典型激光器速率方程

1、1 愛因斯坦采用唯象法得到光和物質(zhì)相互作用的關(guān)系式21212212122121121211212321121212321()(),(),8,spststdnA ndtdnW n WBdtdnW n WBdtAhn hB fB fBc 第1頁/共22頁2 考慮線型函數(shù)后必要的修正線型函數(shù)可以理解為躍遷概率按頻率的分布函數(shù)),()()()(8),()(0212121213302121gBBWAhcgBB)(),(),()(2102021020AhngAhngPP),()(02121gAA),()(8802133213321gAhcAhcB2102121),()(AdgAdAA21( )表示在總自發(fā)

2、躍遷概率A21中，分配在頻率 處單位頻率內(nèi)的自發(fā)躍遷概率； W21( )表示在輻射場 作用下的總受激躍遷概率W21中，分配在頻率 處單位頻率內(nèi)的受激躍遷概率第2頁/共22頁dgBndWndtdnAndAndtdnstsp),()()()()(02122122121221221對表達式進行修正該積分與輻射場的帶寬有關(guān)。A: 原子和連續(xù)光輻射場的相互作用，B: 原子和準單色光輻射場相互作用，第3頁/共22頁3 原子和準單色光相互作用 由于激光的高度單色性，認為原子和準單色光相互作用，輻射場 的中心頻率為 ，帶寬為，且 。被積函數(shù)只在中心頻率 附近的一個極窄范圍內(nèi)才有非零值。在此頻率范圍內(nèi)， 可以近

3、似看成不變。 引入函數(shù)=(-),()(),()(0212021221gBndgBndtdnst表示頻率為的準單色光輻射場的總能量密度，Jm-3dd)(),(0g第4頁/共22頁 在頻率為的單色輻射場的作用下，受激躍遷概率為21210( ,)WB g llNWNW),(),(0121202121由于譜線加寬，和原子相互作用的單色光的頻率 并不一定要精確等于原子發(fā)光的中心頻率 0才能產(chǎn)生受激躍遷，而是在 = 0附近一個頻率范圍內(nèi)都能產(chǎn)生受激躍遷。在 = 0時躍遷幾率最大；當 偏離 0時，躍遷幾率急劇下降。激光器內(nèi)與第l模內(nèi)的光子數(shù)密度Nl的關(guān)系為= Nlh為工作物質(zhì)中的光速12120( ,)WB

4、g 第5頁/共22頁4 發(fā)射截面和吸收截面),(8),(),(8),(02022112012020221021gAffgADHAA2023212212022122142ln,4 21( , 0)和 12( , 0)分別稱為發(fā)射截面和吸收截面，它們具有面積的量綱中心頻率處的發(fā)射截面與吸收截面最大。當=0時，均勻加寬物質(zhì)和非均勻加寬物質(zhì)的發(fā)射截面分別為洛倫茲線型高斯線型第6頁/共22頁lllnVngAVNVngANngAW),(),(),(02102102121VngAanWll),(02121nl為腔內(nèi)第l模內(nèi)的總光子數(shù)得到：一個模式內(nèi)的一個光子引起的受激躍遷概率等于分配到同一模式上的自發(fā)躍遷幾

5、率。llllnaffWnaW121221,n：腔內(nèi)單位體積中頻率處于附近單位頻率間隔內(nèi)的光波模式數(shù)328cn第7頁/共22頁 對W21作出近似計算 設(shè)譜線的總自發(fā)輻射躍遷概率為A21，譜線寬度為，并假設(shè)A21均勻分配在所包含的所有模式上，則分配在一個模式上的自發(fā)輻射躍遷幾率為VnAal21llNnAVnnAW212121nNAffVnnAffWffWll21122112211212第8頁/共22頁5 單模振蕩速率方程組三能級系統(tǒng)速率方程組：各能級集居數(shù)隨時間變化的方程和激光器腔內(nèi)的光子數(shù)密度隨時間變化的規(guī)律RlllNWnWndtdNnnnnSnASnWnWndtdnASnWndtdn12121

6、2321323212122121212313231313)()(n為單位體積工作物質(zhì)內(nèi)的總粒子數(shù)，第l個模式的光子壽命為Rl，工作物質(zhì)長度l等于腔長L。第9頁/共22頁31133323122212102212133211232212101()()( ,)()()( ,)llllllRldnnWn SAdtdnfnnNn SAn SdtfnnnndNNfnnNdtf 第10頁/共22頁 四能級系統(tǒng)速率方程組3003332302221210221213321011000333001232212101()()( ,)()()( ,)llllllRldnn Wn SAdtdnfnnNn SAn Sdt

7、fdnn Sn Wn AdtnnnnndNNfnnNdtf 第11頁/共22頁 四能級系統(tǒng)另外一種粒子數(shù)密度速率方程2222212102111221212101211()( ,)()( ,)lllldnnfRnnNdtfdnnnfRnnNdtf R1、R2為單位體積中，在單位時間內(nèi)激勵至E1、E2能級的粒子數(shù)（激勵速率）； 1、 2為E1、E2能級的壽命； 21為E2能級由于至E1能級躍遷造成的有限壽命。第12頁/共22頁012R121laserR22121即spont 第13頁/共22頁 In Figure we show the ground state 0 as well as the

8、two laser levels 2 and 1 of a four-level laser system. The density of atoms pumped per unit time into level 2 is taken as R2, and that pumped into 1 is R1. Pumping into 1 is, of course, undesirable since it leads to a reduction of the inversion. In many practical situations it cannot be avoided. The

9、 actual decay lifetime of atoms in level 2 at the absence of any radiation field is taken as 2. This decay rate has a contribution spont which is due to spontaneous (photon emitting)21 transition as well as to additional non-radiative relaxation from 2 to 1. The lifetime of atoms in level 1 is 1.第14

10、頁/共22頁 采用激勵速率和能級壽命來描述粒子數(shù)變化速率而不涉及具體的激勵及躍遷過程 前面的速率方程忽略了激光下能級的激勵過程，對大部分激光工作物質(zhì)來說，這一忽略是允許的。（課本重點講的） 根據(jù)所研究工作物質(zhì)的激勵與躍遷過程選擇或建立適用的速率方程第15頁/共22頁6 多模振蕩速率方程 如果激光器中有m個振蕩模，其中第l個模的頻率、光子數(shù)密度、光子壽命分別為l、Nl及Rl 。則E2能級的粒子數(shù)密度速率方程為 由于每個模式的頻率、損耗、 值不同，必須建立m個光子數(shù)密度速率方程，其中第l個模的光子數(shù)密度速率方程為3232121202111222)(),()(SnASnNnffndtdnlll221

11、2101()( ,)llllRldNNfnnNdtf ),(0lg第16頁/共22頁 1）假設(shè)各個模式的衍射損耗比腔內(nèi)工作物質(zhì)的損耗及反射鏡損耗小很多，因而可以認為各個模式的損耗是相同的。 2）將線型函數(shù) 用一矩形譜線 代替，并使矩形譜線的高度與譜線輪廓中心點的高度相等，矩形譜線所包含的面積與原有譜線包含的面積相等。即),(0g),(0g),(1),(),(00000ggg第17頁/共22頁 對洛侖茲線型與高斯線型，等效線寬分別為 按照以上簡化模型，四能級多模振蕩的速率方程可寫為（見下頁），式中N為各模式光子數(shù)密度的總和；21為中心頻率處的發(fā)射截面； 1為E3能級向E2能級無輻射躍遷的量子效率； 2為E2能級向E1能級躍遷的熒光效率FF2ln21,2第18頁/共22頁nnnnnWnSndtdnSnAnNnffndtdnSnWndtdnNNnffndtdNR321003010103232212211122213230303211122)()(21212123032321SAAASS1：E3能級向E2能級無輻射躍遷的量子效率2：E2能級向E1能級躍遷的熒光效率第19頁/共22頁7 總量子效率 為總量子效率，它的意義：由光泵抽運到E3能級的粒子，只有一部分通過無輻射躍遷到達激光上能級E2，另一部分通過其它途徑返回基態(tài)。而到達E2能級的粒子，也只有一部分通過自發(fā)輻射躍遷到達E1能級并