經典競賽幾何題教學培訓

1、絕密啟用前2018年05月17日張朋松的初中數學組卷試卷副標題考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx題號一總分得分注意事項：1答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2請將答案正確填寫在答題卡上第卷（選擇題）請點擊修改第i卷的文字說明 評卷人 得 分 一解答題（共50小題）1已知abc是等邊三角形，d是bc邊上的一個動點（點d不與b，c重合）adf是以ad為邊的等邊三角形，過點f作bc的平行線交射線ac于點e，連接bf（1）如圖1，求證：afbadc；（2）請判斷圖1中四邊形bcef的形狀，并說明理由；（3）若d點在bc 邊的延長線上，如圖2，其它條件不變，請問（2）中結論還成

2、立嗎？如果成立，請說明理由2在abc中，ahbc于h，d，e，f分別是bc，ca，ab的中點（如圖所示）求證：def=hfe3在abc中，b=60°，a，c的角平分線ae，cf相交于點o，（1）如圖1，若ab=bc，求證：oe=of；（2）如圖2，若abbc，試判斷線段oe與of是否相等，并說明理由4如圖，在abc中，bd是abc的平分線，在abc外取一點e，使得eab=acb，ae=dc，并且線段ed與線段ab相交，交點記為k，問線段ek與dk有怎樣的大小關系？并說明理由5已知如圖，ac=bc，c=90°，a的平分線ad交bc于d，過b作be垂直ad于e，求證：be=ad

3、6如圖，已知ab=ac，bac=60°，bdc=120°，求證：ad=bd+cd7如圖abc，d是abc內的一點，延長ba至點e，延長dc至點f，使得ae=cf，g，h，m分別為bd，ac，ef的中點，如果g，h，m三點共線，求證：ab=cd8如圖，在正方形abcd中，取ad，cd的邊的中點e，f，連接ce，bf交于點g，連接ag，試判斷ag與ab是否相等，并說明理由9如圖，設點m是等腰rtabc的直角邊ac的中點，adbm于e，ad交bc于d求證：amb=cmd（請用兩種不同的方法證明）10如圖，在四邊形abcd中，ad=bc，e、f分別是dc及ab的中點，射線fe與ad

4、及bc的延長線分別交于點h及g試猜想ahf與bgf的關系，并給出證明提示：若猜想不出ahf與bgf的關系，可考慮使四邊形abcd為特殊情況如果給不出證明，可考慮下面作法，連結ac，以f為中心，將abc旋轉180°，得到abp11如圖，d為abc中線am的中點，過m作ab、ac邊的垂線，垂足分別為p、q，過p、q分別作dp、dq的垂線交于點n（1）求證：pn=qn；（2）求證：mnbc12在abc中，d為ab的中點，分別延長ca、cb到點e、f，使de=df，過e、f分別作ca、cb的垂線相交于p，設線段pa、pb的中點分別為m、n求證：demdfn；pae=pbf13如圖：已知abd

5、c，bad和adc的平分線相交于點e，過點e的直線分別交ab、dc于b、c兩點猜想線段ad、ab、dc之間的數量關系，并證明14如圖，已知abc中，ab=bc=ca，d、e、f分別是ab、bc、ca的中點，g是bc上一點，dgh是等邊三角形求證：eg=fh15已知如圖，cd是rtabc斜邊上的高，a的平分線交cd于h，交bcd的平分線于g，求證：hfbc16已知：如圖，在四邊形abcd中，adbc，abc=90°點e是cd的中點，過點e作cd的垂線交ab于點p，交cb的延長線于點m點f在線段me上，且滿足cf=ad，mf=ma（1）若mfc=120°，求證：am=2mb；（

6、2）試猜想mpb與fcm數量關系并證明17如圖，在abc中acbc，e、d分別是ac、bc上的點，且bad=abe，ae=bd求證：bad=c18已知a，c，b在同一條直線上，ace，bcf都是等邊三角形，be交cf于n，af交ce于m，mgcn，垂足為g求證：cg=ng19如圖所示，在abc中，abc=2c，ad為bc邊上的高，延長ab到e點，使be=bd，過點d、e引直線交ac于點f，請判定af與fc的數量關系，并證明之20如圖，abc是邊長為l的等邊三角形，bdc是頂角bdc=120°的等腰三角形，以d為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交ab于m，交ac于n，連接mn

7、，形成一個三角形，求證：amn的周長等于221已知如圖，在四邊形abcd中，ac平分bad，ceab于e，且ae=（ab+ad），求證：b與d互補22如圖，已知abc中，a=90°，ab=ac，1=2，cebd于e求證：bd=2ce23ad是abc的角平分線，m是bc的中點，fmad交ab的延長線于f，交ac于e（1）求證：ce=bf；（2）探索線段ce與ab+ac之間的數量關系，并證明24如圖，ad是abc的中線，ab=ae，ac=af，bae=fac=90°判斷線段ad與ef數量和位置關系25如圖，四邊形abcd中，bc=dc，對角線ac平分bad，且ab=21，ad=

8、9，bc=dc=10，求ac的長26如圖，已知線段ab的同側有兩點c、d滿足acb=adb=60°，abd=90°dbc求證：ac=ad27如圖，正方形abde和acfg是以abc的ab、ac為邊的正方形，p、q為它們的中心，m是bc的中點，試判斷mp、mq在數量和位置是有什么關系？并證明你的結論28如圖，在abc中，ad為bac的平分線，bpad，垂足為p已知ab=5，bp=2，ac=9試說明abc=3acb29如圖，在abc中，b=90°，m為ab上一點，使得am=bc，n為bc上一點，使得cn=bm，連接an，cm相交于點p，試求apm的度數30已知如圖，在

9、abc中，b=60°，ad、ce是abc的角平分線，并且它們交于點o，（1）求：aoc的度數；（2）求證：ac=ae+cd31如圖，已知abc中abac，p是角平分線ad上任一點，求證：abacpbpc32如圖，在abc中，d為bc的中點，點e、f分別在邊ac、ab上，并且abe=acf，be、cf交于點o過點o作opac，oqab，p、q為垂足求證：dp=dq33如圖已知abc中，ab=ac，abd=60°，且adb=90°bdc，求證：ab=bd+dc34如圖，點c在線段ab上，daab，ebab，fcab，且da=bc，eb=ac，fc=ab，afb=51&

10、#176;，求dfe度數35如圖，已知abc是等腰直角三角形，c=90°，點m、n分別是邊ac和bc的中點，點d在射線bm上，且bd=2bm點e在射線na上，且ne=2na，求證：bdde36如圖，abc中，bd為abc的平分線；（1）若a=100°，c=50°，求證：bc=ba+ad； （2）若bac=100°，c=40°，求證：bc=bd+ad37如圖，abc中，acb=90°，cad=30°，ac=bc=ad求證：bd=cd38如圖所示，在abf中，已知bc=ce=ef，bac=cad=dae=45°，求的值

11、39如圖，已知過abc的頂點a，在bac內部任意作一條射線，過b、c分別作此射線的垂線段bd、ce，m為bc邊中點求證：md=me40已知，如圖，在正方形abcd中，o是對角線的交點，af平分bac，dhaf于點h，交ac于點g，dh延長線交ab于點e求證：41已知：在abc中，a=90°，ab=ac，d為ac中點，aebd于e，延長ae交bc于f，求證：adb=cdf42如圖，在abc中，ab=ac，延長ab到d，使bd=ab，e為ab中點，連接ce、cd，求證：cd=2ec43如圖，在abc中，bd=cd，ag平分dac，bfag，垂足為h，與ad交于e，與ac交于f，過點c的直

12、線cm交ad的延長線于m，且ebd=mcd，ac=am求證：de=cf44如圖，be、cf是abc的高，它們相交于點o，點p在be上，q在cf的延長線上且bp=ac，cq=ab，（1）求證：abpqca（2）ap和aq的位置關系如何，請給予證明45如圖，在abc中，acb=90°，cdab于d，af平分bac交cd于e，交bc于f，egab交bc于g，說明bg=cf的理由46在abc中，acb=90°，d是ab上一點，m是cd的中點，若amd=bmd，求證：cda=2acd47如圖，已知：四邊形abcd中，ad=bc，e、f分別是dc、ab的中點，直線ef分別與bc、ad的

13、延長線相交于g、h求證：ahf=bgf48如圖，在等腰直角abc中，ad=ae，afbe交bc于點f，過f作fgcd交be延長線于g，求證：bg=af+fg49已知abc，c=90°，ac=bcm為ac中點，延長bm到d，使md=bm；n為bc中點，延長na到e，使ae=na，連接ed，求證：edbd50如圖，在abc中，bac=90°，ab=ac，d是abc內一點，且dac=dca=15°，求證：bd=ba教-資2018年05月17日張朋松的初中數學組卷參考答案與試題解析一解答題（共50小題）1已知abc是等邊三角形，d是bc邊上的一個動點（點d不與b，c重合）

14、adf是以ad為邊的等邊三角形，過點f作bc的平行線交射線ac于點e，連接bf（1）如圖1，求證：afbadc；（2）請判斷圖1中四邊形bcef的形狀，并說明理由；（3）若d點在bc 邊的延長線上，如圖2，其它條件不變，請問（2）中結論還成立嗎？如果成立，請說明理由【分析】（1）利用有兩條邊對應相等并且夾角相等的兩個三角形全等即可證明afbadc；（2）四邊形bcef是平行四邊形，因為afbadc，所以可得abf=c=60°，進而證明abf=bac，則可得到fbac，又bcef，所以四邊形bcef是平行四邊形；（3）易證af=ad，ab=ac，fad=bac=60°，可得f

15、ab=dac，即可證明afbadc；根據afbadc可得abf=adc，進而求得afb=eaf，求得bfae，又bcef，從而證得四邊形bcef是平行四邊形【解答】證明：（1）abc和adf都是等邊三角形，af=ad，ab=ac，fad=bac=60°，又fab=fadbad，dac=bacbad，fab=dac，在afb和adc中，afbadc（sas）；（2）由得afbadc，abf=c=60°又bac=c=60°，abf=bac，fbac，又bcef，四邊形bcef是平行四邊形；（3）成立，理由如下：abc和adf都是等邊三角形，af=ad，ab=ac，fa

16、d=bac=60°，又fab=bacfae，dac=fadfae，fab=dac，在afb和adc中，afbadc（sas）；afb=adc又adc+dac=60°，eaf+dac=60°，adc=eaf，afb=eaf，bfae，又bcef，四邊形bcef是平行四邊形【點評】本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質以及平行四邊形的判定，熟練掌握性質、定理是解題的關鍵2在abc中，ahbc于h，d，e，f分別是bc，ca，ab的中點（如圖所示）求證：def=hfe【分析】ef為中位線，所以efbc，又因為hfe和fhb，def和cde分別為一組平行線的對

17、角，所以相等；轉化成求證fhb=cde【解答】證明：e，f分別為ac，ab的中點，efbc，根據平行線定理，hfe=fhb，def=cde；同理可證cde=b，def=b又ahbc，且f為ab的中點，hf=bf，b=bhf，hfe=b=def即hfe=def【點評】本題考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，直角三角形中斜邊的中線為斜邊邊長的一半3在abc中，b=60°，a，c的角平分線ae，cf相交于點o，（1）如圖1，若ab=bc，求證：oe=of；（2）如圖2，若abbc，試判斷線段oe與of是否相等，并說明理由【分析】（1）可證明acfcae，再由角平分線的性質得出oac

18、=oca，從而得出oe=of；（2）過點o作ohac，ombc，onab，垂足分別為h，m，n，連接ob根據角平分線的性質定理以及逆定理可推得點o在b的平分線上，從而得出obn=obm=30°，由已知得出oem=ofn，能證明rtofnrtoem，則oe=of成立【解答】證明：（1）b=60°，ab=bc，a=c=60°，aecf分別平分a，c，oac=oca=30°，oa=oc，acfcae（asa），ae=cf，oe=of；（2）過點o作ohac，ombc，onab，垂足分別為h，m，n，連接ob點o在a，c的平分線上，on=oh，oh=om，從而o

19、m=on，點o在b的平分線上 （1分）obn=obm=30°，on=om （2分）又oem=b+a=60°+aofn=a+c=（a+c）+a=（180°60°）+a=60°+aoem=ofn（2分）rtofnrtoem（aas），（1分）oe=of（1分）【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質以及角平分線的性質，注意一題多解以及方法的簡單性4如圖，在abc中，bd是abc的平分線，在abc外取一點e，使得eab=acb，ae=dc，并且線段ed與線段ab相交，交點記為k，問線段ek與dk有怎樣的大小關系？并說明理由【分析】首先作出eiab，d

20、hab，證明eaidcf再得出dh=df進而得出ekidkh即可證出【解答】解：結論：ek=dk（2分）理由：過點e作eiab，過點d作dhab于h，dfbc于f，在eai和dcf中，eaidcf（aas），（2分）ei=df，（2分）bd是abc的平分線，dh=df，（2分）dh=ei，在eki和dkh中，ekidkh（aas），（2分）ek=dk（2分）【點評】此題主要考查了三角形全等證明方法，根據題意作出eiab，dhab，從而利于全等證明是解決問題的關鍵5已知如圖，ac=bc，c=90°，a的平分線ad交bc于d，過b作be垂直ad于e，求證：be=ad【分析】延長ac、be

21、交于點m，易證得acdbcm，可得ad=bm，可證得aemaeb，可得em=be，即bm=2be，由即可得結論【解答】解：如圖，延長ac、be交于點m，a的平分線ad，be垂直ad于e，mae=bae，aem=aeb=90°，ae=ae，aemaeb（asa），em=be，即bm=2be；a的平分線ad，ac=bc，c=90°，cad=dab=22.5°，abc=45°，be垂直ad于e，dab+abc+dbe=90°，即dbe=22.5°，cad=dbe，又ac=bc，且acb=bcm=90°，acdbcm（asa），ad

22、=bm；由得ad=2be，即be=ad【點評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，涉及到等腰直角三角形的性質、三角形內角和定理等知識點，正確作出輔助線是解題的關鍵6如圖，已知ab=ac，bac=60°，bdc=120°，求證：ad=bd+cd【分析】先延長db，使be=cd，連接ae，bc，根據已知條件得出a，b，d，c四點共圓，得出acb=ade，再根據等邊三角形的性質得出abc是等邊三角形，在abe和acd中，根據sas得出abeacd，得出ade是等邊三角形，得出ad=de，再根據de=bd+be，即可證出ad=bd+cd【解答】解：延長db，使be=cd，連接ae

23、，bc，bac+acd+bdc+abd=360°，bac=60°，bdc=120°，abd+acd=180°，a，b，d，c四點共圓，acb=ade，abd+abe=180°，abe=acd，ab=ac，abc是等邊三角形，acb=60°，ade=60°，在abe和acd中，abeacd（sas），ae=ad，ade是等邊三角形，ad=de，de=bd+be，ad=bd+cd【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質，用到的知識點是等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質和三角形內角和定理，關鍵是根據題意作出輔助線7如圖abc

24、，d是abc內的一點，延長ba至點e，延長dc至點f，使得ae=cf，g，h，m分別為bd，ac，ef的中點，如果g，h，m三點共線，求證：ab=cd【分析】由三角形的中位線得，msae，ms=ae，hscf，hs=cf，由已知得hs=sm，從而得出shm=smh，則得出tgh=thg，gt=th，最后不難看出ab=cd【解答】證明：取bc中點t，af的中點s，連接gt，ht，hs，sm，ghm分別為bd，ac，ef的中點，msae，ms=ae，hscf，hs=cf，gtcd，htab，gt=cd，ht=ab，gths，htsm，shm=tgh，smh=thg，tgh=thg，gt=th，ab

25、=cd【點評】本題考查了三角形的中位線定理以及平行線的性質8如圖，在正方形abcd中，取ad，cd的邊的中點e，f，連接ce，bf交于點g，連接ag，試判斷ag與ab是否相等，并說明理由【分析】延長ce、ba交于p，易證cdebcf，可得cfb=dec，即可求得cebf，進而可以求證paepbc，可得pa=ab，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半性質即可解題【解答】解：延長ce、ba交于p，在cde和bcf中，cdebcf；（sas）cfb=dec，fcg+dec=90°，fcg+cfb=90°，cebf，paepbc，=，a是pb的中點，即ab=pb，rtbpg中，ag=

26、pbag=ab【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應角相等的性質，本題中求證cdebcf是解題的關鍵9如圖，設點m是等腰rtabc的直角邊ac的中點，adbm于e，ad交bc于d求證：amb=cmd（請用兩種不同的方法證明）【分析】法（1）先延長ad至f，使得cfac，得出abm=dac，再根據ab=ac，cfac，得出abmcaf，從而證出bma=f，am=cf，再根據所給的條件得出fcdmcd，即可得出amb=f=cmd；法（2）先作bac的平分線交bm于n，得出abn=cae，再根據ban=c=45°，ab=ac，證出banacd，得出an=cd，證出namd

27、cm，即可得出amb=cmd【解答】證明：法（1）如圖，延長ad至f，使得cfac，abac，adbm，abm=dac，又ab=ac，cfac，abmcaf，bma=f，am=cf，bca=bcf=45°，am=cm=cf，dc=dc，fcdmcd，amb=f=cmd；法（2）ad交bm于e，作bac的平分線交bm于n，aebm，baac，abn=cae，ban=c=45°，ab=ac，banacdan=cd，nam=c=45°，am=mc namdcm，amb=cmd【點評】此題考查了解等腰直角三角形；解題的關鍵是根據題意畫出圖形，再根據解等腰直角三角形的性質和

28、相似三角形的判斷與性質進行解答即可10如圖，在四邊形abcd中，ad=bc，e、f分別是dc及ab的中點，射線fe與ad及bc的延長線分別交于點h及g試猜想ahf與bgf的關系，并給出證明提示：若猜想不出ahf與bgf的關系，可考慮使四邊形abcd為特殊情況如果給不出證明，可考慮下面作法，連結ac，以f為中心，將abc旋轉180°，得到abp【分析】方法一：連ac，取其中點為m，連em和fm，根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得emad，2em=ad，同理fmbc，2fm=bc，再根據兩直線平行，內錯角相等可得ahf=mef，兩直線平行，內錯角相等可得bgf=mfe

29、，從而得證；方法二：作法，連結ac，以f為中心，將abc旋轉180°，得到abp，根據獨角戲互相平分的四邊形的平行四邊形可得apbc是平行四邊形，根據平行四邊形對邊相等可得ap=bc=ad，連結ap，根據等邊對等角可得apd=adp，根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得efdp根據兩直線平行，同位角相等可得ahf=adp，根據兩邊互相平行的兩個角相等或互補可得bgf=apd，然后等量代換即可得證【解答】答：ahf=bgf證明：方法一：連ac，取其中點為m，連em和fm，em是acd的中位線，emad，2em=ad，同理fmbc，2fm=bc，em=fm，mef=mf

30、e，ahf=mef，bgf=mfe，ahf=bgf；方法二：作法，連結ac，以f為中心，將abc旋轉180°，得到abp，f是ab的中點，apbc是平行四邊形，ap=bc=ad，連結ap，則apd=adp，ef是cdp的中位線，efdp，ahf=adp，gfdp，gbap，bgf=apd，ahf=bgf【點評】本題考查了三角形的中位線定理，等腰三角形的判定與性質，難點在于作輔助線構造出三角形的中位線11如圖，d為abc中線am的中點，過m作ab、ac邊的垂線，垂足分別為p、q，過p、q分別作dp、dq的垂線交于點n（1）求證：pn=qn；（2）求證：mnbc【分析】（1）要證明pn=

31、qn，只有證明這兩條線段所在的三角形全等就可以了，連接dn，利用斜邊直角邊對應相等的兩個三角形全等就可以了（2）bpm和cqm是直角三角形，由條件知道m(xù)b=cm，取bm、cm的中點s、t，連接ps、qt可以得到ps=qt，利用角的關系證明spn=tqn，再證明spntqn，從而得到ns=nt，利用等腰三角形的三線合一的性質證明mnbc【解答】證明：（1）方法一：連接dnd為abc中線am的中點ad=md，mb=cmmpab，mqacapm=aqm=90°apm、amq是直角三角形pd=am，qd=ampd=qdrtdpnrtdqn（hl）np=pq；方法二：mpab，mqacapm=

32、aqm=90°，所以apm+aqm=180°，所以四邊形apmq為圓內接四邊形d為am的中點，pd，dq為以d為圓心的四邊形apmq內接圓的半徑pnpd，qnqd，pn，nq為圓的兩條切線，pn=nq（2）取bm、cm的中點s、t，連接sp、sn、tq、tnsp=bm=mc=tqspn=90°bpsnpm=90°bdpa=90°bbam=90°amc=90°dmqqmt=90°dqmmqt=tqnspntqnsn=tnsm=tmnmbc【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，

33、等腰三角形的判定與性質12在abc中，d為ab的中點，分別延長ca、cb到點e、f，使de=df，過e、f分別作ca、cb的垂線相交于p，設線段pa、pb的中點分別為m、n求證：demdfn；pae=pbf【分析】要證demdfn，由d、m、n分別是ab、ap、bp的中點，所以dm=bp，dn=ap，再有過e、f分別作ca、cb的垂線相交于p，所以em=ap=dn，fn=bp=dm又de=df所以demdfn由得emd=fnd，由amd=bnd=apb所以ame=bnf，那么pae=（180°ame），pbf=（180°bnf），即pae=pbf【解答】證明：如圖，在abp

34、中，d、m、n分別是ab、ap、bp的中點，dm=bp，dn=ap，又peae，bfpfem=ap=dn，fn=bp=dm，de=dfdemdfn（sss）；由結論demdfn可知emd=fnd，dmbp，dnap，amd=bnd=apb，ame=bnf又peae，bfpf，aep和bfp都為直角三角形，又m，n分別為斜邊pa與pb的中點，am=em=ap，bn=nf=bp，mae=mea，nbf=nfb，pae=（180°ame），pbf=（180°bnf）即pae=pbf，【點評】此題考查了線段之間的關系，和全等三角形的判定和性質，同學們應該熟練掌握13如圖：已知abd

35、c，bad和adc的平分線相交于點e，過點e的直線分別交ab、dc于b、c兩點猜想線段ad、ab、dc之間的數量關系，并證明【分析】在ad上截取af=ab，連接ef，根據sas證baefae，推出b=efa，求出c=efd，證cdefde，推出dc=df，即可得出答案【解答】答：ad=ab+dc，證明：在ad上截取af=ab，連接ef，ae平分baf，bae=fae，在bae和fae中baefae（sas），b=efa，abdc，b+c=180°，efd+efa=180°，c=efd，de平分cda，cde=fde，在cde和fde中cdefde（aas），dc=df，ad

36、=af+df=ab+dc【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，平行線的性質，角平分線定義等知識點的應用，關鍵是能正確作輔助線14如圖，已知abc中，ab=bc=ca，d、e、f分別是ab、bc、ca的中點，g是bc上一點，dgh是等邊三角形求證：eg=fh【分析】連接de、df，根據三角形中位線定理及等邊三角形的性質，可證明degdfh，即可得結論【解答】證明：連接de、df，（如圖）d、e、f是各邊中點，de平行且等于ac，df平行且等于bc，ab=bc=ca，a=b=c=60°，de=df，edf=dfa=c=60°已知等邊dhg，dg=dh，hdg=60°

37、;=edf，edffdg=hdgfdg，即1=2，degdfh（sas），fh=eg【點評】本題考查了三角形全等的判定及性質，涉及到三角形中位線定理、等邊三角形的性質等知識點，熟練掌握三角形全等判定方法是解題的關鍵15已知如圖，cd是rtabc斜邊上的高，a的平分線交cd于h，交bcd的平分線于g，求證：hfbc【分析】根據角平分線性質作輔助線連接fe，進而證得hcef是菱形從而證得【解答】證明：連接fe，cd是rtabc斜邊上的高，a=dcb，又ae平分a，cf平分bcd，dcf=dae，又ahd=che，adh=90度，cge=90度，在三角形acf中，ae是高，中線，角平分線，cfhe，

38、cg=fg，ch=fh，ce=ef，cf是che的高，中線，角平分線，ch=ce，ch=hf=ef=ce，四邊形hcef是菱形，hfbc【點評】本題考查了角平分線性質以及其應用，問題有一定難度16已知：如圖，在四邊形abcd中，adbc，abc=90°點e是cd的中點，過點e作cd的垂線交ab于點p，交cb的延長線于點m點f在線段me上，且滿足cf=ad，mf=ma（1）若mfc=120°，求證：am=2mb；（2）試猜想mpb與fcm數量關系并證明【分析】（1）連接md，根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得md=mc，然后利用“邊邊邊”證m明mfc與mad全等，

39、根據全等三角形對應角相等可得mad=mfc，根據兩直線平行，同旁內角互補求出bad，然后求出bam=30°，然后根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半證明；（2）根據全等三角形對應角相等和軸對稱的性質可得bmp=fmd=dma，然后用bmp表示出fcm，再根據直角三角形兩銳角互余列式整理即可得解【解答】（1）證明：連接md，點e是cd的中點，med，md=mc，在mfc與mad中，mfcmad（sss），mad=mfc=120°，adbc，abc=90°，bad=180°abc=180°90°=90°，b

40、am=madbad=120°90°=30°，abm=90°，am=2mb；（2）解：2mpb+fcm=180°理由如下：由（1）可知bmp=fmd=dma，fcm=adm=dmc=2bmp，bmp=fcm，abc=90°，mpb+bmp=90°，mpb+fcm=90°，2mpb+fcm=180°【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質，直角三角形兩銳角互余，熟記各性質并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵17如圖，在abc中acbc，e、d分別是ac、bc上的

41、點，且bad=abe，ae=bd求證：bad=c【分析】作obf=oae交ad于f，由已知條件用“asa”可判定aoebof，所以ae=bf，再有條件ae=bd得bf=bd，所以bdf=bfd，再利用三角形的外角關系證得bof=c，又因為bof=bad+abe=2bad，所以：bad=c【解答】證明：作obf=oae交ad于f，bad=abe，oa=ob又aoe=bof，aoebof（asa）ae=bfae=bd，bf=bdbdf=bfdbdf=c+oae，bfd=bof+obf，bof=cbof=bad+abe=2bad，bad=c，【點評】本題考查了全等三角形的判斷和性質，常用的判斷方法為

42、：sas，sss，aas，asa常用到的性質是：對應角相等，對應邊相等在證明中還要注意圖形中隱藏條件的挖掘如：本題中的對頂角aoe=bof18已知a，c，b在同一條直線上，ace，bcf都是等邊三角形，be交cf于n，af交ce于m，mgcn，垂足為g求證：cg=ng【分析】先證acf與ecb全等，得到afc=abe，再證fmcbnc得到mc=mn，有條件mg垂直于nc而得到結論【解答】證明：ace，bcf都是等邊三角形，ac=ec，fc=bc，ace=bcf=60°，ecn=60°，bce=acf，acfecb，afc=abe，fcm=bcn=60°，cf=cb

43、，fmcbnc，cm=cn，ecn=60°，cnmn是等邊三角形，cm=mn，mgnc，gc=gn【點評】本題考查了等邊三角形的性質，通過兩次全等得到mc=mn，通過mg垂直于nc得到結論19如圖所示，在abc中，abc=2c，ad為bc邊上的高，延長ab到e點，使be=bd，過點d、e引直線交ac于點f，請判定af與fc的數量關系，并證明之【分析】根據等邊對等角可得e=bde，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出abc=2bde，從而求出c=bde，再求出c=cdf，然后根據等角對等邊求出df=fc，再根據等角的余角相等求出cad=adf，根據等角對等邊求出df

44、=af，即可得到af=fc【解答】解：af=fc理由如下：be=bd，e=bde，abc=e+bde=2bde，abc=2c，c=bde，又bde=cdf，c=cdf，df=fc，ad為bc邊上的高，cdf+adf=adc=90°，c+cad=180°90°=90°，cad=adf，df=af，af=fc【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質，等角的余角相等的性質，熟記性質與判定并準確識圖是解題的關鍵20如圖，abc是邊長為l的等邊三角形，bdc是頂角bdc=120°的等腰三角形，以d為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交ab于m，交

45、ac于n，連接mn，形成一個三角形，求證：amn的周長等于2【分析】可在ac延長線上截取cm1=bm，得rtbdmrtcdm1，得出邊角關系，再求解mdnm1dn，得mn=nm1，再通過線段之間的轉化即可得出結論【解答】證明：如圖，在ac延長線上截取cm1=bm，abc是等邊三角形，bdc是頂角bdc=120°的等腰三角形，abc=acb=60°，dbc=dcb=30°，abd=acd=90°，dcm1=90°，bd=cd，在bdm和cdm1中，bdmcdm1（sas），得md=m1d，mdb=m1dc，mdm1=120°mdb+m1

46、dc=120°，ndm1=60°，在mdn和m1dn中，mdnm1dn（sas），mn=nm1，故amn的周長=am+mn+an=am+an+nm1=am+am1=ab+ac=2【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質問題，能夠通過線段之間的轉化進而求解一些簡單的結論21已知如圖，在四邊形abcd中，ac平分bad，ceab于e，且ae=（ab+ad），求證：b與d互補【分析】可在ab上截取af=ad，可得acfacd，得出afc=d，再由線段之間的關系ae=（ab+ad）得出bc=cf，進而通過角之間的轉化即可得出結論【解答】證明：在ab上截取af=ad，連接cf，a

47、c平分bad，bac=cad，又ac=ac，acfacd（sas），af=ad，afc=d，ae=（ab+ad），ef=be，又ceab，bc=fc，cfb=b，b+d=cfb+afc=180°，即b與d互補【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質以及等腰三角形的判定及性質問題，能夠熟練運用三角形的性質求解一些簡單的計算、證明問題22如圖，已知abc中，a=90°，ab=ac，1=2，cebd于e求證：bd=2ce【分析】延長ce、ba交于f，根據角邊角定理，證明befbec，進而得到cf=2ce的關系再證明acf=1，根據角邊角定理證明acfabd，得到bd=cf，至

48、此問題得解【解答】證明：如圖，延長ce、ba交于fcebd，bef=bec=90°，1=2，在bef和bec中，befbec（asa），ef=ec，cf=2ce，bac=90°，fac=90°=baccebd，acf=1，在acf和abd中，acfabd（asa），bd=cf，bd=2ce【點評】本題考查全等三角形的判定與性質解決本題主要是恰當添加輔助線，構造全等三角形，將所求問題轉化為全等三角形內邊間的關系來解決23ad是abc的角平分線，m是bc的中點，fmad交ab的延長線于f，交ac于e（1）求證：ce=bf；（2）探索線段ce與ab+ac之間的數量關系，

49、并證明【分析】（1）延長ca交fm的平行線bg于g點，利用平行線的性質得到bm=cm、ce=ge，從而證得ce=bf；（2）利用上題證得的ea=fa、ce=bf，進一步得到ab+ac=ab+ae+ec=ab+af+ec=bf+ec=2ec【解答】（1）證明：延長ca交fm的平行線bg于g點，g=cad、gba=badad平分bac，bad=cad，ag=ab，fmadf=bad、fea=dacbad=dac，f=fea，ea=fa，ge=bf，m為bc邊的中點，bm=cm，emgb，ce=ge，ce=bf；（2）ab+ac=2ec證明：ea=fa、ce=bf，ab+ac=ab+ae+ec=ab

50、+af+ec=bf+ec=2ec【點評】本題考查了三角形的中位線定理，解題的關鍵是正確地構造輔助線，另外題目中還考查了平行線等分線段定理24如圖，ad是abc的中線，ab=ae，ac=af，bae=fac=90°判斷線段ad與ef數量和位置關系【分析】猜想：ef=2ad，efad證明：延長ad到m，使得ad=dm，連接mc，延長da交ef于n，易證bd=cd，即可證明abdmcd，可得ab=mc，bad=m，即可求得eaf=mca，即可證明aefcma，可得ef=am，cam=f，即可解題【解答】解：ef=2ad，efad證明：延長ad到m，使得ad=dm，連接mc，延長da交ef于

51、n，ad=dm，am=2ad，ad是abc的中線，bd=cd，在abd和mcd中，abdmcd，（sas）ab=mc，bad=m，ab=ae，ae=mc，aeab，afac，eab=fac=90°，fac+bac+eab+eaf=360°，bac+eaf=180°，cad+m+mca=180°，cad+bad+mca=180°，即bac+mca=180°，eaf=mca在aef和cma中，aefcma，ef=am，cam=f，ef=2ad；caf=90°，cam+fan=90°，cam=f，f+fan=90°，anf=90°，efad【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中求證abdmcd和aefcma是解題的關鍵25如圖，四邊形abcd中，bc=dc，對角線ac平分bad，且ab=21，ad=9，bc=dc=10，求a