全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬卷(3)(一試+二試_附詳細(xì)解答)

1、全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬卷(3)一試 一、填空題（本大題共8小題，每小題8分，共64分）1函數(shù)的最大值是 _2青蛙在正六邊形ABCDEF上A點(diǎn)處，每次向相鄰頂點(diǎn)跳躍.到達(dá)D點(diǎn)或者跳滿五次則停止.不同跳躍方式有_種.3設(shè),則的最大值為 _4設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，則通項(xiàng)= _5已知橢圓1(ab0)與直線交于M, N兩點(diǎn), 且(為原點(diǎn)), 當(dāng)橢圓的離心率e, 時(shí), 橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍是 _6對(duì)于每個(gè)大于等于2的整數(shù)，令表示在區(qū)間上不同解的個(gè)數(shù)，表示在區(qū)間上不同解的個(gè)數(shù)，則=_7在平面直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)P(x1, y1), Q(x2, y2)之間的“直角距離”為d(P, Q)=|x1x2|y1y2|若

2、C(x, y)到點(diǎn)A(1, 3), B(6, 9)的“直角距離”相等，其中實(shí)數(shù)x, y滿足0x10, 0y10，則所有滿足條件的點(diǎn)C的軌跡的長(zhǎng)度之和為 _8一個(gè)半徑為1的小球在一個(gè)內(nèi)壁棱長(zhǎng)為的正四面體容器內(nèi)可向各個(gè)方向自由運(yùn)動(dòng)，則該小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是 二、解答題（本大題共3小題，第9題16分，第10、11題20分，共56分）9已知是實(shí)數(shù), 二次函數(shù)滿足，求證：1與1中至少有一個(gè)是的根.10設(shè)，數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)，11已知橢圓，過(guò)定點(diǎn)兩條互相垂直的動(dòng)直線分別橢交圓于兩點(diǎn)。分別為左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。 （1）求向量的最小值；（2）當(dāng)向

3、量與互相垂直時(shí)，求兩點(diǎn)所在直線的斜率。 二試 一、（本題滿分40分）如圖，C為半圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)為直徑BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)作半圓的切線，為切點(diǎn)，的平分線分別交于點(diǎn)求證：以為直徑的圓過(guò)半圓的圓心二、（本題滿分40分）已知m，n為正整數(shù).(1) 用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x1時(shí)，(1x)m1mx；(2) 對(duì)于n6，已知，求證：(m=1, 2, 3, , n)；(3) 求出滿足等式3n4n(n2)n(n3)n的所有正整數(shù)n.三、（本題滿分50分）（1）證明：存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)n，使與同時(shí)為合數(shù).（2）試判斷是否存在正整數(shù)p和q，使得對(duì)于任意n2007，總有與 之一為素?cái)?shù)？并證明你的結(jié)論。四、（本題滿分50分

4、）現(xiàn)有一根由顆珠子串成的項(xiàng)鏈（環(huán)行線串成）。每顆珠子上都標(biāo)著一個(gè)整數(shù)，且它們的和為，求證：我們可以把這串項(xiàng)鏈繩從某處截?cái)啵顾蔀橐桓€段上串著n顆珠子的珠串，它們的相繼標(biāo)號(hào)順次為，且對(duì)一切恒有成立。 全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬卷(3)答案一試1、函數(shù)的定義域?yàn)?, 5，且y0, 當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，即x時(shí)函數(shù)取最大值62、 跳5步共有32種，其中包含3步跳到D的兩種情形，應(yīng)減去8種，所以滿足條件的5步跳有24種。在加上2種3步跳，共26種。3、, 當(dāng)時(shí), 4. ，即 2 =，由此得 2令， ()，有，故，所以5. 由,可得 由得, 即, 將,代入得, 即, 因?yàn)? 得, 得, 有, 解得.6、由得

5、：，即 或，又，則或；但兩組取值可能重復(fù)。若，討論得：時(shí)重復(fù)一組。同理對(duì)于，或，或，時(shí)重復(fù)一組。比較兩種解的取值知，為公共部分，為奇數(shù)時(shí)，比多一組解，但當(dāng)時(shí)重復(fù)一組。 只當(dāng)時(shí)重復(fù)一組。實(shí)質(zhì)只有當(dāng)時(shí)，比多1個(gè)解，其余情況解相同。所以=。7. 由條件得 -當(dāng)y9時(shí)，化為，無(wú)解； 當(dāng)y3時(shí)，化為，無(wú)解；當(dāng)3y9時(shí)，化為 -若x1，則y8.5，線段長(zhǎng)度為；若1x6，則xy9.5，線段長(zhǎng)度為5；若x6，則y3.5，線段長(zhǎng)度為綜上可知，點(diǎn)C的軌跡的構(gòu)成的線段長(zhǎng)度之和為1545(1)答圖18. 如答圖1，考慮小球擠在一個(gè)角時(shí)的情況，記小球半徑為，作平面 /平面，與小球相切于點(diǎn)，則小球球心為正四面體的中心，垂

6、足為的中心因，故，從而記此時(shí)小球與面的切點(diǎn)為，連接，則考慮小球與正四面體的一個(gè)面(不妨取為)相切時(shí)的情況，答圖2易知小球在面上最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，記為，如答圖2記正四面體的棱長(zhǎng)為，過(guò)作于 因，有，故小三角形的邊長(zhǎng)小球與面不能接觸到的部分的面積為（如答圖2中陰影部分） 又，所以由對(duì)稱性，且正四面體共4個(gè)面，所以小球不能接觸到的容器內(nèi)壁的面積共為9、由知二次函數(shù)有零點(diǎn)，若二次函數(shù)只有唯一的零點(diǎn)，則這個(gè)零點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn)，有，解得，由，有，則，故拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所以與1中至少有一個(gè)是的根。若二次函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以或故與1中至少有一個(gè)是的根。10、解：， 當(dāng)時(shí)，

7、即 當(dāng)且時(shí)，當(dāng)時(shí)，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列， ，綜上所述（2）方法一：證明： 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)且時(shí)，對(duì)于一切正整數(shù)，方法二：證明： 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)且時(shí)，要證，只需證，即證，即證即證即證，原不等式成立。對(duì)于一切正整數(shù)，11、解：（1），所以=2.即最小值為當(dāng)點(diǎn)位于短軸上頂點(diǎn)時(shí)，取等號(hào).（2），所以與互相垂直，則線段為直角與直角公共斜邊。設(shè)線段中點(diǎn)為，則，即 設(shè)直線方程為，與聯(lián)立得：，由得： 又由與互相垂直知 直線與合成得：，即，由得，由與解得二試一、證明：連結(jié)，因?yàn)槭前雸A弧的中點(diǎn)，是切線所以所以 因?yàn)槠椒炙运运狞c(diǎn)共圓，四點(diǎn)共圓所以，所以四點(diǎn)共圓，四點(diǎn)共圓，所以共圓，即以為直徑的圓過(guò)半圓的圓心二

8、、解：（）證：當(dāng)x=0或m=1時(shí)，原不等式中等號(hào)顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x1，且x0時(shí)，m2, (1+x)m>1+mx. (i)當(dāng)m=2時(shí)，左邊1+2x+x2, 右邊1+2x，因?yàn)閤0, 所以x2>0，即左邊>右邊，不等式成立；（ii）假設(shè)當(dāng)m=k(k2)時(shí)，不等式成立，即(1+x)k1+kx, 則當(dāng)m=k+1時(shí)，因?yàn)閤1,所以1+x>0. 又因?yàn)閤0, k2, 所以kx20. 于是在不等式(1+x)k1+kx兩邊同乘以1+x得：(1+x)k·(1+x)(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x,所以(1+x)k+11+(k+1)

9、x, 即當(dāng)mk+1時(shí)，不等式也成立. 綜上所述，所證不等式成立.()證：當(dāng)而由（）， （）解：假設(shè)存在正整數(shù)成立，即有（）+1.又由（）可得（）+ 與式矛盾，故當(dāng)n6時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)n. 故只需要討論n=1, 2, 3, 4, 5的情形；當(dāng)n=1時(shí)，34，等式不成立； 當(dāng)n=2時(shí)，32+4252，等式成立；當(dāng)n=3時(shí)，33+43+5363，等式成立；當(dāng)n=4時(shí)，34+44+54+64為偶數(shù)，而74為奇數(shù)，故34+44+54+6474,等式不成立；當(dāng)n=5時(shí)，同n=4的情形可分析出，等式不成立.綜上，所求的n只有n=2, 3.三、證明：（1），由費(fèi)馬小定理：，所以，令，則 ，即時(shí) ，為合數(shù)。又，所以由費(fèi)馬小定理：所以 ，即時(shí) ，為合數(shù)。因此，只要 時(shí)，都是合數(shù)，這樣的n有無(wú)窮多個(gè). （2）不存在。，取的一個(gè)素因子 則，由費(fèi)馬小定理，知（*）時(shí)，即為合數(shù)。同理，取得一個(gè)素因子，則（*）時(shí)，為合數(shù)。由(*)和(*)知時(shí)與 同時(shí)為合數(shù)。四、解：對(duì)項(xiàng)鏈繩圈任意選擇一個(gè)初始位置和一個(gè)旋轉(zhuǎn)方向,并令其珠子上的標(biāo)號(hào)依次為，由已知,設(shè)第顆珠子對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)， 把第個(gè)坐標(biāo)和比較,橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)之差形成一個(gè)集合,若集合中所有值均為負(fù)數(shù), 則命題得證. 故設(shè)其中有非負(fù)數(shù).則在時(shí), 必存在, 使最大, 選取達(dá)到最大值時(shí)的最大為。建立新坐標(biāo)以第+1顆珠子作為新的初始位置,重新排列珠