化二次型為規(guī)范型PPT課件

1、3個(gè)平方項(xiàng)2正，1負(fù)引例：對(duì)二次形),(321xxxf212xx312xx326xx若做線性變換：33321232113yxyyyxyyyx可得標(biāo)準(zhǔn)型：232221321622),(yyyyyyg若做線性變換：333212321121321zxzzzxzzzx可得標(biāo)準(zhǔn)型：2322213216212),(zzzzzzg不唯一第1頁(yè)/共9頁(yè)對(duì)二次型),(21nxxxfAXX若r(A)=r ,做線性變換非奇異 X=CY,得標(biāo)準(zhǔn)型nyyyg,21) 0(2222211jkkiiiiiiiyyyYY 2222211nnyyy因?yàn)锳 r ()=r(A)=rr=k標(biāo)準(zhǔn)型中含非零平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)由r(A)確定即：

2、第2頁(yè)/共9頁(yè)對(duì)二次型),(21nxxxfAXX設(shè)r(A)=r ,則存在線性變換非奇異 X=CY,化為標(biāo)準(zhǔn)型將),(21nxxxf)0(,222221121irrnyyyyyyg02222)()(11111jprpprpppppiiiiiiiiiyyyy再做非奇異線性變換：niririiiizyzyzdyzdynrrr1111111標(biāo)準(zhǔn)型：的又一),(21nxxxf221221prpppzzzz唯一第3頁(yè)/共9頁(yè)再做非奇異線性變換: 例如:對(duì)),(321xxxf212xx312xx326xx做非奇異線性變換33321232113yxyyyxyyyx可得標(biāo)準(zhǔn)型:的又一標(biāo)準(zhǔn)型：得),(321xxx

3、f232221321622),(yyyyyyg233211612121zyzyzy232221zzz221221prpppzzzz的二次型稱為規(guī)范型定義5.5 形如規(guī)范型第4頁(yè)/共9頁(yè)定理5.5 任一個(gè)二次型，經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆瞧?異線性變換，總可以化為規(guī)范型， 且規(guī)范型是唯一的。證明略會(huì)求 第5頁(yè)/共9頁(yè)【例1】求二次型 為規(guī)范型32212221321442),(xxxxxxxxxf解：二次型矩陣為020212022AA的特征方程為20212022EA241=0解得A的特征值為：4, , 1212,3直接展開的標(biāo)準(zhǔn)型為：于是),(321xxxf23222124yyy第6頁(yè)/共9頁(yè)的標(biāo)準(zhǔn)型為：),(321xxxf23222124yyy作非奇異線性變換：3321zy 11zy 2221zy 的規(guī)范型：則得),(321xxxf232221zzz第7頁(yè)/共9頁(yè)定義5.6 在二次型 的規(guī)范型中， 正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)p稱為 的正慣性指數(shù)；負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)r-p 稱為 的負(fù)慣性指數(shù)； 它們的差p-(r-p)=2p-r 稱為 的符號(hào)差。),(21nxxxf),(21nxxxf),(21nxxxf),(21nxxxf例如：),(321xxxf212xx312xx326xx規(guī)范型為23222