函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明PPT課件

1、函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明在定義域上是減函數(shù)。：證明：函數(shù)例xxf-)(1是減函數(shù)。在（即則且，任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)是設(shè)，的定義域?yàn)樽C明：),0 x-x)f).f(x)f(x,0)(-)(0,0-)(-(-x)x(-x-)(x-)(,0-,0,0-)(121221212121212121211212212121xfxfxxxxxxxxxxxxxxxfxfxxxxxxxxf第1頁/共34頁用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟:(1). 設(shè)x1x2, 并是某個(gè)區(qū)間上任意二值;(2). 作差 f(x1)f(x2) ;(3). 判斷 f(x1)f(x2) 的符號:(4). 作結(jié)論. 分解因式, 得出因式(x1x2

2、 配成非負(fù)實(shí)數(shù)和。方法小結(jié)有理化。 第2頁/共34頁例2：證明函數(shù)f(x)= x3在R上是增函數(shù). 證明：設(shè)x1,x2是R上任意兩個(gè) 實(shí)數(shù)， 且x1x2,則 f(x1)-f(x2)=x13-x23 =(x1-x2)(x12+x1x2 +x22 ) = (x1-x2)(x1+ x2) 2 + x22 因?yàn)?x1x2 ，則 x1-x2 0 所以 f(x1)-f(x2)0 即 f(x1)0）在x0上的單調(diào)性xk解：對于x2x10,f(x2)-f(x1)=x2-x1+1xk2xk-=1212xxxx (x1x2-k)因1212xxxx 0X12-k x1x2-k x22-k故x22-k0即x2時(shí)，f(

3、x2)f(x1)總之，f(x)的增區(qū)間是 ，減區(qū)間是,kk, 0k第5頁/共34頁用定義求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:(1). 設(shè)x1x2, 并是定義域上任意二值;(2). 作差 f(x1)f(x2) ;方法小結(jié) ）下結(jié)論（的符號。）的符號，從而得出區(qū)間，討論各個(gè)區(qū)間）根把定義域分成若干（的根求（）令既提取因式6)f(-(50,(4) )(x-()(-)(,-31221121212xxfxxxxxfxfxx第6頁/共34頁- - - -| -)(52單調(diào)遞減區(qū)間是：函數(shù)例xxxf點(diǎn)評：單調(diào)區(qū)間的求法1、定義法2、圖像法的單調(diào)遞減區(qū)間。求函數(shù)練習(xí)34.2xxy第7頁/共34頁點(diǎn)評 1、定義法 2、圖像法

4、第8頁/共34頁含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的判斷上的單調(diào)性。在：試討論函數(shù)例) 1 , 1(-)0(1-)(62xaxaxxf)1)(1()1)()1)(1(11)()(11-,2221211221222112212222112121xxxxxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxxfxfxxxx則且解：任取第9頁/共34頁）上是增函數(shù)。在（函數(shù)時(shí)當(dāng)）上為減函數(shù)在（函數(shù)（時(shí)，當(dāng)1 , 1-)(0)(- )(01 , 1-)(0)(- )00) 1-)(1-( , 01, 0-1121212221211221xfxfxfaxfxfxfaxxxxxxxx第10頁/共34頁抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷上的增函數(shù)。

5、是求證：并且當(dāng)都有對任意的：函數(shù)例RxfxfxbfafbafRbaxf)(1)(, 0, 1)()()(,)(7第11頁/共34頁調(diào)性。的值并判斷該函數(shù)的單求的值）求（且有時(shí)當(dāng)滿足對任意的上的函數(shù)：定義在例) 1()2()0(12) 1 (, 1)(0),()()(,),(8fffxfxbfafbafRbaxfyR第12頁/共34頁)(1)()0(,21) 1(),1() 1 () 11 ()0(1, 121)0()0() 1 ()01 (1, 01xfxfxfxffxbxafffffbaffffab（則令則則）令（則）解：令（第13頁/共34頁上的增函數(shù)。是則設(shè)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有當(dāng)Rxfxxfxf

6、xxfxfxfxxfxfxfxxxfRxxfxfx)(1)-()()-()()()x-()()(0)(1)(-01)(0121211211221第14頁/共34頁小結(jié)：同增異減。研究函數(shù)的單調(diào)性，首先考慮函數(shù)的定義域，要注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的某個(gè)區(qū)間。三.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的單調(diào)性。的單調(diào)性，從而得出與的單調(diào)性，必須考慮對于復(fù)合函數(shù))()()()(xgfyxguufyxgfy)(xgu )(xfy)(xgfy 增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)第15頁/共34頁2212,3ux 又在上是減函數(shù)。2432,3yxx 在上是減函數(shù)。2432,3 。yxx

7、故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為小結(jié):在求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)必須注意單調(diào)區(qū)間是定義域的某個(gè)區(qū)間。？）的單調(diào)遞增區(qū)間是什么問：函數(shù)34(2xxy的單調(diào)遞減區(qū)間。求函數(shù)例34. 92xxy，即解：03403422xxxx。，即函數(shù)的定義域?yàn)?3 , 131x，故令uyxxu342增函數(shù)。是定義域內(nèi)是的單調(diào)遞uy 第16頁/共34頁分段函數(shù)的單調(diào)性例10：已知函數(shù) ， ，1)(bxxfaxxaxxxg,)(2Rba,（1）當(dāng)a=0,b=2時(shí)，求f(g(x)和g(f(x)的解析式，并判斷哪一個(gè)函數(shù)在其定義域上單調(diào)。（2）當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí)，f(g(x)在定義域上單調(diào)。第17頁/共34頁是。上是增函數(shù)，在時(shí)，解

8、：當(dāng))(R)(21, 1-221,) 1-2()(0, 1-20, 1-2)(0,0,)(1-2)(2, 0222xfggxfxxxxxfgxxxxxgfxxxxxgxxfba第18頁/共34頁單調(diào)遞增滿足（則使遞增在單調(diào)遞增，在時(shí)，）（時(shí)不單調(diào)；）顯然（、)(,01-)-1-0201, 1, 1)(222xgfbxyabxybbaxbxaxbxxgf10,0,101-1-0)()-10(21011022aabaababaaxgfabxybaababaa或綜上或遞減滿足則使遞減，在時(shí)，）或第19頁/共34頁點(diǎn)評 分段函數(shù)的單調(diào)性，首先判斷各段函數(shù)的單調(diào)性，若 每段函數(shù)的單調(diào)性一致，再判斷分界點(diǎn)

9、處函數(shù)值的大小關(guān)系，符合單調(diào)性的定義，則在整個(gè)定義域上是單調(diào)函數(shù)。第20頁/共34頁函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用 1、比較數(shù)（式）的大小 2、解函數(shù)不等式 3求參數(shù)的取值范圍 4、求函數(shù)值域（最值）第21頁/共34頁題型一、比較大小：例1：函數(shù)f(x)在(0,+ )上是減函數(shù),求f(a2-a+1) 與f( )的大小。43解：因?yàn)閒(x)在(0,+ )是減函數(shù)因?yàn)閍2-a+1=(a- )2+ 0434321所以f(a2-a+1) f( )43第22頁/共34頁 解（1）1（2）2/3,1/2 (3) 1 (4)當(dāng)a0時(shí)，b0或當(dāng)a0時(shí)，b0 (5)當(dāng)a0時(shí)，最大值為3-4a最小值為-1 當(dāng)0a2時(shí)，最大值

10、為-1，最小值為3-4a第23頁/共34頁.),3() 12(,9 , 9)(的范圍求且滿足上的增函數(shù)是定義在練習(xí)：已知xxfxfxf題型二、解不等式：例2：解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在定義域上是增函數(shù)9399129312xxxx54|xx54x第24頁/共34頁( )f x(0,)( )( )( ),(2)1xff xf yfy(1)已知函數(shù) 是定義在 上的增函數(shù)且 ,解不等式1( )()23f xfx(2)已知 為 上的減函數(shù)，則滿足 的實(shí)數(shù) 的取值范圍是 （ ）( )f xR1()(1)|ffxxA、 B、 C、 D、( 1,1)(0,1)( 1,0)(0,1)(, 1)(1,) 練習(xí)第25頁

11、/共34頁f ()( )(),f2f ()(2)(1),f (1)011( )()212-f (1)(1)()2(1)()2x1,-xxfxfyyfffxfxfxfxfxfxx且 （ 2） =1，因 為 函 數(shù) 為 增 函 數(shù) ，解 得 ， 12第26頁/共34頁題型三、求參數(shù)范圍：例3:f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(- ，4)上是減函數(shù)，求a的取值范圍。解：函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x=1-a當(dāng)x 1-a時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減已知函數(shù)在 上是減函數(shù) 4，所以4 1-a,即-3 a第27頁/共34頁練習(xí)(1)已知函數(shù) 在區(qū)間 上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ）2( )2(1)2f x

12、xax(,4aA、 B、 C、 D、(, 3 3,)(,33,)（2）已知 在 上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.3( )f xxax (0,1（3）已知函數(shù) 在 上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。( )2aaf xxx(1,)a第28頁/共34頁四、利用函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)的值域或最值.2222,3yxxx，( )2xf xx2( )40,1f xxxax ，（1）求二次函數(shù) 上的最值.(2).函數(shù) 在區(qū)間2，4上的最大值為 最小值為（3）已知函數(shù) ，若有最小值-2，則 的最大值為( )f x( )f x（4）若函數(shù) 在 上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù) 的范圍是 .( )| 2f xa xb0,), a b(5)求 在區(qū)間 上的最大值和最小值2()21fxxax0, 2第29頁/共34頁1.函數(shù)最大（?。┲凳紫葢?yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值,即存在 ， 使得 ；0 xI 2.函數(shù)最大（小）值應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大（?。┑模磳τ谌我獾膞I，都有f(x)M（f(x)M）3.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f(x)在x=a處有最小值f(a),在x=b處有最大值f(b) ；4.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)； 0( )f xM溫馨提