函數(shù)極值求法論文

1、分類號(hào) o174 編 號(hào) 2012010152 畢業(yè)論文題 目 函數(shù)極值求法及其在應(yīng)用問(wèn)題 學(xué) 院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 姓 名 馬富榮 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號(hào) 281010152 研究類型 研究綜述 指導(dǎo)教師 楊鐘玄 提交日期 2012年5月 原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明:本人所呈交的論文是在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的成果.學(xué)位論文中凡是引用他人已經(jīng)發(fā)表或未經(jīng)發(fā)表的成果、數(shù)據(jù)、觀點(diǎn)等均已明確注明出處.除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外,不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過(guò)的科研成果.本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān).論文作者簽名: 年 月 日 論文指導(dǎo)教師簽名:函數(shù)極值求法及其應(yīng)用馬富榮（天水師

2、范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 甘肅 天水 741000）摘 要:函數(shù)極值是函數(shù)性態(tài)的一個(gè)重要內(nèi)容,在許多數(shù)學(xué)問(wèn)題中都有應(yīng)用.為此,本文不僅論述了一元函數(shù)和多元函數(shù)極值的求法及其應(yīng)用,而且對(duì)泛函極值的求法做了簡(jiǎn)單的探討,并給出了相關(guān)的應(yīng)用.關(guān)鍵詞: 函數(shù)極值; 條件極值; 泛函極值; 應(yīng)用the function extreme value method and its applicationma furong(school of mathematics and statistics tianshui normal university,tianshui 741001,china)abstract:

3、the function extreme value function nature form is an important content of the state, in many math problems have applications. for this reason, this paper not only discusses the function and multiple function the extreme value of the method and its application, and the method of functional extreme v

4、alue to a simple discussion, and give the relevant application. key words: the function extreme value, conditional extreme, functional extreme ,application目 錄引言11.一元函數(shù)的極值1 1.1一元函數(shù)的極值第一充分條件1 1.2一元函數(shù)的極值第二充分條件2 1.3一元函數(shù)的極值第三充分條件22.多元函數(shù)的極值3 2.1.二元函數(shù)極值3 2.1.1二元函數(shù)取極值的充分條件4 2.2 元函數(shù)極值5 2.2.1.利用二次型求多元函數(shù)極值5 2.

5、2.2.利用梯度及內(nèi)積計(jì)算多元函數(shù)的極值6 2.2.3利用方向?qū)?shù)判斷多元函數(shù)的極值7 2.3函數(shù)極值的應(yīng)用(用極值的方法證明不等式)83.條件極值9 3.1條件極值的解法93.2利用條件極值證明不等式124.泛函極值及其應(yīng)用13 4.1泛函的定義13 4.2相對(duì)極值13 4.2.1絕對(duì)極值與相對(duì)極值的定義13 4.2.2相對(duì)極值的必要條件13 4.3 泛函極值的應(yīng)用15 4.3.1 最小旋轉(zhuǎn)面問(wèn)題15 4.3.2最速降線問(wèn)題 16結(jié)束語(yǔ)17參考文獻(xiàn)18致謝19數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文函數(shù)極值求法及其應(yīng)用馬富榮（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 甘肅 天水 741000）摘 要:函數(shù)極值是

6、函數(shù)性態(tài)的一個(gè)重要內(nèi)容,在許多數(shù)學(xué)問(wèn)題中都有應(yīng)用.為此,本文不僅論述了一元函數(shù)和多元函數(shù)極值的求法及其應(yīng)用問(wèn)題,而且對(duì)泛函極值的求法做了簡(jiǎn)單的探討,并給出了相關(guān)的應(yīng)用.關(guān)鍵詞: 函數(shù)極值; 條件極值; 泛函極值; 應(yīng)用引言 函數(shù)的極值問(wèn)題是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容.在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中起著橋梁的作用,也是研究函數(shù)變化形態(tài)的紐帶,在微積分學(xué)中占有很重要的地位.在各類大型考試中,極值也是重要的考點(diǎn),常以該知識(shí)點(diǎn)的證明及應(yīng)用出現(xiàn).函數(shù)極值問(wèn)題也是培養(yǎng)發(fā)散思維與創(chuàng)新性思維的重要手段之一,能有效提高解題和應(yīng)用能力.鑒于其解法較為靈活、綜合性強(qiáng)、能力要求高.故在解決這類問(wèn)題時(shí),要求掌握很多數(shù)學(xué)知識(shí),綜合應(yīng)用各種數(shù)

7、學(xué)技能,靈活選擇合理的解題方法.1一元函數(shù)的極值定義 設(shè)函數(shù)在的某領(lǐng)域u（）內(nèi)有定義.如果對(duì)于取心鄰域u（）內(nèi)的任,有或.那么就稱是函數(shù)的一個(gè)極大值或極小值.(將改為<或?qū)⒏臑?gt;,則稱為嚴(yán)格極大值或嚴(yán)格極小值).1.1一元函數(shù)的極值第一充分條件設(shè)函數(shù)在處連續(xù)且在的某去心鄰域u（）內(nèi)可導(dǎo).（1）若(, )時(shí), >0,而(,)時(shí), <0,則在處極大.（2）若x(,)時(shí), <0,而x(,)時(shí), >0,則在處極小.（3）若u(,)時(shí),符號(hào)保持不變,則在處沒有極值.例1 求=的極值.解 先求導(dǎo)數(shù) 再求出駐點(diǎn):當(dāng)時(shí),.判斷函數(shù)的極值如下表所示:x+00+0+極大極小無(wú)所

8、以在x=-2時(shí)取極大值,在時(shí)取極小值.1.2一元函數(shù)的極值第二充分條件設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有二階導(dǎo)數(shù),且=0,0.則:（1）當(dāng)<0,函數(shù)在點(diǎn)取極大值.（2）當(dāng) >0,函數(shù)在點(diǎn)取極小值.（3）當(dāng)=0,其情形不一定.例2. 求函數(shù)的極值.解 由得的駐點(diǎn)為.=,所以在處取得極小值,在處由第二充分條件無(wú)法判定,由第一充分條件得:在處都沒有極值.1.3一元函數(shù)的極值第三充分條件設(shè)任意函數(shù)在有階導(dǎo)數(shù),且直到導(dǎo)數(shù)都為零,而階導(dǎo)數(shù)不為零.（1）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)在取極值,當(dāng) ()<0時(shí)取極大值,()>0時(shí)取極小值. （2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)在點(diǎn)不取得極值.上面給出了求函數(shù)極值的3種充分條件,第1充分條件適合于

9、所有的連續(xù)函數(shù),第3充分條件也就是第2充分條件的特殊情況,每種求極值的充分條件的方法和步驟都是一樣的.結(jié)論 一元函數(shù)求極值的方法步驟（1）求可疑點(diǎn),可以點(diǎn)包括:（）穩(wěn)定點(diǎn)（亦稱為駐點(diǎn)或逗留點(diǎn),皆指一階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)）;（）導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn);（）區(qū)間端點(diǎn).（2）對(duì)可疑點(diǎn)進(jìn)行判斷,其方法是:（）直接利用定義判斷;（）利用實(shí)際背景來(lái)判斷;（）查看一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào),當(dāng)從左向右穿越可疑點(diǎn)時(shí),若的符號(hào):a.由“正”變?yōu)椤柏?fù)”,則為嚴(yán)格極大值;b.由“負(fù)”變?yōu)椤罢?則為嚴(yán)格極小值;c.不變號(hào),則不是極值. ()若=0, （）若為偶數(shù),則為極值:若為奇數(shù),則不是極值.2.多元函數(shù)的極值2.1 二元函數(shù)極值在現(xiàn)實(shí)

10、的社會(huì)研究中,關(guān)系到二元函數(shù)極值的問(wèn)題更為廣泛,他與踐聯(lián)系的更緊密,所以研究二元函數(shù)的極值意義是重大的.定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義,對(duì)于該領(lǐng)域內(nèi)異于的點(diǎn);如果適合不等式<,則稱函數(shù)在點(diǎn)有極大值;如果都適合不等式 <則稱函數(shù)在點(diǎn)有極小值.2.1.1二元函數(shù)取極值的充分條件若函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且=0,=0.令,則: （1）當(dāng)時(shí),有極值.時(shí)取極大值,時(shí)取極小值.（2）當(dāng)時(shí),沒有極值. （3）當(dāng)時(shí),不能確定.例4. 求的極值.解 設(shè),則,解方程組 得駐點(diǎn): .對(duì)于駐點(diǎn)有,故 .因此 在點(diǎn)取得極小值.對(duì)于駐點(diǎn),有,.故 .因此 在點(diǎn)不取得極值.2.2 元函數(shù)

11、極值2.2.1利用二次型求多元函數(shù)極值定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有連續(xù)的二階偏導(dǎo),稱矩陣 為函數(shù)在點(diǎn)的海瑟矩陣.定理 1 ( 充分條件) 如果函數(shù), e, 在駐點(diǎn)的某鄰域u() 內(nèi), 具有hesse矩陣a, 則( 1) 若a為正定(或半正定) 矩陣時(shí), 在點(diǎn)取嚴(yán)格極大(或極大) 值;( 2) 若a為負(fù)定(或半負(fù)定) 矩陣時(shí), 在點(diǎn) 取極小(或極小) 值;( 3) 若a為非定號(hào)陣, 在點(diǎn)不取極值.求函數(shù) 的極值時(shí), 應(yīng)首先求出駐點(diǎn)或偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn), 然后對(duì)所有可能的極值點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn), 確定函數(shù)的極值點(diǎn)并求出函數(shù)極值. 總結(jié) 利用二次型求n元函數(shù)極值的方法步驟第一步: 求出函數(shù)可能的極值點(diǎn).首先, 求出函數(shù)

12、的駐點(diǎn), 根據(jù)極值存在的必要條件, 解方程組 ,方程組的解即為駐點(diǎn).再考慮一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).第二步: 對(duì)每一個(gè)可能的極值點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn). 根據(jù)極值存在的充分條件, 首先, 計(jì)算在點(diǎn)的hesse矩陣,.再根據(jù)定理1判定 是否為極值點(diǎn)并求出極值.例5. 求函數(shù)的極值.解 在二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)且可微,先求穩(wěn)定點(diǎn),令求得穩(wěn)定點(diǎn)為 和.二階偏導(dǎo)數(shù)為 ,.在點(diǎn)為正定矩陣,所以在處有極小值;在點(diǎn)為負(fù)定矩陣,所以在處有極大值;在點(diǎn)和處,為不定矩陣,所以它們都不是極值點(diǎn).2.2.2 利用梯度及內(nèi)積計(jì)算多元函數(shù)的極值定義 若在點(diǎn)存在對(duì)所有自變量的偏導(dǎo)數(shù),則稱向量為函數(shù)在的梯度,記作.引理1 設(shè)在點(diǎn)連續(xù),在內(nèi)可微,（）

13、若,有,則在點(diǎn)取極大值;（）若,有,則在點(diǎn)取極小值;對(duì)于有些多元函數(shù)我們也可以利用梯度及內(nèi)積的方法求極值. 現(xiàn)將上述引理推廣到多元函數(shù)的情況并舉例說(shuō)明. 定理2 設(shè)多元函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),在內(nèi)可微, （）,有,則在點(diǎn)取得極大值; （）,則在點(diǎn)取得極小值. 由于極值只可能在穩(wěn)定點(diǎn)或偏導(dǎo)數(shù)至少有一個(gè)不存在的點(diǎn)處取得,因此,定理2可對(duì)這樣的兩類點(diǎn)使用.例6. 求的極值.解:令 解得對(duì)點(diǎn)有 所以時(shí),達(dá)到極小值.2.2.3 利用方向?qū)?shù)判斷多元函數(shù)的極值定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義,令若存在,稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù),記作. 引理2 設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù),在內(nèi)可微, ,用表示方向. （）

14、若>0,則在點(diǎn)取得極大值; （）若<0,則在點(diǎn)取得極小值. 與二元函數(shù)相類似,多元函數(shù)也可以利用方向?qū)?shù)來(lái)判斷極大值和極小值.現(xiàn)將上述引理推廣到多元函數(shù)的情況并舉例說(shuō)明.定理3 設(shè)多元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù),在內(nèi)可微, ,用表示方向. （）若>0,則在點(diǎn)取得極大值; （）若<0,則在點(diǎn)取得極小值. 推論 設(shè)多元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù),在內(nèi)可微, ,用表示方向.（）若則在點(diǎn)取得極大值;（）若則在點(diǎn)取得極小值.例7. 討論三元函數(shù)的極值. 解 先求三個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)令它們?yōu)?.即 求得穩(wěn)定點(diǎn)為.因?yàn)?由推論知在點(diǎn)處得極小值.|2.3 函數(shù)極值的應(yīng)用(用極值的方法證明不等式)要證

15、明,只要求函數(shù)的極值,證明 .這是證明不等式的基本方法.例11. 設(shè)2-1 為任意常數(shù),試證:證明 問(wèn)題是證明:,因?yàn)樗灾灰C明 令,得到唯一的穩(wěn)定點(diǎn)=2,當(dāng)2時(shí),當(dāng)2時(shí),所以（2）=2-22+2=2（1-2）+2.3.條件極值3.1條件極值的解法在高等數(shù)學(xué)教材中,確定函數(shù),在條件之下的條件極值問(wèn)題,通常應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法,可把以上條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù) 的無(wú)條件極值問(wèn)題.由極值的必要條件知,需求解如下的方程組: （1）一般教科書及參考教材的處理方法為兩種:一種是直接由方程組（1）解出駐點(diǎn)即在方程組（1）中,把當(dāng)成未知量進(jìn)行求解;另一種方法是從方程組（1）中消去參數(shù)及,僅對(duì)未知量求解.由于

16、需要消去兩個(gè)參數(shù),故以上兩種辦法的難易程度相當(dāng).方程組（1）是含有五個(gè)未知量的方程組,未知量的個(gè)數(shù)相對(duì)較多,以上兩種方法求解均很不方便,尤其對(duì)于稍微復(fù)雜的函數(shù),直接求解相當(dāng)困難甚至是不可能的,為了簡(jiǎn)化計(jì)算,我們可以設(shè)計(jì)以下兩種新的處理方法.（1）不考慮參數(shù),僅求方程組（1）關(guān)于的解,這樣可以把方程的個(gè)數(shù)減少到三個(gè),這里給出以下的結(jié)果:如果是方程組（1）的解,則是方程組 （2）的解.例1. 求解 故方程組（2）為 （3）由方程組（3）的第一個(gè)方程可得:由由由而|=|=|=, |=|=|=故（2）可根據(jù)題設(shè)條件,把方程組（1）化為僅對(duì)參數(shù)求解,而不考慮 這種解法常用于方程中含有字母常數(shù)的情況,可看

17、以下的例子.例8. 求函數(shù)在條件下的極值.解:令對(duì)關(guān)于求導(dǎo)可得方程組得將分別代入式,有 （4）再,注意到可得: (>0)于是求的條件極值轉(zhuǎn)化為求在方程組（4）及題設(shè)條件下的極值.由條件故方程組（4）關(guān)于有非零解,可得其系數(shù)行列式為零,即有展開化簡(jiǎn)可得 (5)是方程(7)的零解,由于 (>0),故應(yīng)舍去,由此可得即滿足二次方程 此方程有兩個(gè)正根, 設(shè)可得. 3.2利用條件極值證明不等式若求得在條件之下的最大值為,那么我們就獲得了不等式.例12. 求時(shí),函數(shù)+2+3在球面上的極大值,證明為整實(shí)數(shù)時(shí),.證明 設(shè)令解得因?yàn)樵谇蛎嫖挥诘谝回韵薜牟糠稚线B續(xù),在這部分的邊界線上, 分別為零. +

18、2+3為負(fù)無(wú)窮大,故的最大值只能在這部分內(nèi)達(dá)到,而是唯一的可疑點(diǎn),所以的最大值為 于是,故兩邊同時(shí)平方,并用代入得: 4.泛函極值及其應(yīng)用4.1泛函的定義 設(shè)是給定的某一類函數(shù),如果對(duì)這類函數(shù)中每一個(gè)函數(shù)都有一個(gè)函數(shù)值與之相對(duì)應(yīng),則稱是這類函數(shù)的泛函.4.2 相對(duì)極值4.2.1相對(duì)極值的定義 設(shè)屬于某個(gè)可取函數(shù)類,是類中任意函數(shù), 如果某個(gè)函數(shù)限于的某一領(lǐng)域,且使得泛函(或),這種極值稱為相對(duì)極小值(或相對(duì)極小值).使泛函取得極值或穩(wěn)定值的函數(shù)或曲線叫做極端函數(shù).4.2.2相對(duì)極值的必要條件定理4 若果泛函在上實(shí)現(xiàn)相對(duì)極值,則泛函在上的變分(這里可以是單變量,也可以是多變量).證明 根據(jù)泛函極

19、值的定義,如果在上實(shí)現(xiàn)相對(duì)極值,則存在的一個(gè)領(lǐng)域,對(duì)于該領(lǐng)域內(nèi)的任一函數(shù),必然使得泛函增量不變號(hào).又由于當(dāng)充分光滑時(shí),上式可展成 =,式中,.如果令,式中是任意選定的函數(shù),是一個(gè)實(shí)參數(shù)(一般取很小的值,例如可設(shè)).則由于和是確定的了,所以實(shí)際是數(shù)值變量的普通函數(shù),將按展開得:其中,如果,則可把取得充分小,使的符號(hào)與的相同,然后改變的正負(fù)號(hào).這樣一來(lái),就不可能在上取的相對(duì)極值了,與已知矛盾,故必須,即.定理5 如果泛函的定義域中每一元素都是一條光滑曲線,且滿足邊界條件:在曲線達(dá)到極值,則必為微分方程的解.例13. 求泛函的極值曲線.解 因?yàn)樗臍W拉方程為,于是有 如果令,則有又因,所以積分之,則

20、得.這就是說(shuō),泛函的極值曲線是一簇中心在縱坐標(biāo)軸上的圓.4.3泛函極值的應(yīng)用4.3.1最小旋轉(zhuǎn)面問(wèn)題例14. 在以點(diǎn),點(diǎn)(設(shè))為端點(diǎn)的所有光滑曲線中,求一曲線使它繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí)所的旋轉(zhuǎn)曲面的面積最小.以表示任一可取曲線,于是繞軸所得旋轉(zhuǎn)面面積 .因中不顯含,其歐拉方程降階后如下化減后,得到現(xiàn)在令,則,因?yàn)?所以從而 于是所求的極值曲線的參數(shù)方程為 消去參數(shù),得這是一條懸鏈線,式中的常數(shù)、由端點(diǎn)條件確定.4.3.2最速降線問(wèn)題在豎直平面上將給定兩點(diǎn)和用一條光滑的金屬線相連,一質(zhì)量為質(zhì)點(diǎn)以初速度由點(diǎn)沿金屬線滑動(dòng),問(wèn)金屬線為何種形狀時(shí),質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)所需的時(shí)間最少？ 解 現(xiàn)在建立這個(gè)數(shù)學(xué)模型,取為平面直角坐

21、標(biāo)系的原點(diǎn),軸置與水平位置,軸正向朝下.顯然,最速降限應(yīng)在這個(gè)平面內(nèi).于是點(diǎn)的坐標(biāo)就是.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.取連接和的曲線方程為 它在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)滿足條件 則有能量守恒定理得 設(shè)為曲線的運(yùn)動(dòng)方程,指點(diǎn)沿著該曲線有點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),指點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度表示為 由式消去并積分,得質(zhì)點(diǎn)由運(yùn)動(dòng)到所需的時(shí)間為顯然, 是依賴于函數(shù)的函數(shù), 取不同的函數(shù), 也就有不同的值與之對(duì)應(yīng).這樣,最速降線問(wèn)題在數(shù)學(xué)上就歸結(jié)為在滿足條件的所有函數(shù)中,求使得積分公式取最小值的函數(shù).上述問(wèn)題實(shí)際是求泛函滿足邊界條件的極值曲線,因?yàn)椴缓?所以歐拉方程首次積分為令,將上式化簡(jiǎn),得 令,則方程化為又因積分,得 由邊界條件,得.令則得到最速降限問(wèn)題的解為上述方程是擺線(也稱旋輪線)的參數(shù)方程,其中是由邊界條件來(lái)確定的.因此曲線是以半徑為的圓沿軸滾動(dòng)時(shí)圓周上的一點(diǎn)所描述的曲線中的一段.結(jié)束語(yǔ)本文不僅給出了一元、多元函數(shù)極值及條件極值的求法和在不等式證明中的應(yīng)用.此外還給出了泛函極值的定義及在求最小旋轉(zhuǎn)曲面和最速降限問(wèn)題中的應(yīng)用.本文有利于初學(xué)者對(duì)函數(shù)極值的研究學(xué)習(xí).泛函極值的應(yīng)用非常廣泛,但判斷是