三升四暑期班 2

1、 講義是樂譜，學生是聽眾，老師是指揮家，每節(jié)課都是一篇樂章，老師您辛苦了！ 學而思講義編寫組目 錄第一講 速算與巧算 . 2第二講 應用題綜合（一） .9第三講 應用題綜合（二）.14第四講 行程問題初步 .19第五講 奇數(shù)與偶數(shù) .24第六講 計數(shù)問題 .29第七講 體育比賽中的數(shù)學 .34第八講 期中測試 .38第九講 余數(shù)與周期 .40第十講 簡單的抽屜原理 .45第十一講 巧求周長 .50第十二講 數(shù)字謎 .55第十三講 趣題巧解 .60第十四講 邏輯推理 .64第十五講 期末測試 .68第一講 速算與巧算親愛的同學們，你想一見到算式就能張口說出得數(shù)嗎？你想讓自己變得更聰明嗎？學了今天

2、的速算技巧后你就可以夢想成真了！還等什么？來吧，一起出發(fā)！你還記得嗎？1. 加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變.2. 加法結合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)；或者，先把后兩個數(shù)相加，再與第一個數(shù)相加，它們的和不變.3. 乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換兩個數(shù)的位置，其積不變， 即a×b=b×a,其中a，b為任意數(shù).4. 乘法結合律：三個數(shù)相乘，可以先把前兩個數(shù)相乘后，再與后一個數(shù)相乘，或先把后兩個數(shù)相乘后，再與前一個數(shù)相乘，積不變，即a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c).習 能

3、湊整的數(shù)，一般找能湊整的數(shù)看個位就可以了。2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222221. 計算：378+26+609分析：原式=（378+22）+（600+9）+（26-22）=400+600+9+4=1013.拓展 計算：1998+198+18分析：原式=（2000-2）+（200-2）+（20-2） =2220-6 =2214.2. 計算：1000-90-80-20-10分析：原式 =1000-（90802010）=1000-200=8

4、00.3. 計算：1）63×11 ； 2） 852×11分析：在這個數(shù)的首尾之間添上相鄰兩數(shù)依次相加的和（和滿10要進1）. 即“兩邊一拉，中間相加”.1）63×11=693 （其中9是6+3），2）852×11=9372（7=5+2 3=5+8末尾 9=8+1）.4. 計算 ：15×15 ；25×25 ；35×35分析：建議教師先介紹個位數(shù)字為5的數(shù)的平方速算規(guī)律：首數(shù)加1的和乘以首數(shù)，尾數(shù)相乘，兩積連起來即為所求的積.15×15=225 ；25×25=625 ；35×35=1225暑假精講1

5、. 商不變性質：被除數(shù)和除數(shù)乘（或除）以同一個非零數(shù)，其商不變.在連除時，可以交換除數(shù)的位置，商不變，即a÷b÷c=a÷c÷b2. 乘除法混合運算的性質（1）在乘除混合運算中，被乘數(shù)、乘數(shù)或除數(shù)可以連同數(shù)字前面的運算符號一起交換位置，例如a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a(2)在乘除混合運算中，去掉括號的規(guī)則以及去括號的情形 a×(b×c)=a×b×c a×(b÷c)=a×b÷c a÷(b÷c)=

6、a÷b×c(3)兩個數(shù)之積除以兩個數(shù)之積，可以分別相除后再相乘，即 (a×b)÷(c×d)=(a÷c)×(b÷d)=(a÷d)×(b÷c).在乘除運算中，要做到既正確又迅速，首先要熟練地掌握乘除的各種運算定律，性質和運算中積商的變化規(guī)律，其次要了解題目的特點，創(chuàng)造條件，選用合理，靈活的計算方法，下面我們通過一些例題介紹一些運算的速算和巧算的方法.【例1】 計算：456×2×125×25×5×4×8分析：解題關鍵是觀察題目可以發(fā)

7、現(xiàn)25×4得100，125×8得1000，將它們分別合并便可達到速算原式=456×（2×5）×（25×4）×（125×8）=456×10×100×1000=456000000.鞏固 計算：19×25×64×125分析：原式=（25×4）×（125×8）×（19×2） = 100×1000×38 =3800000.【例2】 計算：5÷(7÷11) ÷(11&#

8、247;15) ÷(15÷21) 分析：原式=5÷7×11÷11×15÷15×21=5×（11÷11）×（15÷15）×（21÷7）=5×3=15.前鋪 計算：5400÷25÷4分析：根據(jù)除法性質知一個數(shù)分別除以兩個數(shù)，等于除以這兩個數(shù)的積.原式=5400÷（25×4）=5400÷100=54.【例3】 計算：333333÷37÷3-3625÷125+125×

9、;50分析：運用a÷b÷c=a÷(b×c) .原式=333333÷（37×3）-29+6250=333333÷111+（6250-29）=3003+6221=9224.【例4】 53×46+71×54+82×54分析：可以把53，199拆分.原式=（54-1）×46+71×54+82×54=54×46+71×54+82×54-46=54×（46+71+82）-46=54×199-46=54×（200-1）-

10、46=54×200=54-46=10800-100=10700.【例5】 （873×477-198）÷（476×874+199）分析：觀察到873與874，476與477的關系，可以考慮把整數(shù)進行拆分.原式=873×（476+1）-198 ÷476×（873+1）+199=873×476+873-198 ÷476×873+476+199=873×476+675 ÷476×873+675=1.【例6】 1111111111×9999999999分析：原式=1

11、111111111×（10000000000-1）=11111111110000000000-1111111111=11111111108888888889.【例7】 99999×26+33333×24分析：原式=99999×26+33333×3×8=99999×26+99999×8=99999×（26+8）=（100000-1）×34=3399966.【例8】 計算：1+1×2×2+l×2×3×3+l×2×3×4&

12、#215;4+l×2×3×4×5×5分析：原式=1×(2-1)+l×2×(3-1)+1×2×3×(4-1)+1×2×3×4×(5-1)+l×2×3×4×5×(6-1)=l×2-1+l×2×3-1×2+l×2×3×4-1×2×3+l×2×3×4×5-1×2

13、15;3×4+l×2×3×4×5×6-l×2×3×4×5=l×2×3×4×5×6-l=720-l=719【例9】 計算：2006+2005-2004-2003+2002+2001-2000-1999+1998+5-4-3+2+1分析：（法1）我們觀察可以發(fā)現(xiàn)，題目中每4個數(shù)一組可以相互抵消，將這些數(shù)先分組，簡化計算.原式=2006+（2005-2004-2003+2002）+（2001-2000-1999+1998）+（5-4-3+2）+1=20

14、06+0+0+0+1=2007.（法2）根據(jù)符號規(guī)律，可以4個數(shù)一組.原式=（2006+2005-2004-2003）+（6+5-4-3）+2+1=4×（2004÷4）+3=2007.拓展 計算：1992-1-2+3+4-5-6+7+8-1989-1990+1991分析：原式=（1992+1991-1990-1989）+（4+3-2-1） =4×（1992÷4） =1992.【例10】 計算：（11×10×9××3×2×1）÷（22×24×25×27）分析

15、：原式= （11×2÷22）×（10×5÷25）×（9×6÷27）×（8×3÷24）×7×4 =2×2×7×4=112.【例11】 計算：9×17+91÷17-5×17+45÷17分析：前鋪分配律的逆運算是個難點，建議教師先從簡單題講清楚再講本題.計算1： 36×19+64×19=（36+64）×19=1900.計算2： 36×19+64×144=

16、36×19+64×（19+125）=（36+64）×19+64×125=1900+8×8×125=1900+8000=9900.例題原式=9×17-5×17+91÷17+45÷17=（9-5）×17+（91+45）÷17=4×17+136÷17=68+8=76.【例12】 計算：765×213÷27+765×327÷27分析：原式=765×（213+327）÷27=765×540

17、7;27=765×20=15300.【例13】 計算：（123456+234561+345612+456123+561234+612345）÷7分析：前鋪建議教師先講解拆數(shù)法：123456=1×100000+2×10000+3×1000+4×100+5×10+6×1，234561=2×100000+3×10000+4×1000+5×100+6×10+1×1，或者觀察豎式發(fā)現(xiàn)：每個數(shù)位上的和=（1+2+3+4+5+6）×相應的數(shù)量單位.講清楚拆數(shù)這

18、個問題，題目就迎刃而解了.原式=（1+2+3+4+5+6）×(100000+10000+1000+100+10+1) ÷7=21×111111÷7=3×111111=333333.【例14】 計算：12121212÷3030303 分析：前鋪建議教師先給學生講清楚周期性數(shù)字的規(guī)律.如123123=123×1001，123123123=123×1001001，分析：原式 =12×1010101÷（3×1010101）=（12÷3）×（1010101÷1010

19、101）=4×1=4.拓展 計算：（4545+5353）÷4949分析：原式=（45×101+53×101）÷（49×101） =（45+53）×101÷49÷101 =（45+53）÷49 =2.【例15】 2004×200320032003-2003×200420042004分析：原式=2004×2003×100010001-2003×2004×100010001=0.附加內容【附1】 計算：99999×22222+333

20、33×33334分析：原式=99999×22222+33333×（33333+1）=99999×22222+99999×11111+33333=99999×33333+33333=33333×（99999+1）=33333×100000=3333300000.【附2】 計算：888×125÷（1000÷73）+999×73分析：原式=8×125×111÷（1000÷73）+999×73=1000×111÷1

21、000×73+999×73=73×（111+999）=1110×（70+3）=77700+3330=81030.大顯身手1. 25×17×32×125分析：原式=（25×4）×17×（8×125）=1700000 .2. 1）57×99 ；2） 17×999分析：1）原式= 5643 ；2）原式=16983. 3. 15000÷125÷15分析：原式=15000÷15÷125=1000÷125=8.4. 56000&

22、#247;（14000÷16）分析：原式= 64. 數(shù)學迷宮仔細看看圖中有幾只猴子？第二講 應用題綜合（一）春季班同學們已經(jīng)學習了平均數(shù)的應用題，其中包括以兩組數(shù)的平均數(shù)和它們的總平均數(shù)間的關系為內容的問題求解時應恰當選取基準數(shù)并注意權重暑假我們學習的平均數(shù)問題包括算術平均數(shù)、加權平均數(shù)、連續(xù)數(shù)和求平均數(shù)、調和平均數(shù)和基準數(shù)求平均數(shù).解答這類應用題時，主要是弄清楚總數(shù)、份數(shù)、一份數(shù)三量之間的關系，根據(jù)總數(shù)除以它相對應的份數(shù)，求出一份數(shù)，即平均數(shù).首先，讓我們先回顧一下吧！你還記得嗎？1. 小強為了培養(yǎng)自己的數(shù)學解題能力，除了認真讀一些書外，還規(guī)定自己每周(一周為7天)平均每天做4道數(shù)

23、學競賽訓練題.星期一至星期三每天做3道，星期四不做，星期五、六兩天共做了13道.那么，星期日要做幾道題才能達到自己規(guī)定的要求？分析：綜合列式為4×7-(3×313)6(道).2. 小明家先后買了兩批小豬，養(yǎng)到今年10月.第一批的3頭每頭重66千克，第二批的5頭每頭重42千克.小明家養(yǎng)的豬平均多重？分析：兩批豬的總重量為66×342×5408(千克).兩批豬的頭數(shù)為358(頭)，故平均每頭豬重408÷851(千克).3. 中強期末考試，數(shù)學92分，語文90分，英語成績比這三門的平均成績高4分.問：英語得了多少分？分析：英語比平均成績高的這4分，是

24、“補”給了數(shù)學和語文，所以三門功課的平均成績?yōu)?92904)÷293(分)，由此可求出英語成績.綜合列式為(92924)÷2497(分).4. 有5個數(shù)的平均數(shù)是26，如果把其中的一個數(shù)改為18，則平均數(shù)變成22，未改動前的這個數(shù)是多少？分析：5個數(shù)的平均數(shù)從26變成22，平均每個數(shù)減少了4，一共減少了4×5=20，說明原來那個數(shù)減少20變?yōu)?8，所以原來的數(shù)是38.暑假精講【例1】 學而思三升四競賽班50人考試，全班平均分為85分，其中有40的人及格，及格人的平均分是93分，那么不及格人的平均分是多少分？ 分析：不及格人的平均分是（85×50-93&#

25、215;40）÷（50-40）=53（分）【例2】 某一幢居民樓里原有3戶安裝空調，后來又增加一戶.這4臺空調全部打開時就會燒斷保險絲，因此最多同時使用3臺空調.這樣，在24小時內平均每戶最多可使用空調幾小時？分析：平均每戶最多可用空調24×3÷4=18（小時）.【例3】 一個房間里有9個人，平均年齡是25歲；另一個房間里有11個人，平均年齡是45歲兩個房間的人合在一起，他們的平均年齡是幾歲？分析：（25×9+45×11）÷（9+11）=36（歲）.【例4】 某校有100名學生參加第四屆小學“祖沖之杯”數(shù)學競賽，平均分數(shù)是63分，其中

26、參賽男同學平均分為60分，女同學平均分為70分，那么該校參賽男同學比女同學多幾人？ 分析：參賽女同學人數(shù)為：100×(63-60) ÷(70-60)=30(人)，所以參賽男同學比女同學多100-30-30=40（人）.下面我們要學習一類新的應用題盈虧問題. 盈虧問題就是把一定數(shù)量的物品分給若干對象，由兩種分配方案產(chǎn)生不同的盈虧數(shù)，反過來求被分配的物品數(shù)與分配的對象數(shù).解題的關鍵在于確定兩次分配數(shù)之差與盈虧總額(盈數(shù)+虧數(shù))，由此得到求解盈虧問題的公式：分配總人數(shù)=盈虧總額÷兩次分配數(shù)之差.需要注意的是，兩種分配方案的結果會出現(xiàn)一盈一虧、兩盈、兩虧等情況，所以我們要

27、靈活把握.【例5】 六一兒童節(jié)到了，李老師給同學們準備了一些漂亮的貼畫作禮物，如果每人分3張就會多出29張，如果每人分5張則少19張，那么李老師給幾個學生發(fā)禮物呢？ 分析：學生的人數(shù)：(29+19)÷(5-3)=24(個).【例6】 楊老師到新華書店去買書，若買5本則多3元；若買7本則少1.8元這本書的單價是多少？顧老師共帶了多少元錢？分析：買5本多3元，買7本少1.8元.盈虧總額為31.8=4.8（元），這4.8元剛好可以買7-52（本）書，因此每本書4.8÷2=2.4（元），顧老師共帶錢2.4×5315（元）.【例7】 學校組織四年級師生去參觀清華、北大，原計

28、劃租用45個座位的客車，但這樣有5人沒座，如果租用同樣數(shù)量的55個座位的客車，則正好多出1輛車.那么，原計劃租用45座客車幾輛？分析：租55個座位的客車，正好多出1輛車，也就是少了一車的人，即55人，所以，原計劃租用的客車數(shù)量(55+5)÷(55-45)=6(輛).【例8】 蘭蘭參加暑假的英語夏令營，老師為她們安排住宿，如果每個房間住5人，則多出18人，如果每個房間住7人，則有2個房間空著.那么，參加英語夏令營的同學有幾人？分析：房間數(shù)量：(18+7×2)÷(75)=16(個)，參加夏令營的人數(shù)：16×5+18=98(人).【例9】 海爾兄弟約好在動物園

29、門口見面，弟弟從家去動物園，如果每分鐘走30米，就要遲到5分鐘，如果每分鐘走40米，可以提前2分鐘到動物園，那么，海爾兄弟家到動物園的距離是幾米？分析：遲到5分鐘相當于少走了：30×5=150(米)，提前2分鐘到相當于多走了：40 ×2=80(米)，所以，如果不遲到也不早到，弟弟走的時間為：(150+80)÷(40-30)= 23(分鐘)，家到學校的距離為：30×(23+5)=840(米).【例10】 早晨陳奶奶去超市買菜，如果她買6千克魚肉則還差10元如果買8千克豬肉則還剩2元已知每千克魚肉比豬肉貴5元那么陳奶奶帶了多少錢?分析：由于每千克魚肉比豬肉貴

30、5元，6千克魚肉應該比6千克豬肉貴：6×5=30(元)，這時，買6千克豬肉應該剩下：3010=20(元)，所以，每千克豬肉的價錢為：(202)÷(86)=9(元)，陳奶奶所帶錢數(shù)：8×9+2=74(元).【例11】 百貨商店委托搬運站運送100只花瓶雙方商定每只運費1元，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運費，而且還要賠償1元，結果搬運站共得運費92元問：搬運過程中共打破了幾只花瓶?分析：假設100只花瓶在搬運過程中一只也沒有打破，那么應得運費1×100=100(元)實際上只得到92元，少得100-92=8(元)搬運站每打破一只花瓶要損失1+1=2(

31、元)因此共打破花瓶8÷2=4(只)附加內容【附1】 100名學生參加數(shù)學競賽，平均分數(shù)是63分，其中參賽男同學平均分為60分，女同學平均分為70分，那么該校參賽男同學比女同學多幾人？分析：參賽女同學人數(shù)為：100×(63-60) ÷(70-60)=30(人)所以參賽男同學比女同學多100-30-30=40（人）【附2】 學而思競賽班舉行歌唱比賽，五位評委打分計分時，先去掉一個最高分和一個最低分，在算出平均分作為該選手的最后得分下面是嘟嘟同學的得分：79，83，86，81，（第五個分數(shù)被蓋上了），最后得分82請你算算第五位評委打多少分？ 分析：如果第五位評委的分數(shù)是

32、最高分獲最低分，那么另一個去掉的分數(shù)就是79或86，剩下的3個分數(shù)的平均分不等于82，不合題意.所以第五位評委的分數(shù)是沒有被去掉的，去掉的是79和86，第五位評委的分數(shù)是82×3-（83+81）=82（分）.【附3】 樂樂從家去學校上學，每分鐘走50米，走了2分鐘后，發(fā)覺按這樣的速度走下去，到學校就會遲到8分鐘于是樂樂開始加快速度，每分鐘比原來多走10米，結果到達學校時離上課還有5分鐘問：樂樂家離學校有多遠? 分析：樂樂從改變速度的那一點到學校，若每分鐘走50米，則要遲到8分鐘，也就是到上課時間時，他離學校還有50×8=400(米)；若每分鐘多走10米，即每分鐘走60米，則

33、到達學校時離上課還有5分鐘，如果一直走到上課時間，那么他將多走(50+10)×5=300(米)所以盈虧總額，即總的路程相差400+300=700(米)兩種走法每分鐘相差10米，因此所用時間為700-10=70(分)，也就是說，從樂樂改變速度起到上課時間有70分鐘所以樂樂家到學校的距離為50×(2+70+8)=4000(米)【附4】 四(2)班在這次的班級評比中，獲得了“全優(yōu)班”的稱號為了獎勵同學們，班主任劉老師買了一些鉛筆和橡皮劉老師把這些鉛筆和橡皮分成一小堆一小堆，以便分給幾位優(yōu)秀學生如果每堆有1塊橡皮2支鉛筆，鉛筆分完時橡皮還剩5塊；如果每堆有3塊橡皮和5支鉛筆，橡皮分

34、完時還剩5支鉛筆那么，劉老師一共買了多少塊橡皮?多少支鉛筆? 分析：如果增加10支鉛筆，則按1塊橡皮、2支鉛筆正好分完；而按3塊橡皮、5支鉛筆分，則剩下10+5=15(支)鉛筆，但如果按3塊橡皮、6支鉛筆分，則正好分完，可以分成：15÷(65)=15(堆)，所以，橡皮數(shù)為：15×3=45(塊)，鉛筆數(shù)為：15×610=80(支)大顯身手1. 暑假期間，小強每天都堅持游泳，并對所游的距離作了記錄如果他在暑假的最后一天游670米，則平均每天游495米；如果最后一天游778米，則平均每天游498米；如果他想平均每天游500米，那么最后一天應游多少米？分析：（778-67

35、0）÷（498-495）=108÷3=36（天），說明小強一共游了36天.要想平均游500米的話，他最后一天應該游670+36×（500-495）=670+180=850米.2. 甲班51人，乙班49人，某次考試2個班全體同學的平均成績是81分，乙班平均分比甲班高7分，那么乙班的平均成績是多少分？分析：甲、乙2班總分為81×（51+49）=8100（分），由于乙班平均分比甲班高7 分，如果甲班每人提高7分，那么2班平均分即為乙班現(xiàn)在的平均分（8100+7×51）÷（51+49）=84.57（分）.3. 用繩子量一口井的深度，把繩子折兩

36、折來量，多50厘米；折三折來量，還差30厘米，求繩長和井深各是多少？ 分析：根據(jù)題意，（50×2+30×3）÷（3-2）=190（厘米）.（190+50）×2=480（厘米）或（190-30）×30=480（厘米）.4. 王老師帶班里的學生去頤和園春游，他們租了一些船在昆明湖上劃船，如果增加1條船，正好每條船坐4人，如果減少1條船，正好每條船坐6人，那么，他們總共有幾人去了頤和園？分析：這道題也可以理解為：原來每條船坐4人正好，后來減少了2條船，每條船坐6人所以，租的船的數(shù)量為：6×(1+1)÷(64)=6(條)，去頤和園的

37、總人數(shù)為：6×4=24(人).成長故事永遠看得起自己有一天某個農(nóng)夫的一頭驢子，不小心掉進一口枯井里，農(nóng)夫絞盡腦汁想辦法救出驢子，但幾個小時過去了，驢子還在井里痛苦地哀嚎著 最后，這位農(nóng)夫決定放棄，他想這頭驢子年紀大了，不值得大費周章去把它救出來，不過無論如何，這口井還是得填起來于是農(nóng)夫便請來左鄰右舍幫忙一起將井中的驢子埋了，以免除它的痛苦 農(nóng)夫的鄰居們人手一把鏟子，開始將泥土鏟進枯井中當這頭驢子了解到自己的處境時，剛開始哭得很凄慘但出人意料的是，一會兒之后這頭驢子就安靜下來了農(nóng)夫好奇地探頭往井底一看，出現(xiàn)在眼前的景象令他大吃一驚：當鏟進井里的泥土落在驢子的背部時，驢子的反應令人稱奇它

38、將泥土抖落在一旁，然后站到鏟進的泥土堆上面！ 就這樣，驢子將大家鏟倒在它身上的泥土全數(shù)抖落在井底，然后再站上去很快地，這只驢子便得意地上升到井口，然后在眾人驚訝的表情中快步地跑開了！第三講 應用題綜合（二）年齡問題和還原問題春季班都學習過基礎的知識：年齡問題的解題要點是分析題意從表示年齡間倍數(shù)關系的條件入手理解數(shù)量關系.關鍵抓住“年齡差”不變.應用“差倍”、“和倍”或“和差”問題數(shù)量關系式解決；還原問題我們學習了用倒推法解單、多個變量的還原問題.今天我們再提高和拓展一下.來吧，我們出發(fā)！你還記得嗎？1. 小明今年8歲，他與爸爸、媽媽年齡的和是81歲，多少年后他們的平均年齡是34歲？這時，小明是

39、多少歲？分析：三人的平均年齡是34歲時，三人的年齡和為：34×3=102（歲），經(jīng)過的時間是：（102-81）÷3=7（年），這時小明的歲數(shù)：8+7=15（歲）2. 今年爸爸48歲，兒子20歲，幾年前爸爸的年齡是兒子的5倍？分析：今年爸爸與兒子的年齡差為“4820=28”歲，因為二人的年齡差不隨時間的變化而改變，所以當爸爸的年齡為兒子的5倍時，兩人的年齡差還是這個數(shù)，這樣就可以用“差倍問題”的解法當爸爸的年齡是兒子年齡的5倍時，他們的年齡差是兒子年齡的4倍，所以兒子的年齡是：（4820）÷（51）7（歲），由20713（歲），推知13年前爸爸的年齡是兒子年齡的5倍

40、3. 一群螞蟻搬家，原存一堆食物第一天運出總數(shù)的一半少12克第二天運出剩下的一半少12克，結果窩里還剩下43克問螞蟻家原有食物多少克?分析：（倒推法）教師可畫線段圖幫助學生理解如果第二天再多運出12克，就是剩下的一半，所以第一天運出后，剩下的一半重量是43-12=3l(克)；這樣，第一天運出后剩下的重31×2=62(克)那么，一半的重量是6212=50(克)，原有食物50×2=100(克) 即 (43-12)×2-12×2=100(克).4. 小新在做一道加法題，由于粗心，將個位上的5看作9，把十位上的8看作3，結果所得的和是123正確的答案是多少? 分

41、析：（倒推法）把個位上的5看作9，相當于把正確的和多算了4，求正確的和，應把4減去；把十位上的8看作3，相當于把正確的和少算了50，求正確的和，應把50加上去所以正確的和是123+50- 4=169即：123+(80-30)- (9-5)=169.暑假精講【例1】 父親15年前的年齡相當于兒子12年后的年齡當父親的年齡是兒子的4倍時，父親多少歲?分析：父親比兒子大15+12=27歲兒子是27÷(41)=9歲父親是9×4=36歲【例2】 姐姐對妹妹說：“當我是你今年的歲數(shù)時，你才6歲”妹妹對姐姐說：“當我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將2l歲”求姐姐和妹妹今年各幾歲?分析：姐姐和

42、妹妹的年齡差為(216)÷3=5(歲)妹妹今年的年齡為6+5=11(歲)姐姐今年的年齡為11+5=16(歲)【例3】 小明一家有4人：爺爺、爸爸、媽媽和小明爺爺比爸爸大26歲，媽媽比小明也大26歲已知這家人今年的年齡之和為126歲，而5年前的年齡之和為107歲，那么小明與他爺爺?shù)哪挲g之差是幾歲？分析：5年來，小明家的年齡之和增加了126-107=19歲這家現(xiàn)有4口人，而19<4×5，這說明小明還不滿5歲，他今年只有19-3×5=4歲于是今年媽媽4+26=30歲，爺爺和爸爸的年齡之和為126-4-30=92歲又爺爺比爸爸大26歲，因此今年爺爺(92+26)&#

43、247;2=59歲，他比小明大59-4=55歲【例4】 達達1999年上二年級，如果把他出生年份的前兩位與后兩位看成兩個兩位數(shù)，已知第二個兩位數(shù)比第一個兩位數(shù)大73，求達達1999年的年齡分析：根據(jù)已知條件知，達達的出生年份的前兩位數(shù)組成的兩位數(shù)是19，那么，他出生年份的后兩位數(shù)組成的兩位數(shù)為19+73=92，因此，達達是1992年出生的由此可知，1999年時達達的年齡是7歲.【例5】 甲、乙、丙、丁四人現(xiàn)在的年齡和是64歲，甲21歲，乙17歲甲18歲時，丙的年齡是丁的3倍丁現(xiàn)在的年齡是多少歲?分析：（法1）當甲18歲時，乙的年齡為173=14(歲)丁現(xiàn)在的年齡為(641814)÷(

44、1+3)=32÷4=8(歲)（法2）甲18歲是3年前，所以4人總年齡是64-3×4=52（歲），所以丙丁年齡和為52-18-14=20（歲），丁就是20÷（1+3）=5（歲），現(xiàn)在的年齡是5+3=8（歲）.【例6】 一個箱子里放著乒乓球一個小朋友往外拿乒乓球，拿的規(guī)則是：每次總是拿出箱中所有乒乓球的一半然后再放回去1個按此規(guī)則拿了597次之后，箱子里還剩2個乒乓球箱子里原有乒乓球多少個？分析：前一次的一半是2-1=1（個），依次倒推，原有2個.【例7】 新天地廣場運進一批新款式彩色電視機，第一天售出總數(shù)的一半多10臺，第二天售出剩下的一半多20臺，還剩95臺這批新

45、款彩電有多少臺?分析：根據(jù)題意可畫出線段示意圖進行倒推還原由示意圖可知：95臺加上20臺正好是剩下的一半，所以用(95+20)×2=剩下的臺數(shù)；剩下的臺數(shù)加上10臺，正好是總數(shù)的一半，于是可求出這批彩電的臺數(shù)(95+20)×2+10×2=480（臺）. 【例8】 村姑賣蛋，第一次賣出一籃的一半又二個；第二次賣出余下的一半又二個；第三次賣出再剩下的一半又二個，這時籃里只剩下二十個蛋這籃雞蛋有多少個?從上面線段圖可以看出：最后剩下20個再加上第三次賣出的再余下的一半以外的2個，就是再余下的一半，由此可求出再余下的是：(20+2)×2=44(個)44個再加上第

46、二次賣出余下的一半以外的2個就是余下的一半，因此可求出余下的是：(44+2)×2=92(個)92個再加上第一次賣出一籃的一半以外的2個就是全籃的一半，因此可求出全籃雞蛋的個數(shù)是(92+2)×2=188(個)【例9】 A，B，C三位小朋友都有若干本圖書，如果A將自己的書給B，C，使B，C的書各增加一倍i然后B又將現(xiàn)有的圖書給A，C，使A，C現(xiàn)有的圖書各增加一倍；最后C再將自己已有的圖書給A，B，使A，B的圖書各增加一倍，這時三人的圖書都是240本A，B，C三位小朋友原來各有圖書多少本?ABC第一次390210120第二次60420240第三次12012048024024024

47、0分析：如圖：【例10】 三人存款不等，只知如果甲給乙40元，乙又給丙30元，丙再給甲20元，給乙70元，這時三人都有240元三人原來各有存款多少元？分析：甲原有：240-20+40=260（元）；乙原有：240-70+30-40=160（元）；丙原有：240+20+70-30=300（元）.附加內容【附1】 林林1999年上四年級，他出生年份的各位數(shù)字之和是最大的一位數(shù)的3倍，問他1999年幾歲？分析：他出生于1989年，1999年時他10歲.【附2】 有代號為A，B，C，D的四位小朋友共有課外讀物200本為了廣泛閱讀，A給B 13本；B給C 18本；C給D 16本；D給A2本，這時四個人的

48、本數(shù)相等他們原來各有多少本課外讀物?分析：根據(jù)已知條件知道，四個小朋友共有課外讀物200本，經(jīng)過互相交換之后這200本的總數(shù)沒有變化，當四個人的本數(shù)相等時，每個人的本數(shù)是200÷4=50(本)，用倒推的解題方法，可從“50本”人手，把收進的減去，把給出的加上，就可得到各人原有讀物的本數(shù)：A原有讀物本數(shù)：50+132=61(本)；B原有讀物本數(shù)：50+1813=55(本)；C原有讀物本數(shù)：50+1618=48(本)；D原有讀物本數(shù)：50+216=36(本)大顯身手1. 小櫻今年16歲，小桃今年11歲，幾年后，小櫻和小桃的年齡之和是45歲?分析：小櫻和小桃今年年齡和為16+11=27(歲

49、)小櫻和小桃經(jīng)過4527=18(年) 兩人的年齡之和是45歲時 這時，小櫻和小紅每人經(jīng)過的年數(shù)都為：18÷2=9(年) 2. 已知明明今年2歲，爸爸今年28歲，那么請問11年后爸爸的年齡是小明的年齡的多少倍?分析：(28+11)÷(2+11)=39÷13=3（倍）3. 小龜問老龜：“老爺爺，您今年多少歲?”老龜說：“把我的年齡加上20，再縮小2倍之后減去15，再擴大3倍，正好是105歲你能算出我今年多少歲嗎?”分析：（法1）根據(jù)題意，從最后一個條件105歲開始倒推：最后的數(shù)擴大3倍是105歲，如果沒擴大3倍，應該是105÷3=35(歲)；這個35歲是減去

50、15得到的，如果沒減去15，應該是35+15=50(歲)；這個50歲是縮小2倍后得到的，如果沒有縮小2倍，應該是50×2=100(歲)；這個100歲是老龜?shù)哪挲g加上20后得到的，那么老龜?shù)哪挲g應該是80歲（法2）設老龜今年x歲依題意有(x+20)÷215×3=105解得x=804. 小紅、小芳、小明三人分蘋果，小紅得的比總數(shù)的一半多1個，小芳得的比剩下的一半多1個，小明得8個問原來共有蘋果多少個?分析：小明得8個是因為小芳得到剩下的一半多1個，如果小芳只得了剩下的一半，那么小明應得8+1=9(個)，也就是得了剩下的另一半，這樣也就說明了小芳得了10個，因此可以算出

51、小紅取去后剩下的是9×2=18（個）.根據(jù)同樣的道理，如果小紅得的是總數(shù)的一半，那么剩下的應該有18+1=19(個).那么蘋果總數(shù)應該是19×2=38(個)即(8+1)×2+1×2=38(個).成長故事老鷹和火雞有一群火雞看著老鷹張著翅膀自由自在地在天上翱翔，十分的羨慕于是和老鷹的頭頭商量是否能夠派一個教練來教他們飛行的方法，老鷹頭頭爽快的答應下來 老鷹教練很有耐心地教導火雞張開翅膀學飛行：翅膀張開，用力地拍！火雞們在老鷹教練的大力指導下拼命地張著翅膀、用力地拍，它們好高興自己會飛了，雖然飛得不是很高，但是它們已經(jīng)會飛了！ 太陽西下，該是下課回家的時候了

52、，老鷹教練對它們說：你們今天好棒！你們都飛得很好，你們可以飛了！太陽下山了，我也要回家了！結果呢？老鷹是飛著回家，火雞仍然是走路回家第四講 行程問題初步在春季班時我們已經(jīng)學習了簡單的行程問題相遇問題的基本類型（兩人單次直線相遇），同學們，你們還記得做行程問題的基本工具是什么嗎？沒錯，就是畫“線段圖”.今天我們將學習更加復雜的相遇問題.先來回顧一下相遇問題的基礎知識吧！ 你還記得嗎？1. 孫悟空在花果山，豬八戒在高老莊，花果山和高老莊中間有條流沙河，一天，他們約好在流沙河見面，孫悟空的速度是200千米小時豬八戒的速度是150千米小時，他們同時出發(fā)2小時后還相距500千米，則花果山和高老莊之間的距

53、離是多少千米？分析：建議教師畫線段圖我們可以先求出2小時孫悟空和豬八戒走的路程：(200+150)×2=700(千米)，又因為還差500米，所以花果山和高老莊之間的距離：700+500=1200(千米)2. 甲乙兩輛汽車分別從A、B兩地出發(fā)相向而行，甲車先行1小時，甲車每小時行48千米，乙車每小時行5O千米，5小時相遇，求A、B兩地間的距離分析：這題不同的是兩車不“同時”（法1 ）求A、B兩地間的路程就是求甲、乙兩車所行的路程和這樣可以充分別求出甲車、乙車所行的路程，再把兩部分合起來48×（15）288（千米），5O×525O（千米），28825O538（千米）（

54、法2 ）還可以先求出甲、乙兩車5小時所行的路程和，再加上甲車1小時所行的路程（485O）×549O（千米），49O48538（千米）3. 甲乙兩車分別從相距240千米的A、B兩城同時出發(fā)，相向而行，已知甲車到達B城需4小時，乙車到達A城需6小時，問：兩車出發(fā)后多長時間相遇？分析：240÷（240÷4+240÷6）2.4（小時）4. 南轅與北轍兩位先生對于自己的目的地城的方向各執(zhí)一詞，于是兩人都按照自己的想法駕車分別往南和往北駛去，南轅先生出發(fā)2小時后北轍先生才出發(fā)，二人的速度分別為50千米/時，60千米/時，那么北轍先生出發(fā)5小時他們相距多少千米?分析：

55、兩人雖然不是相對而行，但是題目要求的仍是路程和50×2+（50+60）×5=650（千米）暑假精講【例1】 兩地相距3200米，甲、乙二人同時從兩地相對而行，甲每分鐘行82米，乙每分鐘行78米，已經(jīng)行了15分鐘，還要行多少分鐘兩人可以相遇？分析：（法1）3200-（82+78）×15 ÷（82+78）=5(分鐘）； （法2） 3200 ÷（82+78）-15=5(分鐘）【例2】 李明和王亮同時分別從兩地騎車相向而行，李明每小時行18千米，王亮每小時行16千米，兩人相遇時距全程中點3千米問全程長多少千米?分析：根據(jù)題意，畫個草圖，能幫助我們找出數(shù)

56、量關系依題意作行程草圖如下： 李明走了全程的一半多3千米，王亮走了全程的一半少3千米，李明比王亮實際多走了3×2=6(千米)由已知李明每小時比王亮多走1816=2(千米)，那么多少小時李明比王亮多行6千米呢?需要6÷2=3(小時)，這就是兩人的相遇時間，有了相遇時間，全程就容易求出了相遇時李明比王亮多行的路程3×2=6(千米)，李明比王亮每小時多行的路程18-16=2(千米)，兩人相遇時間6÷2=3(小時)，全程(18+16)×3=102(千米).【例3】 甲乙兩人同時從兩地相向而行甲每小時行5千米，乙每小時行4千米兩人相遇時乙比甲少行3千米兩

57、地相距多少千米？ 分析：兩人行駛的時間為3÷（5-4）=3小時，所以兩地相距(5+4)×3=27千米.【例4】 兩地相距900米，甲、乙二人同時、同地向同一方向行走，甲每分鐘走80米，乙每分鐘走100米，當乙到達目標后，立即返回，與甲相遇，從出發(fā)到相遇共經(jīng)過多少分鐘?分析：甲、乙二人開始是同向行走，乙走得快，先到達目標當乙返回時運動的方向變成了同時相對而行，把相同方向行走時乙用的時間和返回時相對而行的時間相加，就是共同經(jīng)過的時間乙到達目標時所用時間：900÷100=9(分鐘)甲9分鐘走的路程：80×9=720(米)甲距目標還有：900720=180(米)

58、相遇時間：180÷7(100+80)=1(分鐘)，共用時間：9+1=10(分鐘).簡便解：畫圖可知兩人總共走了2個全程，所以總全程為1800，所以時間為1800÷(80+100)=10分鐘【例5】 一個圓形操場跑道的周長是500米，兩個學生同時同地相背而行甲每分鐘走66米，乙每分鐘走59米經(jīng)過幾分鐘才能相遇?分析：500÷（66+59）=500÷125=4分鐘.【例6】 甲乙兩輛汽車同時分別從A、B兩地相對開出，甲車每小時行42千米，乙車每小時行45千米甲、乙兩車第一次相遇后繼續(xù)前進，甲、乙兩車各自到達B、A兩地后， 立即按原路原速返回兩車從開始到第二次

59、相遇共用6小時求A、B兩地的距離分析：甲、乙兩車從出發(fā)到第一次相遇共同行完一個AB間的路程，第一次相遇后繼續(xù)前進，各自到B、A兩地后，又共同行完一個AB間的路程當甲、乙兩車第二次相遇時，又共同行完一個AB間的路程因此，甲、乙兩車從開始到第二次相遇共行3個AB間的路程甲、乙速度和42+45=87(千米)，3個AB間路程87×6=522(千米)，A、B相距522÷3=174(千米).【例7】 阿呆和阿瓜同時從距離20千米的兩地相向而行，阿呆每小時走6千米，阿瓜每小時走4千米. 阿瓜帶著一只小狗，狗每小時走10千米這只狗同阿瓜一道出發(fā)碰到阿呆的時候，它就掉頭朝阿瓜這邊走，碰到阿瓜時又朝阿呆那邊走，直到兩人相遇，問這只小狗一共走了多少千米?分析：要求狗走的路程，由于狗在兩人之間要跑多少個來回，每一次所用的時間是多少，這些量無法確知，所以不可能把每次狗與兩人相遇走的路程分別求出再相加仔細分析整個過程，抓住其中不變的關系：不論狗在兩人之間跑了多少個來回，狗走的路程所用的總時間等于兩人相遇所用的時間所以，只要求出兩人相遇所用的時間，就可以求出狗所走的路程這樣，問題就轉化為求志強與