim30 xxxx 求求解.sin,tan,0 xxxxx時時當當 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解,0時時當當 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 錯 第21頁/共32頁22例13.3sin1

13、cos5tanlim0 xxxx 求求解xxxxxx3sincos1lim3sin5tanlim00 原式原式.35 xxxxxx321lim35lim200 第22頁/共32頁23例14解.1111lim30 xxx求求231lim0 xxx 原式原式.32 .)cos1cos(1lim40 xxx 求求例15解420)cos1(21limxxx 原式原式4220)21(21limxxx .81 .111xnxn ，221cos1xx 第23頁/共32頁24定理1(有界性與最大值最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且能取得最大值和最小值.abxyo)(xfy ).()(),()(

14、,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得則則若若1 2 1、有界性與最大值最小值定理四、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)四、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)記作,)(max)(,1xffbax .)(min)(,2xffbax 第24頁/共32頁25xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點, 定理不一定成立.第25頁/共32頁262、介值定理與零點定理、介值定理與零點定理定理定理 2(2(介值定理介值定理) ) 設函數(shù)設函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba, 上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值

15、 Aaf )( 及及 Bbf )(, , 那末，對于那末，對于 A 與與 B 之間的任意一個數(shù)之間的任意一個數(shù) C，在開區(qū)間，在開區(qū)間 ba,內(nèi)至少有一點內(nèi)至少有一點 ，使得，使得Cf )( )(ba . . 推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值 .第26頁/共32頁27幾何解釋:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy .)(至少有一個交點至少有一個交點直線直線與水平與水平連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧Cyxfy 第27頁/共32頁28定理定理 3 3( (零點定理零點定理) ) 設函數(shù)設函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba, 上連續(xù)，且上連續(xù)，且)(af與與)(

16、bf異號異號( (即即0)()( bfaf),),那末在開區(qū)間那末在開區(qū)間 ba,內(nèi)至少有函數(shù)內(nèi)至少有函數(shù))(xf的一個零的一個零點點, ,即至少有一點即至少有一點 )(ba ，使，使0)( f. . .)(, 0)(000的的零零點點稱稱為為函函數(shù)數(shù)則則使使如如果果xfxxfx .),(0)(內(nèi)至少存在一個實根內(nèi)至少存在一個實根在在即方程即方程baxf ab3 2 1 幾何解釋:.,)(軸軸至至少少有有一一個個交交點點線線弧弧與與則則曲曲軸軸的的不不同同側側端端點點位位于于的的兩兩個個連連續(xù)續(xù)曲曲線線弧弧xxxfy xyo)(xfy 定義第28頁/共32頁29例16證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上上連連續(xù)續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內(nèi)至少有一個根內(nèi)至少有一個根在在方程方程