調(diào)性和極值課件

1、3.4.1 3.4.1 函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法 3.4.2 3.4.2 函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法 3.4 函數(shù)的單調(diào)性和極值 3.4.3 最大值與最小值問題最大值與最小值問題3.4.1 3.4.1 函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法xyoab)(xfy ABxyoabAB)(xfy 如圖所示單調(diào)遞增曲線上各點(diǎn)處的切線斜率是非負(fù)的單調(diào)遞減曲線上各點(diǎn)處的切線斜率是非正的若設(shè)函數(shù))(xf0)( xf則 在I內(nèi)單調(diào)遞增)(xf, )0)( xf(遞減) .證明證明 無妨設(shè),0)(Ixxf任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(

2、21xxI0故. )()(21xfxf這說明 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增.)(xf在開區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo),證畢定理定理 3.4.13.4.1例例1 1 確定函數(shù)31292)(23xxxxf的單調(diào)區(qū)間.解解12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的單調(diào)增單調(diào)增區(qū)間為, ) 1,();,2()(xf的單調(diào)減單調(diào)減區(qū)間為).2,1 (12xoy12yxo注注 (1)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn). 例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy (2) 如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號, 則不

3、改變函數(shù)的單調(diào)性 .例如,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 討論函數(shù)的單調(diào)性可按下列步驟進(jìn)行:(1) 確定連續(xù)函數(shù) xfy 不存在的點(diǎn)，的點(diǎn)及用方程xfxfxf0,區(qū)間；將定義域劃分成若干子的定義域 ;(2) 求出(3) 判斷 xf 在每個區(qū)間內(nèi)的符號,就可以確定出函數(shù) xfy 的單調(diào)區(qū)間.xx1112111121xxx , 000 xfxf內(nèi)，上連續(xù)，且在，在例例2 2 證明0 x時,成立不等式xx1211證明證明 令,1211)(xxxfxxf12121)( 01211, 0)0()(, 00 xxfxff即故而則由于 ，時上單調(diào)增加，從而當(dāng)在因此00, 0fxfxxf得證

4、!3.4.2 函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法定義定義3.4.13.4.1,),()(內(nèi)有定義在設(shè)函數(shù)baxf, ),(0bax ，的一個鄰域若存在0 x在其中當(dāng)0 xx 時, )()(0 xfxf(1) 則稱 為 的極大點(diǎn)極大點(diǎn) ,0 x)(xf稱 為函數(shù)的極大值極大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 則稱 為 的極小點(diǎn)極小點(diǎn) ,0 x)(xf稱 為函數(shù)的極小值極小值 .)(0 xf極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn) .注注1x4x2x5xxaboy41,xx為極大點(diǎn)52,xx為極小點(diǎn)3x3x不是極值點(diǎn)2) 對常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為 0 或不存在的點(diǎn).1) 函數(shù)的極值

5、是函數(shù)的局部性質(zhì).31292)(23xxxxf例如例如 ( (例例1)1)1x為極大點(diǎn) , 2) 1 (f是極大值 1)2(f是極小值 2x為極小點(diǎn) , 12xoy12定理 3.4.2 (第一充分條件)時，00,xxx時，而00,xxx , 0 xf,)(0的某鄰域內(nèi)連續(xù)在設(shè)函數(shù)xxf且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù)(1)如果 , 0 xf0 xx 在則xf處取得極大值。時，00,xxx時，而00,xxx , 0 xf(2)如果 , 0 xf0 xx 在則xf處取得極小值。xyo0 x xyo0 x 時，,00 xUx ,的符號保持不變xf (3)如果0 xx 在則xf處沒有極值。xyo0 x xyo0

6、x 求極值的步驟求極值的步驟: :);() 1 (xf 求導(dǎo)數(shù) ;0)()2(不存在的點(diǎn)的點(diǎn)和求出方程xfxf,)() 3(右正負(fù)號在駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)的左檢查xf .)4(求極值還是極小值；若異號，判斷是極大值例例3 3求函數(shù)求函數(shù)32) 1()(xxxf的極值 .解解 1) 求導(dǎo)數(shù)32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求極值可疑點(diǎn)令,0)( xf得;521x令,)( xf得02x3) 列表判別x)(xf )(xf0520033. 0),0(52)0,(),(520 x是極大點(diǎn)， 其極大值為0)0(f是極小點(diǎn)， 其極小值為52x33. 0)(52f定理定理3.4.33.4.3(

7、(第二充分條件第二充分條件) )二階導(dǎo)數(shù),且處具有在點(diǎn)設(shè)函數(shù)0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若則 在點(diǎn) 取極大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若則 在點(diǎn) 取極小值 .)(xf0 x證證: : (1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在,0,00時當(dāng)xx0)(0 xxxf時，故當(dāng)00 xxx;0)( xf時，當(dāng)00 xxx,0)( xf0 x0 x0 x由第一判別法知.)(0取極大值在xxf(2) 類似可證 .例例4 4 求函數(shù)1) 1()(32 xxf的極值 . 解解 1) 求導(dǎo)數(shù),

8、) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求駐點(diǎn)令,0)( xf得駐點(diǎn)1,0, 1321xxx3) 判別因,06)0( f故 為極小值 ;0)0(f又,0) 1 () 1( ff故需用第一判別法判別.,1)(左右鄰域內(nèi)不變號在由于xxf.1)(沒有極值在xxf1xy1試問 為何值時,axxaxf3sin31sin)(32x在時取得極值 ,還是極小.解解)(xf由題意應(yīng)有)32(f2a又 )(xf)32(f )(xf取得極大值為3)(32f例例5 5,3coscosxxa)32(3cos)32cos(a0,3sin3sin2xx 0求出該極值,并指出它是極大 例6 (隱

9、函數(shù)的極值)設(shè) ,求由方程0a033axyyx xfy 所確定的函數(shù) 在 內(nèi)的極值點(diǎn).0 x解得并解出求導(dǎo)在隱函數(shù)兩邊對yx,axxayydxdy31332( 1 ), 0dxdy令,12xay 得3221,xxa得代入原隱函數(shù)方程(2),21)2(, 0axx中解出隱函數(shù)的駐點(diǎn)故由式因2222313333163,) 1 (axaxayaxxyadxydx得求導(dǎo)兩邊對再在式 (3), 041,213yayax及時因得將它們代入式 ),3(062122adxydax .03213的最小值所確定的隱函數(shù)是所以xfyaxyyxax .0141,14122的極值所確定的其中xfyttytx例7 (參數(shù)

10、方程所表示的函數(shù)的極值)求由參數(shù)方程解由于dtdxdtdydxdy11121121tttt, 0,1,dxdyt時當(dāng)因此0; 1yx此時dxdtdtdxdyddxyd22又因?yàn)?14t所以1312214txtdxyd210. 0,1yx極小值為是所給函數(shù)的極小值點(diǎn)于是3.4.3 最大值與最小值問題最大值與最小值問題 ,)(上連續(xù)在閉區(qū)間若函數(shù)baxf則其最值只能在極值點(diǎn)極值點(diǎn)或端點(diǎn)端點(diǎn)處達(dá)到 .求函數(shù)最值的方法求函數(shù)最值的方法: :(1)求 在 內(nèi)的極值可疑點(diǎn)(各駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn))(xf),(bamxxx,21(2) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(b

11、f最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf情形1:041x250 x041x250 x例例8 8 求函數(shù)xxxxf1292)(23在閉區(qū)間,2541上的最大值和最小值 .解解 顯然,)(2541連續(xù)在 xf且)(xf, )1292(23xxx,129223xxx)(xf121862xx121862xx內(nèi)有極值可疑點(diǎn)在,)(2541xf2, 1,0321xxx,3)(321941f,0)0(f,5) 1 (f,4)2(f5)(25f故函數(shù)在0 x取最小值 0;在1x及25取最大值 5., )2)(1(6xx, )2)(1(6xx 當(dāng) 在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)只有一個極

12、值駐點(diǎn)時,)(xf若在此點(diǎn)取極大 值,則也是最大 值 . (小)在應(yīng)用問題 往往會遇到這種情形.(小)情形2:例例9 把一根直徑為 d 的圓木鋸成矩形梁 ,問矩形截面的高 h 和 b 應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大? 解解 由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為hbd261hbw , )(2261bdb),0(db令)3(2261bdw0得db31從而有1:2:3:bhd22bdhd32即由實(shí)際意義可知 , 所求最值存在 , 駐點(diǎn)只一個,故所求結(jié)果就是最好的選擇 .這時如果函數(shù) 在區(qū)間內(nèi)部只有一個)(xf在應(yīng)用問題中,往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以情形3:判斷內(nèi)部取得, xf,0時x 0 xf確有

13、最大值或最小值,而且一定在定義區(qū)間駐點(diǎn)就可以判定是最大值或最小值.),(,22的距離最短使之與點(diǎn)上一點(diǎn)求拋物線ppMpxy 解,),(為拋物線上任意一點(diǎn)設(shè)yx的距離為與點(diǎn)則點(diǎn)Myx),(22pypxd ,222pypxdxf可設(shè)函數(shù)為計(jì)算方便,22pxy 其中 ,22ypypxxf則例例10,22pyy因,ypy 故 得的表達(dá)式代入將,xfypy yppypxxf22 , 02pxyxf求得令ypx232ppy32 存在所求問題有最短距離且根據(jù)問題的實(shí)際背景xf,唯一駐點(diǎn) .,2,233最短即距離最小時故當(dāng)dxfpypx小結(jié)小結(jié)2. 連續(xù)函數(shù)的極值(1) 極值可疑點(diǎn) :使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點(diǎn)

14、(2) 第一充分條件)(xf 過0 x由正正變負(fù)負(fù))(0 xf為極大值)(xf 過0 x由負(fù)負(fù)變正正)(0 xf為極小值Ixxf,0)()(xf在I 上單調(diào)遞增Ixxf,0)()(xf在I 上單調(diào)遞減1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別(3) 第二充分條件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf為極大值)(0 xf為極小值0)(,0)(00 xfxf最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找 ;應(yīng)用題可根據(jù)問題的實(shí)際意義判別 .3. 連續(xù)函數(shù)的最值1.1. 設(shè), 1)()()(lim2axafxfax則在點(diǎn) a 處( ).)()(xfA的導(dǎo)數(shù)存在 ,；且0)( af)()(xfB取得極大值 ;)()(xfC取得極小值;)()(xfD的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示提示: : 利用極限的保號性 .思考思考2.2. 設(shè))(xf在0 x的某鄰域內(nèi)連續(xù), 且,0)0(f,2cos1)(lim0 xxfx處則在點(diǎn)0 x).()(xf(A) 不可導(dǎo) ;(B) 可導(dǎo), 且