現(xiàn)代控制理論習(xí)題10頁(yè)

1、§2 線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析 對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析的目的，是要揭示系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和基本特性。通過(guò)定量分析，對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行精確的研究，即定量的確定系統(tǒng)由外部激勵(lì)作用所引起的響應(yīng)。通過(guò)定性分析，則著重對(duì)系統(tǒng)行為和綜合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵性質(zhì)：能控性、能觀性、穩(wěn)定性等進(jìn)行研究。 §2.1 基本概念一、基本概念1、運(yùn)動(dòng)分析的實(shí)質(zhì)，從數(shù)學(xué)上看，運(yùn)動(dòng)分析的實(shí)質(zhì)是：相對(duì)于給定的初始狀態(tài)和外部輸入作用，求解狀態(tài)方程的解。2、解的存在唯一性定理：對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)，“如果系統(tǒng)矩陣和的所有元在時(shí)間定義區(qū)間上均為的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，而輸入的元在時(shí)間定義區(qū)間上是連續(xù)實(shí)值函數(shù)，則狀態(tài)方程的解存在且唯一”。定理：

2、對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)，狀態(tài)方程的解存在且唯一的條件是：1）的各元在上絕對(duì)可積：2）的的各元在上絕對(duì)可積：3）的各元在上絕對(duì)可積：說(shuō)明：2）、3）可表示為：。即在上絕對(duì)可積。二、系統(tǒng)的響應(yīng)線性定常系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析意 義條件作用系統(tǒng)響應(yīng)零輸入響應(yīng)在外部輸入為0的情況下，由初始狀態(tài)引起的自由運(yùn)動(dòng)：零狀態(tài)響應(yīng)：在初始狀態(tài)為0的情況下，由外部輸入引起的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)：全響應(yīng)說(shuō)明：1）對(duì)于非零初始時(shí)刻，則系統(tǒng)響應(yīng)為： 三、矩陣指數(shù)函數(shù)1、性質(zhì)：1）2）3）4）5）2、矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算：1）定義計(jì)算；2）對(duì)角計(jì)算：?jiǎn)胃阂阎?， 重根：已知 ，3）多項(xiàng)計(jì)算：4）預(yù)解計(jì)算：四、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)均可理解為一種狀態(tài)的

3、轉(zhuǎn)移：利用這個(gè)概念容易建立起運(yùn)動(dòng)規(guī)律的統(tǒng)一表達(dá)形式。、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對(duì)于，稱滿足如下矩陣方程：的解陣為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。2、性質(zhì)：1）不變性：2）傳遞性：3）可逆性：4）分解性：5）倍時(shí)性：6）微分性：、基本解陣定義：任意選取的個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，并以它們?yōu)榱袠?gòu)成的矩陣函數(shù)，則稱為系統(tǒng)的基本解陣。§2.2基本要求了解線性系統(tǒng)的自由運(yùn)及狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 掌握線性時(shí)不變狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)及常用計(jì)算方法。 §2.3典型例題分析一、矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算【例題2.1.1】試用矩陣指數(shù)函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)法和拉氏變換法求下列矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)：1）， 2）解：1）級(jí)數(shù)展開(kāi)法：拉氏變換法：2）級(jí)數(shù)

4、展開(kāi)法：拉氏變換法：【例題2.1.2】試用對(duì)角線化或約當(dāng)化法計(jì)算下列矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)：1）， 2） 解：1）矩陣A的特征方程為：解之得， 對(duì)于，得答案：，【例題2.1.3】試用凱萊定理計(jì)算下列矩陣的指數(shù)函數(shù)：1）， 2）答案：，【例題2.1.4】試用共軛模態(tài)形計(jì)算下列矩陣的指數(shù)函數(shù)：1）， 2）答案：【例題2.1.5】計(jì)算下列矩陣的指數(shù)函數(shù)。解：1）按定義進(jìn)行計(jì)算：2）按預(yù)解矩陣進(jìn)行計(jì)算：【例題2.1.6】已知：，使用約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形計(jì)算。解：1）矩陣A的特征方程為：解之得，2）對(duì)于，對(duì)于，對(duì)于，求解，二、系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算三、系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)計(jì)算【例題2.1.2】已知線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：，

5、當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為：，求系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)。解：系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)的輸出響應(yīng)：【例題2.1.2】已知線性系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為：，現(xiàn)知對(duì)應(yīng)于兩個(gè)不同初態(tài)時(shí)的狀態(tài)響應(yīng)為： 1）當(dāng)時(shí)，；2）當(dāng)時(shí)，試求該系統(tǒng)的矩陣。解：由，得 所以 因此 【例題2.1.2】已知線性系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為：，并知系統(tǒng)在某一時(shí)刻的狀態(tài)為：，試求對(duì)應(yīng)于該響應(yīng)狀態(tài)的初始狀態(tài)。解：因?yàn)椋海纠}2.1.2】已知輸入為r維時(shí)的n階線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為：，試求在下列輸入函數(shù)作用下，系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)。1） 脈沖函數(shù)：；2） 階躍函數(shù)：；3） 斜波函數(shù)：。解：1）脈沖函數(shù)：2）階躍函數(shù)：3）斜波函數(shù)四、連續(xù)系統(tǒng)的離散系統(tǒng)化【例題4.1.1】已知連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試求采用周期為T時(shí)的離散化方程。解：計(jì)算矩陣的指數(shù)函數(shù)周期為T時(shí)的離散化方程五、離散系統(tǒng)狀態(tài)方程