13線性變換2013

1、3線性變換及其矩陣表示以上討論了線性空間的代數(shù)結(jié)構(gòu) , 說明了 F 上任一線性空間Vn都與向量空間 Fn同構(gòu)。但尚未涉及兩個向量空間之間的轉(zhuǎn)換 關(guān)系。然而 ,在技術(shù)科學(xué)、社會科學(xué)與數(shù)學(xué)的一些分支中 , 不同向 量空間之間的線性變換起著重要的作用。 因此, 為了研究兩個向量 空間之間的關(guān)系 , 有必要考慮能夠從一個向量空間到另一個向量 空間的轉(zhuǎn)換關(guān)系的函數(shù)。事實上 ,在我們的日常生活中 , 也經(jīng)常遇 到這種轉(zhuǎn)換。當我們欲將一幅圖像變換為另一幅圖像時 , 通常會移 動它的位置,或者旋轉(zhuǎn)它。例如,函數(shù)T(x,y) ( x, y)就能夠?qū)D 像的x坐標與 y 坐標改變尺度。根據(jù) 與 大于 1 還就是小

2、于 1, 圖像就能夠被放大或者縮小。下面我們討論線性空間之間一種最簡單但又最重要的聯(lián)系 , 即線性變換，特別就是Vn到自身的線性變換(也稱為線性算子)。定義 1 設(shè)Vn到Vm的變換 T 稱為線性的,如果對任意的數(shù) k及vn中任意向量，, 恒有T() T T , T(k ) kT .記TVm,則稱為在 T 下的像，稱為的原像。特別,當 T 就是Vn到自身的一個線性變換,則稱 T 就是Vn的線性變換定義中的兩個條件也可以合并寫作T (k1ak2B) k1Tak2TB更一般地 , 若 u1,u2,upVn,反復(fù)使用上面公式, 可得T(k1u1k2u2kpup) k1Tu1k2Tu2kpTup這一公式

3、在工程與物理中被稱為疊加原理 (superpositionprinciple)。如果u1,u2, up分別就是某個系統(tǒng)或過程的輸入信號向量,則Tu1,Tu2, Tup可分別視為該系統(tǒng)或過程的輸出信號向 量。判斷一個系統(tǒng)就是否為線性系統(tǒng)的判據(jù)就是：如果系統(tǒng)的輸入 為線性表達式y(tǒng) kiUik2U2kpUp,則當系統(tǒng)的輸出也滿足相同的線性關(guān)系Ty kiTuik2Tu2kpTUp時,該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。否則，為非線性系統(tǒng)。R3到 R2的變換:Tx XiX2X3,TXXiX2X3容易瞧出，例 1 的變換Ti不滿足線性關(guān)系，故不就是線性變換；而變換T2滿足線性關(guān)系，為線性變換。例 2 給定 A Fmn,定義

4、V到Vm的變換 T 為nm .X F y AXF,Am n容易驗證 T 就是一個線性變換。因為T(XiX2) A(xiX2)AxiAX2TXITX2,T(kx) A(kx) kAx kTx。因此,矩陣變換T(X) AX就是向量X的線性變換。A 稱為線性變換 T 的標準矩陣(Standard matrix)。線性變換T(X) AX也稱矩陣變換。例 3 對R(t)中的多項式求導(dǎo)-,容易驗證它就是Pn(t)的線dt性變換,記為 D ,即pl例 1 下面就是兩個從X-IX2T1(X)Xi2X|Dp(t) - p(t), p(t) Pn(t)dt例 4Ca,b中的函數(shù)求積分dt,容易驗證它就是Ca,b的

5、a線性變換, 記為 J, 即tJ f(t) f (t)dt, f (t) Ca,ba例 5 前面介紹的向量內(nèi)積也就是一種線性變換。 以實內(nèi)積空 間n(x, y) xTyxiyi, x,y Vi1為例, 顯然它就是一種將笛卡兒積V V ( x,y):x,y V變換到實數(shù)域 R 的映射 T:V V R,即defT :V V R (x,y)根據(jù)內(nèi)積定義知，映射 T:V V 滿足線性變換的兩個條件，故為線 性變換。例 6 V 的恒等變換 I 定義為I , V,而零變換o定義為o 0, V,不難驗證,它們都就是 V 的線性變換。線性變換具有下列簡單性質(zhì) :(1)T0 0;T( ) T , Vnn(2)T

6、( ki i)kiTi, 即任意一組向量的線性組合取像 ,i 1 i 1分別等于取像再線性組合 ;(3) 一組線性相關(guān)的向量1,2, ,l, 它們在 T 下的像T1,T2, ,Tl也就是線性相關(guān)的。但就是,線性無關(guān)的向量在 T 下的像可能就是線性相關(guān)的 例如零變換把線性無關(guān)的向量都映射為零向量。定義 2 歐氏空間 V 的線性變換 T 稱為正交變換，如果它保持V 中任何兩個向量的內(nèi)積不變，即對任意的，V,恒有仃，T )(,)定理 1 設(shè) T 就是歐氏空間Vn的線性變換，則 T 就是正交變換 的充充分必要條件就是下列條件之一成立：(1) T 保持向量的長度不變,即對任意Vn,都有 T(2) T 把

7、一個標準正交基映射為一個標準正交基；(3) T 在任一個標準正交基下的矩陣都就是正交矩陣、 證(1)的證明比較簡單，請讀者自證。(2)設(shè)1,2,n就是Vn的一個標準正交基。若 T 就是正交基。而(T ,T )(,),即 T 就是正交變換變換,則仃i，Tj)(i,j)ij,故(T1,T2, ,Tn)就是標準正交2,反之，設(shè)Xi,yj就是Vn中的兩個向量，則有Xiyjj)nXi(i,j)yjj 1(T ,TxiTi,j)i 1nX(Ti,Tj)yjj 1若 T 把標準正交基映為標準正交基，則仃i,Tj)(i,j),從設(shè)1,2就是一個標準正交基，T 在這個基下的矩陣就是A (aij), 則nTjaij i, j 1,2, ,n.i1若 T 就是正交變換，那么n n n(Ti,Tj) ( aki k, akj k)Tjakiakjij,k 1 k 1 k1即 ATA 的第 i 行第 j 列處的元就是j,故A AI ,也就就是說 A 就是正交矩陣。反之，若 A 就是正交矩陣，則由上述的推導(dǎo)可知(Ti,Tj)ij亦即 T把標準正交基映為標準正交基，故 T 就是正交變換。不難證明 , 正交變換的乘積就是正交變換 ; 正交變換就是可逆 的,且其逆變換也就是正交變換。注:正交投影變換；正交變換(Gives 旋轉(zhuǎn)變換、Householder 鏡像變換); 對稱變換等變換