函數(shù)的升降凸性與極值PPT課件

1、 （導數(shù)的正負與函數(shù)升降的關系）內(nèi)可導，則內(nèi)可導，則上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在若若),(,)(babaxf, 0)(,)(xfbaxf在在. 0)(,)(xfbaxf在在證明：由極限保號性、中值定理可證.（）若f (x)在a,b連續(xù)，在(a,b)可導，且 不變號，則)(xf .,)(0)(,)(0)(嚴嚴格格單單調(diào)調(diào)下下降降在在嚴嚴格格單單調(diào)調(diào)上上升升在在baxfxfbaxfxf第1頁/共68頁注1. Th.1 表明，討論可導函數(shù)的單調(diào)性，只須判別 其導數(shù)的符號即可，其步驟是: 確定 的定義域； 求 ，令 求出分界點； 用分界點將定義域分成若干個開區(qū)間； 判別 在每個開區(qū)間內(nèi)的符號，即可 確定

2、的嚴格單調(diào)性（嚴格單調(diào)區(qū)間）.)(xf)(xf0)( xf)(xf )(xf 第2頁/共68頁例1. 討論 的上升、下降情況.1123223xxxy解：解：該函數(shù)的定義域是 R. 由).2)(1(6)(xxxfy,2, 1,0)(xxf得得解解令令它們將 R 分成三個區(qū)間：列列表表如如下下)., 2(),2 , 1(),1,(xy+y) 1,()2, 1(), 2( 第3頁/共68頁例2. .)2() 1(32xxy解：定義域是 R. 由).75()2)(1()(2xxxxfy. 257, 10)(和解得令xxf現(xiàn)列表討論如下：xy+y. 0)2(),57()(fxf嚴嚴格格單單調(diào)調(diào)上上升升，

3、但但在在可可見見，) 1 ,()57,1()2,57(), 2( 第4頁/共68頁Th. 2 （）若 f (x) 與 g(x) 滿足條件：(1) 在a,b上可導;);()(),()(,),()2(xgxfxgxfba或或內(nèi)內(nèi)在在),()(),()() 3 (bgbfagaf或或).()(),(xgxfba內(nèi)內(nèi)有有則則在在注2. 利用函數(shù)的升降性及其導數(shù)之間的關系來證明不等式y(tǒng)xM)()(agafoaxb)(xfy )(xgy 在在幾何意義：幾何意義：)(2xfyTh.)(之之上上xgy 第5頁/共68頁Th. 2 若F(x)滿足;,) 1 (可可導導在在ba. 0)(, 0)(),()2(xF

4、xFba或或內(nèi)內(nèi)有有在在).()(),()(),(bFxFaFxFba或或內(nèi)內(nèi)有有則則在在證明：).()(),()()0)(, 0)()()(),(),()()(bFxFaFxFxFxgxfxFbaxgxfxF或或或或內(nèi)內(nèi)，則則在在令令第6頁/共68頁例3. 證明.,0 xexx1證明：證明：則則令令),1 ()(xexfx);0()(, 0)(,0fxfxfx故故時時當當.1)(, 0)0(xexff).0()(, 0)(,0fxfxfx故故時時當當從而得證.第7頁/共68頁例4. .!3sin,03xxxx時時證證明明當當證明：證明：, 0)0(,! 3sin)(3fxxxxf則則令令,

5、0)(), 0(,sin,0 xfxxx內(nèi)內(nèi)故故在在時時當當,21cos)(2xxxf, 0)0(,), 0)(,fxf又又單單調(diào)調(diào)上上升升在在因因此此.sin)(xxxf 第8頁/共68頁. 0)2(sin)2(222xx21cos)(2xxxf另另證證：,), 0)(單單調(diào)調(diào)上上升升在在由由此此知知xf.0)0()(),0(fxf內(nèi)內(nèi)有有從從而而在在.0)0()(,0fxfx時時所所以以當當22sin222xx第9頁/共68頁例5. 證明方程.0sin21只只有有一一個個根根xx 證明：證明：則則令令,sin21)(xxxf.),()(嚴嚴格格上上升升在在即即：xf.)(最最多多只只有有一

6、一個個零零點點故故xf., 0cos211)(Rxxxf.0, 0)0(是是唯唯一一根根因因之之而而xf第10頁/共68頁二、函數(shù)的極大值與極小值二、函數(shù)的極大值與極小值1. （局部極值）點點的的某某領領域域在在若若0)(xxf內(nèi)內(nèi)有有定定義義，且且對對)0)(,(),(000 xxxO都都有有),(0 xOx )()(0 xfxf)()(0 xfxf或或.,.,)(00值值則則稱稱為為嚴嚴格格意意義義下下的的極極中中等等號號不不成成立立若若上上述述兩兩不不等等式式統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為極極值值、極極值值點點點點（或或極極小小點點）稱稱為為極極大大極極小小值值）取?。ň志植坎浚O極大大值值（或或在在則則

7、稱稱xxxf第11頁/共68頁o abxy1x2x3x4x5x6x7x注注3. 函數(shù)的極值的局部性. 定義中可以有.,.)(,)(),()(00大極小值比極大值可能還有時大、極小值同時取極在如xxfconstxfxfxf第12頁/共68頁的的極極值值？如如何何確確定定函函數(shù)數(shù))(.2xf,)() 1 (00定定理理則則由由取取極極值值且且在在可可導導在在點點若若Fermatxxxf的的稱稱為為的的解解是是方方程程即即有有)(,0)(, 0)(00 xfxfxxf,.,)()2(00例例如如也也可可能能是是極極值值點點則則不不可可導導在在若若xxxf.穩(wěn)定點或駐點.0,0|)(是是其其極極小小值

8、值點點但但不不可可導導在在xxxxf第13頁/共68頁結論結論例如：例如：不一定就取局部極值不一定就取局部極值在其穩(wěn)定點和不可導點在其穩(wěn)定點和不可導點但但不存在的點不存在的點和和的零點的零點穩(wěn)定點（即穩(wěn)定點（即的極值點只可能是它的的極值點只可能是它的.)(.)()()(xfxfxfxf,0,3)(,)(23是是穩(wěn)穩(wěn)定定點點但但并并非非極極值值點點xxxfxxfoxyy=2xy=x.)(, 0)(上上在在因因Rxfxf.0, 02)(xxxxxg，.0)()0(非非極極值值點點故故，不不存存在在，由由于于xxgg第14頁/共68頁Th.3 （極值的必要條件）（極值的必要條件）的的零零點點只只可可

9、能能是是則則的的極極值值點點是是若若)(,)(00 xfxxfx.)(的的不不可可導導點點或或xf 由此求出可能使由此求出可能使 f (x) 取極值的點之后，如何判定取極值的點之后，如何判定它是取極大值還是極小值呢？它是取極大值還是極小值呢？ 圖示可見圖示可見, 由導數(shù)符號由導數(shù)符號可判定極大極小值點可判定極大極小值點.xyo0 xyxo0 x第15頁/共68頁Th. 4 （極值判別法之一）（極值判別法之一）),()(00 xxxf在在設設那那么么可可導導和和,)0)(,(00 xx是是極極小小點點；內(nèi)內(nèi)而而在在內(nèi)內(nèi)在在000000)(),(, 0)(),(xxfxxxfxx是是極極大大點點；

10、內(nèi)內(nèi)，而而在在內(nèi)內(nèi)在在000000)(),(0)(),(xxfxxxfxx.)(0不不是是極極值值點點在在這這兩兩個個區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)不不變變量量xxf第16頁/共68頁x 取局部極小值取局部極小值 取局部極大值取局部極大值 不取局部極值不取局部極值 不取局部極值不取局部極值)(xf ),(00 xx),(00 xx0)(xxf在點在點證明：由函數(shù)的升降性及極值定義得到.列表如下列表如下：第17頁/共68頁注注4.給給出出了了求求函函數(shù)數(shù)存存在在與與否否都都成成立立對對4.)(40ThxfTh的的局局部部極極值值的的步步驟驟：)(xf);()(1xfxf的的導導數(shù)數(shù)）求求（;)(0)(2不不存存在

11、在的的點點求求解解穩(wěn)穩(wěn)定定點點，并并求求）令令（xfxf.)(3點點兩兩側側的的符符號號在在每每個個穩(wěn)穩(wěn)定定點點和和不不可可導導）判判別別（xf .4 . 判判別別極極值值屬屬性性由由Th第18頁/共68頁Th.5 （極值判別法之二）（極值判別法之二）,0)(,0)(00 xfxf而而設設;)(, 0)() 1 (00是是極極大大值值則則若若xfxf 證明：證明：由二階導數(shù)定義及極限保號性、Th4得證.)(, 0)()2(00是是極極小小值值則則若若xfxf 第19頁/共68頁Th. 5 那那么么而而階階連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)，且且具具有有直直到到在在點點若若, 0)(, 0)()()(, 0)()

12、(0)(0)1(0000 xfxfxfxfxfnxxfnn;)(,0非非極極值值是是奇奇數(shù)數(shù)時時當當xfn;0)(0)(時時取取極極大大值值當當xfn(1)(2)定理定理5是定理是定理5的特殊情形的特殊情形.且且是是極極值值是是偶偶數(shù)數(shù)時時當當,)(,0 xfn.0)(0)(時時取取極極小小值值當當xfn第20頁/共68頁證明：證明：根據(jù)Taylor公式, 有).)()(!)()()(000)(0nnnxxoxxnxfxfxf.,|0的的符符號號決決定定項項的的符符號號由由上上式式右右端端第第一一充充分分小小時時當當xx ,)(,0的的符符號號而而改改變變符符號號隨隨是是奇奇數(shù)數(shù)nxxn.,

13、00)(0)(極極大大值值xfn;, 00)(,0)(極極小小值值是是偶偶數(shù)數(shù)xfnn.故故不不取取極極值值第21頁/共68頁例6.) 1(32的的極極值值求求xxy解：解：,325) 1(32313132xxxxxy現(xiàn)列表討論如下：現(xiàn)列表討論如下：.,0;520不不存存在在時時且且當當?shù)玫媒饨饬盍顈xxy第22頁/共68頁x0y+不存在0+y )0 ,()52,0(52),52(325453極小值極小值.52, 02535,9210,523523/4時時取取極極小小值值故故函函數(shù)數(shù)在在因因?qū)τ谟邳c點 xyxxyxx0極大值極大值第23頁/共68頁例7.)5(23的的極極值值求求xxy解：解

14、：).3)(5(52xxxy由由又又解解得得穩(wěn)穩(wěn)定定點點令令, 5 , 3 , 00 xy)5(5)3(5)3)(5(1022 xxxxxxxy)15122(102xxx. 0250)5(, 090)3(, 0)0( yyy有有.0; 0)5(5不不能能確確定定在在點點取取極極小小值值在在點點xyx. 0150)0()582(302 yxxy得得由由.0不不取取極極值值故故函函數(shù)數(shù)在在x;108)3(3yx點點取取極極大大值值故故函函數(shù)數(shù)在在第24頁/共68頁例8.cos2)(的的極極值值求求xxeexxf解：解：.sin2)(xeexfxx又又得得令令.00)(xxf, 0)cos(2cos

15、2)( xchxxeexfxx且且嚴嚴格格上上升升在在故故而而,),()(, 1xfchx; 0)0(,sin2)( fxeexfxx又又由由. 4)0(,0)(fxxf極極小小值值是是取取極極小小值值在在故故函函數(shù)數(shù).)(lim,)(limxfxfxx. 0)0(. 00)( fxxf且且只只有有唯唯一一一一個個解解因因此此方方程程. 04)0(,cos2)()4()4(fxeexfxx第25頁/共68頁三、函數(shù)的最大值和最小值三、函數(shù)的最大值和最小值如何求出函數(shù)在某區(qū)間上的最大值和最小值？如何求出函數(shù)在某區(qū)間上的最大值和最小值？yxaOb1x2x3x4x5x( )yf xmax3(),yf

16、 x由圖形知,min( ).yf b第26頁/共68頁注注1： 函數(shù)在某一區(qū)間上的最大值和最小值, 也叫全局極值.可導函數(shù)在可導函數(shù)在a,b上的最大、最小值的求解步驟：上的最大、最小值的求解步驟：1212( )0, , (),(),();nnfxx xxf xf xf x(1) 解方程 其根為計算 (2) ( ),( );f af b計算12(3) (),(),(),( ),( ) nf xf xf xf af b比較的大小，其中最大者是最大 值，最小者是最小值。11 ( )0 , ,() fxa bxf x 對于實際問題，若在內(nèi)只有一個根則根據(jù)實際問題的意義，就是所要求的最大值或最小值.注注

17、2：第27頁/共68頁例9.32( )(1)f xxx1求在 -1,上的最大值及最小值.2解：解：31346( ) ( 1, ) 0, , 2525f x由例 知 在 中 有極大值極小值且311( 1)2, ( ) 228ff 所以函數(shù)的最大值是0, 最小值是2.例10. 某生產(chǎn)隊要建造一個體積為某生產(chǎn)隊要建造一個體積為 50 立方米立方米的有蓋圓柱形氨水池的有蓋圓柱形氨水池. 問這個氨水池的高和底問這個氨水池的高和底半徑取多大時，用料最??？半徑取多大時，用料最?。拷猓航猓河昧献钍【褪且蟀彼氐谋砻娣e最小. 設氨水池的底半徑是 r, 高是 h, 它 的表面積hrO第28頁/共68頁222Sr

18、rh2250,VVVr hhrSr 因為體積立方米,利用 即 代入上式，便得到 為 的函數(shù)2222( )222VVSS rrrrrr322( )40,.2VVS rrrr由 得唯一解 32VrS 根據(jù)實際問題的意義, 當時, 取最小值.這時相應的高為第29頁/共68頁32222Vrhrrr用V50立方米代入，得到3502242hr 米 答：當圓柱形氨水池的高和直徑相等時，用料最省。答：當圓柱形氨水池的高和直徑相等時，用料最省。第30頁/共68頁11. R例用一塊半徑為 的圓形鐵皮，剪去一塊圓心角為 的圓扇形做成一個漏斗.問 為多大時，漏斗的容積最大？2, (2),2xRxRxR解：由題意知，余

19、下部分的圓心角為 漏斗底周長為底半徑為2222 ()4(0),22RxRhRxx其高為hRRx第31頁/共68頁2352( )1660,2.3fxxxx由解得唯一穩(wěn)定點為 422( )(4).xf xxx 按題設，只需考慮當 為何值時，函數(shù) 的值最大于是漏斗的容積為322222221()44(0).32224RxRRVxxxx22422( )4830,(2)0, 233fxxxfx又且 故 為極大點.22 (1),3 根據(jù)問題的實際意義, 剪去的圓心角為 =時所做漏斗的容積最大.第32頁/共68頁四、函數(shù)的凸性四、函數(shù)的凸性是描述函數(shù)性狀的一個更深入的概念是描述函數(shù)性狀的一個更深入的概念.例如

20、：.2xyxy與與yxo2xy21xy 第33頁/共68頁11( )(,()f xxf x曲線向上凸, 則曲線上任何兩點22(,()xf x與間的弦之中點位于曲線上相應點的下面,即曲線在弦之上. 反之, 曲線向下凸,則曲線在弦之下.xy)2(21xxf)(2xf)(1xf1x221xx 2xoxy)(1xf)(2xf1x221xx )2(21xxf2xo第34頁/共68頁1. 1. Def（函數(shù)的凸性）（函數(shù)的凸性）12( ) , , ,f xa ba bx x 設在上連續(xù),若對中任意兩點恒有2)()()2(2121xfxfxxf1212()()()22xxf xf xf或：( ) , ( )

21、 , f xa bf xa b則稱在是向上凸的（或向下凸的），簡稱上凸（或下凸）. 當定義中等號不成立時，稱在上嚴格上凸（或下凸）.第35頁/共68頁注：注：函數(shù)的凹凸性，下凸即是上凹.( )( )f xf x 是上凸（下凸）函數(shù)是下凸（上凸）函數(shù).2)()()2(2121xfxfxxf2)()()2(2121xfxfxxf第36頁/共68頁2. 2. 函數(shù)的凸性與其導數(shù)的關系函數(shù)的凸性與其導數(shù)的關系Th. 6，那么內(nèi)存在二階導數(shù)在設)(),()(xfbaxf 為上凸；在內(nèi)在),()(0)(),(baxfxfba ( , )( )0( )( , )a bfxf xa b在內(nèi)在為下凸.證明證明：

22、(1)( , )( )0.xa bfx 已知, 12,( ,),xxa b121201020,2,0.xxxxxxxhxxh h設 , 記 , 并記 由Lagrange公式，得：212xxhIn fact,第37頁/共68頁.)()()(2212010hfhhxfhxf )()()()(0000 xfhxfxfhxf其中，1202010,1(,).xh xh, ( )0,f( )0( )0fxfx由 ，有 ，即.0) )( xf由得 上凸，故 下凸.)(xf)(xf).(2)()(0)()()()(0210000 xfxfxfxfhxfxfhxf即：第38頁/共68頁: 若曲線 在其上一點 的

23、一側為上凸，另一側為下凸，則稱此點為曲線 的拐點.)(xfy )(,(00 xfx)(xfy xyoy =f (x)0 x第39頁/共68頁注：注：yxo4xy 內(nèi)存在二階導的領域在點若)0)(,()(00 xOxxf，即的拐點，則是數(shù)，且點0)()()(,(000 xfxfxfx, 0012)(24 xxxfxy，得，0( )0 xxfx是方程的解.000(,()( )xxxf xf x為，則點不一定是的拐點. 如：4(0,0)yx但點不是的拐點.的解是否為可見，0)( xf.6Th拐點要用進行判別.0()0fx反之，若的解第40頁/共68頁 求求 ； 令令 ，求解，并劃分，求解，并劃分f

24、(x)的定義域為若干的定義域為若干 個開區(qū)間個開區(qū)間. 判別判別 在每個開區(qū)間的符號在每個開區(qū)間的符號. 設設 , 列表討論如下：列表討論如下：3. 3. 討論討論 f (x) 的凸性及拐點的步驟的凸性及拐點的步驟)(xf 0)( xf)(xf 0)(0 xfx（上凸）0 （下凸）是拐點是拐點（下凸）0 （上凸）是拐點是拐點（下凸）0 （下凸） 不不 是是（上凸）0 （上凸） 拐拐 點點),(00 xx),(00 xx0 x)(,()(00 xfxxf在點)()(xfxf 注：對注：對 不存在的點亦可類似討論不存在的點亦可類似討論.0()fx第41頁/共68頁例1. 討論 的凸性及拐點.解：解

25、：32) 1(xxy,32353132xxyxyo51521343192910 xxy,9)15(234xx 10;05yxxy 令解得 當時, 不存在. 現(xiàn)列表如下：x00不存在y上凸上凸拐點拐點下凸下凸非拐點非拐點下凸下凸)(xy )51,(51)0,51(), 0()25156,51(3第42頁/共68頁例2.221xyx討論的上升與下降、極值性、凸性及拐點.解：解：其定義域是 R. 由xyo11-1-1.)1 ()1 (2222xxy01,1yx 令,得，列表如下：x100y極小值極小值1極大值極大值 1( )y x) 1,(1) 1 , 1(), 1 ( 33第43頁/共68頁,)1

26、()3(4322xxxy 又. 3, 0 ,30 xy，得令列表如下： x0000 上凸上凸拐點拐點下凸下凸拐點拐點上凸拐點拐點下凸下凸)(xy y)3,(3)0 , 3()3, 0(3), 3()23, 3()0 , 0()23, 3(第44頁/共68頁x0100000上上凸凸拐拐點點下下凸凸極極小小下下凸凸拐拐點點上上凸凸極極大大上上凸凸拐拐點點下凸下凸統(tǒng)一列表如下統(tǒng)一列表如下: :yy y)3,(3) 1, 3(1)0 , 1() 1 , 0()3, 1 (3), 3(. 1111極大極小，；，yxyx).23, 3()0 , 0()23, 3(，拐點為第45頁/共68頁4. 4. 曲線

27、的漸近線曲線的漸近線 xyo1F2F雙曲線12222byax的漸近線.xaby如何求之？如何求之？第46頁/共68頁曲線的漸近線有兩種：曲線的漸近線有兩種： 垂直漸近線；垂直漸近線； 斜漸近線斜漸近線 （包括水平漸近線）（包括水平漸近線）yxo)(xfy baxycx PKM: 當曲線 C 上動點 M 沿著曲線 C 無限遠移時，若動點 M 到某直線 l 的距離無限趨于零，則稱直線 l 是曲線 C 的漸近線.第47頁/共68頁(1)(1)垂直漸近線垂直漸近線，或，或若)(lim)(limxfxfcxcxlim( )( )xcf xxcyf xx ，則直線是曲線的一條垂直漸近線（垂直于 軸）.例如

28、：,log)(xxfa0,1,lim log0., 01,axaxxa1( )12.(1)(2)f xxxxx 有兩條垂直漸近線與( )tan,0, 1,.2f xxxkk 有無限多條垂直漸近線第48頁/共68頁 斜漸近線斜漸近線).2()(的漸近線是曲線：直線xfybaxyl.0lim),(limMKKMxx如何求出漸近線如何求出漸近線 呢？呢？yaxb( ,( )|( )|,M x f xMPf xaxb設動點，則 .cos|)(|cos),(baxxfMPMKKM因 是常數(shù)，故0)(limbaxxfx第49頁/共68頁Prop: 直線直線 是曲線是曲線 的斜漸近線的斜漸近線 a與與b 由

29、與式分別確定由與式分別確定.因此得, 01)(lim)(limxbaxxfxbaxxfxx從而()lim.xfxax lim ().xbfxa x 由得baxy)(xfy 特別，當 a = 0 時，就是水平漸近線水平漸近線. 即：直線直線 是水平漸近線是水平漸近線 by .)(limbxfx第50頁/共68頁例3. 2(3)( )4(1)xf xx求 的漸近線.解：解：由于211 ,(3)lim.4(1)1 ,xxxxx 故 x = 1 為 f (x) 的垂直漸近線.又,41)1(4)3(lim)(lim2xxxxxfaxx15( )44yxf x 為的斜漸近線.故.45)41)1(4)3(l

30、im2xxxbx第51頁/共68頁故 是漸近線.例4. 求雙曲線 的漸近線.12222byax.22axaby解：解：因函數(shù)在(, ,)aa 上連續(xù),ypxq故無垂直漸近線. 設斜漸近線 , 則lim,xybpxa xabylim()0.xqypx第52頁/共68頁例5. 23(1),(1)xyx211yxxarctanyxx1,0 xy （）2()11yyxx , , 考慮 2().yxx ，考慮 第53頁/共68頁利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形, 一般步驟：一般步驟： 5. 函數(shù)的圖形函數(shù)的圖形(1) 確定函數(shù) 的定義域, 討論函數(shù)的奇偶性、 對稱性、周期性等性態(tài); (2

31、) 求出使 不存在的點, 把函數(shù)的定義域劃分成幾個部分區(qū)間; ( )0( )0,( ),( )fxfxfxfx和 及 ( )yf x (3) 根據(jù) 的符號, 確定函數(shù)的上升或下降區(qū)間, 圖形的上凸或下凸區(qū)間, 以及極值和拐點; 可列表討論;( ),( )fxfx(4) 確定函數(shù)圖形的水平、垂直漸近線、斜漸近線;(5) 描點作圖. 描出極值點、拐點, 曲線與坐標軸的交點.第54頁/共68頁例12.2121 .xyx作曲線 的圖形解：解：(1) (,0)(0,).定義域為342(1)2(32 )(2) ,.xxyyxx由 0,1.yx 令解得 (3) 列表討論如下：列表討論如下：3 0,.2yx

32、令解得 第55頁/共68頁表表1. 函數(shù)的上升、下降和極值函數(shù)的上升、下降和極值.表表2. 函數(shù)的上凸、下凸和拐點函數(shù)的上凸、下凸和拐點. x 0 (0, 1) 1 y 不存在 0 y無定義 極小值極小值 0 x 0 y 不存在 0 y 下凸下凸無定義下凸下凸拐點拐點上凸上凸(,0)(,0)(1,)3(0,)2323(,)23 1(,)2 9第56頁/共68頁表表3. 統(tǒng)一列表統(tǒng)一列表 x 0 1 y 不存在不存在 0 不存在不存在 0 y 下凸下凸無定義無定義 下凸下凸極小值極小值0 下凸下凸拐點拐點 上凸上凸y(,0)3 1(,)2 9(0,1)3(1, )2323( ,)220012(4) limlim(1).xxxyx 因為212 limlim(1)1, xxxyx又 0 ()xy故即 軸 是曲線的垂直漸近線. 1 .y 故是曲線的水平漸近線第57頁/共68頁(5) 曲線與坐標軸的交點為 (1,0) . 作圖如下： y x0.511