關(guān)于線性變換的可對角化問題畢業(yè)論文

1、 本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 題題 目：目： 關(guān)于線性變換的可對角化問題關(guān)于線性變換的可對角化問題 學(xué)學(xué) 生：生： 學(xué)號學(xué)號: : 學(xué)學(xué) 院：院： 專業(yè)專業(yè): : 入學(xué)時間：入學(xué)時間： 年年 月月 日日 指導(dǎo)教師：指導(dǎo)教師： 職稱職稱: : 完成日期：完成日期： 年年 月月 日日誠 信 承 諾我謹在此承諾：本人所寫的畢業(yè)論文關(guān)于線性變換的可對角化問題均系本人獨立完成，沒有抄襲行為，凡涉及其他作者的觀點和材料，均作了注釋，若有不實，后果由本人承擔(dān)。 承諾人（簽名）：承諾人（簽名）： 年年 月月 日日 關(guān)于線性變換的可對角化問題關(guān)于線性變換的可對角化問題摘摘 要要：線性變換可對角化問題是高等代數(shù)的重要內(nèi)

2、容.我們可以通過探討矩陣的可對角化問題來研究線性變換的可對角化問題.本文先給出可對角化的概念;再探討線性變換可對角化的判定以及其在高等代數(shù)中應(yīng)用，并簡略介紹幾種特殊的可對角化問題.關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：線性變換可對角化；特征值；特征向量；最小多項式；矩陣可對角化；實對稱矩陣diagonolization of linear transformationabstract: the diagonolization of linear transformation, which can be studied by the diagonalization of matrix, is important in

3、higher algebra. in this paper, we first introduce the conception of diagonolization, then discuss the decision of diagonolization of linear transformation and its applications in the advanced algebra, moreover, we introduce briefly several kinds of special diagonolization problems. key words: diagon

4、alization of linear transformation; eigenvalue; eigenvector; minimal polynomial ; matrix diagonalization; real symmetric matrices 目目 錄錄1 1 引言引言.1.12 2 可對角化的概念可對角化的概念.1.13 3 判定方法判定方法.1.14 4 兩個矩陣同時合同對角化兩個矩陣同時合同對角化.4.45 5 幾類特別的可對角化矩陣幾類特別的可對角化矩陣.6.66 6 應(yīng)用應(yīng)用.6.66.16.1 矩陣相似的判斷矩陣相似的判斷.6.66.26.2 方陣高次冪方陣高次冪.

5、7.76.36.3 化實對稱矩陣為對角形矩陣化實對稱矩陣為對角形矩陣.7.76.46.4 求特征值求特征值.8.86.56.5 經(jīng)典例題經(jīng)典例題.8.87 7 小結(jié)小結(jié).9.9參考文獻參考文獻.10.101 1 引言引言我們要想研究可對角化問題,可以從它在某組基下的矩陣下手.那我們該如何研究這個問題?它的概念是什么?對角化有哪些判斷方法?它們應(yīng)該如何應(yīng)用?下面將綜合介紹一下以上問題.2 2 可對角化的概念可對角化的概念定義定義88 設(shè)是維線性空間的一個線性變換, 為在某一組基下的nva矩陣且與矩陣相似，其中矩陣是對角形矩陣，則稱可對角化,也稱線性abba變換可對角化.我們把叫做的相似對角形矩陣

6、.ba3 3 判定方法判定方法3.13.1 定理定理 1 188 設(shè)維線性空間內(nèi)有一個線性變換，且為它在某一組基下的na矩陣，要是為對角形矩陣，那么可對角化.a例例 1 1 設(shè)在三維線性空間內(nèi)有一個線性變換，是在基4000300031a下的矩陣，由于為對角形矩陣，可知可對角化.321,1a3.23.2 定理定理 2 211 設(shè)是維線性空間內(nèi)的一個線性變換，且有個線性無關(guān)nn的特征向量，則可對角化.證明 “必要性” 假設(shè)可對角化，令.),(21n),(21nm21即 ，；特征值為，則 是的特iii)(ni, 2 , 1n21,n,21征向量,由已學(xué)知識可知是不相關(guān)的.n,21“充分性” 設(shè)有個不

7、相關(guān)的向量，并且它們都是的特征nn,21向量，設(shè) ，其中； 將作為線性空間中的一iii)(ni, 2 , 1n,21組基，則滿足：)(,),(),(21n),(2211nn .),(21nm21即在基下的矩陣為對角形矩陣，從而可對角化.n,21例例 2 222 是在基下的矩陣，試利用定理 2 判163222123a321,斷是否可對角化.解 由于，的特征值為：)4()2(1632221232aea.4, 2321對于，由知基礎(chǔ)解系是：22102xae和.012101由已學(xué)知識可知它們是線性無關(guān)的，故它們對應(yīng)的特征向量為：, .2112312對于，由知基礎(chǔ)解系是：4304xae.13231由已學(xué)

8、知識可知它是線性無關(guān)的，故它對應(yīng)的特征向量為：.32133231由以上可知包含三個特征向量，并且它們是線性無關(guān)的.其個數(shù)123剛好等于空間維數(shù)，由定理 1 知可對角化.3.23.2 推論推論 1 122 設(shè)是維線性空間的一個線性變換，若在數(shù)域中的特征nvp多項式包含個互不相等的根，那么可對角化.n例例 3 3 設(shè)二維線性空間內(nèi)有一個線性變換，是它在基下3102a21,的矩陣，試利用推論 1 判斷是否可對角化.解 由知的特征值為.3102ae)3)(2(a3, 221因為它們是不相等的，所以特征值的個數(shù)與空間維數(shù)相等.由推論 1 知可對角化.3.33.3 推論推論 2 255 設(shè)維線性空間內(nèi)有一

9、個線性變換，其中的特征值是nv，并且它們是不相同的.用來表示對應(yīng)的個特征n,21iirii,21iir向量，那么：;, 2 , 1ki ，則可對角化.1nrrri21 ，則不可對角化. 2nrrri21例例 4 4 已知 ，試利用推論 2 判斷它們是否,4001300132a4000301033a可對角化.解 通過計算和知的特征值是相同的，它們02 ae03 ae32, aa全部為（二重） ，.3142首先討論，對于（二重） ，由知它的基礎(chǔ)解系是：2a31032xae.因為是的特征值而且是二重根，但只對應(yīng)一個特征向量，t0 , 0 , 11312a故只包含個特征向量.它的個數(shù)比空間維數(shù)要少，由

10、推論 2 知不可對角2a22a化.最后討論 ，對于（二重） ，由知它的基礎(chǔ)解系是：3a31033xae . 對于，由知它的基礎(chǔ)解系是：tt01000121，和，42043xae；故有 個特征向量而且它們是線性無關(guān)的，特征向量的個數(shù)與t1013，3a3空間維數(shù)相等，由推論 2 知可對角化.3a3.43.4 定理定理 3 377 在數(shù)域上，設(shè)是矩陣的所有互不相同的pk，3 ,21a特征值.如果滿足，那么可以對角 0321eaeaeaeaka化.例例 5 5 設(shè)有一個線性變換，是它在基下的矩163222123a321,陣，試利用定理 3 判斷能否可對角化. 解 由上面例 2 知，故是矩陣的所有不同

11、422ae4-2與a特征值.又 .00000000036322212736324212142eaea通過定理 3 知可以對角化.a3.53.5 定理定理 4 499 是復(fù)數(shù)域上的矩陣，當矩陣的最小多項式?jīng)]有重根時，則aa可以對角化.a例例 6 6 設(shè)一個線性變換，是它在基下的矩陣，163222123a321,試利用定理 4 判斷是否可對角化.解 由上面例 2 知，則的最小多項式有以下兩種 422aea可能：. 42422或計算推出的最小多項式為.通過定理 4 知042eaeaa42可對角化.a4 41010 兩個矩陣同時合同對角化兩個矩陣同時合同對角化4.14.1 定義定義1010 設(shè)矩陣，若

12、存在可逆矩陣，使和同時abnnrpapptbppt為對角形矩陣，則、可同時合同對角化.ab4.24.21010 同時合同對角化的計算方法同時合同對角化的計算方法下面是以為階實對陣正定矩陣，為anb階實對陣矩陣為例給出計算步驟：n（1）求出的個特征值，再求出特征向量；an（2）對于每個不一樣的特征值，把它們的特征向量標準正交化后通過列的形式構(gòu)成階正交陣，那么，令n1pntdiagapp，2111，ndiagpp111211，則是可逆的，同時滿足；pappte（3）解出，再求出它的個特征值和它的個特征向量；bpptnini（4）對每個不同的特征值，把它們的特征向量標準正交化后通過列的形式構(gòu)成n階正

13、交矩陣，則；qnttdiagqbppq，21（5）記，則.pqt nttdiagbtteatt，21例例 7 7 設(shè)，求可逆矩陣將、可同時合同200011010200021012ba，tab對角化.解 計算可知為的特征值.0 ae321321，a對于，由得出它的一個特征向量為；1101xaet0111，對于，由得出它的一個特征向量為；2202xaet1002，對于，由得出它的一個特征向量為.3303xaet0113，將其單位化得.ttt021 ,2110002121321，則正交矩陣，.01021021210211p32111appt記，則.02106102161021312111pp2103

14、21010321021appt其特征方程為.031131bppet它們的特征值為.31131321，由知是的一個特征向量；01xbppett23011，1由知是的一個特征向量；02xbppett0102，2由知是的一個特征向量；03xbppett23013，3將其單位化，則；322322032223010322103221q于是有：.31131qbppqtt，021032613032613326103261pqt則可逆，且t，31131btteeqqqappqattttttt，故就是合乎題意的矩陣. t5 5 幾類特別的可對角化矩陣幾類特別的可對角化矩陣命題命題 4.14.144 如果一個矩陣

15、為實對稱矩陣，那么該矩陣可以對角化.命題命題 4.24.244 如果一個矩陣為對合矩陣，那么該矩陣可以對角化.ea 2命題命題 4.34.344 如果一個矩陣為周期矩陣，那么該矩陣可以對角化.)(eam命題命題 4.44.477 如果一個矩陣為冪等矩陣，那么該矩陣可以對角化.aa 2命題命題 4.54.577 如果一個矩陣為循回矩陣，那么該矩陣可以對角化.命題命題 4.64.644 如果一個矩陣為冪零矩陣，那么該矩陣不可以對角)00(maa，化.解 通過計算，和知的特征01 ae02 ae03 ae321,aaa值相同，它們?nèi)繛椋ǘ兀?，；其中已經(jīng)是對角形矩陣，所以31421a只需判斷，

16、是否可對角化.2a3a首先討論，對于（二重） ，由知它的基礎(chǔ)解系是：2a31032xae.因為是的特征值而且是二重根，但只對應(yīng)一個特征向量，t0 , 0 , 11312a故只包含個特征向量.它的個數(shù)比空間維數(shù)要少，由推論 2 知不可對角2a22a化，則與不相似.1a2a最后討論 ，對于（二重） ，由知它的基礎(chǔ)解系是：3a31033xae . 對于，由知它的基礎(chǔ)解系為：tt01000121，和，42043xae,故有 個特征向量而且它們是線性無關(guān)的，特征向量的個數(shù)與空t1013，3a3間維數(shù)相等，由推論 2 知可對角化, 則與相似.3a1a3a 參考文獻：參考文獻：1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組高等代數(shù)m北京，2003：2992 邱森高等代數(shù)武漢：武漢大學(xué)出版社，2008：216-219 3 張禾端，郝炳新高等代數(shù)m4 版北京：高等教育出版社，20004 李志慧，李永明高等代數(shù)中的典型問題與方法j北京：科學(xué)出