《RK求解微分方程》ppt課件

1、Runge-Kutta積分方法所所以以得得到到：是是精精確確的的，中中的的平平均均速速度度。設(shè)設(shè)是是動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)在在其其中中為為：，一一般般的的解解法法可可以以表表示示對(duì)對(duì) )(! 3)(2)()()()(),(),().,(),(32111nnnnnnnnnnnnnnntYhtYhtYhtYhtYtYYttYtDYtDhYYYtFdtdY )(!)(! 3)(2)()()(),()(121nrrnnnnnnntYrhtYhtYhtYhtYtYYtD由此得到高階的單步法。由此得到高階的單步法。但是，往往右函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)或者無(wú)法直接得到、或者計(jì)算太過(guò)復(fù)雜。但是，往往右函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)或者無(wú)法直接得到、

2、或者計(jì)算太過(guò)復(fù)雜。所以實(shí)踐的做法是：用所以實(shí)踐的做法是：用tn,tn+1區(qū)間中解曲線鄰域的一些知點(diǎn)函數(shù)值區(qū)間中解曲線鄰域的一些知點(diǎn)函數(shù)值的線性組合來(lái)替代的線性組合來(lái)替代F(t,Y)的導(dǎo)數(shù)，從而得到高階的單步法公式。的導(dǎo)數(shù)，從而得到高階的單步法公式。),(),(2121)(),(,(),(2)()(),(,(),(2EulerEuler1212113111KYhthFKYthFKKKYYhOYtFhYhtFYtFhtYtYdYtFhYhtFYtFhYYnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn：上上還還可可以以寫(xiě)寫(xiě)成成如如下下形形式式另另一一方方面面，該該公公式式實(shí)實(shí)際際所所以以它它是是二二

3、階階的的。它它的的局局部部截截?cái)鄶嗾`誤差差為為校校正正方方法法：型型的的預(yù)預(yù)估估法法，即即改改進(jìn)進(jìn)的的例例所所以以它它是是一一階階的的。：，它它的的局局部部截截?cái)鄶嗾`誤差差為為法法：).(),()()(),(Euler2111hOYthFtYtYdYtFhYYnnnnnnnnn此處即經(jīng)過(guò)計(jì)算知點(diǎn)的函數(shù)值此處即經(jīng)過(guò)計(jì)算知點(diǎn)的函數(shù)值(K1,K2)的線性組合替代高階導(dǎo)數(shù)，得的線性組合替代高階導(dǎo)數(shù)，得到了較高的精度。到了較高的精度。Runge-Kutta方法的推導(dǎo)Runge-Kutta方法的普通方式：1111111, 3 , 2,),(),(ijijiijjijnininnriiinnriKhYhtF

4、KYtFKKchYY確定了階數(shù)之后，再經(jīng)過(guò)確定了階數(shù)之后，再經(jīng)過(guò)Taylor展開(kāi)、比較兩邊系數(shù)的展開(kāi)、比較兩邊系數(shù)的方法，確定各待定系數(shù)：方法，確定各待定系數(shù)：,iiijc 二階顯式二階顯式Runge-Kutta方法方法.),(,),()()(),(),()(212211112122122111nnnnnnnnnnnnnnnYthFYhtFcYtFchtYtYdhKYhtFKYtFKKcKchYY：此此處處的的局局部部截截?cái)鄶嗾`誤差差為為)()(! 3)(! 2)()()()(4321hOtYhtYhtYhtYhtYtYnnnnnn )(),(),(),(2212212hOYtFhFYtFhF

5、hFYhtFnnYnnntnnnn展開(kāi)各項(xiàng)如下：展開(kāi)各項(xiàng)如下： nnnYnntnnYnnnYYnnntYnnttnnnnYnntnnnYnntnnnnnnn)F,Y(tF),Y(tF),Y(tF)F,Y(tF)F,Y(tF),Y(tFY)F,Y(tF),Y(tFdt)dY(t),Y(tF),Y(tFdt),Y(tdF(tYF),YF(tY22其中其中二階顯式二階顯式Runge-Kutta方法方法).(),(21),(21)1 (32212222211hOFYtFhcYtFhchFccdnnnYnntnn將展開(kāi)式代入,得到局部截?cái)嗾`差：要使得方法是二階的，那么部分截?cái)嗾`差應(yīng)該為三階小量，即：要使

6、得方法是二階的，那么部分截?cái)嗾`差應(yīng)該為三階小量，即：021; 021; 012122221cccc三個(gè)方程,四個(gè)未知數(shù),所以其解不唯一.2122110,1;.2cacaa 可令則有：法法。即即為為改改進(jìn)進(jìn)的的積積分分公公式式：時(shí)時(shí)Euler),(),(2)(. 1,21,2112121121221hKYhtFKYtFKKKhYYccannnnnn即為中點(diǎn)公式。即為中點(diǎn)公式。積分公式：積分公式：時(shí)時(shí))2,2(),(.21, 1, 0,11212121221hKYhtFKYtFKhKYYccannnnnn例例.1)0(,:ODE2yydxdy求求解解初初值值問(wèn)問(wèn)題題.11xy易易知知其其精精確確解

7、解為為：21 . 01 . 0. 1,21Euler,21. 1222121221nnnnnyyyyycca積分公式：積分公式：法：法：改進(jìn)的改進(jìn)的321 . 0321 . 0.23,31,32,31. 2222121221nnnnnyyyyycca積分公式：積分公式：分別用以下兩種系數(shù)：分別用以下兩種系數(shù)：步長(zhǎng)都取為步長(zhǎng)都取為1 . 0h結(jié)果及比較結(jié)果及比較三階顯式三階顯式Runge-Kutta方法方法nnnYnntnnYnnnYYnnntYnnttn)F,Y(tF),Y(tF),Y(tF)F,Y(tF)F,Y(tF),Y(tFY 22在推導(dǎo)二階顯式方法的過(guò)程中，留意到部分截?cái)嗾`差表達(dá)式中在

8、推導(dǎo)二階顯式方法的過(guò)程中，留意到部分截?cái)嗾`差表達(dá)式中h3項(xiàng)包含了以下表達(dá)式：項(xiàng)包含了以下表達(dá)式：因此假設(shè)要在部分截?cái)嗾`差中消去因此假設(shè)要在部分截?cái)嗾`差中消去h3項(xiàng)，必需添加包含了以上各項(xiàng)，必需添加包含了以上各項(xiàng)的多個(gè)方程，同時(shí)我們留意到項(xiàng)的多個(gè)方程，同時(shí)我們留意到r=2時(shí)，只需時(shí)，只需 等四個(gè)待定等四個(gè)待定系數(shù)，少于方程的數(shù)目，所以這樣的系數(shù)不存在。故：系數(shù)，少于方程的數(shù)目，所以這樣的系數(shù)不存在。故： r=2時(shí)時(shí)Runge-Kutta方法只能是二階的。要得到三階的方法，那么必需有方法只能是二階的。要得到三階的方法，那么必需有r=3。),(),(),()(23213133121221332211

9、1hKhKYhtFKhKYhtFKYtFKKcKcKchYYnnnnnnnn其其局局部部截截?cái)鄶嗾`誤差差為為：).()()(33221111KcKcKchtYtYdnnn1,2121,c 三階顯式三階顯式Runge-Kutta方法方法程程如如下下：可可得得待待定定系系數(shù)數(shù)滿滿足足的的方方展展開(kāi)開(kāi)，使使得得作作以以及及將將),(Taylor)(,41132hOdtYKKnn61312113223233222332232313212321cccccccc)2,()2,2(),()4(62131213211hKhKYhtFKKhYhtFKYtFKKKKhYYnnnnnnnn三階公式，如下：三階公式，

10、如下：常見(jiàn)的公式稱為常見(jiàn)的公式稱為公式。特別地，一個(gè)公式。特別地，一個(gè)三階三階，它們統(tǒng)稱為，它們統(tǒng)稱為因此可以得到眾多公式因此可以得到眾多公式個(gè)未知數(shù)，解不唯一。個(gè)未知數(shù)，解不唯一。個(gè)方程要決定個(gè)方程要決定KuttaKuttaRunge86四階顯式四階顯式Runge-Kutta方法方法個(gè)個(gè)：。下下面面列列出出最最常常見(jiàn)見(jiàn)的的一一的的局局部部截截?cái)鄶嗾`誤差差滿滿足足公公式式，它它們們導(dǎo)導(dǎo)出出各各種種四四階階的的類類似似前前面面的的推推導(dǎo)導(dǎo)，可可以以)(KuttaRunge51hOdn),()2,21()2,21(),(226342312143211hKYhtFKKhYhtFKKhYhtFKYtF

11、KKKKKhYYnnnnnnnnnn四階顯式四階顯式Runge-Kutta方法方法xnxn + h/2xn + hf1f2f3f443212261ffffff.1)0(,:ODE2yxydxdy求求解解初初值值問(wèn)問(wèn)題題xexxy222易易知知其其精精確確解解為為：方法求解：方法求解：分別用二階、四階分別用二階、四階步長(zhǎng)都取為步長(zhǎng)都取為KR1 . 0hx四階二階真解四階誤差 二階誤差0.01.000000 1.000000 1.0000000.00000.0000000.11.104829 1.102450 1.1048291.60E-72.38E-30.21.218597 1.211507 1

12、.2185973.40E-77.09E-30.31.340141 1.325766 1.3401415.48E-71.44E-20.41.468175 1.443671 1.4681757.69E-72.45E-20.51.601278 1.563506 1.6012799.95E-73.78E-20.61.737880 1.683374 1.7378811.20E-65.45E-20.71.876246 1.801179 1.8762471.42E-67.51E-20.82.014457 1.914603 2.0144591.68E-69.99E-20.92.150395 2.021086

13、2.1503971.96E-61.29E-11.02.281716 2.117800 2.2817182.32E-61.64E-1例例結(jié)果及比較結(jié)果及比較結(jié)果及比較結(jié)果及比較.1045. 1505. 0).10(1060. 1101040. 2510. 01514時(shí)時(shí)誤誤差差為為而而二二階階公公式式，相相對(duì)對(duì)誤誤差差僅僅為為仍仍然然是是相相當(dāng)當(dāng)精精確確的的結(jié)結(jié)果果時(shí)時(shí)誤誤差差為為時(shí)時(shí)誤誤差差為為對(duì)對(duì)四四階階公公式式，xhxxh關(guān)于關(guān)于Runge-Kutta方法方法RungeKuttaRungeKutta類似前面的推導(dǎo),可以導(dǎo)出更高階的公式.關(guān)于方法,有以下幾點(diǎn)需要特別指出：。解解曲曲線線比比較

14、較光光滑滑的的情情形形別別適適用用于于展展開(kāi)開(kāi)的的方方法法，因因此此它它特特方方法法的的推推導(dǎo)導(dǎo)基基于于 TaylorKuttaRunge. 1次次右右函函數(shù)數(shù)。、分分別別須須計(jì)計(jì)算算階階數(shù)數(shù)相相同同，即即它它們們每每步步數(shù)數(shù)的的次次數(shù)數(shù)和和方方法法，每每一一步步計(jì)計(jì)算算右右函函二二階階、三三階階、四四階階的的432Kutta-Runge. 27)9(, 6)8(, 6)7(, 5)6(, 4)5()(KuttaRunge)4(. 3NNNNNvNvN階階數(shù)數(shù)，則則有有：次次右右函函數(shù)數(shù)可可達(dá)達(dá)到到的的最最高高表表示示計(jì)計(jì)算算若若用用比比階階數(shù)數(shù)大大。次次的的次次數(shù)數(shù)方方法法每每步步須須計(jì)計(jì)算

15、算右右函函數(shù)數(shù)階階的的的的波波動(dòng)動(dòng)。，局局部部誤誤差差會(huì)會(huì)有有比比較較大大如如果果采采用用固固定定步步長(zhǎng)長(zhǎng)計(jì)計(jì)算算的的步步長(zhǎng)長(zhǎng)等等等等因因素素相相關(guān)關(guān)。微微分分方方程程的的性性質(zhì)質(zhì)、采采用用方方法法具具體體的的系系數(shù)數(shù)、待待解解階階數(shù)數(shù)、比比較較復(fù)復(fù)雜雜，它它和和方方法法的的法法的的局局部部截截?cái)鄶嗾`誤差差估估計(jì)計(jì)KuttaRunge. 4提高提高Runge-Kutta方法的精度的方法方法的精度的方法提高積分方法的精度,我們最熟悉的(不一定是最好的)措施是1( )212()2212Euler( )( )211( )( )24nnnhhyyhyyxy xc hc hhyxy xc hc h我們用

16、一個(gè)例子予以說(shuō)明如下法的近似解：將步長(zhǎng)減半為 時(shí)，有外推法外推法Richardson0h將上二式作適當(dāng)線性組合,可使的一次項(xiàng)為 ：)()(2)()()2(xyxyxyhh。計(jì)計(jì)算算量量同同時(shí)時(shí)增增加加了了一一倍倍但但我我們們注注意意到到右右函函數(shù)數(shù)的的得得精精度度提提高高一一階階。利利用用此此式式計(jì)計(jì)算算時(shí)時(shí)，可可使使提高精度最簡(jiǎn)單的方提高精度最簡(jiǎn)單的方法是縮短步長(zhǎng)，但要法是縮短步長(zhǎng)，但要以犧牲計(jì)算速度和積以犧牲計(jì)算速度和積累舍入誤差為代價(jià)。累舍入誤差為代價(jià)。變步長(zhǎng)的變步長(zhǎng)的Runge-Kutta方法方法作為妥協(xié)，假設(shè)能在計(jì)算過(guò)程中實(shí)時(shí)控制步長(zhǎng)的大小，就可作為妥協(xié)，假設(shè)能在計(jì)算過(guò)程中實(shí)時(shí)控制步

17、長(zhǎng)的大小，就可以在獲得較高的計(jì)算速度的同時(shí)，保證較高的精度。以在獲得較高的計(jì)算速度的同時(shí)，保證較高的精度。( )( )( )111111()()()()2222111pRungeKutta()2()222hhhpnnnphhhhpnnnpdY tYchhhhdY tYcc一般地,設(shè)有 階的公式,其局部截?cái)嗾`差為將步長(zhǎng)減半為時(shí),有()( )2()( )1211()()()( )( )( )2221111111(1)211;.1221hhhhpnnphhhhhhnnnnnnppcccYYchdYYdYY假定,記為 ,則可以估計(jì)誤差如下：因此可以從兩次計(jì)算當(dāng)中估計(jì)出每一步的截?cái)嗾`差,有了這個(gè)誤差估計(jì)

18、之后,通過(guò)與控制誤差限比較,就可以控制步注意這個(gè)方法增加了長(zhǎng).計(jì)算量.Runge-Kutta-Fehlberg方法Fehlberg設(shè)計(jì)了一個(gè)更加精巧的嵌套方法如下：設(shè)計(jì)了一個(gè)更加精巧的嵌套方法如下：pp+1:在采用一個(gè) 階方法的同時(shí),計(jì)算一個(gè)階的結(jié)果,并由此給出誤差估計(jì)11p()pnnYY thch階的方法：#21p1()pnnYY thch階的方法：p因此 階方法的局部截?cái)嗾`差可以近似為：.1#11nnnYYd制制步步長(zhǎng)長(zhǎng)?？煽梢砸杂糜眠@這個(gè)個(gè)估估計(jì)計(jì)式式來(lái)來(lái)控控RungeKutta,pp+1iiijc我們記得方法中的待定系數(shù)不是唯一確定的.因此就有可能利用這個(gè)特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)南禂?shù)使得 階和

19、階公式中盡可能多的系數(shù)相同,從而達(dá)到減少計(jì)算量的目的.pp+1ic實(shí)際上,可以找到僅有權(quán)系數(shù)不同的 階和階算法,如此一來(lái),右函數(shù)的計(jì)算就可以大大減少.Runge-Kutta-Fehlberg方法Fehlberg給出的四階、五階公式RKF4(5)如下：55204011410418592565354422782150951410484551336808216439156430285614104219721797296217972002179193213121282566562565140832932383004141135162162500#54321iiiiiiiicc61#1111RKF4(5

20、);( ,);(,). (2,6)inniinnininijjijYYc KKhF t YKhF th YKi實(shí)際使用時(shí),采用五階公式計(jì)算下一步點(diǎn)的值：6#11()niiiidcc K計(jì)算中并不計(jì)算四階的結(jié)果,只計(jì)算誤差估計(jì)控制步長(zhǎng)：Runge-Kutta-Fehlberg方法七階、八階七階、八階RKF7(8)840410104112643382514100219382289102544961643410041001777184041004164134132053416000020530084041411816445824541002133823011025449616434100410023

21、83128091216176019543111359761082300108913128093906791074570465300232359900139222561000300316135954125276510812500108256510534514100201210162516250125125081024161012136191027227208404100#121110987654321iiiiiiiiiiiiiiicc84041010411264338251410021938228910254496164341004100177718404100416413413205341600002053008404141181644582454100213382301102544961643410041002383128091216176019543111