振動理論及其運用第6章非線性振動

1、6.1 非線性振動概述非線性振動概述 6.2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法6.3 非線性振動的近似解析方法非線性振動的近似解析方法6.4 非線性振動的數(shù)值分析方法非線性振動的數(shù)值分析方法 6.5 分叉與混沌的概念分叉與混沌的概念6.1 非線性振動概述非線性振動概述非線性特性非線性特性 材料非線性材料非線性振幅過大超出材料線彈振幅過大超出材料線彈性范圍性范圍幾何非線性幾何非線性位移或變形過大使結(jié)構(gòu)幾何位移或變形過大使結(jié)構(gòu)幾何形狀顯著變化形狀顯著變化非線性阻尼非線性阻尼材料內(nèi)摩擦阻尼、流體阻尼等材料內(nèi)摩擦阻尼、流體阻尼等都是非線性阻尼都是非線性阻尼負剛度負阻尼負剛度負阻尼有些情

2、況下會存在負剛度有些情況下會存在負剛度和負阻尼和負阻尼非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng) 當當真實系統(tǒng)彈性元件的力與位移之間的關(guān)系超出線性范圍，或阻尼元件真實系統(tǒng)彈性元件的力與位移之間的關(guān)系超出線性范圍，或阻尼元件的力與運動速度之間的關(guān)系不滿足作線性關(guān)系時，系統(tǒng)的運動微分方程不能的力與運動速度之間的關(guān)系不滿足作線性關(guān)系時，系統(tǒng)的運動微分方程不能用線性微分方程描述，稱系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。當真實系統(tǒng)作小運動時，可忽用線性微分方程描述，稱系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。當真實系統(tǒng)作小運動時，可忽略系統(tǒng)的高階微小量，近似地將系統(tǒng)看作線性系統(tǒng)。略系統(tǒng)的高階微小量，近似地將系統(tǒng)看作線性系統(tǒng)。6.1 非線性振動概述非線性振動概述非線性振

3、動的研究方法非線性振動的研究方法 非線性振動研究的方法有：非線性振動研究的方法有：定性分析定性分析、定量分析定量分析和和數(shù)值分析數(shù)值分析方法。方法。非線性振動研究的內(nèi)容非線性振動研究的內(nèi)容 非線性振動研究的基本內(nèi)容之一就是建立對真實振動系統(tǒng)的計算方法，非線性振動研究的基本內(nèi)容之一就是建立對真實振動系統(tǒng)的計算方法，改進計算精度，探索某些特殊現(xiàn)象的規(guī)律。改進計算精度，探索某些特殊現(xiàn)象的規(guī)律。定性法定性法 研究已知解的領(lǐng)域內(nèi)系統(tǒng)的一般穩(wěn)定性特征，而不是運動的時研究已知解的領(lǐng)域內(nèi)系統(tǒng)的一般穩(wěn)定性特征，而不是運動的時間歷程。通常采用間歷程。通常采用幾何方法幾何方法描述系統(tǒng)的運動特征。描述系統(tǒng)的運動特征。

4、定量法定量法 通過一些漸近的通過一些漸近的解析方法解析方法研究系統(tǒng)運動的時間歷程。研究系統(tǒng)運動的時間歷程。數(shù)值法數(shù)值法 通過通過數(shù)值計算數(shù)值計算方法研究系統(tǒng)非線性振動的規(guī)律和現(xiàn)象。方法研究系統(tǒng)非線性振動的規(guī)律和現(xiàn)象。6.1 非線性振動概述非線性振動概述線性振動線性振動 非線性振動與線性振動的區(qū)別非線性振動與線性振動的區(qū)別非線性振動非線性振動 自由振動頻率與初始條件無關(guān)自由振動頻率與初始條件無關(guān) 自由振動頻率與振幅有關(guān)自由振動頻率與振幅有關(guān) 強迫振動頻率與激勵力頻率相等強迫振動頻率與激勵力頻率相等 強迫振動頻率成分復(fù)雜，有時與激勵頻率強迫振動頻率成分復(fù)雜，有時與激勵頻率不相等的頻率成分突出不相等

5、的頻率成分突出穩(wěn)定平衡位置附近的運動是穩(wěn)定的穩(wěn)定平衡位置附近的運動是穩(wěn)定的 穩(wěn)定平衡位置附近具有多種穩(wěn)定和不穩(wěn)定平衡位置附近具有多種穩(wěn)定和不穩(wěn)定運動穩(wěn)定運動強迫振動中每個激勵頻率有一個強迫振動中每個激勵頻率有一個對應(yīng)的振幅對應(yīng)的振幅 強迫振動中幅頻與相頻曲線發(fā)生彎曲，強迫振動中幅頻與相頻曲線發(fā)生彎曲，產(chǎn)生多值性產(chǎn)生多值性 疊加原理成立疊加原理成立 疊加原理不成立疊加原理不成立6. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 設(shè)設(shè)n自由度系統(tǒng)的運動微分方程為自由度系統(tǒng)的運動微分方程為位形空間位形空間相空間相空間其中，其中， qi是廣義坐標，是廣義坐標，fi是廣義坐標和廣義速度的非線性函

6、數(shù)。是廣義坐標和廣義速度的非線性函數(shù)。 由變量由變量qi規(guī)定的規(guī)定的n維笛卡兒空間稱為位形空間。方程的解維笛卡兒空間稱為位形空間。方程的解qi(t)可用位形空間的可用位形空間的n維維矢量表示。矢量表示。 由變量由變量qi和和 規(guī)定的規(guī)定的2 2n維維空間稱為狀態(tài)空間或相空間?？臻g稱為狀態(tài)空間或相空間。iq 設(shè)設(shè) ， 和和 ， iixq iinxxinixqinixf則矢量則矢量 x 可唯一表示系統(tǒng)在任一時刻可唯一表示系統(tǒng)在任一時刻t的狀態(tài)。的狀態(tài)。)., 2, 1().,.,()(;21;21nitqqqqqqftqnnii 方程可寫為方程可寫為 或或),.,()(221txxxxtxniix

7、x 6. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 自治系統(tǒng)和非自治系統(tǒng)自治系統(tǒng)和非自治系統(tǒng) xi中沒有一個顯含時間中沒有一個顯含時間t 時，系統(tǒng)稱為自治系統(tǒng)，時，系統(tǒng)稱為自治系統(tǒng)， xi中至少有一個顯含時間中至少有一個顯含時間t 時，系統(tǒng)稱為非自治系統(tǒng)。時，系統(tǒng)稱為非自治系統(tǒng)。普通點和奇異點普通點和奇異點 凡是凡是 的點稱為普通點、相點或正則點；而的點稱為普通點、相點或正則點；而x 0 的點稱為奇異點或平衡點。的點稱為奇異點或平衡點。0212tniixxx 從狀態(tài)方程可以看出平衡點的速度與加速度為零。從狀態(tài)方程可以看出平衡點的速度與加速度為零。未擾解和被擾解未擾解和被擾解 xi=

8、 = f fi ( (t ) )為方程的一個已知解，稱為未擾解。研究系統(tǒng)在為方程的一個已知解，稱為未擾解。研究系統(tǒng)在f fi ( (t ) )領(lǐng)域中的運領(lǐng)域中的運動動xi ( (t ) )稱為被擾運動。稱為被擾運動。 特別有意義的兩類未擾解是對應(yīng)于平衡點的特別有意義的兩類未擾解是對應(yīng)于平衡點的常數(shù)解常數(shù)解和對應(yīng)于封閉軌線的和對應(yīng)于封閉軌線的周期周期解解。6. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 lyapunov穩(wěn)定性定義穩(wěn)定性定義穩(wěn)定性的幾何解釋穩(wěn)定性的幾何解釋 設(shè)由設(shè)由 xi 規(guī)定的相空間的原點與平衡點重合，則系統(tǒng)的運動幅度定義為原點到規(guī)定的相空間的原點與平衡點重合，則系統(tǒng)

9、的運動幅度定義為原點到擾動解積分曲線上任何一點的距離：擾動解積分曲線上任何一點的距離：2121212t)(niixxxx0tt 若給定任意小的正數(shù)若給定任意小的正數(shù)e e，存在正數(shù)，存在正數(shù)d d，對于一切，對于一切受擾運動，只要其初始擾動滿足受擾運動，只要其初始擾動滿足 ，對于，對于所有所有的的 均滿足均滿足 ，則稱，則稱平凡解平凡解是穩(wěn)定是穩(wěn)定的。的。 d)(0txe)(tx 若若這個平凡解是這個平凡解是lyapunov穩(wěn)定穩(wěn)定的，而的，而且且 ，則解是漸近穩(wěn)定的。，則解是漸近穩(wěn)定的。0)(limtxt不穩(wěn)定不穩(wěn)定漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定穩(wěn)定穩(wěn)定6. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分

10、析方法 相平面相平面),(),(21222111xxxxxxxx 討論一單自由度自治系統(tǒng)的自由振動，其動力學(xué)方程的一般形式為：討論一單自由度自治系統(tǒng)的自由振動，其動力學(xué)方程的一般形式為： 對于單自由度系統(tǒng)，相空間縮減為對于單自由度系統(tǒng)，相空間縮減為以以x1和和x2為直角坐標為直角坐標系的系的（x1，x2 ）平）平面，稱為系統(tǒng)的面，稱為系統(tǒng)的相平面相平面。),(qqfq 設(shè)設(shè) ， 和和 ， ，上式可以寫為狀態(tài)變量的一上式可以寫為狀態(tài)變量的一階微分方程組：階微分方程組： 2xq 1xq 12xx 2xf 6. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 與系統(tǒng)的運動狀態(tài)一一對與系統(tǒng)的運動

11、狀態(tài)一一對應(yīng)的相平面上的點稱為系統(tǒng)的應(yīng)的相平面上的點稱為系統(tǒng)的相點。相點。相軌跡相軌跡不同初始條件的相軌跡組成不同初始條件的相軌跡組成相軌跡族相軌跡族。 系統(tǒng)的運動過程可用相點在相平系統(tǒng)的運動過程可用相點在相平面上的移動過程來描述。相點移動的面上的移動過程來描述。相點移動的軌跡稱為軌跡稱為相軌跡，或相跡。相軌跡，或相跡。6. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 奇點奇點 相平面內(nèi)能使狀態(tài)方程右端等于零的特殊點稱為相軌跡的相平面內(nèi)能使狀態(tài)方程右端等于零的特殊點稱為相軌跡的奇點奇點。表明。表明系統(tǒng)的速度和加速度均等于零，奇點的物理意義即系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，因此系統(tǒng)的速度和加速度均等于

12、零，奇點的物理意義即系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，因此也可將奇點稱為也可將奇點稱為平衡點平衡點。 對單自由度自治系統(tǒng)的自由振動，狀態(tài)方程對單自由度自治系統(tǒng)的自由振動，狀態(tài)方程為為：),(),(21222111xxxxxxxx相相平面平面上上個別個別的的平衡點平衡點就是就是以以下方程的解下方程的解：0),(, 0),(212211xxxxxx6. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 記系數(shù)矩陣記系數(shù)矩陣 不失一般性，將坐標原點移至奇點處，并將函數(shù)在奇點（不失一般性，將坐標原點移至奇點處，并將函數(shù)在奇點（0 0，0 0）附近展）附近展開為泰勒級數(shù)，得到：開為泰勒級數(shù)，得到：),(),(),()

13、,(212222121212211212111211xxxaxaxxxxxxaxaxxxee222112112121),(),(aaaaxxxxa其中其中)2, 1,(0jixxajxjiji6. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 引入向量引入向量t21),(xxx 設(shè)設(shè)e e1 1和和e e2 2是在原點的領(lǐng)域中小到可以忽略，則可以用下列線性化方程討是在原點的領(lǐng)域中小到可以忽略，則可以用下列線性化方程討論非線性方程在原點附近的穩(wěn)定性：論非線性方程在原點附近的穩(wěn)定性：axx 作作非奇異線性變換非奇異線性變換ubx 則方程可以寫為則方程可以寫為juu abbj1其中其中6.

14、2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 選擇合適的選擇合適的b，可使變換后的矩陣，可使變換后的矩陣j 為為若當標準型若當標準型，可以證明，矩，可以證明，矩陣陣j與矩陣與矩陣a有相同的有相同的特征值特征值。下面討論矩陣下面討論矩陣j 的的特征值與奇點特性的關(guān)系。特征值與奇點特性的關(guān)系。 j 有有不相等不相等的實特征值的實特征值l l1 1和和l l2 2，則有，則有 2100llj線性變換后的方程線性變換后的方程222111uuuull上式的上式的解解為為ttuuuu21ee202101ll解的兩邊分別對時間求導(dǎo)，并消去時間解的兩邊分別對時間求導(dǎo)，并消去時間t，可以得到，可以得到1

15、212dduuuu其中其中12ll6. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 則有則有20221011ln1ln1uuuull20210112lnlnuuuull202101lnlnuuuu202101lnlnuuuu或或設(shè)設(shè) = l l 2 / l l 1 ，則有，則有1011ln1uutlttuuuu21ee202101ll或把解或把解 改寫成改寫成 和和2022ln1uutl或或6. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 相軌跡為指數(shù)曲線族。相軌跡為指數(shù)曲線族。 當當 l l1 100l l2 2 ，即兩個本征值異號時，即兩個本征值異號時， 0 0，即兩個

16、特征值同號時，奇點為即兩個特征值同號時，奇點為結(jié)點結(jié)點。當當 兩個特征值都為負兩個特征值都為負時，當時，當 t 時，所有的軌線趨向于原點，因此，奇點是時，所有的軌線趨向于原點，因此，奇點是穩(wěn)定結(jié)點穩(wěn)定結(jié)點，系統(tǒng)，系統(tǒng)的運動是漸近穩(wěn)定的。而當特征值同為正時，奇點是的運動是漸近穩(wěn)定的。而當特征值同為正時，奇點是不穩(wěn)定結(jié)點不穩(wěn)定結(jié)點。穩(wěn)定結(jié)點穩(wěn)定結(jié)點ttuuuu21ee202101ll6. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 j j 有相同的特征值有相同的特征值l l1 1 = = l l2 2 1100llj一種情況為一種情況為方程可以寫為：方程可以寫為：212111uuuull

17、方程的方程的解解為為ttuuuu11ee202101ll6. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 110202uuuu相軌跡方程相軌跡方程為為ttuuuu11ee202101ll 相軌跡為直線族。相軌跡為直線族。 當當 兩兩個特征值小于零時相跡的方個特征值小于零時相跡的方向指向原點，奇點為向指向原點，奇點為穩(wěn)定節(jié)穩(wěn)定節(jié)點點；當；當 兩個特征值大于零時兩個特征值大于零時相跡的方向遠離原點，奇點相跡的方向遠離原點，奇點為為不穩(wěn)定節(jié)點不穩(wěn)定節(jié)點 。穩(wěn)定結(jié)點穩(wěn)定結(jié)點6. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 j j 有相同的本征值有相同的本征值l l1 1 = = l

18、 l2 2 110llj此時方程可以寫為：此時方程可以寫為：2112111uuuuull此方程的此方程的解解為為tttuuuuu11e)(e10202101ll另一種情況為另一種情況為6. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 上述兩式相除，并消去時間上述兩式相除，并消去時間 t可得可得1011102012lnuuuuuul（ 0 0） 當特征值當特征值l l1 1 0 0 0） 當當l l1 1 0 0 時，奇點是時，奇點是不穩(wěn)定結(jié)點不穩(wěn)定結(jié)點。 6. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 若若j 有共軛復(fù)根有共軛復(fù)根 li2, 1則有則有iij00將直角坐標

19、變換成極坐標將直角坐標變換成極坐標irue1iru e2方程可寫為方程可寫為iireiureiu)()(21因而因而rriiiirirurirueeee21兩邊對時間求導(dǎo)兩邊對時間求導(dǎo)6. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 rr此方程的通解為此方程的通解為terrt00 此時的相軌跡為圍繞奇點的螺旋線，此時的相軌跡為圍繞奇點的螺旋線，奇點為奇點為焦點焦點。 當當 0 0 0 時是時是不穩(wěn)定焦點不穩(wěn)定焦點。 穩(wěn)定焦點穩(wěn)定焦點6. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 當當 0 0 時，相軌跡轉(zhuǎn)化為圓，奇點為中心。時，相軌跡轉(zhuǎn)化為圓，奇點為中心。terrt00中

20、心中心6. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 奇點的分類準則奇點的分類準則 線性變換后的變量線性變換后的變量u與變換前的變量與變換前的變量x是是線性同構(gòu)線性同構(gòu)的，它們的奇點類型也完全的，它們的奇點類型也完全相同。根據(jù)以上分析結(jié)果，奇點的類型取決于相同。根據(jù)以上分析結(jié)果，奇點的類型取決于矩陣矩陣a的特征值的特征值。將。將a的特征方程展的特征方程展開，得到：開，得到： 02qplllia其中其中21122211)det(aaaaqa2211)(traceaapa特征值為特征值為22, 1lp其中其中qp426. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 奇點類型和

21、這兩個參數(shù)的關(guān)系可以歸納如下：奇點類型和這兩個參數(shù)的關(guān)系可以歸納如下： 由上面的分析可以看出，奇點的不同類型由參數(shù)由上面的分析可以看出，奇點的不同類型由參數(shù)p和和 完全確定，只要這兩個完全確定，只要這兩個參數(shù)確定了，則系統(tǒng)奇點的類型就確定。參數(shù)確定了，則系統(tǒng)奇點的類型就確定。不穩(wěn)定焦點穩(wěn)定焦點焦點中心鞍點不穩(wěn)定結(jié)點穩(wěn)定結(jié)點結(jié)點0000000000ppppqppq6. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 參數(shù)平面上的奇點類型參數(shù)平面上的奇點類型22, 1lp6. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 例題例題61判斷單擺的奇點類型判斷單擺的奇點類型 設(shè)單擺相對垂

22、直軸的偏角設(shè)單擺相對垂直軸的偏角 為為廣義坐標廣義坐標，其動力，其動力學(xué)方程為學(xué)方程為 21sinxxlg或或 sinlg ),(),(21222111xxxxxxxx設(shè)設(shè)： 2x1x12xx 方程式可以寫為狀態(tài)變量的一階微分方程方程式可以寫為狀態(tài)變量的一階微分方程組：組： 1221sin xlgxxx6. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 得到得到單擺的奇點為單擺的奇點為.)21, 0(1，jjx其中，其中， 0)/(10lga0sin012xlgx令令： 02x 把原點移至單擺的奇點，則在原點附近線性化的方程為：把原點移至單擺的奇點，則在原點附近線性化的方程為：axx 所以有：所以有：0p)/(lgq)/(4lg222112112121),(),(aaaaxxxxa)2, 1,(0jixxajxjiji6. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 根據(jù)前面的分析，由根據(jù)前面的分析，由p、q和和 來判斷系統(tǒng)的來判斷系統(tǒng)的奇點類型奇點類型:(0, 0)0,(0p)/(lgq)/(4lg6. 2 非線性振動的定性分析方法非線性振動的定性分析方法 單擺的相軌跡圖單擺的相軌跡圖 從單擺相軌圖上可以清楚看到系統(tǒng)從單擺相軌圖上可以清楚看到系統(tǒng)奇點的性質(zhì)。奇點的性質(zhì)。1221sin xlgxxx