第7章 熱傳導(dǎo)

1、第七章第七章熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)q一一、熱傳導(dǎo)方程及定解條件熱傳導(dǎo)方程及定解條件 q二二、一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 q三三 、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一一、熱傳導(dǎo)方程及定解條件熱傳導(dǎo)方程及定解條件 PCqzTyTxTtT 2222221導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程 直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)：柱坐標(biāo)柱坐標(biāo)： PCqzTTrrTrrrtT 2222211球坐標(biāo)球坐標(biāo)： PCqTrTrrTrrrtT 222222sin1sinsin11一維一維( x 向或向或 r 向向)導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程： 直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)： 22xTtT 柱坐標(biāo)柱坐標(biāo)： rTrrrtT1 球坐標(biāo)球坐標(biāo)： rTrrrtT221 通式通式

2、： )(1xTxxxtTii 2定解條件定解條件v導(dǎo)熱微分方程是對(duì)導(dǎo)熱物體內(nèi)部溫度場(chǎng)內(nèi)在規(guī)導(dǎo)熱微分方程是對(duì)導(dǎo)熱物體內(nèi)部溫度場(chǎng)內(nèi)在規(guī)律的描述，適用于所有的導(dǎo)熱過(guò)程，是一普遍律的描述，適用于所有的導(dǎo)熱過(guò)程，是一普遍適用方程。適用方程。v要獲得特定條件下導(dǎo)熱問(wèn)題的解必須附加限制要獲得特定條件下導(dǎo)熱問(wèn)題的解必須附加限制條件條件, ,這些限制條件稱為定解條件。這些限制條件稱為定解條件。v定解條件包括時(shí)間條件（定解條件包括時(shí)間條件（初始條件初始條件）和）和邊界條邊界條件件。v所以，導(dǎo)熱問(wèn)題完整的數(shù)學(xué)描述應(yīng)包括其導(dǎo)熱所以，導(dǎo)熱問(wèn)題完整的數(shù)學(xué)描述應(yīng)包括其導(dǎo)熱微分方程和相應(yīng)的定解條件微分方程和相應(yīng)的定解條件。

3、定解條件定解條件 v初始條件初始條件（I.C.） 反映研究對(duì)象的特定歷史條件。反映研究對(duì)象的特定歷史條件。 追溯了在某個(gè)初始時(shí)刻的狀態(tài)追溯了在某個(gè)初始時(shí)刻的狀態(tài)。v邊界條件邊界條件（B.C.） 反映所研究對(duì)象是處于怎樣的特定環(huán)境。反映所研究對(duì)象是處于怎樣的特定環(huán)境。 環(huán)境通過(guò)體系的邊界將如何影響所研究的對(duì)象環(huán)境通過(guò)體系的邊界將如何影響所研究的對(duì)象。q 下面以下面以傳熱為例傳熱為例寫出相應(yīng)的初始條件和邊界條件。寫出相應(yīng)的初始條件和邊界條件。q給定某時(shí)刻物體內(nèi)的溫度或濃度分布，寫為：給定某時(shí)刻物體內(nèi)的溫度或濃度分布，寫為： 傳熱傳熱 傳質(zhì)傳質(zhì) )0 ,(zyxAA 對(duì)于對(duì)于初始時(shí)刻物體內(nèi)溫度或濃度

4、處處均勻分布的情況，寫為：初始時(shí)刻物體內(nèi)溫度或濃度處處均勻分布的情況，寫為： 傳熱傳熱 傳質(zhì)傳質(zhì) )0 ,(zyxTT 0, 0TTt 0, 0AAt 1）初始條件初始條件2 2）邊界條件）邊界條件 v即物體邊界上與環(huán)境的換熱或傳質(zhì)條件。即物體邊界上與環(huán)境的換熱或傳質(zhì)條件。v對(duì)導(dǎo)熱、擴(kuò)散問(wèn)題通常有三類不同的邊界條件對(duì)導(dǎo)熱、擴(kuò)散問(wèn)題通常有三類不同的邊界條件 。直接給出邊界上（任意時(shí)刻）的數(shù)值直接給出邊界上（任意時(shí)刻）的數(shù)值。傳熱傳熱 傳質(zhì)傳質(zhì) 第一類邊界條件第一類邊界條件（記為記為B.C.I）ASA STT 第二類邊界條件第二類邊界條件（記為記為B.C.II）給出邊界上的導(dǎo)數(shù)值（梯度值、通量值）

5、給出邊界上的導(dǎo)數(shù)值（梯度值、通量值）傳質(zhì)傳質(zhì) 0 lxxTkq如溫度分布中心對(duì)稱如溫度分布中心對(duì)稱(x =0)，則寫為則寫為 00 xxTSAABAysyDj 傳熱傳熱 如某一端面如某一端面(L)絕熱，則可具體寫為絕熱，則可具體寫為 SysyTkq kh ,AbbT , 給出邊界上物體與周圍流體之間對(duì)流傳遞系數(shù)給出邊界上物體與周圍流體之間對(duì)流傳遞系數(shù) 以及與周圍流體溫度或濃度平均值以及與周圍流體溫度或濃度平均值 之間的關(guān)系式。之間的關(guān)系式。已知已知 k , Ab傳質(zhì)傳質(zhì) )(AbASSAABkyD 傳熱傳熱 )(|bSSTThyTk 已知已知 h, Tb 第三類邊界條件第三類邊界條件（記為記為

6、B.C.III） 流體側(cè)對(duì)流傳熱通量流體側(cè)對(duì)流傳熱通量SsTk bSTTh 固體側(cè)界面處的導(dǎo)熱通量固體側(cè)界面處的導(dǎo)熱通量 B.C.III第三類邊界條件最為復(fù)雜，其實(shí)質(zhì)包含第三類邊界條件最為復(fù)雜，其實(shí)質(zhì)包含了第一類邊界條件和第二類邊界條件了第一類邊界條件和第二類邊界條件在一些特殊情況下可以將在一些特殊情況下可以將 B.C.III 轉(zhuǎn)為轉(zhuǎn)為B.C.I或或B.C.II，使問(wèn)題簡(jiǎn)化使問(wèn)題簡(jiǎn)化。仍以仍以傳熱傳熱為例給以說(shuō)明。為例給以說(shuō)明。,bsTTh 則則B.C.III 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為B.C.I當(dāng)流體側(cè)為絕熱保溫材料時(shí)當(dāng)流體側(cè)為絕熱保溫材料時(shí)， , 0|, 0 syTh則則B.C.III 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為B.

7、C.II)(|bSSTThyTk 當(dāng)流體側(cè)有強(qiáng)烈的攪拌當(dāng)流體側(cè)有強(qiáng)烈的攪拌, , 使得物體邊界與周圍使得物體邊界與周圍流體之間的流體之間的對(duì)流熱阻對(duì)流熱阻非常小時(shí)非常小時(shí), ,邊界條件可寫為邊界條件可寫為平均溫度平均溫度 又可稱為熱衡算溫度，截面平均溫度，主體溫度又可稱為熱衡算溫度，截面平均溫度，主體溫度。 平均濃度平均濃度 bAzAAbuAdAu 又可稱截面平均濃度，主體濃度又可稱截面平均濃度，主體濃度。bAzuAdAuT dAuCdAuTCTAPAPb q有了導(dǎo)熱微分基本方程式，就可根據(jù)實(shí)有了導(dǎo)熱微分基本方程式，就可根據(jù)實(shí)際情況選擇適當(dāng)?shù)某跏紬l件和邊界條件際情況選擇適當(dāng)?shù)某跏紬l件和邊界條件

8、來(lái)求特定條件下的解。來(lái)求特定條件下的解。q求解的過(guò)程需要用到數(shù)學(xué)知識(shí)求解的過(guò)程需要用到數(shù)學(xué)知識(shí)q邊界條件，初始條件的確定則要憑借工邊界條件，初始條件的確定則要憑借工程經(jīng)驗(yàn)程經(jīng)驗(yàn)。二二、一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 v1. 大平板穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱大平板穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱v2. 長(zhǎng)圓柱體穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱長(zhǎng)圓柱體穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 ( (有內(nèi)熱源有內(nèi)熱源) )v3. 圓球及圓殼內(nèi)的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（有內(nèi)熱源）圓球及圓殼內(nèi)的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（有內(nèi)熱源） 在工程實(shí)踐中會(huì)遇到在工程實(shí)踐中會(huì)遇到溫度隨時(shí)間變化溫度隨時(shí)間變化的的非非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題。實(shí)際上，只要物體受到加熱或冷卻，就會(huì)產(chǎn)生非實(shí)際上，只要物體受到加熱或冷卻，就會(huì)產(chǎn)生非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題

9、。例如，食物冷卻、化凍、工件的淬火、鑄件的冷例如，食物冷卻、化凍、工件的淬火、鑄件的冷卻、土壤溫度的變化、熱動(dòng)力設(shè)備起停時(shí)部件溫卻、土壤溫度的變化、熱動(dòng)力設(shè)備起停時(shí)部件溫度的變化等，都涉及熱量傳遞的非穩(wěn)態(tài)過(guò)程度的變化等，都涉及熱量傳遞的非穩(wěn)態(tài)過(guò)程。 三、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱三、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 三、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱三、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱q在工程問(wèn)題中，需要知道當(dāng)物體表面的熱狀態(tài)在工程問(wèn)題中，需要知道當(dāng)物體表面的熱狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)，物體內(nèi)給定的溫度變化到某一確發(fā)生變化時(shí)，物體內(nèi)給定的溫度變化到某一確定值需要的時(shí)間，這也是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題定值需要的時(shí)間，這也是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題。q在本節(jié)將著重討論在本節(jié)將著重討論薄壁薄壁、無(wú)限大物體無(wú)

10、限大物體、厚厚壁物體壁物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱中的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱中的溫度分布及求解溫度分布及求解方法方法。q非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程中物體內(nèi)的溫度隨時(shí)間變化，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程中物體內(nèi)的溫度隨時(shí)間變化，所以過(guò)程的分析和計(jì)算比穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱困難。所以過(guò)程的分析和計(jì)算比穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱困難。非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程的特點(diǎn)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程的特點(diǎn) v非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程的最主要特點(diǎn)是，物體內(nèi)部的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程的最主要特點(diǎn)是，物體內(nèi)部的溫度場(chǎng)隨時(shí)間和空間變化。溫度場(chǎng)隨時(shí)間和空間變化。 v出現(xiàn)這種特點(diǎn)的原因是，當(dāng)邊界上換熱情況突出現(xiàn)這種特點(diǎn)的原因是，當(dāng)邊界上換熱情況突然變化后，隨時(shí)間推移，物體內(nèi)部溫度將由表然變化后，隨時(shí)間推移，物體內(nèi)部溫度將由表及里地逐漸發(fā)生變化

11、。及里地逐漸發(fā)生變化。 v如果邊界上維持變化后的換熱狀態(tài)，則非穩(wěn)態(tài)如果邊界上維持變化后的換熱狀態(tài)，則非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程將過(guò)渡到穩(wěn)態(tài)過(guò)程導(dǎo)熱過(guò)程將過(guò)渡到穩(wěn)態(tài)過(guò)程。 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程的特點(diǎn)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程的特點(diǎn)從非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程的起因從非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程的起因邊界換熱情況變邊界換熱情況變化這一因素化這一因素來(lái)看來(lái)看，3 3種不同邊界條件種不同邊界條件對(duì)物對(duì)物體內(nèi)部溫度隨時(shí)間和空間變化的影響也有所不體內(nèi)部溫度隨時(shí)間和空間變化的影響也有所不同，但其實(shí)質(zhì)是一樣的，都是由于邊界條件的同，但其實(shí)質(zhì)是一樣的，都是由于邊界條件的變化引起物體內(nèi)能變化所造成的變化引起物體內(nèi)能變化所造成的。 本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容 1. 薄壁物

12、體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱薄壁物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（集總熱容法集總熱容法 Bi 0.1 ）2. 半半無(wú)限大物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱無(wú)限大物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（F0 Tb 。q討論：物體內(nèi)溫度隨時(shí)間的變化關(guān)系討論：物體內(nèi)溫度隨時(shí)間的變化關(guān)系。q解決薄壁物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，因?yàn)樵谖⒎址匠痰暮?jiǎn)解決薄壁物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，因?yàn)樵谖⒎址匠痰暮?jiǎn)化過(guò)程中化過(guò)程中不可能引用邊界條件不可能引用邊界條件，所以不能直接采用導(dǎo)，所以不能直接采用導(dǎo)熱微分方程。熱微分方程。v解決的辦法是：解決的辦法是：1. 將邊界對(duì)流換熱條件視為將邊界對(duì)流換熱條件視為 微分方程中的內(nèi)熱源微分方程中的內(nèi)熱源 2. 直接從直接從熱平衡概念熱平衡概念出發(fā)求解出發(fā)求解。

13、方法一方法一-導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程 由上面給出的條件，可以得到邊界處換熱量，進(jìn)而得由上面給出的條件，可以得到邊界處換熱量，進(jìn)而得到內(nèi)熱源發(fā)熱率為到內(nèi)熱源發(fā)熱率為 得得 VATThCdtdTb)(1 Ck 薄壁導(dǎo)熱微分方程薄壁導(dǎo)熱微分方程VATThqb)( kqzTyTxTtT 2222221 導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程將上式代入導(dǎo)熱微分方程將上式代入導(dǎo)熱微分方程 kqdTdT 1方法二方法二- 對(duì)物體進(jìn)行熱衡算對(duì)物體進(jìn)行熱衡算v環(huán)境得到的熱量物體內(nèi)部放出的熱量環(huán)境得到的熱量物體內(nèi)部放出的熱量即即 環(huán)境得到環(huán)境得到 的熱量的熱量移項(xiàng)后得移項(xiàng)后得 VATThCdtdTb)(1 (7-26)薄壁導(dǎo)

14、熱微分方程薄壁導(dǎo)熱微分方程dtdTVC ATThb)( 物體內(nèi)部物體內(nèi)部放出熱量放出熱量考慮初始條件為考慮初始條件為 將上述方程分離變量，時(shí)間從將上述方程分離變量，時(shí)間從 0 t，溫度從，溫度從T0 T 積分得積分得 積分得：積分得： tVChATTTTbo | )ln(0, 0TTt tTTbbdtVChATTTTd00)( VATThCdtdTb)(1 集總熱容法集總熱容法得到薄壁物體內(nèi)的溫度分布得到薄壁物體內(nèi)的溫度分布 tVChAbbeTTTT 0（7-28）上式上式給出了薄壁物體在環(huán)境溫度為常數(shù)的對(duì)流條件給出了薄壁物體在環(huán)境溫度為常數(shù)的對(duì)流條件下，物體內(nèi)的溫度隨時(shí)間的變化關(guān)系，見(jiàn)圖下，

15、物體內(nèi)的溫度隨時(shí)間的變化關(guān)系，見(jiàn)圖 。 tVChAbbeTTTT 0此式表明，物體內(nèi)部溫度隨時(shí)間呈指數(shù)衰減，且經(jīng)歷時(shí)間越長(zhǎng)，此式表明，物體內(nèi)部溫度隨時(shí)間呈指數(shù)衰減，且經(jīng)歷時(shí)間越長(zhǎng)，物體內(nèi)的溫度離初始值越遠(yuǎn)，最終物體溫度趨于流體溫度物體內(nèi)的溫度離初始值越遠(yuǎn)，最終物體溫度趨于流體溫度。 溫度隨時(shí)間的衰減關(guān)系圖溫度隨時(shí)間的衰減關(guān)系圖（7-28）未變分?jǐn)?shù)未變分?jǐn)?shù)分析上式中指數(shù)項(xiàng)的物理意義。將指數(shù)其分解為分析上式中指數(shù)項(xiàng)的物理意義。將指數(shù)其分解為 tCVkAkAhV22 2)(AVt 式中右側(cè)第二項(xiàng)稱之為式中右側(cè)第二項(xiàng)稱之為Fouier準(zhǔn)數(shù)準(zhǔn)數(shù)，可視為無(wú)因次時(shí)間可視為無(wú)因次時(shí)間 tVChAbbeTTTT

16、 0kAVh tCVAh 式中右側(cè)第一項(xiàng)稱之為式中右側(cè)第一項(xiàng)稱之為Biot準(zhǔn)數(shù)準(zhǔn)數(shù)，可視為兩熱阻之比可視為兩熱阻之比 畢渥特畢渥特(Biot)準(zhǔn)數(shù)的物理意義準(zhǔn)數(shù)的物理意義越越大大意味著物體內(nèi)部意味著物體內(nèi)部溫度越不均勻溫度越不均勻，溫度梯度較大，溫度梯度較大，內(nèi)部?jī)?nèi)部導(dǎo)熱熱阻起控制導(dǎo)熱熱阻起控制作用作用。 當(dāng)當(dāng) Bi 0.1，物體內(nèi)各點(diǎn)溫度之間的偏差小于物體內(nèi)各點(diǎn)溫度之間的偏差小于0.5%，可視為薄壁物體導(dǎo)熱問(wèn)題可視為薄壁物體導(dǎo)熱問(wèn)題, , 采用采用集總熱容法集總熱容法處理處理。 hkAVBi1 物體外表面對(duì)流熱阻物體外表面對(duì)流熱阻物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻 越越小小物體內(nèi)部溫度趨于均勻

17、，物體內(nèi)部溫度趨于均勻，對(duì)流熱阻起控制作用對(duì)流熱阻起控制作用。 kAVh傅里葉傅里葉（Fouier）準(zhǔn)數(shù)準(zhǔn)數(shù) 20)(AVtF 故故， 可視為可視為無(wú)因次時(shí)間無(wú)因次時(shí)間。 越越，表示溫度表示溫度入物體內(nèi)部，內(nèi)部溫度也越入物體內(nèi)部，內(nèi)部溫度也越 接近周圍介質(zhì)溫度。因此小接近周圍介質(zhì)溫度。因此小值導(dǎo)熱可視為厚物體導(dǎo)熱值導(dǎo)熱可視為厚物體導(dǎo)熱。 smmsAVt222)( 式中指數(shù)具有時(shí)間量綱，式中指數(shù)具有時(shí)間量綱，稱為稱為時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)。這意味著，經(jīng)過(guò)這意味著，經(jīng)過(guò)一個(gè)時(shí)間常數(shù)一個(gè)時(shí)間常數(shù)段，物體與環(huán)境的溫差段，物體與環(huán)境的溫差是初始溫差是初始溫差 ( (T0 -Tb) ) 的的36.8%（溫度未變

18、分率溫度未變分率） 即即一個(gè)時(shí)間常數(shù)一個(gè)時(shí)間常數(shù)是物體溫度是物體溫度 ( (T-Tb) )相對(duì)初始溫差變化相對(duì)初始溫差變化了總變量的了總變量的 63.2 % 所需要的時(shí)間所需要的時(shí)間。 用用 tr 表示，即表示，即368. 010 eTTTTbbhAVCtr 當(dāng)當(dāng) t = tr 時(shí)，有時(shí)，有 tVChAbbeTTTT 0當(dāng)當(dāng) t = tr 時(shí)，時(shí)， TbT已變分率已變分率 0.6321個(gè)時(shí)間常數(shù)個(gè)時(shí)間常數(shù)368. 010 eTTTTbb有有hAVCtr T0未變分率未變分率 0.368當(dāng)當(dāng) t = 4 tr 時(shí)時(shí)， 未變分率未變分率此時(shí)即可認(rèn)為此導(dǎo)熱過(guò)程已達(dá)到此時(shí)即可認(rèn)為此導(dǎo)熱過(guò)程已達(dá)到穩(wěn)定狀

19、態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)。 它反映了薄壁物體動(dòng)態(tài)過(guò)程的一種性質(zhì)它反映了薄壁物體動(dòng)態(tài)過(guò)程的一種性質(zhì)，tr 越小，響應(yīng)就越越小，響應(yīng)就越快快。018. 040 eTTTTbb時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù) tr 是物體在一定換熱條件下的屬性是物體在一定換熱條件下的屬性 368. 010 eTTTTbb時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù) tr時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù) trv由由該式作為指導(dǎo)，工程制作該式作為指導(dǎo)，工程制作時(shí)，希望時(shí)，希望熱電偶的熱電偶的 tr 要小。要小。v能在盡可能短的時(shí)間內(nèi)反映流體溫度的變化能在盡可能短的時(shí)間內(nèi)反映流體溫度的變化意味著意味著：q熱電偶材料的熱容熱電偶材料的熱容, V, C 要小要小， q熱電偶的體積熱電偶的體積 V/

20、A 要小要小, q熱電偶盡量放在氣流大的位置熱電偶盡量放在氣流大的位置，即即 h 要要大大。hAVCtr 式中長(zhǎng)度因次式中長(zhǎng)度因次 V/A 為物體的體積與其傳熱表為物體的體積與其傳熱表面積之比，對(duì)于不同的規(guī)則物體分別有面積之比，對(duì)于不同的規(guī)則物體分別有 ： 3RAV 23434RR ： 2RAV RLLR 22RL ： 6LAV 236LL式中式中 R 為柱和球的半徑為柱和球的半徑，L 為柱長(zhǎng)或正立方體的邊長(zhǎng)為柱長(zhǎng)或正立方體的邊長(zhǎng)。 集總熱容法集總熱容法將指數(shù)的準(zhǔn)數(shù)代入上述溫度分布式將指數(shù)的準(zhǔn)數(shù)代入上述溫度分布式（7-28），），得到得到 （7-32）上式反映了薄壁物體在環(huán)境溫度為常數(shù)的對(duì)流傳

21、熱條件下，上式反映了薄壁物體在環(huán)境溫度為常數(shù)的對(duì)流傳熱條件下，物體內(nèi)的溫度隨時(shí)間物體內(nèi)的溫度隨時(shí)間呈指數(shù)衰減變化關(guān)系呈指數(shù)衰減變化關(guān)系。 00FBibbeTTTT 瞬時(shí)熱流量瞬時(shí)熱流量： ATThQb)( 上面分析了溫度隨時(shí)間的變化關(guān)系，上面分析了溫度隨時(shí)間的變化關(guān)系， 現(xiàn)在設(shè)法找出物體與環(huán)境的熱交換量，現(xiàn)在設(shè)法找出物體與環(huán)境的熱交換量， 即物體傳熱量隨時(shí)間變化關(guān)系即物體傳熱量隨時(shí)間變化關(guān)系。)(0btVChATTeAh 集總熱容法集總熱容法 (Bi 0.1)集總熱容法集總熱容法 (Bi 0.1) tTdtQQ0 ttVChAbdthAeTT00)( 以上討論的均為物體被以上討論的均為物體被冷

22、卻冷卻的情況，同樣可以對(duì)被的情況，同樣可以對(duì)被加熱加熱或邊界條件換為其他形式時(shí)的薄壁物體的導(dǎo)熱進(jìn)行求解或邊界條件換為其他形式時(shí)的薄壁物體的導(dǎo)熱進(jìn)行求解。 )(0btVChATTeAhQ )1()(0tVChAbeVCTT 從從 0 到到 t 時(shí)刻間所交換的時(shí)刻間所交換的： 【例例】應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例 John警長(zhǎng)，在一炎熱夏天的警長(zhǎng)，在一炎熱夏天的凌晨凌晨2 2點(diǎn)，從食品點(diǎn)，從食品冰庫(kù)中發(fā)現(xiàn)一具被害尸體，發(fā)現(xiàn)時(shí)體溫為冰庫(kù)中發(fā)現(xiàn)一具被害尸體，發(fā)現(xiàn)時(shí)體溫為8 0C，1 1小時(shí)后體溫降為小時(shí)后體溫降為0 0C，冰庫(kù)溫度為冰庫(kù)溫度為30 0C。因?yàn)楸缓φ弑环旁谀硞€(gè)通風(fēng)不良的角落中，因因?yàn)楸缓φ弑环旁谀硞€(gè)

23、通風(fēng)不良的角落中，因此對(duì)流換熱系數(shù)此對(duì)流換熱系數(shù)h很小，由此推斷很小，由此推斷 Bi 0.1 。請(qǐng)您根據(jù)以上數(shù)據(jù)請(qǐng)您根據(jù)以上數(shù)據(jù), , 初步判斷被害人是什么時(shí)初步判斷被害人是什么時(shí)候遇害的候遇害的？ tce 當(dāng)當(dāng) t=1h 時(shí)時(shí)， 冰庫(kù)溫度為冰庫(kù)溫度為30 0C得得： 236. 0 c求遇害時(shí)間求遇害時(shí)間： )30()30( 378發(fā)現(xiàn)時(shí)體溫為發(fā)現(xiàn)時(shí)體溫為8 0C說(shuō)明遇害人被害時(shí)間約在前一天晚上說(shuō)明遇害人被害時(shí)間約在前一天晚上11點(diǎn)點(diǎn)30分分。 解得解得：1 cete236. 0 )30(8)30(0 1 1小時(shí)小時(shí)后體溫后體溫從從8 0C降為降為0 0CtCAhVbobeTTTT / 【解解

24、】 因?yàn)橐驗(yàn)锽i0.1） v所謂半無(wú)限大物體是指這樣一類物體，當(dāng)該物體一個(gè)邊所謂半無(wú)限大物體是指這樣一類物體，當(dāng)該物體一個(gè)邊界上換熱條件發(fā)生變化時(shí)，在給定時(shí)間內(nèi)物體總界上換熱條件發(fā)生變化時(shí)，在給定時(shí)間內(nèi)物體總存在存在某個(gè)部分，其溫度不發(fā)生變化。某個(gè)部分，其溫度不發(fā)生變化。 v如如就是一個(gè)例子，當(dāng)?shù)乇頊囟劝l(fā)生變化時(shí)，地就是一個(gè)例子，當(dāng)?shù)乇頊囟劝l(fā)生變化時(shí)，地表面以下總存在某個(gè)區(qū)域不受這個(gè)變化影響表面以下總存在某個(gè)區(qū)域不受這個(gè)變化影響。 v這類導(dǎo)熱又可分為表面熱阻這類導(dǎo)熱又可分為表面熱阻可以忽略可以忽略和表面熱阻和表面熱阻不可不可以忽略以忽略的兩種情況的兩種情況。 1）表面熱阻可以忽略的情況表面熱阻

25、可以忽略的情況 v現(xiàn)假定有一半無(wú)限大物體，其現(xiàn)假定有一半無(wú)限大物體，其初始溫度初始溫度T T0 0為均勻分為均勻分布在物體內(nèi)部，布在物體內(nèi)部，v在在 t = 0 時(shí)刻時(shí)刻，在在 x = 0 處的處的表面溫度突然上升到表面溫度突然上升到Ts（無(wú)表面熱阻的結(jié)果無(wú)表面熱阻的結(jié)果) )，并保持不變，見(jiàn)圖，并保持不變，見(jiàn)圖。 v試確定此情況下物體溫度隨時(shí)間和位置的變化關(guān)系試確定此情況下物體溫度隨時(shí)間和位置的變化關(guān)系 T = f ( x, t ) v求熱流通量求熱流通量 q 的變化關(guān)系的變化關(guān)系。 半無(wú)限大物體內(nèi)溫度隨時(shí)間的變化半無(wú)限大物體內(nèi)溫度隨時(shí)間的變化圖圖 （ Ts T0 加熱過(guò)程）加熱過(guò)程）B.C

26、.I溫度沒(méi)變化部分溫度沒(méi)變化部分與上圖不同，講義給出的是冷卻的例子。與上圖不同，講義給出的是冷卻的例子。（1）方程及定解條件方程及定解條件 22xTtT :IC:BCSTTx , 0 0, 0TTt 0,TTx 導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程： 定解條件定解條件： （2）方程求解方程求解 引入一個(gè)新的引入一個(gè)新的組合變量組合變量： tT tT )2(tT xT tT 41 22xT 代入上式代入上式2241 Tttx 4 23)21(4 txT 于是對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)于是對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)： xT 22xTtT 代入導(dǎo)熱微分方程使其轉(zhuǎn)變?yōu)榇雽?dǎo)熱微分方程使其轉(zhuǎn)變?yōu)槌Ｎ⒎址匠坛Ｎ⒎址匠蹋?deTTTT

27、ss 0022或或 高斯誤差函數(shù)高斯誤差函數(shù) 半無(wú)限大物體的溫度分布半無(wú)限大物體的溫度分布式中高斯誤差函數(shù)是一標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)，可從附錄中查取式中高斯誤差函數(shù)是一標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)，可從附錄中查取。 0222 ddTdTd)()4(0 GtxerfTTTTss 積分上式，并代入積分上式，并代入定解條件定解條件得到得到溫度分布表達(dá)式溫度分布表達(dá)式 (7-44)TsT0T未變分率未變分率0TTTTss 方程的左側(cè)為無(wú)因次溫度，其物理意義是方程的左側(cè)為無(wú)因次溫度，其物理意義是 溫度的未變分率溫度的未變分率（3）討論討論 )4(0txerfTTTTss c. 在同一時(shí)刻在同一時(shí)刻 t ，隨距離增加溫度下降；隨距離增加溫

28、度下降；d. 方程中有三個(gè)未知數(shù)方程中有三個(gè)未知數(shù) x , t , T， 只要知道其中只要知道其中2 2個(gè)，即可求出另外一個(gè)個(gè)，即可求出另外一個(gè)。b. 在同一在同一 x 處，隨時(shí)間的增長(zhǎng)溫度升高處，隨時(shí)間的增長(zhǎng)溫度升高；0TTTTss 1tx 1tL 當(dāng)當(dāng)，此時(shí)此時(shí) x 為滲透深度為滲透深度可則按半無(wú)限大物體處理可則按半無(wú)限大物體處理。 實(shí)際應(yīng)用時(shí)常寫成實(shí)際應(yīng)用時(shí)常寫成 1 . 020 LtF xx=0 處的斜率處的斜率0TT e. 當(dāng)當(dāng)F0 0的任一時(shí)刻平板內(nèi)的溫度分布的任一時(shí)刻平板內(nèi)的溫度分布。 由于平板兩個(gè)表面與環(huán)境對(duì)流換熱情況一樣，由于平板兩個(gè)表面與環(huán)境對(duì)流換熱情況一樣，故溫度分布為中

29、心對(duì)稱面（中心面溫度對(duì)稱故溫度分布為中心對(duì)稱面（中心面溫度對(duì)稱 相當(dāng)于絕熱面）；相當(dāng)于絕熱面）；取直角坐標(biāo)系，取直角坐標(biāo)系，x = 0 的平面取在平板的中心的平面取在平板的中心面上，如圖面上，如圖7-67-6所示。只需研究厚度為所示。只需研究厚度為2L2L的一的一半平板即可。半平板即可。下面對(duì)這一導(dǎo)熱情況建立方程和進(jìn)行求解下面對(duì)這一導(dǎo)熱情況建立方程和進(jìn)行求解。 1 1）忽略表面熱阻的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱）忽略表面熱阻的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 時(shí)間時(shí)間表面溫度表面溫度任意時(shí)刻任意時(shí)刻 溫度溫度x離板中心的位置離板中心的位置初始溫度初始溫度大平板的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱大平板的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱圖圖（B.C.I）q下面對(duì)這一導(dǎo)熱情況建立方

30、程和進(jìn)行求解下面對(duì)這一導(dǎo)熱情況建立方程和進(jìn)行求解。q由于由于y和和z方向無(wú)限大，因此有方向無(wú)限大，因此有q該問(wèn)題的該問(wèn)題的x向?qū)嵛⒎址匠滔驅(qū)嵛⒎址匠炭蓪憺榭蓪憺?0 zy1 1）忽略表面熱阻的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱）忽略表面熱阻的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 微分方程及定解條件微分方程及定解條件 一維導(dǎo)熱微分方程一維導(dǎo)熱微分方程： 定解條件定解條件： ( (板內(nèi)初始溫度均勻板內(nèi)初始溫度均勻) ) .CB0, 0 xTx 0, 0.TTtCI 22xTtT STTLx , 為求解方便，先將方程準(zhǔn)數(shù)化，分別設(shè)定為求解方便，先將方程準(zhǔn)數(shù)化，分別設(shè)定準(zhǔn)數(shù)位置準(zhǔn)數(shù)位置 /20LtF 準(zhǔn)數(shù)溫度準(zhǔn)數(shù)溫度 將準(zhǔn)數(shù)變量代入因次方程，得：

31、將準(zhǔn)數(shù)變量代入因次方程，得： 22xTtT 從上面看，方程并沒(méi)有因?yàn)闇?zhǔn)數(shù)變化得到簡(jiǎn)化從上面看，方程并沒(méi)有因?yàn)闇?zhǔn)數(shù)變化得到簡(jiǎn)化220nF SSTTTT 0 準(zhǔn)數(shù)時(shí)間準(zhǔn)數(shù)時(shí)間Lxn 相應(yīng)的定解條件改寫成相應(yīng)的定解條件改寫成 .CI /20LtF 0, 0TTt SSTTTT 0 .CB0, 1 n0, 0 xTx 定解條件卻因此得到很大的簡(jiǎn)化，均成為定解條件卻因此得到很大的簡(jiǎn)化，均成為0 0，1 1型型。 0, 0 nn STTLx , 1, 00 FLxn 方程通解方程通解 可采用分離變量法求此方程。假定方程的解為可采用分離變量法求此方程。假定方程的解為兩個(gè)函數(shù)的乘積，兩個(gè)函數(shù)的乘積，即即 22

32、0nF 令令 02)cos()sin(1FaiiiiiienaBnaA 解得（解題過(guò)程略）方程的解得（解題過(guò)程略）方程的通解通解為：為： 方程的通解方程的通解適用于厚平板非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的各種邊界條件適用于厚平板非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的各種邊界條件式中有三個(gè)未定常數(shù)式中有三個(gè)未定常數(shù))()(0FYnX 方程特解方程特解 02)cos()sin(1FaiiiienaBinaAi 平板雙向?qū)釡囟确植挤匠蹋ㄆ桨咫p向?qū)釡囟确植挤匠蹋˙.C.I） （7-71）上式為忽略表面熱阻，平板雙向?qū)釙r(shí)，物體內(nèi)的溫度分布方程上式為忽略表面熱阻，平板雙向?qū)釙r(shí)，物體內(nèi)的溫度分布方程 1)2/1(002)2/1cos()12()1

33、(4iFiiSSeniiTTTT 式中三個(gè)未定常數(shù)，分別由初始條件和邊界條式中三個(gè)未定常數(shù)，分別由初始條件和邊界條件代入通解求得件代入通解求得特解特解： 平板雙向?qū)釡囟确植挤匠踢€可用平板雙向?qū)釡囟确植挤匠踢€可用 于平板的一個(gè)端面為于平板的一個(gè)端面為絕熱面絕熱面，另一，另一 斷面突然升溫至斷面突然升溫至Ts情況下的計(jì)算。情況下的計(jì)算。此種情況相當(dāng)于雙向?qū)岬囊话肫酱朔N情況相當(dāng)于雙向?qū)岬囊话肫桨宓膶?dǎo)熱問(wèn)題，即從板中心（絕熱板的導(dǎo)熱問(wèn)題，即從板中心（絕熱面）至另一端面的導(dǎo)熱。面）至另一端面的導(dǎo)熱。最常見(jiàn)的例子是防火墻，即墻的一最常見(jiàn)的例子是防火墻，即墻的一面突然升至面突然升至Ts ，熱流不穩(wěn)定

34、地通入，熱流不穩(wěn)定地通入墻壁，墻的另一面絕熱。墻壁，墻的另一面絕熱?！纠?有一厚度為有一厚度為0.04m0.04m的平板，其導(dǎo)溫系數(shù)的平板，其導(dǎo)溫系數(shù)=0.0028 =0.0028 m m2 2/s/s，平板的初始溫度平板的初始溫度7070，現(xiàn)同時(shí)將平板兩側(cè)表面溫度突然現(xiàn)同時(shí)將平板兩側(cè)表面溫度突然提高到提高到292292。求其中心溫度升高到。求其中心溫度升高到290290時(shí)所需時(shí)間？時(shí)所需時(shí)間？ 【解解】： SSTTTT 0 LXn 0 代入方程代入方程 009. 029270292290 1)2/1(002)2/1cos()12()1(4iFiiSSeniiTTTT .51314009.

35、 0020202)2/5()2/3()2/( FFFeee 代入方程代入方程 則用則用試差法試差法作為第一次近似解，只考慮取一級(jí)，解得：作為第一次近似解，只考慮取一級(jí)，解得： 01. 24009. 0ln)/2(20 F為了求時(shí)間，必須先求為了求時(shí)間，必須先求F0，級(jí)數(shù)太多無(wú)法直接求時(shí)，級(jí)數(shù)太多無(wú)法直接求時(shí)， 01. 24009. 0ln)/2(20 F20LtF 現(xiàn)在檢驗(yàn)級(jí)數(shù)中第二項(xiàng)之后的量現(xiàn)在檢驗(yàn)級(jí)數(shù)中第二項(xiàng)之后的量是否可以忽略是否可以忽略。 hLFt287. 00028. 002. 001. 2220 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?)5131(41246 .4494. 4 eee 當(dāng)當(dāng) F0 0.55

36、時(shí)只需取時(shí)只需取1 1級(jí)，工程上一般取級(jí)，工程上一般取3 35 5級(jí)級(jí)。 顯然，顯然，只取一級(jí)只取一級(jí)是滿足精度要求的，也是滿足精度要求的，也說(shuō)明該無(wú)窮級(jí)數(shù)說(shuō)明該無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂很快收斂很快， 55201058. 310806. 100889. 0 時(shí)時(shí)，在在01. 20 Fv在上節(jié)中只考慮了平板內(nèi)部的導(dǎo)熱。更多的導(dǎo)在上節(jié)中只考慮了平板內(nèi)部的導(dǎo)熱。更多的導(dǎo)熱過(guò)程中，壁溫?zé)徇^(guò)程中，壁溫 Ts 降低不那么快降低不那么快，是未知的。是未知的。v而流體溫度而流體溫度 Ts 和和 對(duì)流傳熱系數(shù)對(duì)流傳熱系數(shù) h ，往往是可，往往是可測(cè)的是已知的。測(cè)的是已知的。v由于壁面兩側(cè)流體溫度和傳熱系數(shù)均相同，板由于壁面

37、兩側(cè)流體溫度和傳熱系數(shù)均相同，板內(nèi)溫度分布是對(duì)稱的，只要求得其中一半的分內(nèi)溫度分布是對(duì)稱的，只要求得其中一半的分布即可，見(jiàn)下圖。布即可，見(jiàn)下圖。 2 2）不可忽略表面熱阻的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱不可忽略表面熱阻的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 ).(IIICB大平板的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱大平板的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（B.C.III） 初始溫度初始溫度環(huán)境溫度環(huán)境溫度壁面溫度逐漸降低壁面溫度逐漸降低 方程及定解條件方程及定解條件 導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程 0, 0.TTtCI .CBLxbxTkTThLx |)(,若可忽略表面熱阻若可忽略表面熱阻STTLx ,0, 0 xTx 定解條件定解條件 22xTtT 方程的解方程的解采用分離變量法采用分離

38、變量法（過(guò)程略），得到一含有無(wú)窮級(jí)數(shù)的解（過(guò)程略），得到一含有無(wú)窮級(jí)數(shù)的解taiiiiiibbieLaLaLaxaLaTTTT2)cos()sin()cos()sin(210 方程解的分析方程解的分析（7-75）方程中方程中： (1) (1) ai i與與Bi 數(shù)數(shù)有關(guān)有關(guān)： (3) (3) x可以整理成與準(zhǔn)數(shù)可以整理成與準(zhǔn)數(shù)位置位置 n 有關(guān)有關(guān)的函數(shù)：的函數(shù)： 20LtF Lxn (2) (2) e 的指數(shù)可以整理成與的指數(shù)可以整理成與 有關(guān)的有關(guān)的函數(shù)函數(shù): : LkhBi 考慮表面熱阻的大平板非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的考慮表面熱阻的大平板非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的taiiiiiibbieLaLaLaxaLaTTT

39、T2)cos()sin()cos()sin(210 所以上式可以表示為所以上式可以表示為 下面先討論下面先討論 2 2種種 特殊情況特殊情況以以 F0, Bi, n 為參數(shù)進(jìn)行圖解法為參數(shù)進(jìn)行圖解法),(00nBiFfTTTTbb taiiiiiibbieLaLaLaxaLaTTTT2)cos()sin()cos()sin(210 特殊情況的討論特殊情況的討論i) )當(dāng)當(dāng)Bi 時(shí)，時(shí)，h ，外部對(duì)流熱阻可以忽略，外部對(duì)流熱阻可以忽略 )2/1( iaiai 代入（代入（7-757-75）得到溫度分布（）得到溫度分布（7-857-85） 1)2/1(002)2/1cos()12()1(4iFii

40、SSeniiTTTT B.C.III B.C.I，即，即 x = 0, T = Ts, 有有可視為的薄壁物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，溫度分布為可視為的薄壁物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，溫度分布為 式中與式中與位置位置有關(guān)的變量有關(guān)的變量被消去了被消去了。 iii) ) 當(dāng)當(dāng)Bi介于兩者之間，則采用介于兩者之間，則采用無(wú)窮級(jí)數(shù)解無(wú)窮級(jí)數(shù)解。 00FBbbieTTTT ii) ) 當(dāng)當(dāng)Bi 0 0時(shí)，時(shí)，k , ,內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻可以忽略內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻可以忽略0t 時(shí)間內(nèi)，通過(guò)端面時(shí)間內(nèi)，通過(guò)端面L處的熱通量處的熱通量 12)/(20cossin)(1 sin)(22iiiiiLtLaibLaLaLaLaeLaTTkLi )

41、(2mJ tLxLdtxTkq0|B.C.IB.C.III廣平板導(dǎo)熱廣平板導(dǎo)熱TbTbTsTsq由上討論可見(jiàn)，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱時(shí)，無(wú)限大平板中的由上討論可見(jiàn)，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱時(shí)，無(wú)限大平板中的溫度分布是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)形式。溫度分布是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)形式。q對(duì)于半徑對(duì)于半徑R的無(wú)限長(zhǎng)的無(wú)限長(zhǎng)和圓球一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱和圓球一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程，其溫度分布，也同樣可采用分離變量法，過(guò)程，其溫度分布，也同樣可采用分離變量法，其解是含有貝塞爾函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)解。其解是含有貝塞爾函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)解。q海斯勒（海斯勒（Heisler）出于工程計(jì)算的目的，將平板、）出于工程計(jì)算的目的，將平板、圓柱和圓球的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱分析解分別繪制成圓

42、柱和圓球的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱分析解分別繪制成圖解形式，給計(jì)算帶來(lái)極大的方便。圖解形式，給計(jì)算帶來(lái)極大的方便。q本書(shū)僅介紹本書(shū)僅介紹 F F0 00.020.02的近似解，其他情況查有關(guān)的近似解，其他情況查有關(guān)圖解。圖解。4 4一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的速算圖一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的速算圖 v圖圖7-7、圖、圖7-8和圖和圖7-9分別給出了計(jì)算無(wú)限大平板、無(wú)限分別給出了計(jì)算無(wú)限大平板、無(wú)限長(zhǎng)圓柱和球體溫度的曲線。長(zhǎng)圓柱和球體溫度的曲線。v所有情況，都以所有情況，都以 Tb b 表示對(duì)流環(huán)境溫度，并假設(shè)初始溫表示對(duì)流環(huán)境溫度，并假設(shè)初始溫度均勻?yàn)槎染鶆驗(yàn)?T0 0v圖中以準(zhǔn)數(shù)時(shí)間圖中以準(zhǔn)數(shù)時(shí)間F0 0為橫坐標(biāo)，以熱阻比

43、為橫坐標(biāo)，以熱阻比 m =1/=1/Bi 為參變?yōu)閰⒆兞苛縱由由F0 0 和和 m 這這 2 個(gè)個(gè)參數(shù)查出物體的溫度。參數(shù)查出物體的溫度。圖圖7-147-14 厚度為厚度為2L2L的無(wú)限大平板中間平面溫度的無(wú)限大平板中間平面溫度p185p185BihLkm1 bbTTTtT 0), 0(20LtF 圖圖7-157-15 半徑為半徑為 R R 的無(wú)限的無(wú)限長(zhǎng)圓柱長(zhǎng)圓柱的軸線溫度的軸線溫度p18520RtF bbTTTtT 0), 0(圖圖7-167-16 半徑為半徑為 R 的的圓球圓球的的中心溫度中心溫度p186q如果要計(jì)算離開(kāi)中心截面如果要計(jì)算離開(kāi)中心截面任意位置任意位置處的處的溫度溫度q平板

44、平板選圖選圖7-17、圓柱圓柱選圖選圖7-18、圓球圓球選選圖圖7-19q從中查得以中心溫度為函數(shù)的溫度值，從中查得以中心溫度為函數(shù)的溫度值，然后將由兩張圖得到的數(shù)值相乘，即可然后將由兩張圖得到的數(shù)值相乘，即可得到任意位置的溫度。得到任意位置的溫度。4 4一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的速算圖一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的速算圖 圖圖7-17 以以中心溫度中心溫度為函數(shù)的大為函數(shù)的大平板內(nèi)溫度分布平板內(nèi)溫度分布p186任意位置任意位置 溫度溫度中心面中心面 溫度溫度bbTtTTtxT ), 0(),(hLk圖圖7-18 7-18 以中心溫度為函數(shù)的以中心溫度為函數(shù)的圓柱圓柱內(nèi)溫度內(nèi)溫度分布分布 p187圖圖7-19 7-1

45、9 以中心溫度為函數(shù)以中心溫度為函數(shù)的的圓球圓球內(nèi)溫度內(nèi)溫度分布分布 p187q由由圖圖7-207-20，圖圖7-217-21，圖圖7-227-22(p188,189)(p188,189)可以查可以查到無(wú)限大平板、無(wú)限長(zhǎng)圓柱和圓球在某時(shí)間內(nèi)到無(wú)限大平板、無(wú)限長(zhǎng)圓柱和圓球在某時(shí)間內(nèi)得到或失去得到或失去熱量熱量Q。q其中其中Q0 0 表示初始溫度為表示初始溫度為T0 0 的物體放在溫度為的物體放在溫度為T Tb b 的環(huán)境中，物體的環(huán)境中，物體所能取得或釋放的熱量所能取得或釋放的熱量q這個(gè)熱量等于物體內(nèi)能的變化，即這個(gè)熱量等于物體內(nèi)能的變化，即)(00bTTCVQ 圖圖7-207-20 大平板大平

46、板隨時(shí)間變化的無(wú)量綱熱損失隨時(shí)間變化的無(wú)量綱熱損失p188p18822kth )(00bTTCVQ khL0QQ圖圖7-217-21 長(zhǎng)圓柱長(zhǎng)圓柱隨時(shí)間變化的無(wú)量綱熱損失隨時(shí)間變化的無(wú)量綱熱損失 p188p188圖圖7-227-22 圓球圓球隨時(shí)間變化的無(wú)量綱熱損失隨時(shí)間變化的無(wú)量綱熱損失 p189p1895 5二維、三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱二維、三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱v以上討論以一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為主。以上討論以一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為主。v但實(shí)際情況多為二維、三維導(dǎo)熱，其解但實(shí)際情況多為二維、三維導(dǎo)熱，其解非常復(fù)雜，本課不做詳細(xì)介紹，只介紹非常復(fù)雜，本課不做詳細(xì)介紹，只介紹稱為稱為Newman法則的簡(jiǎn)便方法。法則的簡(jiǎn)便

47、方法。v以此方法將一維導(dǎo)熱的分析解推廣應(yīng)用以此方法將一維導(dǎo)熱的分析解推廣應(yīng)用到多維導(dǎo)熱的問(wèn)題。到多維導(dǎo)熱的問(wèn)題。 牛曼（Newman）法則法則 vNewman法則認(rèn)為：一些有規(guī)則的物體可以看法則認(rèn)為：一些有規(guī)則的物體可以看作是若干個(gè)無(wú)限尺寸物體的組合。作是若干個(gè)無(wú)限尺寸物體的組合。v如正方體是三個(gè)無(wú)限大平板兩兩正交而成。如正方體是三個(gè)無(wú)限大平板兩兩正交而成。v短圓柱是無(wú)限大平板與無(wú)限長(zhǎng)圓柱正交而成。短圓柱是無(wú)限大平板與無(wú)限長(zhǎng)圓柱正交而成。v組合后物體內(nèi)的溫度分布與組合前各個(gè)物體內(nèi)組合后物體內(nèi)的溫度分布與組合前各個(gè)物體內(nèi)溫度有關(guān)溫度有關(guān)。 可看成是二個(gè)無(wú)限大平板正交而成?？煽闯墒嵌€(gè)無(wú)限大平板正

48、交而成。其解可看成是二個(gè)無(wú)限大平板解的乘積其解可看成是二個(gè)無(wú)限大平板解的乘積2L12L22L1 2L2長(zhǎng)方立柱長(zhǎng)方立柱 yxyx ,yxyx ,bbxTTTtxT 0),( bbyTTTtyT 0),( 厚度為厚度為 2L2L2 2的平板解的平板解（二維二維導(dǎo)熱問(wèn)題）導(dǎo)熱問(wèn)題）厚度為厚度為 2L2L1 1的平板解的平板解bbyxTTTtyxT 0,),( 2L1 2L2正方體（矩形）正方體（矩形） 可看成是可看成是三個(gè)無(wú)限大平板三個(gè)無(wú)限大平板正交而成。正交而成。2L1 2L22L32L1 2L2 2L3其解可看成是三個(gè)無(wú)限大平板解的乘積其解可看成是三個(gè)無(wú)限大平板解的乘積 （三維三維導(dǎo)熱問(wèn)題）導(dǎo)熱問(wèn)題）zyxzyx , 短圓柱體短圓柱體 （二維二維導(dǎo)熱問(wèn)題）導(dǎo)熱問(wèn)題）可看成是可看成是無(wú)限大平板與長(zhǎng)圓柱正交而成無(wú)限大平板與長(zhǎng)圓柱正交而成。2L2R2L平板平板 長(zhǎng)圓柱長(zhǎng)圓柱rxrx ,其解為：其解為：2R值得注意的是，有幾個(gè)一維問(wèn)題解的乘值得注意的是，有幾個(gè)一維問(wèn)題解的乘積得到多維問(wèn)題解的方法不適用于一切積得到多維問(wèn)題解的方法不適用于一切邊界條件。邊界條件。但可以證明對(duì)于但可以證明對(duì)于 B.C.I 和初始溫度均勻和初始溫度均勻?yàn)槌?shù)的情況，