高數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分稻谷書苑

1、第三章第三章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分000000000( ),(),()();,( ),( ),(),yf xxxxxxxyyf xxf xyxxyf xxyf xxfx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義 當(dāng)當(dāng)自自變變量量 在在處處取取得得增增量量點(diǎn)點(diǎn)仍仍在在該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi) 時(shí)時(shí) 相相應(yīng)應(yīng)地地函函數(shù)數(shù) 取取得得增增量量如如果果與與之之比比當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的極極限限存存在在 則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處可可導(dǎo)導(dǎo) 并并稱稱這這個(gè)個(gè)極極限限為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 記記為為1、 定義：定義：一、導(dǎo)數(shù)的概念一、導(dǎo)數(shù)的概念機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)

2、束結(jié)束 1藤蔓課堂.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式：其它形式：.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 000( ),xxxxxxdydf xydxdx ，或或即即機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2藤蔓課堂,( ).( ).( )( ),.xif xf xdydf xfxydxdx 對(duì)對(duì)于于任任一一都都對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)著著的的一一個(gè)個(gè)確確定定的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值這這個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)叫叫做做原原來來函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)記記作作或或0()( )( )limxf xxf xfxx 即即.

3、)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :000()( )().xxfxfxf x 2、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 3藤蔓課堂2）右導(dǎo)數(shù)）右導(dǎo)數(shù):1）左導(dǎo)數(shù)）左導(dǎo)數(shù):0000( )()()lim;xxf xf xfxxx 0000( )()()lim;xxf xf xfxxx 3） 函數(shù)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處可導(dǎo)處可導(dǎo) 左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù))(0 xf 和右導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù))(0 xf 都存在并且相等都存在并且相等. 3、單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 4藤蔓課堂222011111()(sin)

4、cos(tan)sec(sec)sectan()ln(log)ln(arcsin)(arctan)xxacxxxxxxxaaaxxaxxxx 122211111()(cos )sin(cot )csc(csc )csccot()(ln|)(arccos )(cot )xxxxxxxxxxxeexxxxarcxx 4、 基本導(dǎo)數(shù)公式基本導(dǎo)數(shù)公式機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 5藤蔓課堂5、按定義求導(dǎo)數(shù)、按定義求導(dǎo)數(shù)步驟步驟:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求極限求極限例例1 1、( )

5、().f xc c 求求函函數(shù)數(shù)為為常常數(shù)數(shù) 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)解：解：hxfhxfxfh)()(lim)(0 hcch 0lim. 0 . 0)( c即即機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 6藤蔓課堂例例2 2、0( ).f xxx 討討論論函函數(shù)數(shù)在在處處的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性解：解：xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 000( )( ),( ).fff xxx所所以以函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)不不可可導(dǎo)導(dǎo)練習(xí)練習(xí)1、討論討論000sin ,( ).,xxf xxxx 在在處處

6、的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 7藤蔓課堂例例3 3、121000( )()()(),( ).f xx xxxf 設(shè)設(shè)求求解解:0)0()(lim)0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100 練習(xí)練習(xí)2、設(shè)設(shè)12( )( ).f xxf , ,用用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的定定義義求求2221 1222( )( )( )limlimxxf xfxfxx 解解:211211limxx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 8藤蔓課堂6、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義oxy)(xfy t0 xm000000()( )(,

7、(),()tan,()( )(,()fxyf xm xf xfxyf xm xf x 表表示示曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)處處切切線線的的斜斜率率 即即為為傾傾角角，因因此此在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為000()()().yf xfxxx 0001()().()yf xxxfx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 9藤蔓課堂例例4 4、1122(, ).yx 求求在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線線方方程程和和法法線線方方程程解：解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 知所求切線斜率為知所求切線斜率為12xy 21)1( xx2121 xx. 4 故所求切線方程為故

8、所求切線方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 10藤蔓課堂7、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系: 可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)可導(dǎo)必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo).機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 200,( ),xxf xxx 例例如如0 x 在在處處連連續(xù)續(xù)但但不不可可導(dǎo)導(dǎo)，因因?yàn)闉?0000000000000100lim( )lim;( )lim( )lim;( )( )( )( )lim, limxxxxxxf xxff xxf xf

9、f xfxx 連連續(xù)續(xù)不不可可導(dǎo)導(dǎo)11藤蔓課堂例例5 5、10000sin,( ),.xxf xxxx 討討論論函函數(shù)數(shù)在在處處的的連連續(xù)續(xù)性性與與可可導(dǎo)導(dǎo)性性解：解：00100lim( )limsin( )xxf xxfx0( ).f xx在在處處連連續(xù)續(xù)00010001sin( )( )limlimlimsinxxxxf xfxxxx又又因因?yàn)闉闃O極限限不不存存在在0( ).f xx 在在處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 12藤蔓課堂機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 201060,( )(),.a xexa bf xbxx

10、xx 確確定定，使使得得在在連連續(xù)續(xù)、且且可可導(dǎo)導(dǎo)例例00200002000111000100110110( )lim( )lim( )( )limlim (),( )( )( ),( )limlim,()( )lim,.xxa xxxa xxxxf xxf xf xfebxxbf xxffeaxfaxxbxxfax 為為使使在在連連續(xù)續(xù)，則則，即即解解得得；為為使使在在可可導(dǎo)導(dǎo)，則則又又所所以以解解：13藤蔓課堂21311,( ),.xxa bf xaxbxx 確確定定，使使得得在在連連續(xù)續(xù)習(xí)習(xí) 、且且可可導(dǎo)導(dǎo)練練21,.ab 答答案案：機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束

11、結(jié)束 14藤蔓課堂0()( )( )lim,xfxxfxfxx 二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù): :記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 0()( )( )( )lim,xfxxfxfxfxx 三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù):1( )( ),( )( ),.nnnnnnnnd yd f xfxydxdx 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù): :階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 記記作作或或(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù))二、高階導(dǎo)數(shù)二、高階導(dǎo)數(shù)1、定義、定義機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 15藤蔓課堂,uvn設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)和和具具有有階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 則則)()()(

12、)()1(nnnvuvu )()()()2(nncucu 2、 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例1 1、520sin ,( ).yxxyy 設(shè)設(shè)求求和和解解:410cos ,yxx 340sin ,yxx 2120cos ,yxx 01( )y 16藤蔓課堂(1) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則三、求導(dǎo)法則三、求導(dǎo)法則 ( )( )( )( );u xv xu xv x( )( ).( )( )u xu xv xv x機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 17藤蔓課堂例例1

13、 1、3( ),( )( ).xf xxefxf設(shè)設(shè)求求和和解：解：111( )()xxxfxex ex e 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1112( )()xxxfxexexe 33( )fe練習(xí)練習(xí)1 1、ln( )ln,( )( ).xf xxxfxf ex設(shè)設(shè)求求和和18藤蔓課堂( ),( ) ( )( )( )( ).yf u uxyfxdydy duy xfuxdxdu dx 設(shè)設(shè)的的復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)，則則或或例如，例如，(2) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 .sinln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函

14、數(shù)求函數(shù)xy 解：解：ln ,sinyu uxdxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 19藤蔓課堂例例2 2、練習(xí)練習(xí)2 2、210( )sin(),( )( ).xf xfxf設(shè)設(shè)求求和和解解:212121 22( )cos() ()cos()lnxxxxfx機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 .)1(102的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xy解：解：)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx02( )lnf 20藤蔓課堂(3) 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則0( , )( ),.f x yyy xxdyyxd

15、x設(shè)設(shè)確確定定了了隱隱函函數(shù)數(shù)則則方方程程兩兩端端同同時(shí)時(shí)對(duì)對(duì)求求導(dǎo)導(dǎo)，求求導(dǎo)導(dǎo)時(shí)時(shí)視視為為的的函函數(shù)數(shù)，即即可可求求出出機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 21藤蔓課堂例例3 3、00( ).xyxxyeedydyyy xdxdx求求由由方方程程所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)和和解：解：x方方程程兩兩端端同同時(shí)時(shí)對(duì)對(duì)求求導(dǎo)導(dǎo)得得0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy 00,xy又又由由原原方方程程知知時(shí)時(shí)000 yxyxxexyedxdy. 1 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 22藤蔓課堂練習(xí)練習(xí)3 3、1

16、1cos()( ).xyyxydydyyy xdxdx求求由由方方程程確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)和和解：解：x方方程程兩兩端端同同時(shí)時(shí)對(duì)對(duì)求求導(dǎo)導(dǎo)得得1sin()dydyxydxdx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解得解得1sin(),sin()dyxydxxy111101sin()sin()xxyydyxydxxy23藤蔓課堂( ),( )xtyxyt 若若參參數(shù)數(shù)方方程程確確定定與與 間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系( );( )dydytdtdxdxtdt 則則(4) 參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則22()dydd ydxdxdx( )()( )

17、dtdttdxdt機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 24藤蔓課堂例例4 4、解：解：2222( ).ttxed yyf xdxyte設(shè)設(shè)由由參參數(shù)數(shù)方方程程確確定定，求求dtdxdtdydxdy 2322224 (),ttttet ee22()()dydydddtd ydxdxdxdxdx dt34424310 12 ()ttttet ee機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 25藤蔓課堂練習(xí)練習(xí)4 4、解：解：22cos( )sin.xtyf xybtd ydx設(shè)設(shè)由由參參數(shù)數(shù)方方程程確確定定，求求dydy dtdxdx dtcoscot ,s

18、inbtbtt 22()()dydydddtd ydxdxdxdxdx dt23 csccscsinbtbtt機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 26藤蔓課堂觀察函數(shù)觀察函數(shù)32114sin().()xxxxyyxxe和和求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：所屬類型所屬類型: :.)()(的的情情形形數(shù)數(shù)多多個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)相相乘乘和和冪冪指指函函xvxu先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù), 然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出導(dǎo)數(shù)然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出導(dǎo)數(shù).(5) 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 27藤蔓課堂例例5 5、解：解：

19、3211112141314()()()xxxyxexxx等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(lnx等等式式兩兩邊邊同同時(shí)時(shí)對(duì)對(duì) 求求導(dǎo)導(dǎo)得得142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 28藤蔓課堂例例6 6、解：解：.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得xxylnsinln x等等式式兩兩邊邊同同時(shí)時(shí)對(duì)對(duì)求求導(dǎo)導(dǎo)得得xxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinx

20、xxxxx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 29藤蔓課堂練習(xí)題：練習(xí)題：機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 231213141( )log,( ).ln(ln ),.( )( )( ).xaaaf xaxaxfxyxyyf xxyyxf xfxx、設(shè)設(shè)求求、設(shè)設(shè)求求、設(shè)設(shè)由由方方程程確確定定，求求、設(shè)設(shè)，求求30藤蔓課堂1 1、問題的提出、問題的提出: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.20 xa 0 x0 x,00 xxx 變變到到設(shè)設(shè)邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)由由,20 xa 正方形面積正方形面積2020)(xxxa .)

21、(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且為且為的線性函數(shù)的線性函數(shù)ax .,很小時(shí)可忽略很小時(shí)可忽略當(dāng)當(dāng)?shù)母唠A無窮小的高階無窮小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0四、微分四、微分機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 31藤蔓課堂000000000( ),()()()(),( ),( ),(),.x xx xyf xxxxyf xxf xaxoxaxyf xxaxyf xxxdydf xdyax 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在某某區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)有有定定義義及及在在這這區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi) 如如果果成成立立 其其中中 是是與與無無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù) 則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)可可微微 并并且且稱稱為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)相相應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量增增量量的的微微分分 記記作作或或即即.ydy函函數(shù)數(shù)增增量量的的線線微微的的實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì)：性性主主部部分分2、微分的定義、微分的定義機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 32藤蔓課堂3 3、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系0000( )( ),( )|(