高中數學人教A版必修5《2.6等比數列的前n項和2》課件

1、1111(1)(1)111nnnnaqnSqqaaSqqq 等等比比數數列列的的前前 項項和和這這個個公公式式還還可可以以寫寫成成1= ,1nnakSkk qq 如如果果設設那那么么這這個個式式子子說說明明什什么么問問題題呢呢？2nnnSkk qqq說說明明的的系系數數與與常常數數項項是是的的，其其中中的的互互為為相相反反數數就就是是公公比比 233,2nnnanSkkq 等等比比數數列列的的前前 項項和和很很容容易易得得出出：公公比比性性質質一一32322,mmmmmSSSSSdm d 我我們們知知道道，在在中中有有以以下下性性質質：也也成成等等差差等等差差數數列列數數列列公公差差 請請把把

2、這這條條性性質質經經過過類類比比，推推廣廣到到等等比比數數列列 232,nnmmmmmanSSSSSS等等比比數數列列設設的的前前 項項和和為為則則有有：也也成成等等比比數數列列證證明明這這個個結結論論！性性質質二二43070S 答答案案：51162ma 答答案案：， 10203010,=30naSSS 例例1 1. .等等比比數數列列中中，求求 5.31,nnnanSmma例例2 2 等等比比數數列列的的前前 項項和和求求的的值值以以及及 的的值值. . 5 110103020101.,2,2(21)0.nnnaanSSSSa 例例3 3 設設正正項項等等比比數數列列首首項項前前 項項和和為

3、為且且求求的的通通項項公公式式 34,2,14,nnnnnanSSSS 練練習習：各各項項均均為為正正的的等等比比數數列列的的前前項項和和為為若若求求1( )2nna 答答案案：430nS 答答案案：6等等 差差 數數 列列 等等 比比 數數 列列 定定義義 一般地一般地,如果一個數列從第如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差那么這個數列就叫做等差數列這個常數叫公差數列這個常數叫公差 一般地，如果一個數列從一般地，如果一個數列從第第2項起，每一項與它的前項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，一項的比

4、等于同一個常數，那么這個數列就叫等比數那么這個數列就叫等比數列這個常數叫公比列這個常數叫公比 等差數列等差數列與與等比數列等比數列對比記憶表對比記憶表7數數 列列等等 差差 數數 列列等等 比比 數數 列列定義式定義式公差（比）公差（比）通項公式通項公式 推廣形式推廣形式公差公差(比比) an+1-an=dd 叫叫公差公差q叫叫公比公比 an= a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d an=amqn-mmnaadmn mnmnaaq qaa1nn 等差數列等差數列與與等比數列等比數列對比記憶表對比記憶表8數數 列列等等 差差 數數 列列等等 比比 數數 列列前前n項和

5、項和公公 式式性性 質質中中 項項 構造三數構造三數 構造四數構造四數 a，a+d，a+2da, aq, aq2或者或者 a-d，a，a+daqaqa，或或a-3d，a-d，a+d， a+3d33aqaqqaqa，m+n=p+q an+am=ap+aqm+n=p+q anam=apaq2cabcb,a, 則等差中項則等差中項成等差數列，成等差數列，若若acb cb,a, 則等比中項則等比中項成等比數列，成等比數列，若若等差數列等差數列與與等比數列等比數列對比記憶表對比記憶表910數列求和介紹求一個數列的前 n 項和的幾種方法：1、運 用 公 式 法2、錯 位 相 減 法3、裂 項 相 消 法4

6、、分組求和 法5、倒序相加 法11一、運用公式法一、運用公式法 運用公式法主要是使用已經證明，并承認其在解運用公式法主要是使用已經證明，并承認其在解決其他問題時可以使用的公式來進行數列求和。決其他問題時可以使用的公式來進行數列求和。如：等差數列的求和公式：如：等差數列的求和公式：dnaS2)1n(n12)aa(nnn1 等比數列的求和公式：等比數列的求和公式：nS1naq1)q1(an1 )1q( )1q( 還有一些常用公式：還有一些常用公式：2333322222)1n(nn321;6)1n2)(1n(nn321;2)1n(nn321 2333322222)1n(nn321;6)1n2)(1n

7、(nn321;2)1n(nn321 12數例1 求數列 的前n項和，32116181412197531分析：由這個數列的前五項可看出該數列是由一個首項為1、公差為2的等差數列與一個首項為 、公比為 的等比數列的和數列。所以它的前n項和可看作一個等差數列的前 n項和與一個等比數列的前n項和的和。212111414133818155解：)12(53121814121nnSnnn21814121) 12(5312)121(nn2121211)1(n2nn211 歸納出：奇數列的前n項和2) 12531nn（2121列求和1分組求和 法13 , + n 1 練習練習1:求數列求數列 + 2 3 , +

8、 的前的前n項和項和 。 . , 2 2 2 , 3 2 n 2 + 1 2 3 ncn=an+bn(an、bn為等差或等比數列。）為等差或等比數列。）項的特征項的特征分組求和法分組求和法的反思與小結：的反思與小結：要善于從通項公式中看本質：一個等差要善于從通項公式中看本質：一個等差 n n 一一個等比個等比22n n ，另外要特別觀察通項公式，如果通項公，另外要特別觀察通項公式，如果通項公式沒給出，則有時我們需求出通項公式，這樣才能找規(guī)式沒給出，則有時我們需求出通項公式，這樣才能找規(guī)律解題。律解題。 練習練習2.求數列求數列2+3, 22 +32 , 23 +33 , , 2n +3n 的前

9、的前n項和。項和。 Sn=2 + -n+1n+1322714二、錯二、錯 位位 相相 減減 法法 錯位相減法在推導等比數列求前錯位相減法在推導等比數列求前 n項和時用過；項和時用過；它主要用于由一個它主要用于由一個等差數列等差數列與一個與一個等比數列等比數列的積數的積數列求和。列求和。求法步驟如下：求法步驟如下：1、在、在 的兩邊同時乘于的兩邊同時乘于公比公比qnnaaaS212、兩式相減、兩式相減 ；左邊為；左邊為 ，右邊，右邊q的同次式相減的同次式相減nSq)1（3、右邊去掉最后一項（有時還得去掉第一項）剩下的、右邊去掉最后一項（有時還得去掉第一項）剩下的 各項組成等比數列，可用公式求和。

10、各項組成等比數列，可用公式求和?？匆韵吕涌匆韵吕訑禂盗辛星笄蠛秃?5例例2 求數列求數列 的前的前n項和項和 考一本第19課時nn212167854321，分析：分析：該數列可看作等差數列該數列可看作等差數列 等比數列等比數列 的積數列的積數列12 nn21這里等比數列的公比這里等比數列的公比 q =21解：解：n43221n227252321nS 1nn43221n223n2252321 nS21兩式相減：兩式相減：1nn43221n22222222221n21S)1( 所以：所以：n21S21211n21211)1 （1n21n2 運算整理得：運算整理得：nnnS2323數數列列求求和

11、和216例例3 設設 ,求數列求數列 的前的前n項和項和 0annaaaaa,4 ,3 ,2 ,432nS分析：分析： 這個數列的每一項都含有這個數列的每一項都含有a，而，而a等于等于1或不等于或不等于1，對，對數列求和有本質上的不同，所以解題時需進行分類討論數列求和有本質上的不同，所以解題時需進行分類討論解：解：1a若nSn3212) 1( nn1a若nnnaaaaS3232aqaaaann的積數列，且等比數列與，差數列此時，該數列可看作等,32132兩邊同乘兩邊同乘a:naS132) 1(2nnnaanaa兩式相減：兩式相減：132)1 (nnnnaaaaaSa所以：所以：nSa)1 (a

12、aan1)1 (1nna運算并整理得：運算并整理得： a1naa1)a1(an1nnS21n2n)a1(aa)1n(na 數數列列求求和和217cn=anbn(an為等差數列為等差數列,bn為等比數列為等比數列)項的特征項的特征二、二、錯位相減錯位相減求和法求和法 小結小結練習題練習題 考一本考一本P53 習題習題 n2naa2n2221 ,221 21 1 1nnn-1n22項和為多少？項和為多少？，則其前，則其前滿足滿足、數列、數列項和為多少？項和為多少？的前的前，、數列、數列 18三、裂三、裂 項項 相相 消消 法法 顧名思義，顧名思義，“裂項相消法裂項相消法”就是把數列的項拆成幾就是把

13、數列的項拆成幾項，然后，前后交叉相消為項，然后，前后交叉相消為0達到求和目的的一種求和達到求和目的的一種求和方法。方法。求求 法法 步步 驟驟1、先分析數列的項的結構，把通項式、先分析數列的項的結構，把通項式“裂裂”成幾項。成幾項。（注意：裂開后的通項式當（注意：裂開后的通項式當n=k和和n=k+d時有相消為時有相消為0的情況出現才行）的情況出現才行）2、解題時；對裂開后的通項式令、解題時；對裂開后的通項式令n取取1，2，3，,n然后相加得然后相加得nS3、把和式中每一對相消為、把和式中每一對相消為0的式子除去，整理剩下的的式子除去，整理剩下的 式子即為和式。式子即為和式。請請 看看 下下 面

14、面 例例 子子數數列列求求和和19例例4 求數列求數列 的前的前n 項和。項和。)1n3)(2n3(11071741411 ，分析：分析： 該數列的特征是：分子都是該數列的特征是：分子都是1，分母是一個以，分母是一個以1為首項，為首項，以以3為公差的等差數列的相鄰兩項的乘積。只要分子為公差的等差數列的相鄰兩項的乘積。只要分子變?yōu)楣钭優(yōu)楣?，就可以裂項了。，就可以裂項了。)13)(23(1nnna)13)(23(331nn)13)(23()23()13(31nnnn)13123131nn（解：解：) 13)(23(11071741411nnnS)13)(23(3107374341331nn)

15、13)(23()23()13(1077107447411431nnnn)1 (1312311017171414131nn)1 (13131n13 nn數數列列求求和和320例例5 求數列求數列 的前的前n項和項和)12)(12()2(7565343122222nnn，nS分析：分析： 該數列的分子是偶數的平方，分母是奇數列相鄰兩項該數列的分子是偶數的平方，分母是奇數列相鄰兩項的乘積；從例的乘積；從例4的經驗看：該數列求和使用的經驗看：該數列求和使用“裂項相消法裂項相消法”的可能性較大，那就看分子能否化為常數。的可能性較大，那就看分子能否化為常數。注意到該數列的通項公式的特征：分子、分母同次且沒

16、有一次項；注意到該數列的通項公式的特征：分子、分母同次且沒有一次項；所以使用處理分式函數的常用手段：所以使用處理分式函數的常用手段：“分離常數法分離常數法”即可把分子即可把分子化為常數?；癁槌?。變化如下：變化如下：)12)(12(1)12)(12(11)2()12)(12()2(122nnnnnnnnna)12)(12()12()12(21)12)(12(22111nnnnnn)(112112121nn數數列列求求和和321)(112112121nnna由解：)12)(12()2(7565343122222nnnnS)(1)1112112121513121311121nn（）（共 n 項)(

17、)()1(12112151313121nnn)1 (12121nn12)1(2nnn數列求和322（數列（數列an是等差數列）是等差數列）項的特征項的特征1111 11()nn nnnca ad aa 三、三、裂項相消裂項相消求和法求和法 小結小結注意注意裂項相消法裂項相消法的關鍵：的關鍵： 將數列的每一項拆成二項或多項使數列中的將數列的每一項拆成二項或多項使數列中的項出現有規(guī)律的項出現有規(guī)律的抵消項抵消項，進而達到求和的目的。，進而達到求和的目的。23常見的拆項公式：1111.(1)1n nnn11112.()()n nkknnk 11115.()(21)(21)2 2121nnnn 111

18、16.(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn 117.()ababab 211111113.1(1)(1)1kkkkkkkkk 22111114.()1211kkkk 2128. 2(1)2(1)11nnnnnnnnn 練習：（求和）111(1).112123123nsn 111(2).12231nsnn 答案：答案：12221 .2()123(1)1nann nnn （ ）111112(1)()()2231nsnn 122(1)11nnn 1(2).11nnnn 213211 1nsnnn 25四、倒序相加法四、倒序相加法教材P40等差數列前n項的和公式推導即為此法！例例1 1：

19、已知：已知lg(xy)=a,lg(xy)=a,求求lgxlgxn n+lg(x+lg(xn-1n-1y)+lg(xy)+lg(xn-2n-2y y2 2)+lgy)+lgyn n與首尾兩項等距的兩項之和等于首尾兩項之和，則可與首尾兩項等距的兩項之和等于首尾兩項之和，則可先將先將S Sn n順著寫，再將順著寫，再將S Sn n倒著寫，最后將兩個倒著寫，最后將兩個S Sn n相加。相加。lgylgyn n+lg(xy+lg(xyn-1n-1)+lg(x)+lg(x2 2y yn-2n-2)+lgx)+lgxn n2 2lg(xy)lg(xy)n n+lg(xy)+lg(xy)n n+lg(xy)+

20、lg(xy)n+n+lg(xy)+lg(xy)n n (n+1)lg(xy)(n+1)lg(xy)n n n(n+1)lgxyn(n+1)lgxyn(n+1)a/2n(n+1)a/2項的特征項的特征a1+an=a2+an-1=a3+an-2=2612003( ),22,( 5)( 4)(0)(5)(6)xf xnfffff 2.2.（上海）設利用課本（上海）設利用課本中推導等差數列前 項和的方法 求中推導等差數列前 項和的方法 求的值為_.的值為_.111()(1)2222nnfnf n 11121221122222222nnnnnn 111(2 22)2212222222nnnn 2728練

21、習：練習： 1. 1. 求數列求數列 前前n n項和項和 2. 2. 求數列求數列 的前的前n n項和項和 3. 3. 求和：求和： 4. 4. 求和：求和：1 14+24+25+35+36+6+n n( (n n + 3)+ 3) 5. 5. 求數列求數列1 1，(1+(1+a a) )，(1+(1+a a+ +a a2 2) )， (1+(1+a a+ +a a2 2+a an n 1 1) )，的前的前n n項和項和. . 1, 4, 7, 10, ( 1) (32),nn 3232nn 222222(10099 ) (9897 )(21 ) 29學有所思舉 一 返 三30四、通 項 分

22、 析 法 通項分析法就是根據前面學過的運用公式法、錯位相減法、裂項相消法為基礎，對數列的通項公式進行分析，從而決定使用那種方法求和。求 法 步 驟1、確定所求和數列的通項公式，必要時，注意使用由已 知數列的前幾項，求這數列的一個通項公式的方法2、分析通項公式時，在確定首項、末項、及項數的同時 還要分析清楚是那些數列的和、差、積、商數列。 請 看 下 面 例 子數列求和31例7 求數列 的前n項和1222221221211n，分析：由數列的結構來分析，該數列的第k項應該是：12222121)21(112kkkka通過分析可知：該數列是以 為首項，以 為末項，共有n項的數列。12112n從通項公式

23、的結構來分析，該數列是一個以2為首項，以2為公比的等比數列與一個常數列的差數列。所以它的前n項和是一個等比數列的前n項和與一個常數為1的常數列的前 n項和的差。通過這樣分析，確定解題方向就方便了解：) 12() 12() 12(21nnS) 111 ()222(2nnn21)21(2221nn數列求和432例8 求和 1)2(3) 1(21nnnnS分析： 這個數列是數列1，2，3. . . n與它的倒序數列的積數列，共有n項，在這里把n看成常數來分析它的通項就容易了。kknkknkak2) 1(k取從1到n的自然數）所以，該數列可以看作通項為 的三個數列的差、和數列kknk,2解：naaaa

24、S321)21 ()21 ()21 (222nnnnnnn2) 1(6)12)(1(nnn2)1(nn)2)(1(61nnn數列求和433例9 求數列 前n項和, 165434322aaaaaaaaa)0( aSn分析： 由 所求數列的每一項都是一個等比數列的和，其第k項 2211kkkkkaaaaa0akaak 時，當1011kaa時，當)(為偶數為奇數）kk時，當1|aaaakkka1121通項公式理解清楚后，現在可以就以上三種情況考慮求和了時當1a該數列是自然數列，求和容易。時，當1a2nnSn為偶數時n為奇數時21nnS1|a當)()()()1(12152311nnanaaaaaaaS

25、,0, 1 ,0, 1 ,0, 1此時的和式，轉化為求數列的通項公式解：時；當1akak)1(21nnSn時；當1a01ka)()(為偶數為奇數nn2)1(121nSnn時；當1|a)(12111kkakaaa)()()()1(12152311nnanaaaaaaaS)()1(12531211nnaaaaaaaa1)1(11112aaaaaann)1)(1(1)1()1(12nnaaaa數列求和434)2)(1(54343232110nnnSn求和例分析：)2)(1(kkkak326kC( k 取1，2，3、n)所以：323534336666nnCCCCS)(632353433nCCCC1114433knknknCCCCC由436nC!4)1)(2)(3(6nnnn)3)(2)(1(41nnnn44C45C46C數列求和435)2)(1(54343232110nnnSn求和例分析：)2)(1(kkkak)2)(1() 1() 3)(2)