高等代數(shù)選講數(shù)域P上的一元多項(xiàng)式環(huán)文檔資料

1、1目錄 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2一、數(shù)域的定義一、數(shù)域的定義 ,0,1.,( ,),01,ppa bp a bab abpabppb 設(shè)設(shè) 是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)集集的的一一個(gè)個(gè)非非空空子子集集 且且如如果果對(duì)對(duì)任任意意可可以以相相同同 都都有有且且當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)那那么么 就就稱稱為為 定定義義一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)域域. ., ,q r c全全體體有有理理數(shù)數(shù)組組成成的的集集合合 全全體體實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)組組成成的的集集合合, ,全全體體復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)組組成成的的集集合合 例例如如有有理理數(shù)數(shù)域域, ,實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)域域, ,都都是是數(shù)數(shù)域域. .分分別別稱稱為為, ,分分別別用用字字母母復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)域域來(lái)來(lái)代代表表. .,全全體體整整數(shù)數(shù)組組

2、成成的的集集合合 不不是是數(shù)數(shù)域域. .因因兩兩個(gè)個(gè)整整數(shù)數(shù)之之商商不不一一定定 是是整整數(shù)數(shù). .首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3二、例二、例1 2 | ,( 2)paba bqpq 設(shè)設(shè)則則 是是數(shù)數(shù)域域 這這 域域用用例例個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)表表示示. .0,1.p 證證 顯顯然然2,2,abcdp (2)(2)()() 2,abcdacbdp (2)(2)(2)() 2,abcdacbdadbcp 20,20,abab 設(shè)設(shè)則則,20,0,0,20,;abbaab 事事實(shí)實(shí)上上 若若則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 有有于于是是與與假假設(shè)設(shè)矛矛盾盾首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 42.與與是是無(wú)無(wú)理理數(shù)數(shù)的的事事實(shí)實(shí)矛

3、矛盾盾0,2,abqb當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 有有首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2(2)(2)2(2)(2)cdcdabababab 而而 22222222acbdadbcpabab 22(2)() 22acbdadbcab ( 2)2 | ,.qaba bq 故故是是數(shù)數(shù)域域5首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ()| ,.qpabp a bq p 同同樣樣可可證證是是素素?cái)?shù)數(shù)是是數(shù)數(shù)域域 任任何何數(shù)數(shù)域域都都包包含含有有定定理理理理數(shù)數(shù)域域. .6首頁(yè) 上頁(yè) 返回 結(jié)束 三、一元多項(xiàng)式的基本概念三、一元多項(xiàng)式的基本概念其中其中 稱為系數(shù)在數(shù)域稱為系數(shù)在數(shù)域p中的中的一元多一元多項(xiàng)式項(xiàng)式, 或者簡(jiǎn)稱為數(shù)域或者簡(jiǎn)

4、稱為數(shù)域p上的一元多項(xiàng)式上的一元多項(xiàng)式.01,na aap 1110 (1)nnnna xaxa xa 定義定義2 設(shè)設(shè)n是一非負(fù)整數(shù)是一非負(fù)整數(shù), 形式表達(dá)式形式表達(dá)式0(1),().iiia xaiai 在在多多項(xiàng)項(xiàng)式式中中稱稱為為為為 次次項(xiàng)項(xiàng)的的系系數(shù)數(shù)叫叫做做或或次次項(xiàng)項(xiàng)零零次次項(xiàng)項(xiàng)常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng) 常用常用 f (x), g (x), ，或，或 f, g, 來(lái)表示一元多來(lái)表示一元多項(xiàng)式項(xiàng)式.設(shè)設(shè)p是一個(gè)數(shù)域是一個(gè)數(shù)域, x是一個(gè)符號(hào)是一個(gè)符號(hào)(或稱文字或稱文字).7四、次數(shù)公式四、次數(shù)公式定理定理 設(shè)設(shè) f (x), g(x)是數(shù)域是數(shù)域p上的兩個(gè)非零多項(xiàng)式上的兩個(gè)非零多項(xiàng)式, 則則(

5、i)( )( )0,( ( )( )max( ( ( ), ( ( )f xg xf xg xf xg x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) (ii)( ) ( )( )( ( )f x g xf xg x 定義定義 所有系數(shù)在數(shù)域所有系數(shù)在數(shù)域p上的一元多項(xiàng)式的全體上的一元多項(xiàng)式的全體, 稱為數(shù)域稱為數(shù)域p上的上的一元多項(xiàng)式環(huán)一元多項(xiàng)式環(huán), 記為記為px,p稱為稱為px的的系數(shù)域系數(shù)域.8222 1. ( ), ( )( ),: ( )( )( )( )( )( )0.f xg xh xfxxgxxhxf xg xh x設(shè)設(shè)和和是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)域域上上多多項(xiàng)項(xiàng)式式 證證明明 若若則則 2. ( ), ( )( ).f

6、xg xh x求求一一組組滿滿足足上上式式的的不不全全為為零零的的復(fù)復(fù)系系數(shù)數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)式式和和9 ( ), ( ) , ( )0,( ), ( ) , ( )( ) ( )( ) (1)( ( )( ( )(0).(f xg xp xg xq x r xp xf xq x g xr xr xg xr x 帶帶余余除除設(shè)設(shè)則則唯唯一一存存在在使使得得其其中中或或者者法法 定定理理 (1)式中的式中的g(x)與與r(x)分別稱為分別稱為g(x)除除 f (x)所得的所得的商式商式與與余式余式.五、帶余除法五、帶余除法10322( )3456, ( )31,( )( ),.f xxxxg xxxg

7、xf x 設(shè)設(shè)用用去去 除除求求商商式式余余式式 例例和和 231xx ( )g x323456xxx ( )f x32393xxx13 21386xx2133913xx317x ( )r x ( )q x 3x解解故商式故商式余式余式( )313,q xx ( )317.r xx ( )(313) ( )(317).f xxg xx于是于是112322111 xx+1x +xx 求求一一個(gè)個(gè)次次數(shù)數(shù)最最低低的的實(shí)實(shí)系系數(shù)數(shù)多多項(xiàng)項(xiàng)式式， 使使其其被被除除余余式式為為， 例例 被被除除余余式式為為。12六、整除概念及性質(zhì)六、整除概念及性質(zhì) 定義定義 設(shè)設(shè) f (x), g(x)px, 如果存在

8、如果存在h(x)px,使使 f (x) = g(x)h(x)則稱則稱g(x)整除整除 f (x), 記為記為g(x)| f (x), 并稱并稱g(x)是是 f (x)的的因式因式, f (x)是是g(x)的的倍式倍式.當(dāng)當(dāng)g(x)不整除不整除 f (x)時(shí)時(shí), 記為記為注注: (1) “整除整除”只是多項(xiàng)式間的一種關(guān)系而不是一只是多項(xiàng)式間的一種關(guān)系而不是一種運(yùn)算種運(yùn)算. (2) 任何一個(gè)多項(xiàng)式任何一個(gè)多項(xiàng)式g(x)都能整除零多項(xiàng)式都能整除零多項(xiàng)式.(3) 零多項(xiàng)式能且只能零多項(xiàng)式能且只能整除零多項(xiàng)式整除零多項(xiàng)式.13 (4) 零次多項(xiàng)式零次多項(xiàng)式(即數(shù)域即數(shù)域p中非零數(shù)中非零數(shù))是任何多項(xiàng)式是

9、任何多項(xiàng)式的因式的因式, 且反之亦然且反之亦然. ( ), ( ) , ( )0,( )|( )1( (.f xg xp xg xg xf xg xf x 設(shè)設(shè)則則除除的的余余理理式式為為零零定定14 1. ( )|( ), ( )|( ) ( )( ), .f xg xg xf xf xcg xc 如如果果，則則為為非非零零常常數(shù)數(shù)多項(xiàng)式的整除有如下的一些多項(xiàng)式的整除有如下的一些基本性質(zhì)基本性質(zhì):2. ( )|( ), ( )| ( ), ( )| ( ).f xg xg xh xf xh x若若則則(整除的傳遞性整除的傳遞性)1122 3. ( )|( ), ( ) , 1,2, ,( )

10、|( )( )( )( )( )( )iirrf xg xu xp xirf xu x gxux gxux gx 若若則則4. ().零零次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式 即即非非零零常常數(shù)數(shù) 能能整整除除任任一一多多項(xiàng)項(xiàng)式式5. , ( )|( ).cc f xf x設(shè)設(shè) 是是非非零零常常數(shù)數(shù) 則則有有151|1| .dnxxd n 證證明明：例例1 1|,|nnnnxa xaxa xa 證證明明：又又問(wèn)問(wèn)何何時(shí)時(shí)例例2 2？42331322=mnt 求求g g( (x x) ) x x + +x x + +1 1 整整除除f f( (x x) )= =x xx xx x 的的條條件件. . ( (或或者者

11、 例例3 3g g( (x x) ) x x + +x x+ +1 1）16七、最大公因式七、最大公因式( ), ( ),( )|( ),( )|( ),( )( )( ).f xg xxf xxg xxf xg x 設(shè)設(shè)是是兩兩個(gè)個(gè)多多項(xiàng)項(xiàng)式式 如如果果多多項(xiàng)項(xiàng)式式且且則則稱稱與與的的一一個(gè)個(gè)公公因因式式為為( ), ( ) ,( ) ,: 1) ( )|( ), ( )|( ); 2) ( )|( ), ( )|( ),( )| ( ).(6)( )( ).f xg xp xd xp xd xf x d xg xh xf x h xg xh xd xd xf xg x定定義義 設(shè)設(shè)如如果果

12、有有滿滿足足下下列列條條件件若若都都有有則則稱稱是是與與的的一一個(gè)個(gè)最最大大公公因因式式 例如例如 對(duì)于任意多項(xiàng)式對(duì)于任意多項(xiàng)式 f (x), f (x)就是就是 f (x)與與0的的一個(gè)最大公因式一個(gè)最大公因式. 特別地特別地, 兩個(gè)零多項(xiàng)式的最大公因式就是兩個(gè)零多項(xiàng)式的最大公因式就是0(唯一唯一). 17211( )( )( )( ),( ( )( )ssssssrxqx rxr xr xrx 11( )( ) ( )0.sssrxqx r x 312112( )( )( )( ),( )( )ssssssrxqx rxrxrxrx 111( )( ) ( )( ),( ( )( ( )f

13、 xqx g xr xr xg x 21221( )( ) ( )( ),( ( )( ( )g xqx r xr xr xr x 132332( )( ) ( )( ),( ( )( ( )r xqx rxrxrxrx 211( )( )( )( ),( ( )( )iiiiiirxqx rxr xr xrx 這種方法稱為這種方法稱為輾轉(zhuǎn)相除法輾轉(zhuǎn)相除法.18即兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式即兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式, 如不計(jì)零次因式的差異如不計(jì)零次因式的差異是唯一的是唯一的. 當(dāng)當(dāng) f (x), g(x)不全為零時(shí)不全為零時(shí), 用記號(hào)用記號(hào)( f (x), g(x)來(lái)表來(lái)表示示 f (x)和和g(x

14、)的的首項(xiàng)系數(shù)為首項(xiàng)系數(shù)為1的最大公因式的最大公因式. 由最大公因式定義可知由最大公因式定義可知, 若若 都是都是 f (x)與與g(x)的最大公因式的最大公因式, 則則 于是由整除的性質(zhì)于是由整除的性質(zhì), 12( ),( )dx dx1221( )|( ),( )|( )dxdxdxdx且且，12( )( )0,. dxcdxccp，19 定理定理2 對(duì)任意對(duì)任意 f (x), g(x)px, 其最大公因式其最大公因式d(x)存在存在, 且有且有u(x), v(x)px, 使使 d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) (2)1) 適合定理?xiàng)l件的適合定理?xiàng)l件的u(x), v(

15、x)不是唯一的不是唯一的.2) 對(duì)任意的對(duì)任意的u(x), v(x), 由由( )( ) ( )( ) ( )d xu x f xv x g x ( )( ), ( ).d xf xg x是是的的最最大大公公因因式式 20八、互素八、互素定義定義7 如果如果( f (x), g(x)=1, 則稱則稱 f (x)與與g(x)互素互素. 顯然顯然, f (x)與與g(x)互素互素 它們除零次因式外不再它們除零次因式外不再有其它公因式有其它公因式.幾個(gè)簡(jiǎn)單事實(shí)幾個(gè)簡(jiǎn)單事實(shí): (1) 若若 f (x)與與g(x)互素互素, 則則 f (x)與與g(x)不全為零多項(xiàng)不全為零多項(xiàng)式式. (2) 零多項(xiàng)式與

16、零次多項(xiàng)式互素零多項(xiàng)式與零次多項(xiàng)式互素, 且只與零次多項(xiàng)且只與零次多項(xiàng)式互素式互素.(3) 零次多項(xiàng)式與任意多項(xiàng)式互素零次多項(xiàng)式與任意多項(xiàng)式互素.21( ), ( ) ,( ( ),( )1( ), ( ) ,( ) ( )( ) ( )13 f xg xp xf xg xu x v xp xu x f xv x g x 設(shè)設(shè)則則存存理理在在定定使使 ( ( ), ( )1,( )|( ) ( ),( )| (4). f xg xf xg x h xf xh x 定定理理若若且且則則121212( )|( ),( )|( ),( ),( )1,( )( )|( ). fxg xfxg xfxfxfx fxg x 若若 推推論論1 1則則 (