函數(shù)的連續(xù)性66829PPT課件

1、函數(shù)增量的概念函數(shù)增量的概念定義定義1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的某一領(lǐng)域內(nèi)有的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義定義.當(dāng)自變量當(dāng)自變量 x 在在 x0 處取得增量處取得增量x (即即 x 在這在這個領(lǐng)域內(nèi)從個領(lǐng)域內(nèi)從 x0 變到變到 x0 + x 時時), 相應(yīng)地相應(yīng)地,函數(shù)函數(shù) y = f (x) 從從 f (x0) 變到變到 f (x0 + x), 則稱則稱 00()()yf xxf x 為函數(shù)為函數(shù) y = f (x) 的對應(yīng)的對應(yīng)增量增量. 第1頁/共40頁連續(xù)函數(shù)的概念連續(xù)函數(shù)的概念定義定義2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的某一領(lǐng)域內(nèi)有定的某一領(lǐng)域內(nèi)有

2、定義義.如果當(dāng)自變量在點(diǎn)如果當(dāng)自變量在點(diǎn) x0 的增量的增量 x 趨于零時趨于零時,函數(shù)函數(shù) y = f (x) 對應(yīng)的增量對應(yīng)的增量 y 也趨于零也趨于零,即即0lim0 xy 或或000lim ()()0,xf xxf x 則稱函數(shù)則稱函數(shù) f (x) 在在 x0 處處連續(xù)連續(xù),稱稱 x0 為為 f (x) 的的連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn).注注:該定義表明該定義表明,函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的本質(zhì)特征是函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的本質(zhì)特征是:自自變量變化很小時變量變化很小時,對應(yīng)的函數(shù)值的變化也很小對應(yīng)的函數(shù)值的變化也很小.第2頁/共40頁連續(xù)函數(shù)的概念連續(xù)函數(shù)的概念定義定義3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某一個

3、領(lǐng)域內(nèi)的某一個領(lǐng)域內(nèi)有定義有定義.如果函數(shù)如果函數(shù) 時的極限存在時的極限存在,)(xf0 xx 且等于它在點(diǎn)且等于它在點(diǎn)0 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值),(0 xf即即00lim( )(),xxf xf x 則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處處連續(xù)連續(xù).當(dāng)?shù)?頁/共40頁函數(shù)連續(xù)的條件函數(shù)連續(xù)的條件函數(shù)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處連續(xù)必須滿足的三個條件處連續(xù)必須滿足的三個條件:( )f x在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處有定義處有定義;0lim( )xxf x存在存在;00lim( )().xxf xf x 例例: :討論討論2( )f xx 在在1x 處的連續(xù)性處的連續(xù)性.(1)(2)(3)xy2

4、yx O11第4頁/共40頁函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類例例: :討論討論20( )20 xxf xx xOy在在0 x 處的連續(xù)性處的連續(xù)性.函數(shù)在函數(shù)在 x0 點(diǎn)處連續(xù)點(diǎn)處連續(xù), 則函數(shù)圖形在則函數(shù)圖形在 x0 點(diǎn)處不斷開點(diǎn)處不斷開.第5頁/共40頁例例: :討論討論sin0( )10 xxf xxx 在在0 x 處的連續(xù)性處的連續(xù)性.函數(shù)連續(xù)的條件函數(shù)連續(xù)的條件xyO( )sinf xx ( )1f xx000lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xf xAf xA第6頁/共40頁函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)若函數(shù)若函數(shù)( )f x在在0( ,a x

5、內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,且且00lim( )(),xxf xf x 則稱則稱( )f x在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處處左連續(xù)左連續(xù);( )f x在在0, )x b內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,且且00lim( )(),xxf xf x 則稱則稱)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處處右連續(xù)右連續(xù). .若函數(shù)第7頁/共40頁例例: :討論討論sin0( )10 xxf xxx 在在0 x 處的連續(xù)性處的連續(xù)性.函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)00lim( )lim sin0(0)xxf xxf00lim( )lim(1)1(0)xxf xxfxyO( )sinf xx ( )1f xx第8頁/共40頁定理定理1 函數(shù)函數(shù)

6、f (x) 在在 x0 處連續(xù)的充分必要條件是處連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)000lim( )lim( )().xxxxf xf xf x例例: :討論討論212( )2342xxf xxx 在在2x 連續(xù)性連續(xù)性.處的x2yO第9頁/共40頁函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)例例: :討論討論tan02( )10 xxxxf xex 在在0 x 處的處的連續(xù)性.例例: :求求 a 為何值使為何值使210( )cos0 xxf xaxx 在在0 x 處連續(xù)處連續(xù).第10頁/共40頁例例: :求求 a 為何值使為何值使20( )sin30 xaxf xxxx

7、 在在0 x 處連續(xù)處連續(xù).函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)例例: :求求 a 為何值使為何值使1(12 )0( )cos0 xxxf xaxx 在在0 x 處連續(xù)處連續(xù).第11頁/共40頁函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù)思考思考:a, , b為何值使為何值使1sin20( )01sin0 xxxf xaxxbxx 在在處連續(xù)處連續(xù).0 x 第12頁/共40頁連續(xù)函數(shù)如果一個函數(shù)在區(qū)間里每一點(diǎn)都連續(xù),則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)連續(xù).如果一個函數(shù)在區(qū)間 (a , b) 連續(xù),且在 x = a 處右連續(xù),在 x = b 處左連續(xù),則稱函數(shù)在區(qū)間a , b內(nèi)連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)不間

8、斷的曲線.第13頁/共40頁函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類如果函數(shù)如果函數(shù) f (x) 在在 x0 的某一空心鄰域內(nèi)有定義的某一空心鄰域內(nèi)有定義,且且 f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處不連續(xù)處不連續(xù), ,則稱則稱 f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處處間斷間斷,稱點(diǎn)稱點(diǎn) x0 為為 f (x) 的的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn).函數(shù)函數(shù) f (x) 在在 x0 點(diǎn)處間斷的三個原因點(diǎn)處間斷的三個原因:( )f x在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處有無定義處有無定義;0lim( )xxf x不存在不存在;00lim( )().xxf xf x (1)(2)(3)第14頁/共40頁函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類(1) f

9、 (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處有無定義處有無定義;例例:函數(shù)函數(shù)211xyx xyO12函數(shù)在函數(shù)在 x = 1 處無定義處無定義.第15頁/共40頁函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類0lim( )xxf x不存在不存在;(2)例例: :函數(shù)函數(shù)sin0( )(0)10 xxf xxxx xyO0000lim( )lim sin0lim( )lim(1)1xxxxf xxf xx第16頁/共40頁函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類00lim( )().xxf xf x (3)例例: :函數(shù)函數(shù)20( )(0)20 xxf xxx 200lim( )lim0(0)xxf xxfxOy第

10、17頁/共40頁函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) x0 為為 f (x) 的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn),且左、右極限都存在且左、右極限都存在,則稱則稱 x0 為為 f (x) 的的第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn). .sin(0)xyxx例例:函數(shù)函數(shù)例例:之前三例都是第一類間斷點(diǎn)之前三例都是第一類間斷點(diǎn).000sinsinsinlim1limlim1xxxxxxxxx第18頁/共40頁函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類0( )(0)10 xxf xxxx 例例:xOy如果如果 x0 為為 f (x) 的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn),且左、右極限至少有一且左、右極限至少有一個不存在個不存在,則稱則稱 x0

11、 為為 f (x) 的的第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn). .0000lim( )lim01lim( )limxxxxf xxf xx 第19頁/共40頁第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)例例:函數(shù)函數(shù)tan()2yxx xOytanyx 2 例例:函數(shù)函數(shù)1(0)yxx2limtanxx 01limxx xyO1yx 第20頁/共40頁函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類例例:分析下列函數(shù)間斷的原因分析下列函數(shù)間斷的原因,判斷的間斷點(diǎn)的類型判斷的間斷點(diǎn)的類型.1(1)111xxyxxx 20(0)20 xxyxxx 21(3)(3)yxx 第21頁/共40頁函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類第一類間

12、斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn), 又可根據(jù)間斷點(diǎn)處左右極限情況又可根據(jù)間斷點(diǎn)處左右極限情況,細(xì)分為細(xì)分為可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)與與跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).可去間斷點(diǎn):點(diǎn) x0為函數(shù) f (x) 第一類間斷點(diǎn), 且00lim( )()xxf xf x 或 f (x) 在點(diǎn) x0 處有無定義.例例: :函數(shù)函數(shù)20( )20 xxf xx 200lim( )lim0(0)xxf xxfxOy第22頁/共40頁可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)例例:函數(shù)函數(shù)21(1)1xyxx xyO122111limlim(1)21xxxxx 函數(shù)在函數(shù)在 x = 1 處無定義處無定義.第23頁/共40頁跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)

13、:點(diǎn)點(diǎn) x0為函數(shù)為函數(shù) f (x) 第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn), 且且例例: :函數(shù)函數(shù)sin0( )10 xxf xxx 0000lim( )lim(1)1lim( )lim sin0 xxxxf xxf xx00lim( )lim( ).xxxxf xf x xyO(兩者都存在兩者都存在)第24頁/共40頁函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn), 又可根據(jù)間斷點(diǎn)處左右極限情況又可根據(jù)間斷點(diǎn)處左右極限情況,細(xì)分為細(xì)分為無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)與與振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn).無窮間斷點(diǎn):點(diǎn) x0為函數(shù) f (x) 間斷點(diǎn), 且0lim( )xxf x 或0lim( )xxf x

14、 或0lim( ).xxf x xOy0( )(0)10 xxf xxxx 例例:第25頁/共40頁無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)例例:函數(shù)函數(shù)tan()2yxx xOytanyx 2 例例:函數(shù)函數(shù)1(0)yxx2limtanxx 01limxx xyO1yx 第26頁/共40頁振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn):點(diǎn) x0為函數(shù) f (x) 間斷點(diǎn), 且0 xx時 f (x) 的值不斷振蕩.例例:函數(shù)函數(shù)1sinyx xy01limsinlimsinxuux 極限不存在極限不存在.第27頁/共40頁函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類例例:分析下列函數(shù)間斷的原因分析下列函數(shù)間斷的原因,判斷的間斷點(diǎn)的類

15、型判斷的間斷點(diǎn)的類型.1(1)111xxyxxx 20(0)20 xxyxxx 21(3)(3)yxx 第28頁/共40頁連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算定理定理2 若函數(shù)若函數(shù) f (x), g(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處連續(xù)處連續(xù),則則0( )( )( ),( )( ),( ()0)( )f xf xg xf xg xg xg x在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處也連續(xù)處也連續(xù).例例:在在sin ,cosxx(,) 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,故故sincosxx sincosxxsincosxx在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù). .第29頁/共40頁復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理定理3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)例例:

16、sinyx 在在2x 處連續(xù)處連續(xù);lnyu 在在1u 處連續(xù)處連續(xù);lnsinyx 在在處連續(xù)處連續(xù).2x 在點(diǎn) x0 處連續(xù),且而函數(shù) y = f (u), 在點(diǎn) u0 處連續(xù),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn) x0 處連續(xù).( ),ux 00(),ux ( )yfx 第30頁/共40頁根據(jù)定理根據(jù)定理3,求復(fù)合函數(shù)求復(fù)合函數(shù) 00lim( )lim( ) .xxxxfxfx 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性例例:22limlnsinln limsin0 xxxx的極限時,極限符號與函數(shù)符號 f 可以交換次序,即 ( )yfx 第31頁/共40頁初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性定理定理4 一切初等函數(shù)在其定

17、義區(qū)間內(nèi)都是一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)連續(xù)的的.例例:求求例例:求求20limln(1cos)xx 22222lim212 219xxeeex連續(xù)00lim( )()xxf xf x 第32頁/共40頁最大值和最小值定理最大值和最小值定理定理定理5(最大值和最小值定理最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.xOyMm( )f xab第33頁/共40頁最大值和最小值定理最大值和最小值定理定理定理6(有界性定理有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.( )(,)f xMax Mm

18、 xOyMm( )f xba第34頁/共40頁定義定義 如果如果 x0 使使 f (x0) = 0, 則稱則稱 x0 為函數(shù)為函數(shù) f (x) 的的零點(diǎn)零點(diǎn).( )sinf xxx 例例:函數(shù)函數(shù)(0)0 sin00f為此函數(shù)的零點(diǎn)為此函數(shù)的零點(diǎn).0 x 零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理第35頁/共40頁零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理定理定理7(零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a , b上上連續(xù)連續(xù), ,且且 f (a)與與 f (b) 異號異號,那么在開區(qū)間那么在開區(qū)間 (a , b)內(nèi)內(nèi)至少有函數(shù)至少有函數(shù) f (x) 的一個零點(diǎn)的一個零點(diǎn), ,即至少有一點(diǎn)即至少有一點(diǎn)xy( )f xabO, 使得( )0 ().fab第36頁/共40頁零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理內(nèi)至少存在內(nèi)至少存在例例:證明證明在在(,)2 2x cos0 xx一個實(shí)根.內(nèi)至少存在內(nèi)至少存在例例:證明證明在在( 1,1)x 10 xex一個實(shí)根.第37頁/共40頁介值定理介值定理介值定理介值定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f