2020江蘇高考理科數(shù)學(xué)二輪講義：專題三第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列Word版含解析

1、第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列2019考向?qū)Ш娇键c(diǎn)掃描三年考情考向預(yù)測(cè)2019201820171.等差數(shù)列與等比 數(shù)列基本量的運(yùn)算第8題第9題數(shù)列是江辦咼考考查的熱點(diǎn).考查的重 點(diǎn)是等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)、基本 技能、基本思想方法.一般有兩道題， 一道填空題，一道解答題.在填空題中， 突出了 “小、巧、活”的特點(diǎn)，屬中高 檔題，解答題主要與函數(shù)、方程、推理 證明等知識(shí)綜合考查，屬中等難度以上 的試題，甚至是難題，多為壓軸題.2 .等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合運(yùn)用第20題第20題要點(diǎn)整合Q夯基釋鋌“1.必記的概念與定理(1)an與S的關(guān)系Si,n = 1,Sn= a1 + a2+ an, an =Sn

2、 SnT ,n2 .等差數(shù)列和等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義an an1 =常數(shù)(n > 2)an =常數(shù)(n > 2)an-1通項(xiàng)公式an= a1+ (n 1)dan = a1 qn 1(q* 0)判定方法(1) 定義法(2) 中項(xiàng)公式法：2an+1 = an+ an+2(n > 1, n N*)? an為等差數(shù)列(1) 定義法(2) 中項(xiàng)公式法：a2+1 = an an +2(n> 1, n N*)(an工 0) ? an為等通項(xiàng)公式法：an= pn+ q(p、q為常數(shù))? an為等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式法：Sn= An2+Bn(A、B為常數(shù))? an為等差數(shù)列比數(shù)列(3

3、)通項(xiàng)公式法：an= c qn(c、q均是不為0的常數(shù))? an為等比數(shù)列判定方法(5) an為等比數(shù)列，an>0? log ban為等差數(shù)列(4) an為等差數(shù)列？ ban為等比數(shù)列(b>0且b豐1)2 記住幾個(gè)常用的公式與結(jié)論(1)等差數(shù)列的性質(zhì) 在等差數(shù)列a*中，an= am+ (n m)d, d=學(xué)孑； 當(dāng)公差d豐0時(shí)，等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式an= ai+ (n 1)d = dn+ ai d是關(guān)于n的一次 函數(shù)，且斜率為公差 d;前n項(xiàng)和Sn= nai + “； 1)d =務(wù)2+ (ai pn是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為 0的二次函數(shù). 若公差d>0,則數(shù)列為遞增等差數(shù)列，若公

4、差 d<0,則數(shù)列為遞減等差數(shù)列，若公差 d =0,則數(shù)列為常數(shù)列. 當(dāng) m+ n= p + q 時(shí)，則有 am + an= ap+ aq,特別地，當(dāng) m + n= 2p 時(shí)，則有 am + an= 2ap. 若an是等差數(shù)列，Sn, S2n Sn , S3n S2n ,也成等差數(shù)列. 在等差數(shù)列an中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù) 2n時(shí)，S偶一S奇=nd;項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n 1時(shí)，S奇一S 偶=a 中，S2n-1 = (2n 1) a 中(這里 a 中即 an), S 奇：S 偶=n： (n 1). 若等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為 An、Bn,且= f(n),則齊 :21) g =詈: =f(2n

5、 1). “首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增an > 0anW 0等差數(shù)列中，前 n項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和.法一：由不等式組(或)an+ 1W 0an+ 1 > 0確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)(或非正)；法二：因等差數(shù)列前 n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化 為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性n N*. 如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且 新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).等比數(shù)列的性質(zhì)在等比數(shù)列an中, 當(dāng) m+ n= p + q 時(shí)，則有 am an= ap aq,特別地，當(dāng) m+

6、 n = 2p 時(shí)，則有 am an= ap. 若an是等比數(shù)列，且公比 q 1則數(shù)列Sn , S2n Sn, S3n- S2n,也是等比數(shù)列.當(dāng)q = 1,且n為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列Sn , Spn Sn, S3n S2n，是常數(shù)列0, 0, 0,，它 不是等比數(shù)列.若ai>0, q>1，則an為遞增數(shù)列；若ai<0, q>1,則an為遞減數(shù)列；若ai>0, 0<q<1, 則an為遞減數(shù)列；若ai<0, 0<q<1,則an為遞增數(shù)列；若q<0,則an為擺動(dòng)數(shù)列；若q = 1, 則an為常數(shù)列.3.需要關(guān)注的易錯(cuò)易混點(diǎn)(1) 用定義證明

7、等差數(shù)列時(shí)，常采用的兩個(gè)式子 an +1 an= d和an an-1 = d,但它們的意義不同，后者必須加上“ n2”，否則n = 1時(shí)，a0無(wú)定義.(2) 從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項(xiàng)都是非零的，公比q也是非零常數(shù).(3) 由an+1 = qan, qM 0并不能立即斷言an為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證0.等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的運(yùn)算典型例題(1)(2019高考江蘇卷)已知數(shù)列an(n N*)是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.若a2a5 + a8= 0, S9 = 27,貝U Sb 的值是.(2)(2019蘇北三市高三模擬)在公比為q且各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an中，Sn為an的前1口n項(xiàng)和.

8、若a1= q2,且S5= S2+ 2,貝U q的值為.【解析】(1)通解：設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d,貝V a2a5 + a8= (a1 + d)(a1 + 4d) + a1 + 7d =a2+ 4d2+ 5a1d+ a1 + 7d= 0, S9= 9a1 + 36d = 27,解得 a1 = 5, d= 2,貝V S8= 8a1 + 28d =40 + 56= 16.優(yōu)解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d. S9= 9(a1：a9)= 9a5= 27, a5= 3, 又 a2a5+ a8= 0,則 3(3 3d)+ 3+ 3d= 0,得 d= 2,貝U Sb= 8(a1+ a8)= 4(a4 + a

9、5)= 4(1 + 3) = 16.1(2)由題意得，a3+ a4+ a5= 2,又 ai =，所以 1 + q + q (2019蘇州市高三調(diào)研)已知an是等差數(shù)列，a5= 15, a10 = 10,記數(shù)列an的第n項(xiàng)到第n + 5項(xiàng)的和為Tn，則|Tn取得最小值時(shí)的n的值為a1 + 4d= 15,a1 = 35= 2,即 q解析由得，從而等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an= 40 5n,得Tna1 + 9d= 10d= 5=(40 5n)+ (15 5n) = 165 30n,因?yàn)?|Tn|> 0,又 n N*, 故當(dāng)n= 5或6時(shí)，|Tn|取得最小值15.+ q 1 = 0,所以 q=

10、 二,又q > 0,所以q =號(hào).【答案】(1)16 -答案5或62(1) 等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1, an, d(q), n, Sn,知道其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程組解決問(wèn)題的思想.(2) 數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d(q)是等差(比)數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1 (2019 蘇省高考名校聯(lián)考(一)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若數(shù)列an與數(shù)列 嚴(yán)+1an(t V 1)分別是公比為q, q'的等比數(shù)列，貝U q+ q的取值范圍為解析若q = J，反之，當(dāng)t=匚時(shí)，+

11、 t= q1 qan 公比為 q ,即 q'= q 由 t V- 1，得-v1 , q > 1 , q+ q '1=q+ ->2,故q+ q的取值范圍是q答案(2 , +8 )則詈+匸n + t,不成等比數(shù)列，故-m 1則S；+ t = qn-1( 1 q) + t,考慮前三項(xiàng)1 +1,寧+1,巴戸2-+ t成等比數(shù)列得，t =1qn-1(1-q)成等比數(shù)列，此時(shí),等差、等比數(shù)列的判斷與證明典型例題制丄(2019江蘇名校聯(lián)考信息卷)已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前 n項(xiàng)和為Sn,且對(duì)任意的 m , n N*，都有(Sm+ n+ Sl)2 = 4a2ma2n.(1)求

12、養(yǎng)的值；求證：an為等比數(shù)列.【解】(1)由(Sm + n+ Sl)2= 4a2na2m,得(S2+ Si)2= 4a2,即(a2 + 2ai)2= 4a2.因?yàn)?ai>0, a2>0,所以 a2 + 2ai = 2a2,即一=2.證明：法一： 令 m= 1, n = 2,得(S3+ Si)2= 4a2a4,即(2ai+ a2+ a3)2= 4a2a4,令 m= n= 2,得 S4 + Si = 2a4,即 2ai + a2+ a3= a4.a2又-=2,所以 a4 = 4a2= 8ai, a3= 4ai.由(Sm+n + S )2 = 4a2na2m,得(Sn+1+ Si)2=

13、4a2na2, (Sn+2+ Si)2= 4a2na4.兩式相除，得即 Sn + 2+ Si = 2(Si + 1 + Si), 從而 Sn+3+ Si = 2(S +2+ Si).以上兩式相減，得 an + 3= 2an+ 2,故當(dāng)n3時(shí)，an是公比為2的等比數(shù)列. 又 a3= 2a2= 4ai,從而 an= ai 2n_1, n N*.顯然，an= ai 21滿足題設(shè)，因此an是首項(xiàng)為ai,公比為2的等比數(shù)列. 法二 1：在(Sm+ n+ Si)2= 4a2na2m 中， 令 m = n,得 S2n+ Si = 2a2n.令 m= n+ 1 ,得 S2n + l + Si = 2 .：a2

14、na2n+ 2,在中，用n + 1代替n得，S2n+2+ Si = 2a2n + 2 . 一，得a2n+ 1 =2pa2na2n + 2 2a2n = 22i&a2n+ 2 pOn), 一， 得 a2n + 2= 2a2n + 2 2 ,； a2na2n +2= 2 a2n+2 C：.；a2n + 2：a2n), 由得 a2n+ 1 = ,'a2na2n+ 2.將代入，得a2n +1 = 2a2n , 將代入得a2n +2= 2a2n + 1 , 所以竺二=320.1 = 2.a2n + 1a2n又巫=2,從而 an = a1 2n1, n N*.a1顯然an= a1 2n1滿

15、足題設(shè).因此an是首項(xiàng)為a1,公比為2的等比數(shù)列.遞推數(shù)列問(wèn)題常見(jiàn)的處理方法an與2a1,(1) 將第n項(xiàng)和第n +1項(xiàng)合并在一起，看是否是一個(gè)特殊數(shù)列；若遞推關(guān)系式含有Sn ,則考慮是否可以將 an與Sn進(jìn)行統(tǒng)一.(2) 根據(jù)遞推關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征確定是否為熟悉的、有固定方法的遞推關(guān)系式向通項(xiàng)公式的轉(zhuǎn)換類型，否則可以寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，看能否找到規(guī)律,即先特殊、后一般、再特殊.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3.設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，對(duì)任意的n N*，都有Sn= 2 an,數(shù)列bn滿足b1 = bn 1*bn= !+“ 故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an = 2, n N).(1)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)

16、公式；1判斷數(shù)列R是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，并求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.解(1)當(dāng) n = 1 時(shí)，a1 = S1 = 2 a1,解得 a1 = 1;當(dāng) n2 時(shí)，an = Sn Sn- 1 = an-1 an ,an1*即=-(n>2, n N ).an-12'1所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，(2)因?yàn)?ai= 1,所以 bi= 2ai= 2.因?yàn)閎n=加,所以1 =丄+ 1,bn bn-11 1即斤=1(n -2).1 1所以數(shù)列甬是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列.1 12n 12所以bn= 2 + (n 1) = 2，故數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式為bn= 2n 1 等差數(shù)列

17、與等比數(shù)列的綜合運(yùn)用典型例題制6 （2018高考江蘇卷）設(shè)an是首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列，bn是首項(xiàng)為b1,公 比為q的等比數(shù)列.(1)設(shè) a1 = 0, b1 = 1, q= 2,若 |an bn|< b1 對(duì) n= 1, 2, 3, 4 均成立，求 d 的取值范圍;(2)若 a1 = b1>0, m N*, q (1, m 2,證明：存在 d R,使得 |an bn|w b1 對(duì) n= 2, 3, m+1均成立，并求d的取值范圍(用b1, m, q表示).【解】(1)由條件知：an= (n 1)d, bn = 2n1,因?yàn)?|an bn|w b1 對(duì) n= 1, 2, 3

18、, 4 均成立，即|(n 1)d 2n1|< 1 對(duì) n= 1, 2, 3, 4 均成立，75即 1 < 1, 1 <d< 3, 3W 2d< 5, 7< 3d< 9,得d< -, 275因此，d的取值范圍為3 5 .(2)由條件知：an= b1+ (n 1)d, bn= b1qn 1.若存在 d,使得 |an bn|w b1(n= 2, 3，m+ 1)成立，即|b1 + (n 1)d b1qn 1|< b1(n= 2, 3,，m+ 1),n 1 2n 1即當(dāng) n= 2, 3，m+ 1 時(shí)，d 滿足q廠b1< dw b1.n 1n 1

19、因?yàn)?q (1, m 2,則 1<qn1< qm< 2,_qn 1 2qn 1.從而 .b1<0,.b1>0,對(duì) n= 2, 3，m+ 1 均成立.n 1n1因此，取d = 0時(shí)，|an bn|< b1對(duì)n = 2, 3，m+ 1均成立.qn_ 1 _ 2qn_ 1下面討論數(shù)列 -的最大值和數(shù)列 一 的最小值(n= 2, 3,，m+ 1).n 1n 1 當(dāng) 2wnw m 時(shí)，匕-qZ = nqn-n-2= n (qn-qn 9- qn+ 2n n 1n (n 1)n (n 1)1當(dāng) 1 v q< 2m時(shí)，有 qnw qm< 2,從而 n(qn q

20、n 1) qn + 2>0 .qn1 2因此，當(dāng)2w nW m+ 1時(shí)，數(shù)列-單調(diào)遞增，n 1qn 1 2qm 2故數(shù)列的最大值為q.n 1m 設(shè) f(x)= 2x(1 x),當(dāng) x>0 時(shí)，f' (x) = (In 2 1 xln 2)2x<0,所以f(x)單調(diào)遞減，從而f(x)<f(0) = 1.1w 2"彳1f n<1，£n q (n 1) 當(dāng) 2 w n w m 時(shí)，q-yn 1因此，當(dāng)2w nW m+ 1時(shí)，數(shù)列qn 1n 1單調(diào)遞減，故數(shù)列門1必的最小值為/.mb1 (qm 因此，d的取值范圍為2)m ，mb1qm等差數(shù)列與

21、等比數(shù)列綜合問(wèn)題，常用“基本量法”求解，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便.首項(xiàng)和公差(公比)是等差(比)數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方 法.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4. (2019江蘇省高考名校聯(lián)考(九)已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列 an滿足a1 + a2= 6, a3= 8, 正項(xiàng)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為3,且43= V+ 2bn+ 1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；求證：對(duì)任意實(shí)數(shù) m,數(shù)列bn+ mbn+1都是等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差;(3)設(shè) Cn =an bn bn1,n2,dn =an (15 bn+1)bn+1一 2bn + 1bn+1求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和Tn,并比較Tn與dn的大小.a

22、1q2= 8,解（1）設(shè)數(shù)列an的公比為q，則1+ q）= 6,解得2 (舍去),或q= 3a1 = 2,q= 2,所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an = 2n.當(dāng) n= 1 時(shí)，4bi= b1+ 2bi+ 1,所以 bi= 1,當(dāng) n2 時(shí)，4(S Sn-1)= 4bn= bn + 2bn + 1 (bn- 1 + 2bn-1 + 1),所以(bn + bn- 1)(bn bnT 一 2) = 0,因?yàn)?5+ bn- 1>0,所以 bn bn-1 = 2,所以數(shù)列bn是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以bn= 2n - 1.因?yàn)?bn +1 + mbn+2 (bn+ mbn +1)= (b

23、n + 1 bn) + m(bn + 2 bn +1)= 2 + 2m,所以對(duì)任意實(shí)數(shù) m,數(shù)列bn+ mbn+1都是等差數(shù)列，且該數(shù)列的公差為2n （ 2n 3）2n+12n因?yàn)楫?dāng) n > 2 時(shí)，6 =（ 2n 1） （ 2n + 1）= 2n + 1 2n 1'又 C1 =2+ 2m.22也符合此式,3?n+ 1所以Cn=,2n + 1 2n 121+12 + 1 21+12“+12*2“ + 1所以 Tn= (- 2) + (- )+()= 2.' 353 '、2n+1 2n 12n +1F an (15 bn+1) 2bn+1 2n+1 (7 n)乂 d

24、n= 2,2nbn+12n+ 1”、，2n+1- .2n+1 (7 n)- 2n+1 (n 6)所以 Tn dn = 2 2=2n+ 12n + 12n + 12n+1 ( n 6)當(dāng) n<6 時(shí)，<o ,所以 Tn<dn；2n + 1當(dāng) n = 6 時(shí)，2" 1 (n 6)= 0,所以 Tn= dn；2n+ 12n+1 ( n 6)當(dāng) n>6 時(shí)，>0,所以 Tn>dn.2n + 1專題強(qiáng)化0粹練提能a201. （2019南京模擬）在等比數(shù)列an中，a2a6= 16, a4+ a8 = 8，則兀解析法一：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由a2a6= 1

25、6得a1q6= 16,所以a1q3= ± .由a4 + a8= 8,得 a1q3(1 + q4)= 8,即 1 + q4= ±,所以 q2= 1.于是譽(yù)=q10= 1.a4 = 4,所以a8= 4a10由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a4= a2a6= 16,所以a4=± 4, 又 a4 + a8= 8,a44,a4 4,a 20或因?yàn)閍2= a4a8>0,所以則公比q滿足q4= 1, q2= 1,所以 =q10= 1.a8= 12.a8= 4,a10答案12 .(2019宿遷模擬)若等差數(shù)列an滿足a2 + S3 = 4,aa+ S5= 12,則a4+ S7的值是.解

26、析由S3= 3a2,得 a2=1,由S5 = 5a3,得a3= 2,貝Ua4= 3,S7= 7a4,貝Ua4+ Sz= 8a4=24.答案24n+ 1 any aQ n3 . (2019 蘇名校高三入學(xué)摸底 )已知數(shù)列an滿足a1 = 2, an+1=, bn= 2Inann+ 2 an+ 2nan+ 1(n N*),則數(shù)列bn的通項(xiàng)公式是解析由已知得2+1 =f (n N*),n+an + 2n1所以 b2- b1= 1 + -, b3- b2= 2+n n 1 n2- 1- + =丁 ,2n 1 2n11則=+ n + -(n N ),即 bn+1 bn= n +(n N ),an+1 a

27、n221 12 ，bn bn-1= (n 1) + 2,n 1(n 1)22 1又 b1= 2 = 1,所以 bn=+ 1 =a12n2+ 1答案bn=累加得 bn b1= 1+ 2+ 3 + + (n 1)+2n2+ 12 .4.已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列.a1>0，且 2(an+ an+ 2)= 5an+1,則數(shù)列an的公比 q解析因?yàn)?2(an+ an+ 2) = 5an+1,所以 2an(1 + q2) = 5anq,1所以 2(1 + q2) = 5q,解得 q= 2 或 q= 3 .因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，且a1>0,所以q>1 ,所以q = 2.答案25 . (20

28、19蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)調(diào)研(一)中國(guó)古代著作張丘建算經(jīng)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說(shuō)有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里.那么這匹馬最后一天行走的里程數(shù)為1解析由題意可知，這匹馬每天行走的里程數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)為an,易知公比q =2則S7 =a1 (1 q1 一q _ _1 q20 + 1 q10_ 1 24+ 1 22 18'、S51、法二：因?yàn)?3,所以不妨設(shè)S5=a,S10= 3a,aM 0,易知S5,S10 S5,S15 S10,S20S15成等比數(shù)列，由S5= a,S10 S5 = 2a,

29、得Si5Sio= 4a,S20 S15 = 8a,從而S20=15a,所_S5S20 + S1015a + 3a 187.設(shè)數(shù)列an, bn都是等差數(shù)列，且 a1 = 25, b1= 75, a2 + b2= 100,那么an+ bn組成的數(shù)列的第37項(xiàng)的值為解析an, bn都是等差數(shù)列,則an+ bn為等差數(shù)列,首項(xiàng)為a1 + b1= 100,d = （a2+ b2） （a1+ b1）= 100 100= 0,所以an + bn為常數(shù)數(shù)列,第 37 項(xiàng)為 100.答案100)1127646647001271q= 2a1 1 128 ="6?a1= 700,所以 a1= 700 x

30、祜,所以 a7= a1q （2019南京市四校第一學(xué)期聯(lián)考 ）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比列an中，a2= 3, a4= 27,S2n為該數(shù)列的前2n項(xiàng)和，Tn為數(shù)列anan+1的前n項(xiàng)和，若S2n= kTn，則實(shí)數(shù)k的值為 .解析因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a2= 3, a4= 27,所以a1= 1,公比q= 3,所1 x （ 1 一 32n ）32n 一 1以 S2n =1一: 1 J）= , an= 3n 1 .令 bn = anan+1 = 3n1 3n= 32n 1,所以 b1= 3,數(shù)列1 323 x （ 1 qn）3 （ 32n 1 ）32n 1bn為等比數(shù)列，公比q'=

31、 9,所以Tn=. c =因?yàn)镾2n= kTn,所以一-1 982,3 （ 32n 1）4=k 8，解得 k = 3.“亠 4答案3 （2019泰州市高三模擬）已知公差為2的等差數(shù)列an及公比為2的等比數(shù)列bn滿足= 700 x 訪x 2 = 727,所以這匹馬最后一天行走的里程數(shù)為 700答案函6. （2019蘇州市第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研）設(shè)S51S是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S0 = 3，則S5S20 + S10S51解析法一：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,所以公比qM 1,所以Sb= a1(1 qf1),因?yàn)镾51 q1 21若公比q為1,則盂=刁與已知條件不符， °二1,所以丄二禺

32、=1，所以q5= 2,所以 $S1031 q103S20 + S105ai + bi>0, a2+ b2<0 ,貝U a3+ b3 的取值范圍是 .ai+ bi>0解析法一：由題意可得，該不等式組在平面直角坐標(biāo)系aiObi中表示的平ai+ 2bi< 2面區(qū)域如圖中陰影部分所示,則當(dāng)a3 + b3= ai + 4+ 4bi經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2, 2)時(shí)取得最大值一2,則ai+ bi>0法二：由題意可得a3 + b3< 2.Ui*b)=0S|-i 0 123*1-2%L»警丫 u +2i-+2=0-3,則 a3+ b3= a1+ 4+ 4b1 = 2(a1+ b

33、"+ 3(a1+ 2b1)+ 4< 2,a1+ 2b1< 2故a3+ b3的取值范圍是(一汽 2).答案(2)10.在數(shù)列an中，n N*，若an+ 2 an+1an + 1 an=k(k為常數(shù))，則稱an為“等差比數(shù)列”，下列是對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷: k不可能為0; 等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列” 等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”“等差比數(shù)列”中可以有無(wú)數(shù)項(xiàng)為0.其中所有正確判斷的序號(hào)是解析由等差比數(shù)列的定義可知，k不為0,所以正確，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為0,即等差數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列,所以錯(cuò)誤；當(dāng)an是等比數(shù)列，且公比q =1時(shí)，an不是等差比數(shù)列，所以錯(cuò)誤

34、；數(shù)列0, 1, 0, 1,是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無(wú)數(shù)多個(gè)0,所以正確.答案11. (2019 寶雞模擬)已知數(shù)列an滿足 a1 = 5, a2= 5, an+1= an+ 6an-1(n2).(1)求證：an +1 + 2an是等比數(shù)列;求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解證明：因?yàn)閍n+1 = an+ 6an-1 (n2),所以 an+1 + 2an = 3an+ 6an-1 = 3(an + 2an-1)(n> 2).又 ai = 5, a2= 5,所以 a2 + 2ai= 15,所以 an+ 2an-1工 0(n > 2),an+1 + 2an所以一 -=3(n > 2),an

35、+ 2an1所以數(shù)列an+1+ 2an是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.由(1)得 an+1+ 2an= 15X 3n_ 1= 5x 3n,則 an+ 1= 2an+ 5 x 3n,所以 an+1 3n 1 = 2(an一 3n).又因?yàn)閍1 3= 2,所以an 3n0,所以an 3n是以2為首項(xiàng)，一2為公比的等比數(shù)列.所以 an 3n= 2X ( 2)n 1,即 an= 2x ( 2)n 1 + 3n(n N*).1 一12. (2019 蘇州市高三模擬)已知數(shù)列an滿足：a1 = 0, an+1 an= p 3n 1 nq, n N*, p, q R.(1)若q= 0,且數(shù)列an為等比數(shù)

36、列，求p的值;(2)若 p= 1,且a4為數(shù)列an的最小項(xiàng)，求q的取值范圍.解(1)因?yàn)閝 = 0, an+1 an= p 3n 1,所以a2= a11 1 ,+ p= 2+ p, a3= a2+ 3p= 2 + 4p.a4 a3< 09 3qw 027所以，即，所以3< q<糾.a5 a4> 027 4q > 04此時(shí) a2 ai= 1 q<0, a3 a2= 3 2q<0,所以 ai>a2>a3> a4.當(dāng) n4 時(shí)，令 bn= an+i an, bn+1一 bn= 2 3n 1 q2 34 1 >0,所以 bn+ 1>bn,所以 OW b4<b5<b6<，即 a4< a5<a6<a7<.綜上所述,當(dāng)3< q w -時(shí)，a4為數(shù)列an的最小項(xiàng)，27即所求q的取值范圍為3，27 .13.已知數(shù)列an，對(duì)于任意n>2,在an-1與an之間插入n個(gè)數(shù)，構(gòu)成的新數(shù)列bn成 等差數(shù)列，并記在 an 1與an之間插入的這n個(gè)數(shù)的均值為 Cn-1.n2+ 3n 8(1)若 an=，求 C1 , C2, C3；(2)在(1)的條件下是否存在常數(shù)入使Cn +1入Cn是等差數(shù)列？如果存在，求出滿足條