第九章 三重積分及應(yīng)用

1、 第九章第九章 重積分重積分 知識(shí)總結(jié)知識(shí)總結(jié)二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算三重積分的計(jì)算三重積分的計(jì)算重積分的運(yùn)用重積分的運(yùn)用二二. . 三重積分的計(jì)算三重積分的計(jì)算1 1、投影法投影法 (“(“先單后重先單后重” “ “先一后二先一后二”) )2 2、截面、截面法法 (“(“先重后單先重后單” “ “先二后一先二后一”) )3 3、柱坐標(biāo)代換柱坐標(biāo)代換4 4、球、球坐標(biāo)代換坐標(biāo)代換5 5、利用三重積分的對(duì)稱性、利用三重積分的對(duì)稱性zxyD),(2yxzz ),(1yxzz yxdd21( , )( , )d d( , , )dxyzx yDzx yx yf x y zzvzyxfd),(關(guān)鍵

2、：正確的判斷上、下曲面關(guān)鍵：正確的判斷上、下曲面; 找對(duì)投影區(qū)域找對(duì)投影區(qū)域.12( , , )| ( , )( , ), ( , )xyx y z z x yzz x yx yD 1、 投影法投影法 (“先單后重先單后重” “先一后二先一后二”)方法一方法一: 根據(jù)圖形根據(jù)圖形:zxyD),(2yxzz ),(1yxzz yxdd方法二方法二:根據(jù)方程根據(jù)方程:投影區(qū)域可由含投影區(qū)域可由含z的某曲面與其它曲面交線的投的某曲面與其它曲面交線的投影曲線所圍。影曲線所圍。即：可選定一個(gè)含即：可選定一個(gè)含z的方程然后再和其它所有方程的方程然后再和其它所有方程（包含柱面方程和另一個(gè)含（包含柱面方程和另

3、一個(gè)含z的方程）相交。的方程）相交。利用平行于利用平行于z軸的直線穿曲面，穿出軸的直線穿曲面，穿出和穿入點(diǎn)就對(duì)應(yīng)上、下曲面，注：中和穿入點(diǎn)就對(duì)應(yīng)上、下曲面，注：中間所夾立體的邊界應(yīng)為柱面。間所夾立體的邊界應(yīng)為柱面。投影點(diǎn)的全體即為投影區(qū)域。投影點(diǎn)的全體即為投影區(qū)域。已給邊界曲面方程中含已給邊界曲面方程中含z的若只有的若只有兩個(gè)，則其必分別為上、下曲面兩個(gè)，則其必分別為上、下曲面,其它其它不含不含z的方程必對(duì)應(yīng)柱面。的方程必對(duì)應(yīng)柱面。例例. 計(jì)算積分計(jì)算積分dddzxyz其中其中 由曲面由曲面222,xyyxz0,1zy法一法一: 積分域?yàn)榉e分域?yàn)?原式原式220dxyz z及平面及平面220y

4、xz12 yx11x12dxy11dx所圍所圍 .xyz220dxyxyDdxdyz z例例. 計(jì)算積分計(jì)算積分dddzxyz其中其中 由曲面由曲面222,xyyxz0,1zy法二法二:xyD原式原式220dxyz z及平面及平面220yxz12 yx11x12dxy11dx所圍所圍 .220dxyxyDdxdyz z找上下半曲面：找投影區(qū)域：找投影區(qū)域：220zzxy20zyx01zyZDbayxzyxfzdd),(dvzyxfd),(abxyzzzD適用范圍：適用范圍：積分區(qū)域介于兩個(gè)平行于坐標(biāo)面的平面之間積分區(qū)域介于兩個(gè)平行于坐標(biāo)面的平面之間;在平行于坐標(biāo)面的截面上二重積分易算在平行于坐

5、標(biāo)面的截面上二重積分易算典型題目：典型題目：被積函數(shù)只為某一變量的函數(shù)被積函數(shù)只為某一變量的函數(shù);且截面面積易求且截面面積易求( , , )|,( , )zx y zazb x yD 2、 截面截面法法 (“先重后單先重后單” “先二后一先二后一”)zD1zD2例例(截面法截面法): 計(jì)算積分計(jì)算積分2222RzyxzRzyx2222及,ddd2zyxz其中其中 是是兩個(gè)球兩個(gè)球 ( R 0 )的公共部分的公共部分.提示提示: 被積函數(shù)缺被積函數(shù)缺 x , y 原式原式 =zDyx1ddzzzRzRd)2(2022zzRd202zDyx2ddzzRRd22zzRzRRd)(2222548059

6、RRzyxo2Rzyxzyxfddd),(柱面坐標(biāo)本質(zhì)：投影法中的二重積分利用了極柱面坐標(biāo)本質(zhì)：投影法中的二重積分利用了極坐標(biāo)計(jì)算坐標(biāo)計(jì)算22()f xy積分區(qū)域?yàn)橹w區(qū)域或投影域適用極坐標(biāo)表示;被積函數(shù)為型3、柱坐標(biāo)代換柱坐標(biāo)代換1212 ( , , )|,( )( ), ( , )( , )zzzz 若2211( )( , )( )( , )(cos ,sin ,)dzzddfzz 柱面坐標(biāo)適用范圍：柱面坐標(biāo)適用范圍：o oxyz例例. 計(jì)算三重積分解解: 在柱面坐標(biāo)系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yx

7、zyxzyx422)0( hhz所圍成 .與平面其中由拋物面24原式 =,R),(3zyxM設(shè)),(z其柱坐標(biāo)為就稱為點(diǎn)M 的球坐標(biāo).,ZOMMoxyzzr( , , )r 則0200rcossinrx sinsinry cosrz , rOM 令zyxzyxfddd),( sincos , sinsin , cos)f rrrdddsin2rr222: ()f xyz適用范圍積分區(qū)域?yàn)榍蛐螀^(qū)域、被積函數(shù)為型4、球、球坐標(biāo)代換坐標(biāo)代換zyxzyxfddd),(222: ()f xyz適用范圍 積分區(qū)域?yàn)榍蛐螀^(qū)域、被積函數(shù)為型1212 ( , , )|,( )( ), ( , )( , )rrr

8、r 若2211( )( , )2( )( , )( sincos , sinsin , cos)sindrrddf rrrrr 確定確定r, , 的變化范圍的方法的變化范圍的方法:：根據(jù)投影區(qū)域：從原點(diǎn)出發(fā)穿過立體的射線于z軸正向的夾角r：從原點(diǎn)出發(fā)穿過立體的射線于邊界曲面的交例例.222(0)xyzaz a0cosra,2002 ,yzxarozyRx例例.2222(0)xyzRR:0,02 ,0rR:22zxy例：錐面2222Rzyx:所圍立體所圍立體.40Rr 020與球面與球面xyzo4Rr 例例. .由球面x2+y2+z22Rz=0和圓錐面cot2(x2+y2)=z2圍成的立體。0y

9、zxx2+y2+z22Rz=0: r=2Rcos cot2(x2+y2)=z2: =.0r2Rcos02，:0例例. .0)0(,222222圍成平面及zbayxazyxbz解解: : 兩球面方程分別為:r=b和r=a,(a 0 )的公共部分的公共部分.提示提示:原式原式 =548059RRzyxo2R2 cos3rr2 cosrRrR或或 =22223000cossinRddrrdr22cos2222003cossinRddrrdr22222000cossinRddrrdr2222202cos3cossinRRddrrdr例例(球坐標(biāo)法球坐標(biāo)法)2222xyz22xyz及的公共部分的公共部分

10、.解解: 對(duì)稱性對(duì)稱性2zyxo122222000sinddrrdr2coscscr222sincosrrr或或 =22coscsc222004sinddrrdr22224000sinddrrdr2222220coscsc4sinddrrdr(222)d d d0,xyyzxzx y z例例(球坐標(biāo)法球坐標(biāo)法): 計(jì)算積分計(jì)算積分2() d d d ,xyzx y z222dxyzV例例.,)0(, 0)0(,)(存在設(shè)ffCuf，求)(1lim40tFtt)(tF解解: 在球坐標(biāo)系下trrrftF02020d)(dsind)(trrrf02d)(440)(limttFt利用洛必達(dá)法則與導(dǎo)數(shù)定

11、義,得3204)(4limtttftttft)(lim0)0(f0)0(Fzyxzyxftzyxddd)(2222222其中 0)0(f 5、 利用三重積分的對(duì)稱性利用三重積分的對(duì)稱性( , , )d0( , , )z2( , , )d( , , )f x y zvf x y zf x y zvf x y z上關(guān)于 為奇函數(shù)關(guān)于z為偶函數(shù)( , , )(),f x y zCxoy設(shè)且域關(guān)于面對(duì)稱 則當(dāng)區(qū)域關(guān)于當(dāng)區(qū)域關(guān)于yoz 軸對(duì)稱軸對(duì)稱, 函數(shù)關(guān)于函數(shù)關(guān)于x 有奇偶性時(shí)有奇偶性時(shí), 當(dāng)區(qū)域關(guān)于當(dāng)區(qū)域關(guān)于xoz 軸對(duì)稱軸對(duì)稱, 函數(shù)關(guān)于函數(shù)關(guān)于y 有奇偶性時(shí)有奇偶性時(shí),仍仍有類似結(jié)果有類似結(jié)果

12、.例例. 計(jì)算計(jì)算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中其中.4, 1),(2122圍成由zzyxz解解:zyxxIddd2利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zDzyxyxyxdddsin52220重積分計(jì)算的基本方法重積分計(jì)算的基本方法1. 選擇合適的坐標(biāo)系選擇合適的坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面使積分域多為坐標(biāo)面(線線)圍成圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡(jiǎn)潔或變量分離被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡(jiǎn)潔或變量分離.2. 選擇易計(jì)算的積分序選擇易計(jì)算的積分序積分域分塊要少積分域分塊要少, 累次積分易算為妙

13、累次積分易算為妙 .根據(jù)圖形根據(jù)圖形根據(jù)方程根據(jù)方程3. 掌握確定積分限的方法掌握確定積分限的方法 累次積分法累次積分法小結(jié)：小結(jié)：三、重積分的應(yīng)用三、重積分的應(yīng)用1. 幾何方面幾何方面面積面積 ( 平面域或曲面域平面域或曲面域 ) , 體積體積 , 形心形心質(zhì)量質(zhì)量, 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 質(zhì)心質(zhì)心, 引力引力 證明某些結(jié)論等證明某些結(jié)論等 2. 物理方面物理方面3. 其它方面其它方面注：一定要用對(duì)稱性結(jié)論注：一定要用對(duì)稱性結(jié)論一、一、幾何方面幾何方面 曲頂柱體曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面),(yxfz 則其體積為DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空間有界域空間有界域 的立體的體積為zyx

14、Vddd例例. 求球體22224azyx被圓柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解解: 設(shè)由對(duì)稱性可知:02 cos , 02Da2244ddDVa 20d42 cos2204daa d)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza222240: 4axyDVdvdxdydz注的面積公式：221( , )( , ) dxyxyDSfx yfx y曲面:( , ),zf x y( , ),xyx yD的面積公式：221( , )( , ) dyzyzDSgy zgx y曲面:( , ),xg y z( , ),yzy zD的面積公式：221( , )(

15、 , ) dxzxzDShy zhx y曲面:( , ),yh x z( , ),xzx zD曲面的面積曲面的面積注：如果圖不好畫則可根據(jù)方程：注：如果圖不好畫則可根據(jù)方程：1先利用對(duì)稱性：所有方程中若某個(gè)變量都是平方先利用對(duì)稱性：所有方程中若某個(gè)變量都是平方形式，則圖形一定關(guān)于相應(yīng)坐標(biāo)面對(duì)稱，利用對(duì)稱性形式，則圖形一定關(guān)于相應(yīng)坐標(biāo)面對(duì)稱，利用對(duì)稱性后只需考慮正半部分后只需考慮正半部分2求投影區(qū)域應(yīng)利用所求曲面和其它相交求投影區(qū)域應(yīng)利用所求曲面和其它相交含于球面2222xyza例例. 求圓柱面22xyax)0( a部分的面積. oxyza22: xyax分析：14SS21: yaxx 找投影區(qū)

16、域：找投影區(qū)域：220 xyaxz222222xyaxxyza220 xyaxx例例. 計(jì)算雙曲拋物面yxz 被柱面222Ryx所截解解: 曲面在 xoy 面上投影為222:,xyDxyR則221d dxyxyDAzzx y221d dxyDxyx y2200d1dR )1)1( 32232R出的面積 A .二、物體的質(zhì)心二、物體的質(zhì)心設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn), ),(kkkzyx其質(zhì)量分別, ),2, 1(nkmk由力學(xué)知, 該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo),11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11分別位于為為若物體為占有xoy 面上區(qū)域 D 的平面薄片, ),(yx為(

17、, )d d1( , )d d( , )d dDDDxx yx yxxx yx ymx yx y( , )d d1( , )d d( , )d dDDDyx yx yyyx yx ymx yx y,常數(shù)時(shí)d d,Dx x yxSd dDy x yyS(S為 D 的面積)得D 的形心坐標(biāo):可導(dǎo)出則它的質(zhì)心坐標(biāo)為:其面密度 采用 “分割, 以常代變, 求和, 取極限”( , , )d dd1( , , )d dd( , , )d ddxx y zxyzxxx y zxyzmx y zxyz推廣: 設(shè)物體占有空間域 ,( , , ),x y z有連續(xù)密度函數(shù)則其質(zhì)心公式: ( , , )d dd1(

18、 , , )d dd( , , )d ddyx y zxyzyyx y zxyzmx y zxyz( , , )d dd1( , , )d dd( , , )d ddzx y zxyzzzx y zxyzmx y zxyz( , , ),x y z當(dāng)常數(shù)時(shí)則得形心坐標(biāo)：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的體積為zyxVddd4例例. 求位于兩圓sin2rsin4r和的質(zhì)心. 2D解解: 利用對(duì)稱性可知0 x而DyxyAydd121sind d3D 4sin22sinddsin956042956dsin295620437之間均勻薄片0dsin3143212oyxCVzyx

19、zzddd例例. 一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形, 剖面壁線剖面壁線的方程為的方程為, 30,)3(922zzzx內(nèi)儲(chǔ)有高為內(nèi)儲(chǔ)有高為 h 的均質(zhì)鋼液的均質(zhì)鋼液,解解: 利用對(duì)稱性可知質(zhì)心在利用對(duì)稱性可知質(zhì)心在 z 軸上，軸上，,0 yx采用柱坐標(biāo)采用柱坐標(biāo), 則爐壁方程為則爐壁方程為,)3(922zzrzyxVdddhzzz02d)3(9zDhyxzddd0因此因此故故自重自重, 求它的質(zhì)心求它的質(zhì)心.oxzh若爐若爐不計(jì)爐體的不計(jì)爐體的其坐標(biāo)為其坐標(biāo)為hzzz022d)3(9zDhyxzzddd0zyxdzdd)51233(923hhh225409043060hhhhhzoxzh

20、)41229(923hhhV三、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量三、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù). ),(zyx該物體位于(x , y , z) 處的微元 vzyxyxd),()(22因此物體 對(duì) z 軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdxyoz對(duì) z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和, 故 連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算. 類似可得:zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIoddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx對(duì) x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì) y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如果物體是平面薄片,面密度為Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( DoyxyxIdd),( 則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式