數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用Word版

1、傳播優(yōu)秀word版文檔 ，希望對(duì)您有幫助，可雙擊去除！數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用郭恒武摘要：數(shù)形結(jié)合是將數(shù)學(xué)問題的數(shù)量關(guān)系與幾何意義溝通、轉(zhuǎn)化、結(jié)合，從而尋找解決問題途徑的一種思想方法，是初中解題中的重要方法之一。本文結(jié)合長(zhǎng)春市2010-2013四年的中考題，針對(duì)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決的三類典型題進(jìn)行了分析，探討了數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。關(guān)鍵字：數(shù)形結(jié)合思想 中考題 典型題 應(yīng)用人類從原始的識(shí)別事物多寡的數(shù)覺和對(duì)形的直覺逐漸形成了兩個(gè)專業(yè)學(xué)科：代數(shù)學(xué)與幾何學(xué)。起初，代數(shù)學(xué)與幾何學(xué)是兩個(gè)完全獨(dú)立的學(xué)科，直到1637年，笛卡兒發(fā)表了他的重要著作方法談及其附錄幾何學(xué)。書中引入了

2、運(yùn)動(dòng)著的點(diǎn)的坐標(biāo)的概念；在建立坐標(biāo)系的前提下，點(diǎn)與數(shù)對(duì)、曲線與方程之間建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系。由此數(shù)的問題可以用形直觀化，形的問題可以用數(shù)精確化，從此誕生了解析幾何學(xué)。同時(shí)也出現(xiàn)了一種新的數(shù)學(xué)思想方法“數(shù)形結(jié)合”。“數(shù)與形”是數(shù)學(xué)發(fā)展長(zhǎng)河中的兩大基石。“形”有數(shù)量關(guān)系，“數(shù)”有幾何意義，簡(jiǎn)潔而抽象的數(shù)是形的本質(zhì)，繁瑣但直觀的形是數(shù)的物化。數(shù)形結(jié)合是將數(shù)學(xué)問題的數(shù)量關(guān)系與幾何意義溝通、轉(zhuǎn)化,從而尋找解決問題途徑的一種思想方法。2在初中數(shù)學(xué)解題中，數(shù)形結(jié)合主要應(yīng)用于以下三類問題：一、借助數(shù)軸解決相關(guān)問題；二、直角坐標(biāo)系下解決函數(shù)問題；三、利用圖形解決實(shí)際問題。本文結(jié)合長(zhǎng)春市2010-2013四年的中考題，

3、針對(duì)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決的三類典型題進(jìn)行了分析和并提出了自己的愚見，也希望大家能給與批評(píng)和指正。類型一：借助數(shù)軸解決相關(guān)問題1.解不等式(組)問題初中階段，要求學(xué)生能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集；會(huì)用數(shù)軸確定由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集。這個(gè)知識(shí)點(diǎn)是中考主要題型，典型的數(shù)形結(jié)合問題之一，每年必考。而且也為高中階段需要分類討論的字母系數(shù)不等式（組）的解法進(jìn)行了良好的鋪墊。解一元一次不等式(組)時(shí)需要注意兩點(diǎn)：第一點(diǎn)，未知數(shù)是負(fù)系數(shù)時(shí)，系數(shù)化1后，不等號(hào)變方向；第二點(diǎn)，不等式中是“、”即“空心”表示，還是“、”即“實(shí)心”表示。從13年第4題，12年第3題，11

4、年第5題，10年第3題這四年的考查看，不等式中涉及系數(shù)簡(jiǎn)單，難度無(wú)變化，屬于簡(jiǎn)單題。例1（11年第5題）不等式組的解集為（ ）（） （） （） （）分析：在解不等式組時(shí)，為了更清晰的呈現(xiàn)多個(gè)002-2圖1不等式的解的公共部分，我們將每個(gè)不等式的解借助數(shù)軸表示，以形助式，避免過重的思維負(fù)擔(dān)。這類題型的解法是將每個(gè)不等式的解用數(shù)軸表示出來(lái)，如圖1所示，易得正確答案為 d，這也是高中階段解不等式組的最主要、最不易出錯(cuò)的方法。2.找中位數(shù)、眾數(shù)問題中位數(shù)是指將統(tǒng)計(jì)總體當(dāng)中的各個(gè)變量值按大小順序排列起來(lái)，形成一個(gè)數(shù)列，處于變量數(shù)列中間位置的變量值就稱為中位數(shù)；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值。這是數(shù)學(xué)

5、中很自然的兩個(gè)概念，不難理解。中位數(shù)問題需要對(duì)數(shù)據(jù)從小到大排序，眾數(shù)問題需要對(duì)每一數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（對(duì)數(shù)據(jù)排序不影響對(duì)眾數(shù)的查找）。綜合這兩種想法，為了在統(tǒng)計(jì)查找中不重復(fù)記數(shù)，不發(fā)生遺漏。本文結(jié)合這類問題的特點(diǎn)，為了增加對(duì)這類問題的直觀性，減輕記數(shù)負(fù)擔(dān)，希望借助于數(shù)軸達(dá)到解決問題的目的。從12年第5題，10年第4題這兩年的考查看，兩年的數(shù)據(jù)都是從實(shí)際問題或熱點(diǎn)話題中抽象出來(lái)的。10年是9個(gè)有效數(shù)據(jù)，同時(shí)包含9個(gè)干擾數(shù)據(jù)，求眾數(shù)；12年是直接給出5個(gè)數(shù)據(jù)，求它們的中位數(shù)。從數(shù)據(jù)的多少和知識(shí)本身的這兩個(gè)角度看，這類題難度幾乎無(wú)變化，屬于簡(jiǎn)單題。為了更加直觀說(shuō)明本文提出的方法,以10年第4題為例。

6、例2（10年第4題）今年6月11日，我省九個(gè)地區(qū)的最高氣溫與最低氣溫如圖所示，則這九個(gè)地區(qū)該天的最高氣溫的眾數(shù)為（ ）a27°c b29°cc30°c d31°c圖229303127出現(xiàn)次數(shù)數(shù)據(jù)11111111111方法：在數(shù)軸下方從小到大表示問題中給出的（樣本）數(shù)據(jù)，當(dāng)數(shù)據(jù)每出現(xiàn)一次時(shí)，在數(shù)軸上方表示這個(gè)數(shù)據(jù)的地方標(biāo)注“1”，最后將次數(shù)累加，和最大的下方所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)便是眾數(shù)，如圖2所示，易得此題正確答案為 d。按照這樣的排列，從左向右查次數(shù)，查到5的地方對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)便是中位數(shù)，即31。這樣清晰、簡(jiǎn)潔的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)方式，利于我們對(duì)數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)的統(tǒng)計(jì)查找。

7、注：為了避免混淆，數(shù)軸的原點(diǎn)不再標(biāo)記。5類型二：直角坐標(biāo)系下解決函數(shù)問題在整個(gè)初中學(xué)習(xí)過程中，主要學(xué)習(xí)常值函數(shù)，一次函數(shù)（特例：正比例函數(shù)），反比例函數(shù)，二次函數(shù)。函數(shù)問題是數(shù)形結(jié)合思想的典型問題，即是滲透數(shù)形結(jié)合思想的主要手段，對(duì)這部分知識(shí)學(xué)完后，應(yīng)該有這樣的感受，給定一個(gè)函數(shù)，我們就想嘗試著畫出該函數(shù)的圖象。為了使畫出的圖象能準(zhǔn)確的表示函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，故掌握函數(shù)解析式中每個(gè)參數(shù)的作用成為基本要求，近而也是中考的基本考點(diǎn)。同時(shí)，在解題中，要培養(yǎng)學(xué)生這樣的意識(shí)，給出一個(gè)函數(shù)的圖像，能夠判斷出是什么函數(shù)；即使在題中（諸如13年第14題）不給出所有函數(shù)的圖像，根據(jù)我們所學(xué)的關(guān)于上述函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)畫

8、出相應(yīng)的圖像，幫助我們解決問題。從10年第12題，11年第13題，12年第14題，13年第14題這四年的考查看，都是作為填空題，但圖形的復(fù)雜程度和要求解答的問題是逐年加大難度的，屬于中檔題。以下羅列出這四個(gè)題，并以13年第14題為例，做簡(jiǎn)單分析。xyo2圖 31.（10年第12題）如圖3，雙曲線y1(k10)與直線y2k2xb(k20)的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，那么當(dāng)x3時(shí)，y1_y2(填“”、“”或“”)圖 42.（11年第13題）如圖4，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)a當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是_圖53.（12年第14題）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)a是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)b是這條拋物線上的另一點(diǎn)， 且

9、 ab/x軸，則以 ab為邊的等邊三角形abc的周長(zhǎng)為 .圖 6例3（13年第14題）如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與 y軸交于點(diǎn)a，過點(diǎn)a與x軸平行的直線交拋物線于點(diǎn)b、c，則bc的長(zhǎng)為_.分析：一元二次函數(shù)，畫圖時(shí)關(guān)鍵有四看，一看開口方向（a>0向上，或a<0向下）；二看對(duì)稱軸方程；三看頂點(diǎn)坐標(biāo)；四看特殊點(diǎn)（如與y軸交點(diǎn)），此題中雖然不知道二次項(xiàng)系數(shù)a,但不影響求解它與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，于是得到點(diǎn)a(0,3)，過點(diǎn)a與x軸平行的直線方程為y=3，此處也是一個(gè)難點(diǎn)。明確a、b、c三點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等后，故，得到點(diǎn)b(-3,3)，c(3,3)，最終得bc長(zhǎng)為6。在函數(shù)的問題上，培養(yǎng)學(xué)生

10、數(shù)形結(jié)合的意識(shí)特別重要，因?yàn)槲覀儾慌懦恍W(xué)生在將來(lái)將去繼續(xù)深造數(shù)學(xué)。在高等數(shù)學(xué)中，已經(jīng)將函數(shù)的概念推廣到映射的概念，很多時(shí)候，我們可以看到許多不可思議的映射。對(duì)于映射而言，所謂的定義域、值域已不再是區(qū)間，而是即使我們用筆也無(wú)法在紙上描繪的四維、五維甚至無(wú)窮維的空間。而且建立在高維空間的理論更加抽象，完全超出了我們的想象。此時(shí)需要我們將高維問題的定義域、值域直接或間接轉(zhuǎn)化成我們可以描繪的一維、二維或者三維空間，在空間中畫出直觀的圖形，可以加深我們對(duì)抽象事物的理解。所以在大學(xué)學(xué)習(xí)期間，課堂上老師始終會(huì)強(qiáng)調(diào)直觀的重要性。類型三：利用圖形解決實(shí)際問題1.概率問題在國(guó)內(nèi)的發(fā)展趨勢(shì)來(lái)看，統(tǒng)計(jì)方法對(duì)于國(guó)家

11、的經(jīng)濟(jì)發(fā)展、社會(huì)的進(jìn)步以及人們的生活占有越來(lái)越重要的地位。正因?yàn)槿绱?，隨著新一輪的課改，概率與統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)在初、高中階段的地位逐年升高。概率是初中增加的新內(nèi)容，這部分知識(shí)對(duì)教師、學(xué)生都是一個(gè)考驗(yàn)，成為教學(xué)的難點(diǎn)。我們?cè)谟?jì)算簡(jiǎn)單事件的概率時(shí)，為了讓別人更易接受，采用畫樹狀圖的方法，直觀形象的再現(xiàn)操作過程，讓思路更清晰，數(shù)形結(jié)合，達(dá)到化難為易的目的。10-13年這四年的試題中，第16題都是概率問題，問題難度沒有發(fā)生改變，且解法類似，屬于中檔題，本文以12年的第16題進(jìn)行分析。例4（12年第16題）有甲、乙兩個(gè)不透明的口袋，甲袋中有3個(gè)球，分別標(biāo)有數(shù)字0，2，5；乙袋中有3個(gè)球，分別標(biāo)有數(shù)字0，1

12、，4.這6個(gè)球除所標(biāo)數(shù)字以外沒有任何其他區(qū)別.從甲、乙兩袋中各隨機(jī)摸出1個(gè)球，用畫樹狀圖（或列表）的方法，求摸出的兩個(gè)球上數(shù)字之是6的概率.0 1 40 1 40 520 1 42 3 60 1 45 6 9甲袋乙袋和所以2.三角問題這類數(shù)學(xué)問題（12年第20題、13年第19題）主要是根據(jù)大家都非常熟悉的生活實(shí)物中抽象出來(lái)的，讓大家感受生活中處處有數(shù)學(xué)，處處用數(shù)學(xué)，體會(huì)數(shù)學(xué)的重要作用。對(duì)三角問題，有特別強(qiáng)的限制條件，那就是一定要轉(zhuǎn)化到直角三角形中，若圖中無(wú)直角三角形，那肯定是分析題意，作出直角三角形后，再運(yùn)用三角知識(shí)解答，這類問題大多時(shí)候是與實(shí)際聯(lián)系的，所以對(duì)結(jié)果都有精確度的要求，兩種提法：一

13、是結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后多少位；另一是結(jié)果保留幾位有效數(shù)字，這是學(xué)生容易忽視的地方，即是造成許多會(huì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生也不能得滿分的地方。整體看，這類問題屬于中高檔題，本文僅對(duì)12年的第20題進(jìn)行了簡(jiǎn)單分析。圖 7（13年第19題）如圖7，岸邊的點(diǎn)a處距水面的高度ab為2.17米，橋墩頂部點(diǎn)c距水面的高度 cd為23.17米.從點(diǎn)a處測(cè)得橋墩頂部點(diǎn)c的仰角為26°，求岸邊的點(diǎn)a與橋墩頂部點(diǎn)c之間的距離.（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin26°=0.44，cos26°=0.90，tan26°=0.49）圖 8例5（12年第20題）如圖8，有一個(gè)晾衣架放置在水

14、平地面上，在其示意圖中，支架oa、ob的長(zhǎng)均為108cm，支架oa與水平晾衣桿oc的夾角aoc為59°，求支架兩個(gè)著地點(diǎn)之間的距離ab.（結(jié)果精確到0.1cm）(參考數(shù)據(jù)：sin59°=0.86，cos59°=0.52，tan59°=1.66)分析：此題容易分析出三角形abo是等腰三角形，所以想到過點(diǎn)o作底邊ab的高線，即是中線，在直角三角形ado中，先解出ad，進(jìn)而得出ab=2ad。具體解法如下： 總之,數(shù)無(wú)形不直觀，形無(wú)數(shù)難入微。數(shù)形結(jié)合的思想貫穿著整個(gè)初中階段的教學(xué)，并有著舉足輕重的作用，是為高中階段及大學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做的鋪墊。因此數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中要做好數(shù)與形關(guān)系的揭示、轉(zhuǎn)化、結(jié)合，幫助學(xué)生解決問題。從而深化學(xué)生的思維，擴(kuò)展他們知識(shí)的寬度和廣度，提高解題能力。參考文獻(xiàn)：1初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版).2 李花花.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合提高解題能力的研究d:碩士學(xué)位論文.天津：天津師范大學(xué)，2008