空間兩直線的位置關(guān)系課堂PPT

1、.12.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.2教學目的教學目的1.1.會判斷兩條直線的位置關(guān)系，學會用圖形語會判斷兩條直線的位置關(guān)系，學會用圖形語言、符號語言表示三種位置關(guān)系言、符號語言表示三種位置關(guān)系. .2.2.理解公理四理解公理四, ,并能運用公理四證明線線平行并能運用公理四證明線線平行. .3 3掌握空間兩直線的位置關(guān)系，掌握異面直線掌握空間兩直線的位置關(guān)系，掌握異面直線的概念，會用反證法和異面直線的判定定理證的概念，會用反證法和異面直線的判定定理證明兩直線異面；明兩直線異面；4.4. 掌握異面直線所成角的概念及異面直線垂掌握異面直線所成角的概念及異面直線垂直的概念，能求出一些較特殊

2、的異面直線所成直的概念，能求出一些較特殊的異面直線所成的角的角.3復(fù)習引入：復(fù)習引入：1 1、同一平面內(nèi)不重合兩條直線有幾種位置、同一平面內(nèi)不重合兩條直線有幾種位置關(guān)系？關(guān)系？2 2、在同一平面內(nèi)，同平行于一條直線的兩、在同一平面內(nèi)，同平行于一條直線的兩條直線有什么位置關(guān)系？條直線有什么位置關(guān)系？(1)、相交：有且僅有一個公共點。、相交：有且僅有一個公共點。(2)、平行：在同一平面內(nèi)沒有公共點。、平行：在同一平面內(nèi)沒有公共點?；ハ嗥叫谢ハ嗥叫刑岢鰡栴}：空間中的兩條直線呢？提出問題：空間中的兩條直線呢？.41.1.空間中兩條直線的位置關(guān)系空間中兩條直線的位置關(guān)系觀察：觀察： 觀察教室內(nèi)的日光燈管

3、所在直線與黑觀察教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線板的左右兩側(cè)所在的直線, ,想一想想一想: :它它們相交嗎們相交嗎? ?平行嗎平行嗎? ?共面嗎共面嗎? ?觀察上方體的棱所在觀察上方體的棱所在直線直線,回答類似的問題回答類似的問題.思考：思考：我們把具有上述特征的兩條我們把具有上述特征的兩條直線取個怎樣的名字才好呢？直線取個怎樣的名字才好呢？.5異面直線的定義異面直線的定義: :我們把我們把不同在任何一個平面內(nèi)不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線的兩條直線叫做異面直線（叫做異面直線（skewskewlineslines）。）。想一想想一想: :怎樣通過圖形來表示異面直線怎樣通過圖形

4、來表示異面直線? ?為了表示異面直線為了表示異面直線a a，b b不共面的特點，作圖不共面的特點，作圖時，時，通常用一個或兩個平面襯托。通常用一個或兩個平面襯托。如下圖如下圖: :lmlm.6想一想想一想, ,做一做：做一做：1.1.已知已知m m、n n分別是長方體的棱分別是長方體的棱c c1 1d d1 1與與cccc1 1上的上的點，那么點，那么mnmn與與abab所在的直線是異面直線嗎所在的直線是異面直線嗎？mnc1d1c1b1adba.72.下圖是一個正方體的展開圖，如果將它下圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么還原成正方體，那么ab，cd，ef，gh這這四條線段所在直

5、線是異面直線的有幾對？四條線段所在直線是異面直線的有幾對？想一想想一想, ,做一做：做一做：hgfedcba三對三對ab與與cdab與與ghef與與gh一定是異面直線嗎？則2121,llll3.8空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種平行直線共異面直線面直線相交直線平平行行相相交交異面異面位置關(guān)位置關(guān)系系公共點個公共點個數(shù)數(shù)是否共是否共面面沒有沒有只有一個只有一個沒有沒有共面共面不共面不共面共面共面空間中兩條直線的位置關(guān)系空間中兩條直線的位置關(guān)系.92.2. 空間兩平行直線空間兩平行直線提出問題：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線提出問題：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第

6、三條直線平行，那么這兩條直線互都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。在空間中，是否有類似的規(guī)律？相平行。在空間中，是否有類似的規(guī)律？平行嗎平行嗎?中中,abcdabc dbbdd觀察觀察：如圖如圖2.1.2-5,長方體長方體與與那么那么dd aabb aaabcdbcda.10公理公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行于同一條直線的兩條直線互相平行。平行。公理公理4 4實質(zhì)上是說實質(zhì)上是說平行具有傳遞性平行具有傳遞性，在平面、空間，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。這個性質(zhì)都適用。公理公理4 4作用：作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。abcbac符號表示：符號表

7、示：設(shè)空間中的三條直線分別為設(shè)空間中的三條直線分別為a,b,c,若若想一想想一想:空間中空間中,如果兩條直線都與第三條直如果兩條直線都與第三條直線垂直線垂直,是否也有類似的規(guī)律是否也有類似的規(guī)律?.11例題示范例題示范例例1： 在空間四邊形在空間四邊形abcd中，中，e，f，g，h分別是分別是ab，bc，cd，da的中點。的中點。求證：四邊形求證：四邊形efgh是平行四邊形。是平行四邊形。分析：分析： 欲證欲證efgh是一個平行四邊形是一個平行四邊形只需證只需證ehfg且且ehfge，f，g，h分別是各邊中點分別是各邊中點連結(jié)連結(jié)bd,只只需證：需證：eh bd且且eh bdfg bd且且fg

8、 bd1212ab defghc.12例題示范例題示范例例1： 在空間四邊形在空間四邊形abcd中，中，e，f，g，h分別是分別是ab，bc，cd，da的中點。的中點。求證：四邊形求證：四邊形efgh是平行四邊形。是平行四邊形。ab defghc eh是是abd的中位線的中位線 eh bd且且eh = bd同理，同理，fg bd且且fg = bdeh fg且且eh =fgefgh是一個平行四邊形是一個平行四邊形證明：證明：連結(jié)連結(jié)bd2121.13變式一：變式一： 在例在例2中，如果再加上條件中，如果再加上條件ac=bd，那，那么四邊形么四邊形efgh是什么圖形是什么圖形?ehfgabcd分析

9、：分析：在例題在例題2的基礎(chǔ)上的基礎(chǔ)上我們只需要證明平行四我們只需要證明平行四邊形的兩條鄰邊相等。邊形的兩條鄰邊相等。菱形菱形.14變式二：變式二： 空間四面體空間四面體a-bcd中中,e,h分別是分別是ab,ad的中的中點點,f,g分別是分別是cb,cd上的點上的點,且且 ，求證求證:四邊形四邊形abcd為梯形為梯形.23cfcgcbcdabcdehfg分析：需要證明四邊形分析：需要證明四邊形abcd有有一組對邊平行，但不相等。一組對邊平行，但不相等。.153.3. 等角定理等角定理提出問題提出問題: :在平面上在平面上, ,我們?nèi)菀鬃C明我們?nèi)菀鬃C明“如果一個角如果一個角的兩邊和另一個角的兩

10、邊分別平行，那么這兩個的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補角相等或互補”。在空間中。在空間中, ,結(jié)論是否仍然成立結(jié)論是否仍然成立呢呢? ?觀察思考：如圖觀察思考：如圖,adc,adc與與adcadc、adcadc與與abcabc的兩邊分別對應(yīng)平行，這兩組角的大小的兩邊分別對應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何？關(guān)系如何？.163.3. 等角定理等角定理定理：定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補。那么這兩個角相等或互補。abcdef.173.3. 等角定理等角定理定理：定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，空間中如

11、果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補。那么這兩個角相等或互補。abcdef定理的推論定理的推論: :如果兩條相交直線和另兩條相如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行交直線分別平行, ,那么這兩條直線所成的銳那么這兩條直線所成的銳角角( (或直角或直角) )相等相等. .184.4. 異面直線所成的角異面直線所成的角如圖，已知兩條異面直線如圖，已知兩條異面直線a a，b b，經(jīng)過空間任一，經(jīng)過空間任一點點o o作直線作直線aaaa，bbbb，我們把，我們把aa與與bb所成所成的銳角（或直角）叫做異面直線的銳角（或直角）叫做異面直線a a，b b所成的角所成的角（或夾角）。（或夾角

12、）。為了簡便，點為了簡便，點o o通常取在兩條異面直線中的一條上，例通常取在兩條異面直線中的一條上，例如，取在直線如，取在直線b b上，然后經(jīng)過點上，然后經(jīng)過點o o作直線作直線aaaa，aa和和b b所所成的銳角（或直角）就是異面直線成的銳角（或直角）就是異面直線a a與與b b所成的角。所成的角。想一想想一想:a:a與與bb所成角的大小與點所成角的大小與點o o的位置有關(guān)嗎的位置有關(guān)嗎? ?.194.4. 異面直線所成的角異面直線所成的角如果兩條異面直線所成的角為直角，如果兩條異面直線所成的角為直角，就說兩條直線互相垂直，記作就說兩條直線互相垂直，記作abab。ba aoab 記記作作：.

13、205.5. 異面直線的判定定理異面直線的判定定理異面直線定理：異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線異面直線?b?a,ablbl abl與與是異面直線是異面直線.21例題示范例題示范例例2 2、如圖，已知正方體、如圖，已知正方體abcdabcdabcdabcd中。中。（1 1）哪些棱所在直線與直線）哪些棱所在直線與直線baba是異面直線？是異面直線？（2 2）直線）直線baba和和cccc的夾角是多少？的夾角是多少？（3 3）哪些棱所在的直線與直線）哪些棱所在的直線與直線aaaa垂

14、直？垂直？解：（解：（1 1）由異面直線的判）由異面直線的判定方法可知，與直線定方法可知，與直線ba成異面直線的有直線成異面直線的有直線,b cad cc dd dc d c ，.22例題示范例題示范例例2 2、如圖，已知正方體、如圖，已知正方體abcdabcdabcdabcd中。中。（1 1）哪些棱所在直線與直線）哪些棱所在直線與直線baba是異面直線？是異面直線？（2 2）直線）直線baba和和cccc的夾角是多少？的夾角是多少？（3 3）哪些棱所在的直線與直線）哪些棱所在的直線與直線aaaa垂直？垂直？解：（解：（2 2）由）由 可知，可知， 等于異面直線等于異面直線與與 的夾角的夾角,

15、 ,所以異面直所以異面直線線 與與 的夾角為的夾角為45450 0 。 /bbccbbabacc,ab bc cd da a bb c c d d a (3)直線直線與直線與直線都垂直都垂直.aaccba.23 【例3】空間四邊形abcd中，abcd且ab與cd所成的角為30，e、f分別是bc、ad的中點，求ef與ab所成角的大小 思路分析：要求ef與ab所成的角，可經(jīng)過某一點作兩條直線的平行線，考慮到e、f為中點，故可過e或f作ab的平行線取ac的中點，平移ab、cd，使已知角和所求的角在一個三角形中求解.24 解：取ac的中點g，連接eg、fg， 則egab，gfcd， 且由abcd知eg

16、fg， gef(或它的補角)為ef與ab所成的角，egf(或它的補角)為ab與cd所成的角 ab與cd所成的角為30， egf30或150.25 由egfg知efg為等腰三角形，當egf30時， gef75； 當egf150時，gef15. 故ef與ab所成的角為15或75.26 (1)求異面直線所成的角，關(guān)鍵是將其中一條直線平移到某個位置使其與另一條直線相交，或?qū)蓷l直線同時平移到某個位置，使其相交平移直線的方法有：直接平移，中位線平移，補形平移 (2)求異面直線所成角的步驟： 作：通過作平行線，得到相交直線； 證：證明相交直線所成的角為異面直線所成的角； 求：通過解三角形，求出該角. 求異

17、面直線的方法求異面直線的方法.27.28答案：c .29 【例4】長方形abcda1b1c1d1中，ab8，bc6，在線段bd，a1c1上各有一點p，q，在pq上有一點m，且pmmq，則m點的軌跡圖形的面積為_創(chuàng)新題型創(chuàng)新題型.30答案：24 .31 變式遷移4 在正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別為棱aa1，cc1的中點，則在空間中與三條直線a1d1，ef，cd都相交的直線() a不存在 b有且只有兩條 c有且只有三條 d有無數(shù)條cdbacdabef.32 解析：本小題主要考查立體幾何中空間直線相交問題，考查學生的空間想象能力在ef上任意取一點m，直線a1d1與m確定一個平面，這個

18、平面與cd有且僅有1個交點n，當m取不同的位置就確定不同的平面，從而與cd有不同的交點n，而直線mn與這3條異面直線都有交點的如下圖： 答案：d.33 1刻畫平面性質(zhì)的三個公理是研究空間圖形進行邏輯推理的基礎(chǔ)，三個公理是立體幾何作圖的依據(jù)，通過作圖(特別是截面圖)的訓(xùn)練，可加深對公理的掌握與理解其中確定平面的公理2是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的依據(jù)規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié).34 2注意文字語言、數(shù)學圖形語言和符號語言的相互轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，能夠從集合的角度闡述點、線、面之間的聯(lián)系，證明共點、共線或共面問題常用歸一法，如多線共點問題，先證明兩條直線交于一點，再證其余直線都經(jīng)過這點 3異面直線是立體幾何的

19、重點和難點之一，對其定義要理解準確，有關(guān)異面直線的論證，經(jīng)常要用反證法；異面直線所成的角，常通過平移，使兩異面直線移到同一個平面的位置上來求.35 4平面幾何中有些概念和性質(zhì)，推廣到空間不一定正確如：“過直線外一點只能作一條直線與已知直線垂直”“同垂直于一條直線的兩條直線平行”等在空間就不正確而有些命題推廣到空間還是正確的，如平行線的傳遞性及關(guān)于兩角相等的定理等所以將空間圖形問題類比平面圖形問題是本章復(fù)習的重要方法，如(1)公理4是平面內(nèi)平行傳遞性的推廣；(2)等角定理是由平面圖形推廣到空間圖形；(3)從直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，類比聯(lián)想平面與平面的位置關(guān)系；(4)兩個平面互相垂直與兩

20、條直線互相垂直概念的類比.36練一練練一練, ,鞏固新知：鞏固新知：p48p48頁練習頁練習1,21,2題。題。例例3:3: 如圖，如圖，? ?是平面是平面外的一點外的一點分別是分別是的重心，的重心，求證：求證：。abcd,gh,abcacd/ghbd?n?m?h?g?d?c?b?a證明：連結(jié)證明：連結(jié)?分別交分別交?于于?, ,連結(jié)連結(jié)?,?,?g,hg,h分別是分別是abc,acdabc,acd的重的重心心,m,n,m,n分別是分別是bc,cdbc,cd的中點的中點,?,?mn/bd,mn/bd,又又? ?gh/mn,?gh/mn,由公理由公理4 4知知gh/bd.?gh/bd.?,ag

21、ah,bc cd,m nmn23agahaman.37練習反饋：練習反饋：1.?1.?判斷判斷: :（1 1）平行于同一直線的兩條直線平行）平行于同一直線的兩條直線平行. .（?）（2 2）垂直于同一直線的兩條直線平行）垂直于同一直線的兩條直線平行. .（? ）（3 3）過直線外一點，有且只有一條直線與已知）過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行直線平行 . . （?）（4 4）與已知直線平行且距離等于定長的直線只）與已知直線平行且距離等于定長的直線只有兩條有兩條. . （?）（5 5）若一個角的兩邊分別與另一個角的兩邊平）若一個角的兩邊分別與另一個角的兩邊平行，那么這兩個角相等（行，那

22、么這兩個角相等（?）（6 6）若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平）若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等等. （） .38練習反饋：練習反饋：2 2選擇題選擇題 （1 1）“a a，b b是異面直線是異面直線”是指是指 a ab b=,=,且且a a不平行于不平行于b b；a?a? 平面平面 ，b b 平面平面 且且a ab b=?=?a a 平面平面 ，b b 平面平面 不存在平面不存在平面 ，能，能使使a a 且且b b 成立成立上述結(jié)論中，正確的是上述結(jié)論中，正確的是（ ）（a a）? ?（b b）? ?（

23、c c）? ?（d d）（2 2）長方體的一條對角線與長方體的棱所組成）長方體的一條對角線與長方體的棱所組成的異面直線有的異面直線有 （ ） （a a）2 2對對? ?（b b）3 3對對（c c）6 6對對 （d d）1212對對c cc c.39（3 3）兩條直線）兩條直線a a, ,b b分別和異面直線分別和異面直線c c, ,d d都相交，都相交，則直線則直線a a，b b的位置關(guān)系是（的位置關(guān)系是（ ） （a a）一定是異面直線）一定是異面直線（b b）一定是相交直線）一定是相交直線 （c c）可能是平行直線）可能是平行直線? ?（d d）可能是異面直線，也可能是相交直線）可能是異面直線，也可能是相交直線（4 4）一條直線和兩條異面直線中的一條平行）一條直線和兩條異面直線中的一條平行, ,則則它和另一條的位置關(guān)系是它和另一條的位置關(guān)系是( ?)( ?)（a a）平行）平行（b b）相交）相交（c c）異面）異面（d d）相交或異面）相交或異面3 3兩條直線互相垂直，它們一定相交嗎？兩條直線互相垂直，它們一定相交嗎？ 答：不一定，還可能異面答：不一定，還可能異面d dd d.404.4.垂直于同一直線的兩條直線垂直于同一直線的兩條直線, ,