球的內(nèi)切與外接問題

1、a1球a2球的體積、表面積公式：球的體積、表面積公式：23434RSRV a34.4.若兩球體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比是，則其表面積之比是_. .練習(xí)練習(xí)2422:134:11.若球的表面積變?yōu)樵瓉淼娜羟虻谋砻娣e變?yōu)樵瓉淼?倍倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼膭t半徑變?yōu)樵瓉淼腳倍倍.2.若球半徑變?yōu)樵瓉淼娜羟虬霃阶優(yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼谋?，則表面積變?yōu)樵瓉淼腳倍倍.3.若兩球表面積之比為若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是，則其體積之比是_.a4如圖如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑的直徑,求證求證:(1)球的表面積等于圓柱的側(cè)球的表面

2、積等于圓柱的側(cè)面積面積.(2)球的體積等于圓柱體積的三分之球的體積等于圓柱體積的三分之二二.O Oa5 用一個平面去截一個球用一個平面去截一個球O，截面是圓面，截面是圓面222dRrrdRO 球的截面的性質(zhì)：球的截面的性質(zhì)：1、球心和截面圓心的連線垂直于截面、球心和截面圓心的連線垂直于截面2、球心到截面的距離為、球心到截面的距離為d，球的半徑，球的半徑為為R，則，則截面問題截面問題a6.34R .96491644S2 R,)332()2R(R222 OABCO ,222AOOOOAAOORt 中中解解：在在 ;81256)34(343433 RV例例.已知過球面上三點(diǎn)已知過球面上三點(diǎn)A、B、C

3、的截面到球心的截面到球心O的距離等的距離等于球半徑的一半，且于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的體積，求球的體積，表面積表面積a7球與多面體的接、切球與多面體的接、切定義定義1：若一個多面體的：若一個多面體的各頂點(diǎn)各頂點(diǎn)都在一個球的球面上都在一個球的球面上， 則稱這個多面體是這個球的則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體內(nèi)接多面體， 這個球是這個多面體的這個球是這個多面體的外接球外接球。定義定義2：若一個多面體的：若一個多面體的各面各面都與一個球的球面相切都與一個球的球面相切， 則稱這個多面體是這個球的則稱這個多面體是這個球的外切多面體外切多面體， 這個球是這個多面體的這個球是這個多面

4、體的內(nèi)切球內(nèi)切球。棱切：棱切：一個幾何體各個面分別與另一個幾何體各條棱相切。一個幾何體各個面分別與另一個幾何體各條棱相切。內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等a8正方體的內(nèi)切球正方體的內(nèi)切球a9正方體的正方體的內(nèi)切球內(nèi)切球的半徑是棱長的一半的半徑是棱長的一半中截面中截面切點(diǎn)：切點(diǎn)：各個面的中心。各個面的中心。球心：正方體的中心。球心：正方體的中心。a10正方體的外接球正方體的外接球a11正方體的正方體的外接球外接球半徑是體對半徑是體對角線的一半角線的一半A AB BC CD DD D1

5、1C C1 1B B1 1A A1 1O OA1AC1CO對角面對角面a12正方體的棱切球正方體的棱切球a13a14切點(diǎn)：切點(diǎn)：各棱的中點(diǎn)。各棱的中點(diǎn)。球心：正方體的中心球心：正方體的中心。a15ABCDD1C1B1A1O中截面中截面.正方體的棱切球正方體的棱切球正方體的正方體的棱切球棱切球半徑是面對角半徑是面對角線長的一半線長的一半a16.a17：有三個球：有三個球,一球切于正方體的各一球切于正方體的各面面,一球切于正方體的各側(cè)棱一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過一球過正方體的各頂點(diǎn)正方體的各頂點(diǎn),求這三個球的體積求這三個球的體積之比之比.33:22:1a181、求正方體的外接球的有關(guān)問題、求正

6、方體的外接球的有關(guān)問題例例1、若棱長為、若棱長為3的正方體的頂點(diǎn)都在同的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為一球面上，則該球的表面積為 .27)233(4,2332表解：SR4 3a192長方體與球長方體與球長方體的外接球長方體的外接球長方體的（體）對角線等于球直徑長方體的（體）對角線等于球直徑Rcbalcba2222，則、分別為設(shè)長方體的長、寬、高a20 一般的長方體有內(nèi)切球嗎？一般的長方體有內(nèi)切球嗎？沒有。沒有。一個球在長方體內(nèi)部，最多一個球在長方體內(nèi)部，最多可以和該長方體的可以和該長方體的5個面相切。個面相切。如果一個長方體有內(nèi)切球，如果一個長方體有內(nèi)切球， 那么它一定是那么它一

7、定是正方體正方體？a212、求求長長方方體體的的例例2、一個長方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且、一個長方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個頂點(diǎn)上的三條棱長分別為一個頂點(diǎn)上的三條棱長分別為1,2,3 ，則此球，則此球的表面積為的表面積為 .解析：關(guān)鍵是求出球的半徑，因為長方體內(nèi)接于解析：關(guān)鍵是求出球的半徑，因為長方體內(nèi)接于球，所以它的體對角線正好為球的直徑。長方體球，所以它的體對角線正好為球的直徑。長方體體對角線長為體對角線長為 ，故球的表面積為，故球的表面積為 .1414變式題：已知各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱柱變式題：已知各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱柱高為高為4，體積為，體積為16，則這個球的表

8、面積為（，則這個球的表面積為（ ）A. B. C. D. 16202432Ca22如何求如何求直棱柱的外接球直棱柱的外接球半徑呢？（底面有半徑呢？（底面有外接圓的直棱柱才有外接球）外接圓的直棱柱才有外接球）（1）先找外接球的球心：）先找外接球的球心：它的球心是連接上下兩個多邊形的它的球心是連接上下兩個多邊形的外心外心的的線段的中點(diǎn)；線段的中點(diǎn)；（2） 再構(gòu)造直角三角形，勾股定理求再構(gòu)造直角三角形，勾股定理求 解。解。a23a24正四面體與球正四面體與球1.求棱長為求棱長為a的正四面體的外接球的半徑的正四面體的外接球的半徑R. 226.4Ra將正四面體放到正方體中，得正方體的棱長為a,且正四面體

9、的外接球即正方體的外接球，所以 a252.求棱長為求棱長為a的正四面體的棱切球的半徑的正四面體的棱切球的半徑R. 24Ra正四面體的外接球和棱切球的球心重合。正四面體的外接球和棱切球的球心重合。a263.求棱長為求棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑的正四面體的內(nèi)切球的半徑r. rShSV全面積底面積3131ar126 Sh Sr 底面積全面積14SrSh底面積全面積14rh正四面體的外接球和內(nèi)切球的球心為什么重合？正四面體的外接球和內(nèi)切球的球心為什么重合？63haa27a28正四面體的外接球和內(nèi)切球的球心一定重合正四面體的外接球和內(nèi)切球的球心一定重合R:r=3:1ar126 64Ra24Raa2

10、9正四面體的內(nèi)切球正四面體的內(nèi)切球, 棱切棱切球球, ,外接球外接球三個球心合一三個球心合一3:1:33半徑之比為：半徑之比為：1:2 :3a30a31PABCR.正四面體的外接球還正四面體的外接球還可利用直角三角形勾可利用直角三角形勾股定理來求股定理來求DOBDA1OMRa32OPABCDKH.正四面體的內(nèi)切球正四面體的內(nèi)切球還可利用截面三角還可利用截面三角形來求形來求O1ABEO 132Fa33求棱錐外接球半徑常見的補(bǔ)形有：求棱錐外接球半徑常見的補(bǔ)形有：正四面體常補(bǔ)成正方體；正四面體常補(bǔ)成正方體；三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐常補(bǔ)成長（正）方體；三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐常補(bǔ)成長（正）方體；三組對

11、棱（兩條棱所在任意平面都不平行）分別相三組對棱（兩條棱所在任意平面都不平行）分別相等的三棱錐可補(bǔ)成長（正）方體；等的三棱錐可補(bǔ)成長（正）方體；側(cè)棱垂直底面的棱錐可補(bǔ)成直棱柱側(cè)棱垂直底面的棱錐可補(bǔ)成直棱柱總結(jié)總結(jié)SA=BCSC=ABSB=ACa34小結(jié)小結(jié)2 求棱錐外接球半徑的方法：求棱錐外接球半徑的方法：（1）補(bǔ)形法（適用特殊棱錐）補(bǔ)形法（適用特殊棱錐）（2）勾股定理法）勾股定理法 （通法）（通法） 關(guān)鍵是關(guān)鍵是找球心找球心，畫出截面圖，構(gòu)造與，畫出截面圖，構(gòu)造與R有關(guān)有關(guān)的直角三角形。的直角三角形。a35已知長方體的長、寬、高分別是已知長方體的長、寬、高分別是 、 、1 ，求長方體的外接球的

12、體積。求長方體的外接球的體積。35變題：變題：2. 已知球已知球O的表面上的表面上有有P、A、B、C四點(diǎn)，四點(diǎn)，且且PA、PB、PC兩兩兩兩互相垂直，若互相垂直，若PA=PB=PC=a，求這，求這個球的表面積和體積。個球的表面積和體積。ACBPO Oa361、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合2、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合3、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法a37a38【典例典例】(2012(2012新課標(biāo)全國卷新課標(biāo)全國卷) )已知三棱錐已知三棱錐S-S-ABCABC的所有頂點(diǎn)都在球的所有頂點(diǎn)都在球O O的球面上，的球面上，ABCABC是邊是邊長為長為1 1的正三角形，的正三角形，SCSC為球為球O O的直徑，且的直徑，且SC=2SC=2，則此棱錐的體積為則此棱錐的體積為( )( )(A) (B) (