第五章投影變換

1、第五章第五章 投影變換投影變換 重點(diǎn)：重點(diǎn)：掌握平行投影、透視投影以及投影分類(lèi)的概念。 難點(diǎn)：難點(diǎn)：理解并推導(dǎo)透視投影的變換公式及變換矩陣。 課時(shí)安排：課時(shí)安排：授課4學(xué)時(shí)。 人們觀察自然界的物體時(shí)，所得視覺(jué)映像同觀察點(diǎn)、觀察方向有關(guān)。同樣，要用計(jì)算機(jī)生成一幅三維視圖，也需要確定觀察點(diǎn)、觀察方向，還需要將觀察范圍以外的部分圖形裁剪掉。而且，由于圖形輸出設(shè)備通常都是二維的，還必須將三維圖形轉(zhuǎn)換到輸出設(shè)備的觀察平面上，二維圖形基元產(chǎn)生圖形,從三維物體模型描述到二維圖形描述的轉(zhuǎn)換過(guò)程稱(chēng)為投影變換。 投影中心：三維空間中任選一點(diǎn)，記為投影中心點(diǎn)。投影平面：不經(jīng)過(guò)投影中心的任意一平面，作為投影平面。投影

2、線：從投影中心到投影面引出的任意條射線。投影：穿過(guò)物體的投影線與投影面相交，在投影面上形成的物體的像，為三維物體在二維投影面上的投影。投影變換：將三維空間的物體變換到二維平面上的過(guò)程成為投影變換。投影變換分為：透視投影變換和平行投影變換。1、平行投影變換、平行投影變換：平行投影可以看成投影中心在無(wú)限遠(yuǎn)處的投影。見(jiàn)下圖（a）。（a） 平行投影變換示意圖平行投影變換示意圖2、透視投影變換：、透視投影變換：投影射線匯聚于投影中心，或者說(shuō)投影中心在有限遠(yuǎn)處的投影。（b） 透視投影變換示意圖透視投影變換示意圖即從空間選定的一個(gè)投影中心和物體上每點(diǎn)連直線從而構(gòu)成了一簇射線，射線與選定的投影平面的交點(diǎn)集便是

3、物體的投影。見(jiàn)下圖（b）。平行投影保持物體的有關(guān)比例不變平行投影保持物體的有關(guān)比例不變，這是三維繪圖中產(chǎn)生比例圖畫(huà)的方法。物體的各個(gè)面的精確視圖可以由平行投影得到。另一方面，透透視投影不保持相關(guān)比例視投影不保持相關(guān)比例，但能夠生成真實(shí)感視圖。對(duì)同樣大小的物體，離投影面較遠(yuǎn)的物體比離投影面較近物體的投影圖象要小，產(chǎn)生近大遠(yuǎn)小的效果。二、投影的分類(lèi)二、投影的分類(lèi) 平行投影平行投影可根據(jù)投影方向與投影面的夾角分成兩類(lèi)：正平行投影正平行投影和斜平行投影斜平行投影。當(dāng)投影方向與投影面的夾角為90時(shí)，得到的投影為正平行投影，否則為斜平行投影, 如下圖所示。5.2 5.2 正平行投影正平行投影正平行投影根據(jù)

4、投影面與坐標(biāo)軸的夾角又可分成兩類(lèi)：正投影正投影(三視圖三視圖)和正軸測(cè)投影正軸測(cè)投影。當(dāng)投影面與某一坐標(biāo)軸垂直時(shí)，得到的投影為三視圖，這時(shí)投影方向與這個(gè)坐標(biāo)軸的方向一致。否則，得到的投影為正軸測(cè)投影，如下圖所示。5.2.15.2.1正投影正投影( (三視圖三視圖) )v三視圖包括三視圖包括主視圖主視圖、側(cè)視圖側(cè)視圖和和俯視圖俯視圖三種，三種，觀察平面分別與觀察平面分別與Y軸、軸、X軸和軸和Z軸垂直。軸垂直。v把三維空間的圖形在三個(gè)方向上所看到的棱把三維空間的圖形在三個(gè)方向上所看到的棱線分別投影到三個(gè)坐標(biāo)面上。再經(jīng)過(guò)適當(dāng)變線分別投影到三個(gè)坐標(biāo)面上。再經(jīng)過(guò)適當(dāng)變換放置到同一平面上。換放置到同一平面

5、上。 由于在三視圖上保持了有關(guān)比例的不變性，可以精確地測(cè)量長(zhǎng)度和角度等量，因此常用于工程制圖。下圖是一個(gè)三視圖投影的例子。計(jì)算步驟計(jì)算步驟： 確定三維物體上各點(diǎn)的位置坐標(biāo)確定三維物體上各點(diǎn)的位置坐標(biāo) 引入齊次坐標(biāo)表示位置坐標(biāo)引入齊次坐標(biāo)表示位置坐標(biāo) 將所作變換用矩陣表示，通過(guò)矩陣運(yùn)算求得將所作變換用矩陣表示，通過(guò)矩陣運(yùn)算求得三維物體上各點(diǎn)三維物體上各點(diǎn)(x,y,z)經(jīng)變換后的相應(yīng)點(diǎn)經(jīng)變換后的相應(yīng)點(diǎn)(x,y)（xoy平面）或平面）或(y,z ) (yoz平面）平面）(1) 由變換后的所有二維點(diǎn)繪出三維物體投影由變換后的所有二維點(diǎn)繪出三維物體投影后的三視圖。后的三視圖。三視圖計(jì)算三視圖計(jì)算1、主視

6、圖、主視圖(V)面面將三維物體向?qū)⑷S物體向xoz面（又稱(chēng)面（又稱(chēng)V面）作垂直投影（即正平面）作垂直投影（即正平行投影），得到行投影），得到主視圖主視圖。v設(shè)三維點(diǎn)為設(shè)三維點(diǎn)為(x, y, z),則正向投影點(diǎn)為則正向投影點(diǎn)為(x,y,z )110000100000000011zyxzyx 三維物體向三維物體向xoy面（又稱(chēng)面（又稱(chēng)H面面)作作垂直投影得到垂直投影得到俯視圖俯視圖，(1) 投影變換投影變換(2)使使H面繞面繞x軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90(3)使使H面沿面沿z方向平移一段距離方向平移一段距離-n1000000000100001HT2、 俯視圖俯視圖(H)面面三維型體及其三視圖三維

7、型體及其三視圖10000)cos()sin(00)sin()cos(000012222rT1000000000100001HT100010000100001nTtv設(shè)三維點(diǎn)為（設(shè)三維點(diǎn)為（x, y, z），則正向投影點(diǎn)為），則正向投影點(diǎn)為(x, y, z )100001000000001n點(diǎn)在點(diǎn)在H面上投影的坐標(biāo)變換為：面上投影的坐標(biāo)變換為： 1011nyxzyxTzyx10000)cos()sin(00)sin()cos(000012222100010000100001n1000000000100001T =3、側(cè)視圖、側(cè)視圖(W面面)側(cè)視圖側(cè)視圖是將三維物體往是將三維物體往yoz面面(側(cè)面

8、側(cè)面W）作垂直投影。作垂直投影。(1) 側(cè)視圖的投影變換側(cè)視圖的投影變換(2)使使W面繞面繞z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90(3)使使W面沿面沿x方向平移一段距離方向平移一段距離-k1000010000100000WT1000010000cos2sin002sin2cos2rT1000010000100000WT100001000010001kTt100010000100001kT1000010000cos2sin002sin2cos21000010000100000100001000000010k點(diǎn)的側(cè)面點(diǎn)的側(cè)面(W)投影變換為：投影變換為： 1011zkyzyxTzyx注意：注意：由上述我們

9、可以看出由上述我們可以看出,三個(gè)視圖中三個(gè)視圖中y均均為為0,這是由于變換后三個(gè)視圖均落在這是由于變換后三個(gè)視圖均落在XOZ平面上的緣故。平面上的緣故。 因此，可用因此，可用x，z坐標(biāo)直接畫(huà)出三個(gè)視圖。坐標(biāo)直接畫(huà)出三個(gè)視圖。 正軸測(cè)有正軸測(cè)有等軸測(cè)等軸測(cè)、正二測(cè)正二測(cè)和和正三測(cè)正三測(cè)三種。三種。當(dāng)觀察平面與三個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角都當(dāng)觀察平面與三個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角都相等時(shí)為相等時(shí)為等軸測(cè)等軸測(cè)；當(dāng)觀察平面與兩個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角相當(dāng)觀察平面與兩個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角相等時(shí)為等時(shí)為正二測(cè)正二測(cè)； 當(dāng)觀察平面與三個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角都當(dāng)觀察平面與三個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角都不相等時(shí)為不相等時(shí)為正三測(cè)正三測(cè)。5.2.

10、2 5.2.2 正軸測(cè)圖正軸測(cè)圖正軸測(cè)投影方式正軸測(cè)投影方式：先將三維實(shí)體分別繞兩個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一定的先將三維實(shí)體分別繞兩個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一定的角度，然后再向由這兩個(gè)坐標(biāo)軸所決定的坐角度，然后再向由這兩個(gè)坐標(biāo)軸所決定的坐標(biāo)平面作正投影。標(biāo)平面作正投影。正軸測(cè)投影有三種方式：正軸測(cè)投影有三種方式：二、二、先將三維實(shí)體繞先將三維實(shí)體繞X 軸和軸和Z 軸分別旋轉(zhuǎn)一定軸分別旋轉(zhuǎn)一定的角度的角度,然后再向然后再向XOZ平面平面(V 面面)作正投影；作正投影；三、三、先將三維實(shí)體繞先將三維實(shí)體繞Y 軸和軸和Z 軸分別旋轉(zhuǎn)一定軸分別旋轉(zhuǎn)一定的角度的角度,然后再向然后再向YOZ平面平面 (W 面面)作正投影。作正投

11、影。一、一、先將三維實(shí)體繞先將三維實(shí)體繞X 軸和軸和Y 軸分別旋轉(zhuǎn)一定軸分別旋轉(zhuǎn)一定的角度，然后再向的角度，然后再向XOY平面（平面（H 面）作正投影面）作正投影最常用的是第二種方式最常用的是第二種方式第二種方式的正軸測(cè)投影過(guò)程為：第二種方式的正軸測(cè)投影過(guò)程為： 將三維實(shí)體繞將三維實(shí)體繞Z軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)角；角； 將三維實(shí)體繞將三維實(shí)體繞X軸順時(shí)針轉(zhuǎn)軸順時(shí)針轉(zhuǎn)角；角； 向向XOZ平面（平面（V面）作正投影。面）作正投影。1000010000cossin00sincos10000)cos()sin(00)sin()cos(000011000010000000001T10000cossinco

12、ssinsin000000sincos 原坐標(biāo)軸經(jīng)軸測(cè)投影變換后原坐標(biāo)軸經(jīng)軸測(cè)投影變換后,其在其在V面上面上的投影長(zhǎng)度發(fā)生變化的投影長(zhǎng)度發(fā)生變化,我們把我們把OX/OX=x, OY/OY =y ,OZ/OZ =z 分別稱(chēng)為分別稱(chēng)為OX軸軸, OY軸和軸和OZ軸的軸向變形系數(shù)。軸的軸向變形系數(shù)。 為了便于討論為了便于討論,沿沿X,Y,Z方向各取一單位長(zhǎng)方向各取一單位長(zhǎng)度度,可得三點(diǎn)的齊次坐標(biāo)分別為：可得三點(diǎn)的齊次坐標(biāo)分別為：A1 0 0 1, B0 1 0 1,C0 0 1 1 。對(duì)其進(jìn)行正軸測(cè)投影變換，變換得：對(duì)其進(jìn)行正軸測(cè)投影變換，變換得： X, ,Y, ,Z三個(gè)軸向的變形系數(shù)為：三個(gè)軸向的

13、變形系數(shù)為： 22222sinsincos1 /)sinsin()(cosx22222sincossin1 /)sincos()sin(ycos1/)(cos2z1sinsin0cos1001T1cos001100T1sincos0sin1010T 所謂所謂正等軸測(cè)投影正等軸測(cè)投影就是當(dāng)就是當(dāng)x=y=z時(shí)所時(shí)所得到的正等軸測(cè)圖。由得到的正等軸測(cè)圖。由x=y=z 得：得： 2222222cossincossinsinsincos由由得：得：0sin)sin(cos)sin(cos22222即即： （0cos2cos22cossincos22）02cos取取 45在正軸測(cè)投影變換中在正軸測(cè)投影變換

14、中, ,一般地一般地 ，即，即 所以：所以： 900COS16353/3sin31sin)sin1 (2sin1cossin212122222取取 1635將將 代入代入 中得：中得： 2222cossincossin45 將將 代入代入 得到正等軸測(cè)投得到正等軸測(cè)投影變換矩陣為：影變換矩陣為： ISOT16354510000816. 0408. 0408. 0000000707. 0707. 0ISOT軸間變形系數(shù)：軸間變形系數(shù)： 8165. 01635coszyx 因此正等軸測(cè)投因此正等軸測(cè)投影變換就是用圖形影變換就是用圖形點(diǎn)集坐標(biāo)。點(diǎn)集坐標(biāo)。1TISOzyx例：若有一個(gè)邊長(zhǎng)為例：若有一個(gè)

15、邊長(zhǎng)為100的正六面的正六面體，其各頂點(diǎn)坐標(biāo)為體，其各頂點(diǎn)坐標(biāo)為:O(0, 0, 0)，A(0, 0, 100)，B(100, 0, 100),C(100, 100,100),D(0, 100, 100),E(100, 0, 0),F(100, 100, 0),G(0, 100, 0)?，F(xiàn)對(duì)它進(jìn)行正等軸測(cè)投影現(xiàn)對(duì)它進(jìn)行正等軸測(cè)投影10000816. 0408. 0408. 0000000707. 0707. 0zyx 22222222cos)sincos(sin4sinsincos由由 得：得： 2222cossinsincos)sin1 (sinscos1)sin1 (sinsin1sins

16、incos2222222222in代入代入 ，解得：，解得： 2222cos)sincos(sin4正二軸測(cè)圖其軸向變形系數(shù)有如下關(guān)系：正二軸測(cè)圖其軸向變形系數(shù)有如下關(guān)系：81si1)sin1 (sin4sin4sin4sinsin1sincos4)sin1 (sin4)sin1 (sin1)sin1 (sincossin422242222222222222n81sin,81sin取則：則： 42202819,sin1sinsin22取正值 將將 代入代入 ，得正二軸測(cè)投影變，得正二軸測(cè)投影變換矩陣：換矩陣： 2819, 4220ISOT10000943. 0312. 0118. 000000

17、0354. 0935. 0正二T47. 02194. 02819cosxyzx軸向變形系數(shù)：軸向變形系數(shù)： 因此正二軸測(cè)投影變換因此正二軸測(cè)投影變換就是用圖形點(diǎn)集就是用圖形點(diǎn)集1Tzyx正二例：若有一個(gè)邊長(zhǎng)為例：若有一個(gè)邊長(zhǎng)為100的正立方的正立方面體，其各頂點(diǎn)坐標(biāo)為面體，其各頂點(diǎn)坐標(biāo)為O(0, 0, 0)，A(0, 0, 100)，B(100, 0, 100),C(100, 100,100),D(0, 100, 100),E(100, 0, 0),F(100, 100, 0),G(0, 100, 0)。對(duì)立方體進(jìn)行正二軸測(cè)投影變換為對(duì)立方體進(jìn)行正二軸測(cè)投影變換為v透視投影透視投影是一種中心投

18、影法，在日常生活中，是一種中心投影法，在日常生活中，我們觀察外界的景物時(shí)，常會(huì)看到一些明顯的我們觀察外界的景物時(shí)，常會(huì)看到一些明顯的透視現(xiàn)象。透視現(xiàn)象。v如：站在筆直的大街上如：站在筆直的大街上,向遠(yuǎn)處看去向遠(yuǎn)處看去,會(huì)感到街上會(huì)感到街上具有相同高度的路燈柱子具有相同高度的路燈柱子,顯得近處高顯得近處高,遠(yuǎn)處矮遠(yuǎn)處矮,越遠(yuǎn)越矮。這些路燈柱子越遠(yuǎn)越矮。這些路燈柱子,即使它們間的距離相即使它們間的距離相等等,但是視覺(jué)產(chǎn)生的效果是近處的間隔顯得大但是視覺(jué)產(chǎn)生的效果是近處的間隔顯得大,遠(yuǎn)遠(yuǎn)處的間隔顯得小處的間隔顯得小,越遠(yuǎn)越密。觀察道路的寬度越遠(yuǎn)越密。觀察道路的寬度,也也會(huì)感到越遠(yuǎn)越窄會(huì)感到越遠(yuǎn)越窄,

19、最后匯聚于一點(diǎn)。這些現(xiàn)象最后匯聚于一點(diǎn)。這些現(xiàn)象,稱(chēng)稱(chēng)之為之為透視現(xiàn)象透視現(xiàn)象。v圖中圖中,AA,BB,CC為一組高度和間隔都相等為一組高度和間隔都相等,排成排成一條直線的電線桿一條直線的電線桿,從視點(diǎn)從視點(diǎn)E去看去看,發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn) AEA BEB CEC v若在視點(diǎn)若在視點(diǎn)E與物體間設(shè)置一個(gè)透明的與物體間設(shè)置一個(gè)透明的畫(huà)面畫(huà)面P，則在，則在畫(huà)面上看到的各電線桿的投影畫(huà)面上看到的各電線桿的投影aabbccvaa即即EA,EA與畫(huà)面與畫(huà)面P的交點(diǎn)的連線的交點(diǎn)的連線;vbb即為即為EB,EB與畫(huà)面與畫(huà)面P的交點(diǎn)的連線。的交點(diǎn)的連線。vcc 即為即為EC,EC與畫(huà)面與畫(huà)面P的交點(diǎn)的連線。的交點(diǎn)的連線。

20、近大遠(yuǎn)小近大遠(yuǎn)小產(chǎn)生透視的原因，可用下圖來(lái)說(shuō)明：產(chǎn)生透視的原因，可用下圖來(lái)說(shuō)明：v若連若連a,b,c及及a,b,c各點(diǎn)，它們的連線匯聚于一點(diǎn)。各點(diǎn)，它們的連線匯聚于一點(diǎn)。v然而然而,實(shí)際上實(shí)際上,A,B,C與與A ,B ,C 的連線是兩條互相的連線是兩條互相平行的直線平行的直線,這說(shuō)明空間不平行于畫(huà)面這說(shuō)明空間不平行于畫(huà)面(投影面投影面）的一切平行線的透視投影的一切平行線的透視投影,即即a,b,c與與a,b,c的連線的連線,必交于一點(diǎn)必交于一點(diǎn),這點(diǎn)我們稱(chēng)之為這點(diǎn)我們稱(chēng)之為滅點(diǎn)滅點(diǎn)。投影中心與投影平面之間的距離為有限投影中心與投影平面之間的距離為有限特點(diǎn)：產(chǎn)生近大遠(yuǎn)小的視覺(jué)效果，由它產(chǎn)特點(diǎn)：產(chǎn)

21、生近大遠(yuǎn)小的視覺(jué)效果，由它產(chǎn)生的圖形深度感強(qiáng)，看起來(lái)更加真實(shí)。生的圖形深度感強(qiáng)，看起來(lái)更加真實(shí)。 滅點(diǎn)滅點(diǎn)：不平行于投影平面的平行線，經(jīng)過(guò)：不平行于投影平面的平行線，經(jīng)過(guò)透視投影之后收斂于一點(diǎn)，稱(chēng)為滅點(diǎn)透視投影之后收斂于一點(diǎn)，稱(chēng)為滅點(diǎn).主滅點(diǎn)主滅點(diǎn):平行于坐標(biāo)軸的平行線產(chǎn)生的滅點(diǎn)平行于坐標(biāo)軸的平行線產(chǎn)生的滅點(diǎn)一點(diǎn)透視、兩點(diǎn)透視、三點(diǎn)透視一點(diǎn)透視、兩點(diǎn)透視、三點(diǎn)透視主滅點(diǎn)數(shù)是和投影平面切割坐標(biāo)軸的數(shù)量相對(duì)主滅點(diǎn)數(shù)是和投影平面切割坐標(biāo)軸的數(shù)量相對(duì)應(yīng)的應(yīng)的,即由坐標(biāo)軸與投影平面交點(diǎn)的數(shù)量來(lái)決定即由坐標(biāo)軸與投影平面交點(diǎn)的數(shù)量來(lái)決定的。的。 如投影平面僅切割如投影平面僅切割z軸軸,則則z軸是投影平面軸是

22、投影平面的法線的法線,因而只在因而只在z軸上有一個(gè)主滅點(diǎn)軸上有一個(gè)主滅點(diǎn),平行于平行于x軸或軸或y軸的直線也平行于投影平面軸的直線也平行于投影平面,因而沒(méi)有主因而沒(méi)有主滅點(diǎn)。滅點(diǎn)。yxzo人眼從正面去觀察一個(gè)立方體人眼從正面去觀察一個(gè)立方體,當(dāng)當(dāng)z軸與投影軸與投影平面垂直時(shí)平面垂直時(shí),另兩根軸另兩根軸ox,oy軸平行于投影平軸平行于投影平面。這時(shí)的立方體透視圖只有一個(gè)主滅點(diǎn)面。這時(shí)的立方體透視圖只有一個(gè)主滅點(diǎn),即與畫(huà)面垂直的那組平行線的透視投影交于即與畫(huà)面垂直的那組平行線的透視投影交于一點(diǎn)。一點(diǎn)。v人眼觀看的立方體是繞人眼觀看的立方體是繞y軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度之軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度之后，再進(jìn)行透視投影。三

23、坐標(biāo)軸中后，再進(jìn)行透視投影。三坐標(biāo)軸中oy軸與投軸與投影平面平行，而其它兩軸與畫(huà)面傾斜，這時(shí)影平面平行，而其它兩軸與畫(huà)面傾斜，這時(shí)除平行于除平行于oy軸的那組平行線外，其它兩組平軸的那組平行線外，其它兩組平行線的透視投影分別在投影平面的左右兩側(cè)，行線的透視投影分別在投影平面的左右兩側(cè)，作出的立方體透視圖產(chǎn)生兩個(gè)主滅點(diǎn)。作出的立方體透視圖產(chǎn)生兩個(gè)主滅點(diǎn)。 v此時(shí)，投影平面與三坐標(biāo)軸均不平行。此時(shí)，投影平面與三坐標(biāo)軸均不平行。v這時(shí)的三組平行線均產(chǎn)生滅點(diǎn)。這時(shí)的三組平行線均產(chǎn)生滅點(diǎn)。透視舉例（1）設(shè)）設(shè)z軸上有一觀察點(diǎn)（即視點(diǎn)）軸上有一觀察點(diǎn)（即視點(diǎn)）V(0,0,h)v從從V點(diǎn)出發(fā)將空間任意一點(diǎn)點(diǎn)

24、出發(fā)將空間任意一點(diǎn)P(x,y,z)投影到投影到XOY平面上得到平面上得到P (x,y,0)v由相似三角形可知：由相似三角形可知： hzhyyxxv令:011zhzyyhzxxHzZHyYHxXhzH1v變換矩陣為變換矩陣為 齊次坐標(biāo)變換齊次坐標(biāo)變換 v它可以看作是先作變換它可以看作是先作變換 1100000000100001hTrz11zyxTzyxrz透視變換1100010000100001hTrv再作變換再作變換 的合成。的合成。平面的正投影變換向01000000000100001ZTzv在透視變換Tr下有：hzzzhzyyhzxx111當(dāng)z時(shí)，x 0,y 0,z -h(0,0,-h)為該

25、透視的一個(gè)主滅點(diǎn)。，主滅點(diǎn)在，主滅點(diǎn)在(-h,0,0)透視投影變換矩陣為：透視投影變換矩陣為：1001010000100000hTrx，主滅點(diǎn)在，主滅點(diǎn)在(0,-h,0) 透視投影變換矩陣為：透視投影變換矩陣為：1010010000000001hTry換。均稱(chēng)為一點(diǎn)透視投影變、rzryrxTTTv在變換矩陣中，第四行的在變換矩陣中，第四行的p,q,r起透視變起透視變換作用換作用1010000100001rqpT用用Tp、Tq、Tr、表示三個(gè)透視投影變換矩陣表示三個(gè)透視投影變換矩陣當(dāng)當(dāng)p、q、r中有一個(gè)不為中有一個(gè)不為0時(shí)的變換。時(shí)的變換。假定假定q!=0,p=r=0.對(duì)空間上任一點(diǎn)對(duì)空間上任一

26、點(diǎn)(x,y,z)進(jìn)行透視變換結(jié)果如下：進(jìn)行透視變換結(jié)果如下：對(duì)該結(jié)果進(jìn)行規(guī)范化處理后，便得：對(duì)該結(jié)果進(jìn)行規(guī)范化處理后，便得：11100010000100001qyzyxzyx q 1111 qyz qyy qyx習(xí)慣上使用習(xí)慣上使用XOZ面作為投影平面面作為投影平面 為了增強(qiáng)透視效果，通常將物體置于畫(huà)面為了增強(qiáng)透視效果，通常將物體置于畫(huà)面V之后，水平面之后，水平面H之下，若物體不在該位置時(shí)，應(yīng)之下，若物體不在該位置時(shí)，應(yīng)首先把物體平移到此位置，然后再進(jìn)行透視投影首先把物體平移到此位置，然后再進(jìn)行透視投影變換。變換。q的選擇決定了視點(diǎn)的位置，一般選擇視點(diǎn)的選擇決定了視點(diǎn)的位置，一般選擇視點(diǎn)位于畫(huà)

27、面位于畫(huà)面V之前。之前。 T1=Txoz*Tq*Tt=bqqcacbaq100100000000110001000100011000100001000011000010000000001例：有一個(gè)邊長(zhǎng)為例：有一個(gè)邊長(zhǎng)為100的正六面體，其的正六面體，其各頂點(diǎn)坐標(biāo)為各頂點(diǎn)坐標(biāo)為O（0, 0, 0），），A（0, 0, 100），），B（100, 0, 100）,C（100, 100,100）,D（0, 100, 100）,E（100, 0, 0）,F（100, 100, 0）,G（0, 100, 0）。）。令令a=60,b=-120,c=-120,q=-0.5101000 10100100 10

28、0100 11001000 11111001001000100000100100006105 . 00120100000060001101000 10100100 100100 11001000 11111001001000100000100100001T在變換矩陣中，第四行的在變換矩陣中，第四行的p,q,r起透視變換作用起透視變換作用當(dāng)當(dāng)p、q、r中有兩個(gè)不為中有兩個(gè)不為0時(shí)的透視變換稱(chēng)為時(shí)的透視變換稱(chēng)為二點(diǎn)透視變換。二點(diǎn)透視變換。假設(shè)假設(shè)p!=0,q!=0, r=0，將空間上一點(diǎn)，將空間上一點(diǎn)(x,y,z)進(jìn)行進(jìn)行變換，可得如下結(jié)果：變換，可得如下結(jié)果：1010000100001rqpT由

29、上式可看出：由上式可看出：當(dāng)當(dāng)x-時(shí)，在時(shí)，在X軸上軸上 處有一個(gè)滅點(diǎn)；處有一個(gè)滅點(diǎn)；當(dāng)當(dāng)y-時(shí)，在時(shí)，在Y軸上軸上 處有一個(gè)滅點(diǎn)；處有一個(gè)滅點(diǎn)；)1/()1/()1/(1110010000100001qypxzzqypxyyqypxxxqypxzyxzyxqp經(jīng)齊次化處理后得：1/p1/qv為了使二點(diǎn)透視后的投影有一恰當(dāng)?shù)奈恢茫ǔ榱耸苟c(diǎn)透視后的投影有一恰當(dāng)?shù)奈恢?，通常采取平移、透視采取平移、透?Tp和和Tq)、繞、繞Z軸正轉(zhuǎn)軸正轉(zhuǎn) 角、再向角、再向XOZ平面投影。平面投影。平移：設(shè)平移量分別為平移：設(shè)平移量分別為a、b、c；透視變換：變換矩陣為透視變換：變換矩陣為T(mén)pq；繞繞Z軸正轉(zhuǎn)

30、軸正轉(zhuǎn) 角；角； 向向XOZ平面投影。平面投影。v若若p,q,r都不為都不為0，則可得到有三個(gè)滅點(diǎn)的三，則可得到有三個(gè)滅點(diǎn)的三點(diǎn)透視。點(diǎn)透視。)1/()1/()1/(111r q p0 1 0 00 0 1 00 0 0 1rzqypxzzrzqypxyyrzqypxxxrzqypxzyxzyx經(jīng)齊次化處理后得：由上式可看出：由上式可看出：當(dāng)當(dāng)x-時(shí)，在時(shí)，在X軸上軸上1/p處有一個(gè)滅點(diǎn)；處有一個(gè)滅點(diǎn)；當(dāng)當(dāng)y-時(shí)，在時(shí)，在Y軸上軸上1/q處有一個(gè)滅點(diǎn)處有一個(gè)滅點(diǎn);當(dāng)當(dāng)z-時(shí)，在時(shí)，在Z軸上軸上1/r處有一個(gè)滅點(diǎn)；處有一個(gè)滅點(diǎn)； 世界坐標(biāo)系世界坐標(biāo)系(World Coordinate Syste

31、m,簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)WC)是最常用的坐標(biāo)系是最常用的坐標(biāo)系,它是一個(gè)符合右手它是一個(gè)符合右手定則的直角坐標(biāo)系定則的直角坐標(biāo)系,其中圖其中圖5.25(a)是定義二是定義二維圖形的坐標(biāo)系維圖形的坐標(biāo)系,圖圖5.25(b)是定義三維物體是定義三維物體的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。 1世界坐標(biāo)系世界坐標(biāo)系YXOYXOZ圖圖5.25 5.25 世界坐標(biāo)系世界坐標(biāo)系 世界坐標(biāo)系是用來(lái)定義用戶(hù)在二維或三世界坐標(biāo)系是用來(lái)定義用戶(hù)在二維或三維世界中的物體維世界中的物體,因此也稱(chēng)為因此也稱(chēng)為用戶(hù)坐標(biāo)系用戶(hù)坐標(biāo)系。理論上，世界坐標(biāo)系是無(wú)限大且連續(xù)的，即理論上，世界坐標(biāo)系是無(wú)限大且連續(xù)的，即它的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)域。它的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)域。 圖形輸

32、出設(shè)備圖形輸出設(shè)備(如顯示器、繪圖儀如顯示器、繪圖儀)自身自身都有一個(gè)坐標(biāo)系稱(chēng)之為都有一個(gè)坐標(biāo)系稱(chēng)之為設(shè)備坐標(biāo)系設(shè)備坐標(biāo)系(Device Coordinate System),簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)DC或或物理坐標(biāo)系物理坐標(biāo)系。 2設(shè)備坐標(biāo)系設(shè)備坐標(biāo)系 設(shè)備坐標(biāo)系是一個(gè)二維平面坐標(biāo)系設(shè)備坐標(biāo)系是一個(gè)二維平面坐標(biāo)系,它的度它的度量單位是量單位是步長(zhǎng)步長(zhǎng)(繪圖儀繪圖儀)或或象素象素(顯示器顯示器),因此因此它的定義域是整數(shù)域且是有界的。例如，對(duì)它的定義域是整數(shù)域且是有界的。例如，對(duì)顯示器而言，顯示器而言，分辯率分辯率就是其設(shè)備坐標(biāo)系的界就是其設(shè)備坐標(biāo)系的界限范圍。限范圍。 由于用戶(hù)的圖形是定義在用戶(hù)坐標(biāo)系里由于

33、用戶(hù)的圖形是定義在用戶(hù)坐標(biāo)系里,而圖形的輸而圖形的輸出定義在設(shè)備坐標(biāo)系里出定義在設(shè)備坐標(biāo)系里,它依賴(lài)于具體的圖形設(shè)備。它依賴(lài)于具體的圖形設(shè)備。由于不同的圖形設(shè)備具有不同的設(shè)備坐標(biāo)系由于不同的圖形設(shè)備具有不同的設(shè)備坐標(biāo)系,且不同且不同設(shè)備之間坐標(biāo)范圍也不盡相同設(shè)備之間坐標(biāo)范圍也不盡相同.例如：分辨率為例如：分辨率為1024768的顯示器，其屏幕坐標(biāo)的顯示器，其屏幕坐標(biāo)范圍為：范圍為：X方向方向01023，Y方向方向0767，而分辨率，而分辨率為為640480的顯示器，其屏幕坐標(biāo)范圍為：的顯示器，其屏幕坐標(biāo)范圍為：X方向方向0639，Y方向方向0479，顯然這使得應(yīng)用程序與具，顯然這使得應(yīng)用程序與

34、具體的圖形輸出設(shè)備有關(guān)，給圖形處理及應(yīng)用程序的體的圖形輸出設(shè)備有關(guān)，給圖形處理及應(yīng)用程序的移植帶來(lái)不便。移植帶來(lái)不便。3規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系v為了便于圖形處理，有必要定義一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)設(shè)為了便于圖形處理，有必要定義一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)設(shè)備，我們引入與設(shè)備無(wú)關(guān)的備，我們引入與設(shè)備無(wú)關(guān)的規(guī)格化的設(shè)備坐規(guī)格化的設(shè)備坐標(biāo)系標(biāo)系（Normalized Device Coordinate System, 簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)NDC），采用一種無(wú)量綱的單位代替設(shè)），采用一種無(wú)量綱的單位代替設(shè)備坐標(biāo)，當(dāng)輸出圖形時(shí)，再轉(zhuǎn)換為具體的設(shè)備坐標(biāo)，當(dāng)輸出圖形時(shí)，再轉(zhuǎn)換為具體的設(shè)備坐標(biāo)。備坐標(biāo)。規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系的取值范圍為規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系

35、的取值范圍為:左下角左下角(0.0,0.0),右上角右上角(1.0,1.0)。用戶(hù)的圖形數(shù)據(jù)經(jīng)轉(zhuǎn)換成規(guī)格。用戶(hù)的圖形數(shù)據(jù)經(jīng)轉(zhuǎn)換成規(guī)格化的設(shè)備坐標(biāo)系中的值化的設(shè)備坐標(biāo)系中的值,使應(yīng)用程序與圖形設(shè)備使應(yīng)用程序與圖形設(shè)備隔離開(kāi)隔離開(kāi),增強(qiáng)了應(yīng)用程序的可移值性。增強(qiáng)了應(yīng)用程序的可移值性。 在圖形處理中，上述三種坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)在圖形處理中，上述三種坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖系如圖4.26所示。所示。 YXOYXO11YXO圖圖5.26 5.26 WCWC、NDCNDC和和DCDC三種坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換三種坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換 這里再引進(jìn)一種新的參考坐標(biāo)系，這種坐標(biāo)系比這里再引進(jìn)一種新的參考坐標(biāo)系，這種坐標(biāo)系比較符合人們?cè)谌?/p>

36、維空間中觀察物體和繪圖的習(xí)慣。較符合人們?cè)谌S空間中觀察物體和繪圖的習(xí)慣。這個(gè)習(xí)慣包括這樣兩點(diǎn)：這個(gè)習(xí)慣包括這樣兩點(diǎn)： 當(dāng)觀察空間某一物體時(shí)，該物體與視點(diǎn)之間當(dāng)觀察空間某一物體時(shí)，該物體與視點(diǎn)之間距離的大小反映了物體離我們的遠(yuǎn)近，稱(chēng)該距離為距離的大小反映了物體離我們的遠(yuǎn)近，稱(chēng)該距離為“觀察深度觀察深度”或簡(jiǎn)稱(chēng)或簡(jiǎn)稱(chēng)深度深度。這個(gè)深度應(yīng)該在新坐標(biāo)。這個(gè)深度應(yīng)該在新坐標(biāo)系里的某個(gè)坐標(biāo)軸上得到相應(yīng)的體現(xiàn)：即深度大，系里的某個(gè)坐標(biāo)軸上得到相應(yīng)的體現(xiàn)：即深度大，該坐標(biāo)值應(yīng)大；反之，深度小，則該坐標(biāo)值應(yīng)小。該坐標(biāo)值應(yīng)大；反之，深度小，則該坐標(biāo)值應(yīng)小。 我們平常在圖紙上繪圖時(shí)，二維繪圖坐標(biāo)系我們平常在圖紙上

37、繪圖時(shí)，二維繪圖坐標(biāo)系的位置一般使坐標(biāo)系的原點(diǎn)在圖紙的左下角，然后的位置一般使坐標(biāo)系的原點(diǎn)在圖紙的左下角，然后讓讓x軸自原點(diǎn)水平向右，讓軸自原點(diǎn)水平向右，讓y軸自原點(diǎn)垂直向上軸自原點(diǎn)垂直向上。這。這比較符合人們平常看圖和作圖的習(xí)慣。為滿足這一比較符合人們平?？磮D和作圖的習(xí)慣。為滿足這一習(xí)慣，我們可以讓新的坐標(biāo)系中有一根坐標(biāo)軸自左習(xí)慣，我們可以讓新的坐標(biāo)系中有一根坐標(biāo)軸自左水平向右，而讓另一根坐標(biāo)軸自下垂直向上，以使水平向右，而讓另一根坐標(biāo)軸自下垂直向上，以使這兩根坐標(biāo)軸確定的坐標(biāo)平面和二維繪圖平面相對(duì)這兩根坐標(biāo)軸確定的坐標(biāo)平面和二維繪圖平面相對(duì)應(yīng)，使三維立體在這個(gè)坐標(biāo)平面上產(chǎn)生的投影能與應(yīng)，使

38、三維立體在這個(gè)坐標(biāo)平面上產(chǎn)生的投影能與圖形輸出平面上輸出的圖形之間產(chǎn)生直觀的對(duì)應(yīng)。圖形輸出平面上輸出的圖形之間產(chǎn)生直觀的對(duì)應(yīng)。這樣就給三維立體的二維表示帶來(lái)了極大的方便。這樣就給三維立體的二維表示帶來(lái)了極大的方便。 顯然，滿足以上要求的坐標(biāo)系列化可以通過(guò)以下的方法顯然，滿足以上要求的坐標(biāo)系列化可以通過(guò)以下的方法來(lái)設(shè)置：來(lái)設(shè)置： 把坐標(biāo)系原點(diǎn)設(shè)置在觀察點(diǎn)把坐標(biāo)系原點(diǎn)設(shè)置在觀察點(diǎn)（即（即視點(diǎn)處視點(diǎn)處),讓讓坐標(biāo)系中的一根坐標(biāo)軸從該原點(diǎn)出發(fā)，順著觀察坐標(biāo)系中的一根坐標(biāo)軸從該原點(diǎn)出發(fā)，順著觀察方向指向遠(yuǎn)方。那么該坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)就反映了方向指向遠(yuǎn)方。那么該坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)就反映了空間立體的觀察深度的大小，

39、該軸即為深度坐標(biāo)空間立體的觀察深度的大小，該軸即為深度坐標(biāo)軸，在這里我們指定由軸，在這里我們指定由z軸來(lái)做深度坐標(biāo)軸。軸來(lái)做深度坐標(biāo)軸。 然后讓另外兩根坐標(biāo)軸中的一根自該原點(diǎn)然后讓另外兩根坐標(biāo)軸中的一根自該原點(diǎn)水平向右；另一根自原點(diǎn)向上。水平向右；另一根自原點(diǎn)向上。為了和圖形輸出為了和圖形輸出平面坐標(biāo)系統(tǒng)直接對(duì)應(yīng)，把水平向右的軸設(shè)置為平面坐標(biāo)系統(tǒng)直接對(duì)應(yīng)，把水平向右的軸設(shè)置為x軸，而把向上的坐標(biāo)軸設(shè)置為軸，而把向上的坐標(biāo)軸設(shè)置為y軸。軸。 這個(gè)新的參考坐標(biāo)系是一個(gè)符合左手規(guī)則的這個(gè)新的參考坐標(biāo)系是一個(gè)符合左手規(guī)則的笛卡爾坐標(biāo)系笛卡爾坐標(biāo)系,我們稱(chēng)這個(gè)坐標(biāo)系為我們稱(chēng)這個(gè)坐標(biāo)系為“觀察坐標(biāo)觀察坐標(biāo)

40、系系”。 建立一個(gè)觀察坐標(biāo)系建立一個(gè)觀察坐標(biāo)系, ,主要取決于兩個(gè)因素主要取決于兩個(gè)因素: :一個(gè)是一個(gè)是觀察點(diǎn)的位置觀察點(diǎn)的位置, ,因?yàn)橛^察點(diǎn)的位置決定了坐因?yàn)橛^察點(diǎn)的位置決定了坐標(biāo)系原點(diǎn)位置標(biāo)系原點(diǎn)位置; ;另一個(gè)是另一個(gè)是觀察方向觀察方向, ,它決定了深度它決定了深度坐標(biāo)軸的指向。坐標(biāo)軸的指向。 觀察點(diǎn)和觀察方向是可以由觀察者隨意定的，觀察點(diǎn)和觀察方向是可以由觀察者隨意定的，即觀察點(diǎn)可以設(shè)置在空間的任意位置，觀察方向即觀察點(diǎn)可以設(shè)置在空間的任意位置，觀察方向可以朝向任何一個(gè)方向，于是觀察坐標(biāo)系也是隨可以朝向任何一個(gè)方向，于是觀察坐標(biāo)系也是隨意的。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們?cè)谶@里作了一個(gè)假定：意

41、的。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們?cè)谶@里作了一個(gè)假定：觀察點(diǎn)可以設(shè)置在空間的任何位置，但觀察方向觀察點(diǎn)可以設(shè)置在空間的任何位置，但觀察方向總是指向世界坐標(biāo)系的原點(diǎn)?？偸侵赶蚴澜缱鴺?biāo)系的原點(diǎn)。 把世界坐標(biāo)系中的點(diǎn)把世界坐標(biāo)系中的點(diǎn)P(x,y,z)轉(zhuǎn)換為觀察坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為觀察坐標(biāo)系中的點(diǎn)系中的點(diǎn)P*(x*,y*,z*)的過(guò)程稱(chēng)為的過(guò)程稱(chēng)為“”。視向變換也是一種坐標(biāo)變換，可以用矩陣的形式視向變換也是一種坐標(biāo)變換，可以用矩陣的形式表示為：表示為： 式中的式中的V稱(chēng)為視向變換矩陣。因?yàn)橐曄蜃儞Q是不能稱(chēng)為視向變換矩陣。因?yàn)橐曄蜃儞Q是不能靠一次單一的簡(jiǎn)單變換就可以實(shí)現(xiàn)的，所以靠一次單一的簡(jiǎn)單變換就可以實(shí)現(xiàn)的，所以視向變視向變換矩陣換矩陣V是一個(gè)包括平移和旋轉(zhuǎn)的多次變換的級(jí)聯(lián)是一個(gè)包括平移和旋轉(zhuǎn)的多次變換的級(jí)聯(lián)。 11*zyxVzyx視向變換矩陣視向變換矩陣V的推導(dǎo)過(guò)程如下：的推導(dǎo)過(guò)程如下： 因?yàn)橛^察坐標(biāo)系的原點(diǎn)設(shè)置在觀察點(diǎn)，所因?yàn)橛^察坐標(biāo)系的原點(diǎn)設(shè)置在觀察點(diǎn)，所以一旦選定了觀察點(diǎn)，觀察坐標(biāo)系的原點(diǎn)也就確以一旦選定了觀察點(diǎn)，觀察坐標(biāo)系的原點(diǎn)也就確定了。這一步把坐標(biāo)系原點(diǎn)變到觀察點(diǎn)位置的變定了。這一步把坐標(biāo)系原點(diǎn)變到觀察點(diǎn)位置的變換，是通過(guò)把換，是通過(guò)把坐標(biāo)系原點(diǎn)從世界坐標(biāo)系的原點(diǎn)平坐標(biāo)系原點(diǎn)從世界坐標(biāo)系的原點(diǎn)平移到觀察點(diǎn)移到觀察點(diǎn)E(x,y,z）來(lái)完成的