寧波市骨干教師關(guān)于平面向量的講座

1、平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能以及發(fā)展與提高的方向一、對(duì)向量概念的思考1平面向量的歷史中學(xué)階段向量又稱矢量，最初被應(yīng)用于物理學(xué)，很多物理量如力、速度、加速度、位移、電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是矢量，大約在公元前350年前，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個(gè)力的組合作用可以用著名的平行四邊形法則來(lái)得到，向量一詞來(lái)自力學(xué)，解析幾何中的有向線段，最先使用有向線段表示向量的是英國(guó)的大科學(xué)家牛頓，我們討論的向量是一種帶有幾何性質(zhì)的量，除零向量外，總可能畫出箭頭表示方向，但是高等數(shù)學(xué)中還有更廣泛的向量，例如把所有實(shí)數(shù)多項(xiàng)式的全體看成一個(gè)多項(xiàng)式空間，這里的多項(xiàng)式都可以看成一個(gè)向量，在這種情況

2、下，要找出起點(diǎn)和終點(diǎn)辦不到的，這種空間中的向量比幾何中的向量要廣泛得多，可以是任意數(shù)學(xué)對(duì)象或物理對(duì)象，這樣就可以指導(dǎo)線性代數(shù)方法應(yīng)用到廣闊的自然科學(xué)領(lǐng)域中去了，因此向量空間的概念，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)中最基本的概念和線性代數(shù)的中心內(nèi)容，它的理論和方法在自然科學(xué)各領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用，而向量及線性代數(shù)也為“向量空間”這一抽象的概念提供了一個(gè)模型從數(shù)學(xué)的發(fā)展史上來(lái)看，歷史上很長(zhǎng)一段時(shí)間，空間的向量結(jié)構(gòu)并未被數(shù)學(xué)家們所認(rèn)識(shí)，直到19世紀(jì)末20世紀(jì)初，人們才把空間的性質(zhì)現(xiàn)向量運(yùn)算聯(lián)系起來(lái)，使向量成為一套優(yōu)良運(yùn)算通性的數(shù)學(xué)體系向量能進(jìn)入數(shù)學(xué)并得到發(fā)展，首先應(yīng)從復(fù)數(shù)的幾何表示開始，經(jīng)過(guò)挪威測(cè)量學(xué)家威塞爾為代表的努

3、力，使向量進(jìn)入了數(shù)學(xué)，到19世紀(jì)中期，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密爾頓發(fā)明了四元數(shù)（包括數(shù)量部分和向量部分），以此代表空間的向量，他的工作為向量代數(shù)和向量分析奠定了基礎(chǔ)，隨后，電磁理論的發(fā)現(xiàn)者英國(guó)物理學(xué)家麥克思韋把四元數(shù)的數(shù)量部分和向量部分分開處理從而創(chuàng)造了大量的向量分析 三維向量分析的開創(chuàng)，以及同四元數(shù)的正式分裂，是英國(guó)的居伯斯和海維德于19世紀(jì)80年代各自獨(dú)立完成的，他們提出，一個(gè)向量不過(guò)是四元數(shù)的向量部分，但不獨(dú)立于任何四元數(shù)，他們引進(jìn)了進(jìn)了兩種類型的乘法，即數(shù)量積和向量積，并把向量代數(shù)推廣到變量的向量空間從此向量的方法被引進(jìn)到分析和解析幾何中來(lái)，并逐步完善，成為了一種優(yōu)良的數(shù)學(xué)工具現(xiàn)代線性代數(shù)已經(jīng)擴(kuò)

4、展到研究任意或無(wú)限維空間一個(gè)維數(shù)為 n 的向量空間叫做 n 維空間在二維和三維空間中大多數(shù)有用的結(jié)論可以擴(kuò)展到這些高維空間盡管許多人不容易想象 n 維空間中的向量，這樣的向量（即 n 元組）用來(lái)表示數(shù)據(jù)非常有效由于作為 n 元組，向量是 n 個(gè)元素的“有序”列表，大多數(shù)人可以在這種框架中有效地概括和操縱數(shù)據(jù)比如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中可以使用 8 維向量來(lái)表示 8 個(gè)國(guó)家的國(guó)民生產(chǎn)總值（GNP）（國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值用GDP表示）當(dāng)所有國(guó)家的順序排定之后，比如 (中國(guó), 美國(guó), 英國(guó), 法國(guó), 德國(guó), 西班牙, 印度, 澳大利亞)，可以使用向量 (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) 作

5、為證明定理而使用的純抽象概念，向量空間（線性空間）屬于抽象代數(shù)的一部分，而且已經(jīng)非常好地融入了這個(gè)領(lǐng)域一些顯著的例子有： 不可逆線性映射或矩陣的群，向量空間的線性映射的環(huán) 線性代數(shù)也在數(shù)學(xué)分析中扮演重要角色，特別在 向量分析中描述高階導(dǎo)數(shù)，研究張量積和可交換映射等領(lǐng)域 向量空間是在域上定義的，比如實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域線性算子將線性空間的元素映射到另一個(gè)線性空間（也可以是同一個(gè)線性空間），保持向量空間上加法和標(biāo)量乘法的一致性所有這種變換組成的集合本身也是一個(gè)向量空間如果一個(gè)線性空間的基是確定的，所有線性變換都可以表示為一個(gè)數(shù)表，稱為矩陣對(duì)矩陣性質(zhì)和矩陣算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被認(rèn)為是線

6、性代數(shù)的一部分 我們可以簡(jiǎn)單地說(shuō)數(shù)學(xué)中的線性問(wèn)題-那些表現(xiàn)出線性的問(wèn)題是最容易被解決的比如微分學(xué)研究很多函數(shù)線性近似的問(wèn)題 在實(shí)踐中與非線性問(wèn)題的差異是很重要的 線性代數(shù)方法是指使用線性觀點(diǎn)看待問(wèn)題，并用線性代數(shù)的語(yǔ)言描述它、解決它（必要時(shí)可使用矩陣運(yùn)算）的方法這是數(shù)學(xué)與工程學(xué)中最主要的應(yīng)用之一 2、向量與矢量上面的歷史中可以知道，矢量是特殊的向量，是向量在物理中的一個(gè)應(yīng)用,矢量的方向是可以確定的,而維向量的方向是很難作出來(lái)的.二、中學(xué)數(shù)學(xué)中的向量的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能1、向量的概念定義：既有大小又有方向的量叫做向量 向量的表示方法向量有多種表示方法，這為向量的應(yīng)用提供了更為廣闊的空間

7、幾何表示：用有向線段的圖形來(lái)表示向量我們用有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向（圖5-1）用有向線段來(lái)表示向量，顯示了圖形的直觀性，為以后學(xué)習(xí)向量提供了幾何方法，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想應(yīng)該注意的是有向線段是向量的一種表示方式，但并不是說(shuō)向量就是有向線段（如零向量就不能用有向線段表示）字母表示：用小寫字母,表示；或用表示有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的字母表示，如向量是一個(gè)既有大小又有方向的量，我們用向量的長(zhǎng)度表示其大小，用符號(hào)記之，稱為向量的模向量的模（是正數(shù)或零）可以比較大小零向量 與零向量有關(guān)的規(guī)定：如模、方向、共線，垂直，夾角等單位向量：只規(guī)定長(zhǎng)度，不規(guī)定方向相等向量

8、：長(zhǎng)度、方向共線向量：其實(shí)只要能平移到同一條直線上即可平行向量也叫做共線向量任一向量與它自身是平行向量，并且規(guī)定，零向量與任一向量平行共線向量也就是平行向量，其要求是幾個(gè)非零向量的方向相同或相反，當(dāng)然向量所在的直線可以平行，也可以重合其中共線的含義不再是平面幾何的中“共線”的含義實(shí)際上，共線向量有以下四種情況：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等這樣，也就找到了共線向量與相等向量的關(guān)系，即共線向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線向量2、向量的運(yùn)算（1）向量的加法運(yùn)算兩個(gè)法則 及各自的優(yōu)越性及局限性應(yīng)讓學(xué)生知道，并用好它們的優(yōu)越性 向量加法運(yùn)算的定義：已知

9、向量、，定義一種運(yùn)算稱為加法運(yùn)算，記作+規(guī)定其運(yùn)算法則如下：三角形法則：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，則向量叫做與的和（圖5-2） 使用三角形法則特別要注意“首尾相聯(lián)”即兩個(gè)向量相加時(shí)，把一個(gè)向量的終點(diǎn)作為另一個(gè)向量的起點(diǎn)，這時(shí)前一個(gè)向量的起點(diǎn)到后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量就定義為這兩個(gè)向量的和向量 平行四邊形法則：以同一點(diǎn)A為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量和為鄰邊作平行四邊形ABCD，則以A為起點(diǎn)的對(duì)角線就是與的和（圖5-3）關(guān)于向量的加法：兩種法則雖然定義的形式不同，但其結(jié)果相同對(duì)于零向量與任一向量，規(guī)定兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量當(dāng)兩個(gè)非零向量和不共線時(shí)，+的方向與、的方向都不相同，且當(dāng)和同向時(shí)（圖5-4），+的方

10、向與、的方向都相同，且當(dāng)和反向且時(shí)（圖5-），+的方向與的方向相同（與的方向相反），且當(dāng)兩向量共線時(shí)三角形法則仍然適用，此時(shí)平行四邊形法則就不適用了但平行四邊形法則仍然有它的優(yōu)越性（如在力的合成與分解上）因此，向量加法運(yùn)算的三角形法則和平行四邊形法則都應(yīng)熟練掌握向量的加法在力學(xué)中被廣泛用于力的合成、速度的合成等向量加法的運(yùn)算律：運(yùn)算律是運(yùn)算的靈魂，對(duì)于向量的加法運(yùn)算我們有：滿足交換律：滿足結(jié)合律：說(shuō)明：對(duì)于數(shù)的運(yùn)算，我們研究過(guò)數(shù)的運(yùn)算所滿足的運(yùn)算律，向量作為一種新的運(yùn)算，自然也應(yīng)該研究其運(yùn)算滿足哪些運(yùn)算律向量的運(yùn)算及其運(yùn)算所滿足的運(yùn)算律，為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)近世代數(shù)提供了具體的實(shí)例，因此要重視對(duì)向

11、量運(yùn)算的運(yùn)算律的研究上面兩個(gè)運(yùn)算律的證明，可以通過(guò)向量加法運(yùn)算的定義（幾何作圖）加以證明，在以后學(xué)習(xí)了向量的坐標(biāo)形式表示后，我們還可以通過(guò)代數(shù)的方法給予證明正因?yàn)橄蛄康募臃M足結(jié)合律，所以記號(hào)才有意義，它等于或等于正因?yàn)橄蛄康募臃M足結(jié)合律，所以向量的三角形法則可以推廣到多個(gè)向量的和，即將多個(gè)向量“首尾相接”（后一個(gè)向量的起點(diǎn)恰是前一個(gè)向量的終點(diǎn)），則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和如：向量的減法運(yùn)算減法作為加法的逆運(yùn)算，在數(shù)量的運(yùn)算中，我們把減去一個(gè)數(shù)定義為加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)類似于數(shù)量的運(yùn)算，我們先引入相反向量的概念相反向量：定義：與長(zhǎng)度相等、方向相反的向

12、量，叫做的相反向量記作規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量關(guān)于相反向量有：；若、是互為相反的向量，則，向量的減法定義：向量加上向量的相反向量叫做向量與向量的差記為求兩個(gè)向量的差的運(yùn)算，叫做向量的減法因?yàn)?，所以就是這樣一個(gè)向量，它與的和等于，從而得出的作圖法向量減法的幾何作法：在平面內(nèi)任取點(diǎn)，作，則（如圖）向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算利用相反向量的定義，就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法在用三角形法則作向量減法時(shí)，只要記住“連接兩向量終點(diǎn)，箭頭指向被減數(shù)”即可以向量、為鄰邊作平行四邊形，則兩條對(duì)角線的向量為，（圖）這一結(jié)論在以后應(yīng)用十分廣泛，應(yīng)該加強(qiáng)理解并記住 向量的數(shù)乘運(yùn)算定義：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的

13、積是一個(gè)向量，記作，其長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：；當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，與的方向相反；當(dāng)時(shí)，挖掘定義有：實(shí)數(shù)與向量的積叫做向量數(shù)乘，記作，因此，的寫法不規(guī)范，建議讀者不要這樣書寫可這樣理解向量與向量之間的關(guān)系：我們可以把向量的長(zhǎng)度擴(kuò)大（當(dāng)時(shí)），也可以把向量的長(zhǎng)度縮?。ó?dāng)時(shí)）；同時(shí)，我們可以不改變向量的方向（當(dāng)時(shí)），也可以改變向量的方向（當(dāng)時(shí)）根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算的定義，當(dāng)時(shí)，；而，若，也有值得注意，我們只定義了實(shí)數(shù)和向量的數(shù)乘，但實(shí)數(shù)與向量不能進(jìn)行加減運(yùn)算，比如是無(wú)法運(yùn)算的要清楚數(shù)乘向量與數(shù)乘數(shù)的區(qū)別，前者結(jié)果是一個(gè)向量，后者結(jié)果是一個(gè)數(shù)向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律：至此，我們定義了向量的兩個(gè)運(yùn)算：數(shù)乘運(yùn)算

14、與加法運(yùn)算，類似于數(shù)量的運(yùn)算，只要有兩種以上的運(yùn)算就有必要討論這兩種運(yùn)算是否滿足分配律設(shè)是實(shí)數(shù)，則數(shù)乘向量運(yùn)算滿足結(jié)合律： ；分配律：；由數(shù)乘向量的運(yùn)算性質(zhì)可得：；說(shuō)明：對(duì)于數(shù)乘向量的幾個(gè)運(yùn)算律，我們可以通過(guò)定義（幾何法）加以證明，以后在學(xué)習(xí)了向量的坐標(biāo)形式表示后，再用代數(shù)的方法加以證明正因?yàn)閿?shù)乘運(yùn)算滿足結(jié)合律，才使的記號(hào)變得有意義，即數(shù)乘向量所滿足的分配律的表達(dá)式的兩個(gè)3、向量的若干性質(zhì)向量的運(yùn)算給我們進(jìn)一步討論向量的性質(zhì)提供了更為廣闊的視野向量共線定理兩個(gè)向量共線的充要條件：向量與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使，即向量共線定理的主要功能是解決與母線平行的有關(guān)問(wèn)題，如平行、共線

15、、重合、定比分點(diǎn)等問(wèn)題，在解析幾何中有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值由定理可得，要證明向量與向量共線，只須證明存在實(shí)數(shù)，使得即可特殊地，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)仍然存在，但并不唯一，它可以是任何數(shù)平面向量的基本定理向量的加法、減法、數(shù)乘的混合運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)算，也叫做向量的初等運(yùn)算其實(shí)質(zhì)是對(duì)向量作合成運(yùn)算既然有了向量的合成，那么，作為向量合成運(yùn)算的逆運(yùn)算向量的分解運(yùn)算，自然應(yīng)該擺上我們研究的平臺(tái)平面向量的基本定理就是向量的分解運(yùn)算平面向量的基本定理：如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)，使不共線的與叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底定理實(shí)質(zhì)上告訴我們兩個(gè)事實(shí)：平面內(nèi)的任一向量都可

16、以沿兩個(gè)不共線的方向（基的方向）分解成兩個(gè)向量和的形式；任一向量在一組確定的基下，其分解是唯一的下面我們?cè)俳Y(jié)合圖形進(jìn)一步加深理解：我們給出向量和基底首先將、都平移到同一個(gè)起點(diǎn)O，且令，然后過(guò)點(diǎn)分別作、的平行線，交、（或延長(zhǎng)線）于N、M點(diǎn)，有，從而有（如圖）由平面向量的基本定理可知，任何一個(gè)平面內(nèi)的直線型圖形都可表示為某些向量的線性組合，因此我們可以通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)證明一些幾何命題基的概念平面向量的基本定理涉及到平面內(nèi)基的概念，關(guān)于基我們要搞清以下幾點(diǎn)：基的概念：平面內(nèi)的基向量，實(shí)際上就是我們?cè)谄矫鎯?nèi)選定的兩個(gè)向量，它們滿足如下兩個(gè)條件：兩個(gè)均為非零向量；兩個(gè)向量不平行特殊地，當(dāng)時(shí)，我們稱這一組

17、基為單位基在直角坐標(biāo)系中，我們所取的基為（），不但其模長(zhǎng)為1，且互相垂直，因此，它是一組非常特殊的基基的功能：如果是某一平面的一組基，那么這一平面內(nèi)的任一向量有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使；這就是平面向量的基本定理，它表明了該平面內(nèi)的任一向量都可以用這組基來(lái)線性表示因此，基的功能是把平面內(nèi)的向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為關(guān)于基的運(yùn)算平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解成兩個(gè)互相垂直的向量，這種分解叫做平面向量的正交分解 事實(shí)上，正交分解是一般分解的特殊情況，也就是說(shuō)：當(dāng)所取的平面內(nèi)的一組基互相垂直時(shí)，平面內(nèi)的任一向量沿的分解（）這種分解就是正交分解因?yàn)檎环纸獾幕拙哂刑厥庑裕鼤?huì)給向量的運(yùn)算帶來(lái)方便，所以人們?cè)谶x取基底時(shí)

18、，通常喜歡取一組相互垂直的正交基底在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底這一組基底也是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一組正交基底4、平面向量的坐標(biāo)前面我們所研究的向量的有關(guān)運(yùn)算和性質(zhì)，從某種程度上來(lái)說(shuō)，還依賴于向量的幾何意義，向量的坐標(biāo)能使向量的表示徹底數(shù)字化，從而為我們研究幾何圖形提供了非常有用且高效的代數(shù)工具平面向量的坐標(biāo)概念在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，選取與軸、軸相同方向的兩個(gè)單位向量作為基底，由平面向量的基本定理可知，對(duì)于平面內(nèi)的任一向量，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)對(duì)，使得我們把實(shí)數(shù)對(duì)叫做向量的坐標(biāo)，把叫做向量的坐標(biāo)表示 稱為標(biāo)準(zhǔn)基底，也叫基本向量顯然關(guān)于坐標(biāo)的概念，我們特別提示：通過(guò)

19、建立直角坐標(biāo)系，可以將平面內(nèi)任一向量用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示；反過(guò)來(lái)，任一有序?qū)崝?shù)對(duì)就表示一個(gè)向量這就是說(shuō)，一個(gè)平面向量就是一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)這樣，就給出了向量的另一種表示坐標(biāo)表示式點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)是有區(qū)別的，平面向量的坐標(biāo)與該向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)；只有起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)才與終點(diǎn)坐標(biāo)相等，即在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量，于是點(diǎn)的位置被向量唯一確定，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)統(tǒng)一為兩向量相等它們對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)相等，即向量與向量相等要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)區(qū)別開來(lái)，相等的向量所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是相等的，但起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)卻可以不同一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)

20、，即若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則 如圖5-9中，A（1，1）， B（2，3），C（1，-1），D（2，1）所以于是，但、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)各不相同我們所指的向量的坐標(biāo)是在直角坐標(biāo)系中，一個(gè)向量在標(biāo)準(zhǔn)基底下的分解，離開這一前提，許多性質(zhì)都不一定正確，這一點(diǎn)務(wù)必切記平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算若，則即兩個(gè)向量的和的坐標(biāo)，等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和若，則即兩個(gè)向量的差的坐標(biāo)，等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差若，則即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)若，則即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)由可知一個(gè)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)

21、，只與其相對(duì)位置有關(guān)有了向量的坐標(biāo)表示式，向量的加法、減法及數(shù)乘等運(yùn)算都可以用坐標(biāo)形式進(jìn)行，使得向量的運(yùn)算完全數(shù)字化，這樣我們便可將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來(lái)，通過(guò)我們所熟知的數(shù)量運(yùn)算，解決復(fù)雜的幾何問(wèn)題這也是中學(xué)數(shù)學(xué)課程中學(xué)習(xí)向量的目的之一向量共線定理的坐標(biāo)形式兩個(gè)向量共線的充要條件：向量與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使，即有了向量的坐標(biāo)表示式后，兩個(gè)向量共線的充要條件：設(shè)，則今后，凡遇到與平行有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，總是考慮運(yùn)用向量平行的充要條件另外，求幾何圖形中的點(diǎn)的坐標(biāo)，線段的長(zhǎng)度，三點(diǎn)共線等問(wèn)題時(shí)，也經(jīng)常考慮向量共線的充要條件5、平面向量的數(shù)量積通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道向量與向量之

22、間可以進(jìn)行加減運(yùn)算，并且按照三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算相比較，向量之間能不能進(jìn)行乘法運(yùn)算？在物理學(xué)中，如果一個(gè)物體在力的作用下產(chǎn)生位移，那么力所做的功為：，其中是與的夾角為此，我們引入向量“數(shù)量積”的概念兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量與（如圖5-10），作，則叫做向量與的夾角注意夾角的取值范圍當(dāng)時(shí)，與同向；當(dāng)時(shí)，與反向；如果時(shí)，我們說(shuō)與垂直，記為兩向量數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則數(shù)量叫做與的數(shù)量積（內(nèi)積），記作，即規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為零，即由定義可知：兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符

23、號(hào)由夾角的余弦值決定兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種乘法，與我們以前學(xué)過(guò)的數(shù)與數(shù)之間的乘法不同在書寫時(shí)一定要嚴(yán)格區(qū)分開來(lái)，不可混淆在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意兩向量的夾角建議將兩向量的起點(diǎn)移到一起，這樣兩向量的夾角更為明顯要注意兩向量的夾角的范圍是：向量數(shù)量積的幾何意義：對(duì)于，其中（其中是與的夾角）叫做向量在方向上的投影（圖5-11）當(dāng)為銳角時(shí)，它是正值；當(dāng)為鈍角時(shí)，它是負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)，它的值為0；當(dāng)時(shí)，它的值是；當(dāng)時(shí)，它的值是因此，的幾何意義是：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積強(qiáng)調(diào)以下點(diǎn)：數(shù)量積也等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積；叫做向量在方向上的投影（其中是與的夾角）

24、，這個(gè)投影值是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正可負(fù)也可以為零，它與的大小有關(guān)；當(dāng)向量時(shí)，由不能推出向量，這是因?yàn)槿我粋€(gè)與垂直的非零向量，都有由兩向量數(shù)量積的定義可得：這是一個(gè)非常有用的公式，通過(guò)此公式可以計(jì)算向量的模，也可以將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律平面向量的數(shù)量積有以下性質(zhì)：滿足交換律：；與實(shí)數(shù)相乘滿足結(jié)合律：；關(guān)于加法運(yùn)算滿足分配律：；值得注意：向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即，這是由于表示一個(gè)與共線的向量，而表示一個(gè)與共線的向量，而不一定共線因此，表達(dá)式?jīng)]有意義； 相對(duì)于向量的數(shù)量積而言，向量的運(yùn)算沒(méi)有除法運(yùn)算，即由不能推得，如圖5-12，顯然有：，但至此，我們已經(jīng)討論了向量的加法、實(shí)

25、數(shù)與向量數(shù)乘、兩向量的數(shù)量積等三個(gè)運(yùn)算所滿足的運(yùn)算律，要注意三者之間的差異平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)，都是非零向量，是單位向量 若是與的夾角，則；當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，； 特別地： 或若是與的夾角，則這個(gè)公式可以用來(lái)求兩向量的夾角以上五個(gè)性質(zhì)告訴我們，用平面向量的數(shù)量積可以解決有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直等幾何問(wèn)題平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)，為X軸、Y軸上的單位向量，即，且為兩個(gè)非零向量設(shè)，則，則有即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積之和又因?yàn)椋瑒t有這個(gè)公式十分有用，它是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，使我們可以通過(guò)數(shù)量的運(yùn)算達(dá)到研究幾何圖形的目的具體的有以下幾點(diǎn)應(yīng)用：若，則所以通過(guò)此式可以求向量的模設(shè)，則，

26、于是有：通過(guò)此式可以求平面上兩點(diǎn)之間和距離若,則通過(guò)此式可以判斷兩向量是否垂直若，是與的夾角，則，又，所以，所以通過(guò)此式可以求兩向量的夾角二、基本技能1、能根據(jù)向量的定義，正確地判斷向量；能選用適當(dāng)?shù)谋硎痉椒ū硎鞠蛄课覀円呀?jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)量、向量、還有其它一些物理量，解題時(shí)要求能正確區(qū)分這些量之間的異同，特別是能正確區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)中的向量與物理中的向量的異同點(diǎn) 向量有多種表示方式，可用有向線段表示、可用有向線段的字母表示、也可用在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)表示，正確選用向量的表示方法，能給解題帶來(lái)方便，這就要求我們能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇不同的表示方法 2、會(huì)運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則進(jìn)行兩個(gè)向量的加法運(yùn)

27、算；能將向量加法運(yùn)算的三角形法則推廣到多個(gè)向量的加法運(yùn)算會(huì)用加法運(yùn)算的幾何定義證明向量的加法運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律；會(huì)運(yùn)用向量加法的交換律和結(jié)合律進(jìn)行向量的加法運(yùn)算會(huì)作出兩個(gè)向量的差向量，能確定差向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)；會(huì)運(yùn)用定義進(jìn)行向量的減法運(yùn)算；會(huì)根據(jù)定義靈活地將向量的減法運(yùn)算與加法運(yùn)算進(jìn)行互化關(guān)于向量的加法和減法運(yùn)算，一種方法就是依據(jù)三角形法則通過(guò)作圖來(lái)解決，另一種方法就是通過(guò)對(duì)表示向量的有向線段的字母符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算來(lái)解決向量是數(shù)形結(jié)合思想的具體運(yùn)用，通過(guò)選用不同的方法表示向量，最后達(dá)到研究幾何問(wèn)題的目的，這是我們學(xué)習(xí)向量的宗旨之一3、熟練掌握實(shí)數(shù)與向量數(shù)乘運(yùn)算所滿足的運(yùn)算律；會(huì)運(yùn)用數(shù)乘運(yùn)算的幾

28、何定義證明數(shù)乘運(yùn)算所滿足的結(jié)合律、分配律；會(huì)靈活運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行實(shí)數(shù)與向量的數(shù)乘運(yùn)算會(huì)利用向量共線的充要條件判斷兩個(gè)向量共線；能運(yùn)用向量共線定理證明三點(diǎn)共線問(wèn)題；能選取適當(dāng)?shù)南蛄浚ɑ紫蛄浚┍硎玖硪恍┕簿€的向量，從而解決平行、共線、線段長(zhǎng)度比等幾何問(wèn)題4、正確理解平面向量的基本定理“理解向量的基本定理”表現(xiàn)在具體應(yīng)用時(shí)：能夠選取適當(dāng)?shù)幕祝蛊渌蛄慷寄軌蛴眠@組基底線性表示，進(jìn)而將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只含有這組基底的代數(shù)運(yùn)算“理解向量的基本定理”表現(xiàn)在直角坐標(biāo)系中：能夠選取與X軸、Y軸方向相同的單位向量，組成一組正交基底，把平面內(nèi)任意一個(gè)向量（以原點(diǎn)為始點(diǎn)的有向線段）與一對(duì)有序?qū)崝?shù)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)這樣我們

29、便可以通過(guò)坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題5、會(huì)合理建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示一個(gè)向量；會(huì)準(zhǔn)確地表述向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算法則；會(huì)用向量的坐標(biāo)形式證明向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算所滿足的各種運(yùn)算律，并能正確地運(yùn)用它們進(jìn)行向量的相關(guān)運(yùn)算6、會(huì)運(yùn)用兩個(gè)向量共線定理的坐標(biāo)形式解決與共線向量相關(guān)的問(wèn)題，如平行、共線等7、會(huì)用向量的數(shù)量積的定義式及數(shù)量積的坐標(biāo)式進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算；理解并掌握向量數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律，能熟練運(yùn)用數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算；會(huì)運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)式證明向量數(shù)量積運(yùn)算所滿足的運(yùn)算律向量的數(shù)量積運(yùn)算有兩種形式：定義式、坐標(biāo)式，兩個(gè)公式各有特長(zhǎng)，選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算形式或交替

30、使用兩種形式，會(huì)給解題帶來(lái)極大的便利8、會(huì)用向量的數(shù)量積運(yùn)算處理長(zhǎng)度、角度、垂直、不等式等問(wèn)題；會(huì)用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算兩點(diǎn)間的距離9、對(duì)的變形有兩種方法，一是通過(guò)進(jìn)行變形；二是設(shè)出的坐標(biāo)，通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行變形；要熟練掌握這兩種處理方式10、會(huì)利用向量的方法實(shí)現(xiàn)“以數(shù)論形”的目的三、教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該注意的幾個(gè)事項(xiàng)以及發(fā)展與提高的方向1向量的教學(xué)如何展開由于向量既有幾何的屬性，又有代數(shù)的屬性，所以教學(xué)實(shí)踐中也應(yīng)從兩條主線展開，（1）代數(shù)中的屬性應(yīng)類比實(shí)數(shù)的性質(zhì)展開，如類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，實(shí)數(shù)中的一些相等與不等關(guān)系等，如向量的完全平方和公式、平方差公式，柯西不等式，兩個(gè)實(shí)數(shù)和的絕對(duì)值小于等于絕對(duì)值的和等等，再用幾何驗(yàn)證(教材中用)或用已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)或方法加以證明,發(fā)展學(xué)生運(yùn)用類比的思想進(jìn)行發(fā)明和創(chuàng)造的能力體會(huì)