銳角三角函數(shù)定義及性質(zhì)

1、我們已經(jīng)知道，如圖：直角三角形abc可以簡(jiǎn)記為rtabc，直角c所對(duì)的邊ab稱為斜邊，用c表示，另兩條直角邊分別叫a的對(duì)邊與鄰邊，用a、b表示.a的對(duì)邊a 腦中有“圖”，心中有“式”bac斜邊ca的鄰邊ba的鄰邊bacba的對(duì)邊a斜邊c知識(shí)點(diǎn)1：直角三角形的認(rèn)識(shí)1：對(duì)于a來說：2：對(duì)于b來說,它們分別是什么？腦中有“圖”，心中有“式”問題1 為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚(yáng)水站，對(duì)坡面的綠地進(jìn)行噴灌現(xiàn)測(cè)得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是30，為使出水口的高度為35m，那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？這個(gè)問題可以歸結(jié)為，在rtabc中，c90，a30，bc35m，

2、求ab的長(zhǎng).abc 思考：你能將實(shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題嗎？情境探究 根據(jù)根據(jù)“在直角三角形中，在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半邊的一半”，即，即abc 在rtabc中，c90，a30，bc35m，求ab的長(zhǎng).21abbc斜邊的對(duì)邊a可得 ab=2bc=70m，即需要準(zhǔn)備70m長(zhǎng)的水管.在上面的問題中，如果使出水口的高度為50m，那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？結(jié)論：在一個(gè)直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么不管三角形的大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比值都等于 .21abc50m30mb c 即在直角三角形中，當(dāng)一個(gè)銳角等于45時(shí)，不管這個(gè)直角三角形的大小如何，這

3、個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于 .22 如圖，任意畫一個(gè)rtabc，使c90，a45，計(jì)算a的對(duì)邊與斜邊的比 ，你能得出什么結(jié)論？abbcabc 綜上可知，在一個(gè)rtabc中，c90， 一般地，當(dāng)a 取其他一定度數(shù)的銳角時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值？21 當(dāng)a30時(shí)，a的對(duì)邊與斜邊的比都等于 ，是一個(gè)固定值；22 當(dāng)a45時(shí)，a的對(duì)邊與斜邊的比都等于 ，也是一個(gè)固定值.任意畫rtabc和rtabc，使得cc90，aa ，那么abbc1111bacb=abca1由于cc90， aa 所以rtabcrta1b1c1所以11cbbc11baab所以abbc1111bacbb1c1 這就是說，

4、在直角三角形中，當(dāng)銳角a的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，a的對(duì)邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值探索駛向勝利的彼岸 如圖，在rtabc中，c90，我們把銳角a的對(duì)邊與斜邊的比叫做a的正弦（sine），記作sina， 即caaa斜邊的對(duì)邊sin例如，當(dāng)a30時(shí)，我們有2130sinsina當(dāng)a45時(shí)，我們有2245sinsinaabccab對(duì)邊斜邊在圖中a的對(duì)邊記作ab的對(duì)邊記作bc的對(duì)邊記作c正弦新知探索:abcabc1.你能將“其他邊之比”用比例的式子表示出來嗎？這樣的比有多少？cbba2.當(dāng)銳角a確定時(shí)，a的鄰邊與斜邊的比， a的對(duì)邊與鄰邊的比也隨之確定嗎？為什么？交流并說出理由.方法一：從特

5、殊到一般，仿照正弦的研究過程；方法二：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)來說明. 如圖，在rtabc中，c90，cbaa斜邊的鄰邊cosabc斜邊c對(duì)邊a鄰邊b我們把銳角a的鄰邊與斜邊的比叫做a的 余弦（cosine），記作cosa， 即我們把銳角a的對(duì)邊與鄰邊的比叫做a的 正切（tangent），記作tana， 即baaaa的鄰邊的對(duì)邊tan駛向勝利的彼岸知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)2：銳角三角函數(shù)定義：銳角三角函數(shù)定義sinaaac的 對(duì) 邊斜 邊cosabac的鄰邊斜邊tanaaaab的對(duì)邊=的鄰邊1、a的對(duì)邊與斜邊的比值叫做a的正弦，記作sina, 即2、a的鄰邊與斜邊的比值叫做a的余弦，記作cosa, 即3、a的

6、對(duì)邊與鄰邊的比值叫做a的正切，記作tana,即4、a的鄰邊與對(duì)邊的比值叫做a的余切，記作cota, 即cotabaaa的鄰邊的對(duì)邊斜邊對(duì)邊正弦斜邊鄰邊余弦鄰邊對(duì)邊正切對(duì)邊鄰邊余切銳角a的正弦、余弦、正切、余切叫做銳角a三角函數(shù)簡(jiǎn)記：重要提示：三角函數(shù)只與角度的大小有關(guān)，與邊的長(zhǎng)短無關(guān)。銳角三角函數(shù)定義w正弦,余弦,正切,余切: 回顧與思考駛向勝利的彼岸babcac,sincaa ,coscba ,tanbaa .cotaba ,sincbb ,coscab ,tanabb .cotbab 三角函數(shù)的應(yīng)用例1如圖所示，求出a的四個(gè)三角函數(shù)。abc158解：ac=222215828917bcacs

7、ina=817bcaccosa=517acabtana=81 5b ca ccota=158acbc提示：已知直角三角形任意兩邊可以求出兩銳角的四個(gè)三角函數(shù)值。課本p90頁例題跟進(jìn)訓(xùn)練 求出圖中d的四個(gè)三角函數(shù)值cde106解：ce=22221068cddesind=cosd=tand=cotd=84105cecd63105decd8463cede6384d ec eabc6.34tan54cos, 8610.10356sinsin2222bcacbabacabcabacabcababbca，又，解： 例1 如圖，在rtabc中，c90，bc=6， ，求cosa和tanb的值53sinaabc

8、6.34tan54cos, 8610.10356sinsin2222bcacbabacabcabacabcababbca，又，解： 練習(xí)： 如圖，在rtabc中，c90，bc=6， ，求cosa和tanb的值53sina練一練1.判斷對(duì)錯(cuò):a10m6mbc1) 如圖(1) sina= （ ） (2) cosb= （ ） (3) sina=0.6m （ ） (4) sinb=4/5 （ ）abbcbcabsina是一個(gè)比值（注意比的順序），無單位；2)如圖，cosb= （ ） bcab2.在rtabc中，銳角a的對(duì)邊和斜邊同時(shí)擴(kuò)大 100倍，sina的值（ ） a.擴(kuò)大100倍 b.縮小 c.不

9、變 d.不能確定c1100練一練3.如圖acb37300則 sina=_cosa=_ .1222例例2. 已知已知abc中，中，acb=90acb=90。，bc:ac=3bc:ac=3：4 4，求，求a的四個(gè)三角函數(shù)值的四個(gè)三角函數(shù)值.45例3如圖所示，在abc中，ab=ac=13,cosb=則bc=_。5,1 3abcd分析：三角函數(shù)是在直角三角形中，而題中沒有直角三角形，所以，需要作輔助線，將b放入一個(gè)直角三角形中。cosb=b da bb da b51 3bd=5,bc=2bd=1010如圖，在abc中， ab=cb=5，sina= ，求abc 的面積.54bac55知識(shí)點(diǎn)3：三角函數(shù)的

10、性質(zhì)1：取值范圍：acb0sina10cosa1tana0cota0,sincaa ,coscba ,tanbaa .cotaba abcac,bc,且a、b、c都大于001,0,0aabcba 2.互余兩角之間的三角函數(shù)關(guān)系互余兩角之間的三角函數(shù)關(guān)系:w直角三角形兩銳角互余:a+b=900. 則b=90- ababcac則 sina=cosb或cosa=sinb.,sincaa,coscba,tanbaa.cotaba,sincbb ,coscab ,tanabb .cotbab tana=cotb或cota=tanb.sina=cos（90-a） 或cosa=sin （90-a）. tan

11、a=cot （90-a）或cota=tan （90-a）.一個(gè)角的正弦等于它的余角的余弦；一個(gè)角的余弦等于它的余角的正弦；一個(gè)角的正切等于它的余角的余切；一個(gè)角的余切等于它的余角的正切。3.3.同角之間的三角函數(shù)的關(guān)系同角之間的三角函數(shù)的關(guān)系(1)平方和關(guān)系:babcac. 1cossin22aa.cos1sin22aa.cos1sin2aa或.sin1cos22aa.sin1cos2aa或(2)商的關(guān)系:.sincoscot,cossintanaaaaaa(3)倒數(shù)關(guān)系:. 1cottanaa.cot1tanaa.tan1cotaa例3已知sina= ，求a的其他三個(gè)三角函數(shù)值13解：cosa=2212 21 sin133atana=sin12 212cos3342 2aacota=124122tan42asina=a:c, 可設(shè)a=k,c=3k,由勾股定理可求出b,然后根據(jù)定義求出其他三個(gè)三角函數(shù)值可跟進(jìn)訓(xùn)練4cos5已 知， 求 出的 其 他 三 個(gè) 三 角 函 數(shù) 值sin解：22431 cos155 sin343tancos55414cottan3拓展訓(xùn)練5tan,12已知求 的其他三個(gè)三角函數(shù)值cot解：112tan5sintancossin5cos12可設(shè)_=5k,_12ksincos又