命題與關系、充分條件和必要條件知識點和題型歸納

1、推薦精選高考高考明方向明方向1. 1.理解理解命題的概念命題的概念2.2.了解了解“若若p p，則，則q q”形式的命題的逆命題、形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，會分析否命題與逆否命題，會分析四種命題四種命題的相互關系的相互關系3. 3.理解理解充分條件、必要條件與充要條件充分條件、必要條件與充要條件的含義的含義. .備考備考知考情知考情常用邏輯用語是新課標高考命題的熱點之一常用邏輯用語是新課標高考命題的熱點之一，考查形式考查形式以選擇題為主，試題多為中低檔題目以選擇題為主，試題多為中低檔題目，命題的命題的重點主要有兩個：重點主要有兩個：一是命題及其四種形式一是命題及其四種形式， 主要考

2、查命題的四種形式及命題主要考查命題的四種形式及命題的真假判斷；的真假判斷；二是以函數(shù)二是以函數(shù)、數(shù)列數(shù)列、不等式不等式、立體幾何中的線面關系等為立體幾何中的線面關系等為背景考查充要條件的判斷背景考查充要條件的判斷， 這也是這也是歷年高考命題的重中之歷年高考命題的重中之重重命題的命題的熱點是利用關系或條件求解參數(shù)范圍問題熱點是利用關系或條件求解參數(shù)范圍問題，考考查考生的查考生的逆向思維逆向思維. .一、知識梳理一、知識梳理名師一號名師一號P4P4知識點一知識點一命題及四種命題命題及四種命題1 1、命題的概念、命題的概念在數(shù)學中用語言、符號或式子表達的，可以在數(shù)學中用語言、符號或式子表達的，可以判

3、斷真假判斷真假的陳述句叫做命題的陳述句叫做命題其中其中判斷為真判斷為真的語句叫真命題的語句叫真命題，判斷判斷為為假假的語句叫假命題的語句叫假命題注意：注意：命題必須是陳述句命題必須是陳述句，疑問句、祈使句、感嘆句，疑問句、祈使句、感嘆句都不是命題。都不是命題。2 2四種命題及其關系四種命題及其關系(1)(1)四種命題間的相互關系四種命題間的相互關系推薦精選(2)(2)四種命題的真假關系四種命題的真假關系兩個命題兩個命題互為逆否互為逆否命題，它們有命題，它們有相同的真假性相同的真假性；兩個命題為兩個命題為互逆命題互逆命題或或互否命題互否命題，它們的，它們的真假性無關真假性無關注意：注意：( (補

4、充補充) )1 1、一個命題不可能同時既是真命題又是假命題、一個命題不可能同時既是真命題又是假命題2 2、常見詞語的否定常見詞語的否定原詞語原詞語等于（等于（= =）大于（大于（）小于（小于（ 00，則，則x x2 2x xmm0 0 有實根有實根”的逆否命題；的逆否命題；“若若x x123是有理數(shù)，則是有理數(shù)，則x x是無理數(shù)是無理數(shù)”的逆否命題的逆否命題A AB BC CD D解析解析: :中否命題為中否命題為“若若a a0 0，則，則abab0 0”，正確；，正確；中逆命題不正確；中逆命題不正確；中，中，1 14 4mm，當，當mm00 時，時，00，原命題正確，原命題正確，故其逆否命題

5、正確；故其逆否命題正確；中原命題正確故逆否命題正確中原命題正確故逆否命題正確答案答案B B注意注意： 名師一號名師一號P5P5高頻考點高頻考點例例 1 1規(guī)律方法規(guī)律方法在在判斷四個命題之間的關系判斷四個命題之間的關系時，時，首先要首先要分清命題的條件與結論分清命題的條件與結論，再再比較每個命題的條件與結論之間的關系比較每個命題的條件與結論之間的關系要要注意四種命題關系的相對性注意四種命題關系的相對性，一旦一個命題定為，一旦一個命題定為原命題，也就相應的有了它的原命題，也就相應的有了它的“逆命題逆命題”“否命題否命題”“”“逆否命題逆否命題”；判定命題為真命題時要進行推理判定命題為真命題時要進

6、行推理，判定命題為假命題時只需舉出反例即可判定命題為假命題時只需舉出反例即可對涉及數(shù)學概念的命題的判定要從概念本身入手對涉及數(shù)學概念的命題的判定要從概念本身入手例例 1.(3)1.(3) 名師一號名師一號P4P4對點自測對點自測 2 2(2014(2014陜西卷陜西卷) )原命題為原命題為“若若z z1 1，z z2 2互為共軛復數(shù)互為共軛復數(shù)， 則則|z z1 1|z z2 2|”，關于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷，關于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是依次如下，正確的是( () )A A真，假，真真，假，真B B假，假，真假，假，真C C真，真，假真，真，假

7、D D假，假，假假，假，假解析解析易知原命題為真命題，所以逆否命題也為真易知原命題為真命題，所以逆否命題也為真，設設z z1 13 34i 4i，z z2 24 43i 3i，則有，則有|z z1 1|z z2 2|，推薦精選但是但是z z1 1與與z z2 2不是共軛復數(shù)，所以逆命題為假，不是共軛復數(shù)，所以逆命題為假，同時否命題也為假同時否命題也為假注意注意： 名師一號名師一號P5P5 問題探究問題探究問題問題 2 2四種命題間關系的兩條規(guī)律四種命題間關系的兩條規(guī)律(1)(1)逆命題與否命題互為逆否命題；逆命題與否命題互為逆否命題；互為逆否命題的兩個命題同真假互為逆否命題的兩個命題同真假(2

8、)(2)當當判斷一個命題的真假比較困難時，判斷一個命題的真假比較困難時，可轉化為判斷它的逆否命題的真假可轉化為判斷它的逆否命題的真假同時要同時要關注關注“特例法特例法”的應用的應用例例 2 2(1)(1)( (補充補充) )（20112011 山東文山東文 5) 5)已知已知 a a，b b，c cR R，命題，命題“若若abc =3=3，則則222abc3 3”的的否命題否命題是（是（）(A)(A)若若 a+b+ca+b+c3 3，則，則222abc33(B)(B)若若 a+b+c=3a+b+c=3，則，則222abc311”是是“ a an n 為遞增數(shù)列為遞增數(shù)列”的的( () )A A

9、充分而不必要條件充分而不必要條件B B必要而不充分條件必要而不充分條件C C充分必要條件充分必要條件D D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件?q?r?s?p推薦精選【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】若若q q11，則當，則當a a1 11 1 時，時，a an nq qn n1 1， a an n 為遞減數(shù)列，為遞減數(shù)列，所以所以“q q11” / /“ a an n 為遞增數(shù)列為遞增數(shù)列”；若若 a an n 為遞增數(shù)列為遞增數(shù)列，則當則當a an n1 12 2n n時時，a a1 11 12 2，q q1 12 2111”故選故選 D.D.例例 1.(3)1.(3)名師一號名師一號P P6

10、6特色專題特色專題例例 2 2(2014(2014湖北卷湖北卷) )設設 U U 為全集為全集A A，B B 是集合是集合，則則“存在集存在集合合 C C 使得使得 A AC C，B B U UC C”是是“A AB B ”的的( () )A A充分而不必要條件充分而不必要條件B B必要而不充分條件必要而不充分條件C C充要條件充要條件D D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】如圖可知，存在集合如圖可知，存在集合 C C，使，使 A AC C，B B U UC C，則有則有 A AB B . .若若 A AB B ，顯然存在集合顯然存在集合 C.C.滿足滿足 A A

11、C C，B B U UC.C.故選故選C C. .例例 1.(4)1.(4) 名師一號名師一號P4P4對點自測對點自測 5 5已知已知p p：44k k00，q q：函數(shù)：函數(shù)y ykxkx2 2kxkx1 1 的值的值恒為負，則恒為負，則p p是是q q成立的成立的( () )A A充分不必要條件充分不必要條件B B必要不充分條件必要不充分條件C C充要條件充要條件D D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件解析解析: :44k k00k k00，k k2 24 4k k00，函數(shù)，函數(shù)y ykxkx2 2kxkx1 1 的值恒為負的值恒為負，但反之不一定有但反之不一定有44k k000，

12、2 2x xa a，x x0 0有且只有一個零點的有且只有一個零點的充分不必要條件是充分不必要條件是( () )A Aa a0 0 或或a a11B B00a a 1 12 2C.C.1 12 2 a a11D Da a000，2 2x xa a，x x0 0有且只有一個零點有且只有一個零點的充要條件為的充要條件為a a0 0 或或a a1.1.由選項可知，使由選項可知，使“a a0 0 或或a a11”成立的充分條件為選項成立的充分條件為選項 D.D.注意注意： 名師一號名師一號P5P5高頻考點高頻考點例例 3 3規(guī)律方法規(guī)律方法有關探求充要條件的選擇題，解題關鍵是：有關探求充要條件的選擇題

13、，解題關鍵是：首先，首先，判斷是選項判斷是選項“推推”題干，還是題干題干，還是題干“推推”選項選項；推薦精選其次，利用以小推大的技巧，即可得結論其次，利用以小推大的技巧，即可得結論務必審清題，明確務必審清題，明確“誰是條件誰是條件”！此題選項是條件！此題選項是條件！練習：練習：( (補充補充) )已知已知:3p x且且2y，:5q xy，則，則p是是q的的條件。條件。答案答案: : 既不充分條件也不必要條件既不充分條件也不必要條件例例 3. 3.名師一號名師一號P P6 6特色專題特色專題例例 3 3已知命題已知命題 p p：關于：關于 x x 的方程的方程 4x4x2 22ax2ax2a2a

14、5 50 0 的解集的解集至多有兩個子集至多有兩個子集， 命題命題 q q： 1 1mmx x1 1mm， m0m0， 若若p是是q的必要不充分條件，求實數(shù)的必要不充分條件，求實數(shù) mm 的取值范圍的取值范圍【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】p是是q的必要不充分條件，的必要不充分條件，p p 是是 q q 的充分不必要條件的充分不必要條件對于命題對于命題 p p，依題意知，依題意知( (2a)2a)2 24 44(2a4(2a5) 5)4(a4(a2 28a8a20)20)0 0，2 2a a1010，令令 P Pa|a|2 2a a1010，Q Qx|1x|1mmx x1 1mm，m0m0，由題意知由

15、題意知PQ，m0m0，1 1mm0m0，1 1mm2 2，1 1m10m10，解得解得 mm9. 9.因此實數(shù)因此實數(shù) mm 的取值范圍是的取值范圍是m|mm|m9 9注意：注意：( (補充補充) )凡結合已知條件凡結合已知條件求參數(shù)的取值范圍求參數(shù)的取值范圍是求滿足條件的等價條件即充要條件是求滿足條件的等價條件即充要條件練習：練習：( (補充補充) )推薦精選已知已知: 210;:11(0)pxqmxm m . .若若p是是q的必要但不充分條件，的必要但不充分條件，求實數(shù)求實數(shù)m的取值范圍的取值范圍解：解：p是是q的必要但不充分條件的必要但不充分條件即即p q且且qp等價于等價于q p pq

16、即即p是是q的充分但不必要條件的充分但不必要條件令令210Axx11(0)Bxmxm m 則則AB即即12110mm 解得解得9m 所以實數(shù)所以實數(shù)m的取值范圍是的取值范圍是9m m 注：注：A A 是是 B B 的真子集，須確保的真子集，須確保12110mm 中的等號不同時取得中的等號不同時取得例例 4. 4. ( (補充補充) )求證：關于求證：關于x x的方程的方程axax2 22 2x x1 10 0 至少有一個負根的至少有一個負根的充要條件是充要條件是a a1. 1.證明證明：充分性充分性：當當a a0 0 時時，方程為方程為 2 2x x1 10 0 的根的根為為x x1 12 2

17、，方程有一個負根，符合題意，方程有一個負根，符合題意當當a a000，方程，方程axax2 22 2x x1 10 0 有兩有兩個不相等的實根個不相等的實根， 且且1 1a a00， 方程有一正一負根方程有一正一負根， 符合題意符合題意當當 00a a1 1 時，時，4 44 4a a0 0，推薦精選方程方程axax2 22 2x x1 10 0 有實根，且有實根，且2 2a a000，故方程有兩個負根，符合題意故方程有兩個負根，符合題意綜上：當綜上：當a a1 1 時，方程時，方程axax2 22 2x x1 10 0 至少有一個負根至少有一個負根必要性：必要性：若方程若方程axax2 22

18、 2x x1 10 0 至少有一個負根至少有一個負根當當a a0 0 時，方程為時，方程為 2 2x x1 10 0 符合題意符合題意當當a a0 0 時時，方程方程axax2 22 2x x1 10 0 應有一正一負根或兩應有一正一負根或兩個負根則個負根則1 1a a00 或或4 44 4a a0 02 2a a000. .解得解得a a00 或或 00a a1. 1.綜上綜上：若方程若方程axax2 22 2x x1 10 0 至少有一負根至少有一負根，則則a a1. 1.故關故關于于x x的方的方程程axax2 22 2x x1 10 0 至少有一個負根的充要條至少有一個負根的充要條件是件是a a1. 1.注意：注意：( (補充補充) )證明充要條件證明充要條件務必務必明確明確充分性充分性和和必要性必要性并分別給予證明并分別給予證明練習：練習：( (補充補充) )已知已知( )f x是是定義在定義在 R R 上的函