函數(shù)的周期性

1、函數(shù)的周期性：函數(shù)的周期性： 對于函數(shù)對于函數(shù)y= =f( (x),),如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)t，使得當(dāng)，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，f( (x+ +t)=)=f( (x) )都成立，那么就把函數(shù)都成立，那么就把函數(shù)y= =f( (x) )叫做叫做周期函數(shù)，周期函數(shù)，t叫做函數(shù)的周期叫做函數(shù)的周期. . 如果如果t為函數(shù)的一個(gè)周期，那么為函數(shù)的一個(gè)周期，那么t的整數(shù)倍的整數(shù)倍nt也是函數(shù)的周期；如果在所有的周期中存在也是函數(shù)的周期；如果在所有的周期中存在著一個(gè)最小的正數(shù)，就把這個(gè)最小的正數(shù)叫做著一個(gè)最小的正數(shù)，就把這個(gè)最小的正數(shù)叫做最小正周

2、期最小正周期. .（3 3）函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性這三）函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性這三個(gè)性質(zhì)是相互聯(lián)系的，根據(jù)其中的兩個(gè)，個(gè)性質(zhì)是相互聯(lián)系的，根據(jù)其中的兩個(gè)，往往可以求出另外一個(gè)往往可以求出另外一個(gè). .(2)r( )()( )1()( ) ()( )1().(0)( ),2( ).f xf xtf xf xtf xf xtf xf xttf xtf x 對對于于定定義義域域?yàn)闉?的的函函數(shù)數(shù)，除除外外，等等關(guān)關(guān)系系，也也是是周周期期性性的的主主要要特特征征 且且是是的的一一個(gè)個(gè)周周期期(1).周周期期函函數(shù)數(shù)不不一一定定有有最最小小正正周周期期()(,)( ,)().yfxa a c

3、b b cyfx 若若 函函 數(shù)數(shù)既既 關(guān)關(guān) 于于 點(diǎn)點(diǎn)對對 稱稱 ，又又 關(guān)關(guān) 于于 點(diǎn)點(diǎn)對對 稱稱 ，求求 證證 ： 函函 數(shù)數(shù)為為 周周 期期 函函 數(shù)數(shù)11122( ,)( , )(2,2),( , )(2,2)( , )(,),(2)2(22 )(2)2( , ),(,)m x yma a cmaxcya a cmmaxcyb b cmxyaxxbxbaxcyycyyb b cmxy 解解析析：設(shè)設(shè)為為函函數(shù)數(shù)圖圖象象上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)關(guān)關(guān)于于點(diǎn)點(diǎn)的的對對稱稱點(diǎn)點(diǎn)為為因因?yàn)闉楹瘮?shù)數(shù)圖圖象象關(guān)關(guān)于于點(diǎn)點(diǎn)對對稱稱，則則也也在在函函數(shù)數(shù)圖圖象象上上；點(diǎn)點(diǎn)關(guān)關(guān)于于點(diǎn)點(diǎn)的的對對稱稱點(diǎn)

4、點(diǎn)為為則則函函數(shù)數(shù)圖圖象象關(guān)關(guān)于于點(diǎn)點(diǎn)對對稱稱也也在在函函數(shù)數(shù)圖圖象象上上(22)( )(22)( )2 |yfbaxyf xfbaxf xtba 且且周周期期2( )( )|.yf xxaxbyf xba 若若函函數(shù)數(shù)既既關(guān)關(guān)于于直直線線對對稱稱，又又關(guān)關(guān)于于直直線線對對稱稱，那那么么函函數(shù)數(shù)為為周周期期函函數(shù)數(shù)，周周期期為為2( )2 2,2( )1 6, 2( ).yf xrxxf xxxf x 已已知知函函數(shù)數(shù)為為 上上的的偶偶函函數(shù)數(shù)，且且關(guān)關(guān)于于直直線線對對稱稱，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，求求時(shí)時(shí)，的的解解析析式式( )( )2|.yf xxaxbyf xba 結(jié)結(jié)論論：若若函函數(shù)數(shù)既既關(guān)關(guān)于于直

5、直線線對對稱稱，又又關(guān)關(guān)于于直直線線對對稱稱，那那么么函函數(shù)數(shù)為為周周期期函函數(shù)數(shù)，周周期期為為4( )( , )( )|.f xxaa b cf xab 若若函函數(shù)數(shù)既既關(guān)關(guān)于于直直線線對對稱稱，又又關(guān)關(guān)于于點(diǎn)點(diǎn)對對稱稱，則則函函數(shù)數(shù)為為周周期期函函數(shù)數(shù)，周周期期為為( )( )( )(1),(2)(2004).f xg xg xf xfaf 已已知知函函數(shù)數(shù)為為偶偶函函數(shù)數(shù)，為為奇奇函函數(shù)數(shù)，且且，求求的的值值. |4)(),()(baxfcbaaxxf 為為周周期期函函數(shù)數(shù)，周周期期為為那那么么函函數(shù)數(shù)對對稱稱，對對稱稱，由由關(guān)關(guān)于于點(diǎn)點(diǎn)既既關(guān)關(guān)于于直直線線結(jié)結(jié)論論：若若函函數(shù)數(shù)1( )

6、1(2)(2)23,(2006);1( )(2)( )(1)(1)(0)19,(4)93(59).f xf xfff xf xf xf xxrfff （ ）已已知知且且求求已已知知對對一一切切都都成成立立，且且，求求23321)2(1)42()6()2006()()4(1)8()(1)(1)(11)(1)(11)2(1)2(1)4(1 ffffxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxf）解：（解：（(2)( )(1)(1)1,(1)( )(2)(1)(1)(2)(1)(2)(3)( )(6)( )(59)(6 95)(5)(4)(6)(4)(0)112f xf xf xxxf xf xf x

7、f xf xf xf xf xf xf xf xf xfffffff 對對一一切切實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)都都成成立立，用用替替換換得得22770 71301202005 2005( )(,)()(),()(), , ( )( ).( )( )( )( ),f xfxfxfxfxffyf xf x 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在上上滿滿足足且且在在區(qū)區(qū)間間上上，只只有有試試判判斷斷函函數(shù)數(shù)的的奇奇偶偶性性；試試求求方方程程在在閉閉區(qū)區(qū)間間上上根根的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)，并并證證明明你你的的結(jié)結(jié)論論. . 22441477141010310703033( -)()()( )()()( -)()()( )( )()( )( )( ),( ),(),( )()fxfxfxf xfxfxfxfxfxf xf xfxf xtffffff解解：(1)(1)由由函函數(shù)數(shù)的的周周期期為為又又而而故故函函數(shù)數(shù)是是非非奇奇非非偶偶函函數(shù)數(shù). .2103107900 1010 00 20054022005 04002005 2005802( )( )( )( ),(- )(- )( ) , ( )-( )-f xfffff xyf xyf x 函函數(shù)數(shù)的的周周期期為為 ，且且故故在在和和上上均均有有兩兩個(gè)個(gè)解解，從從而而可可知知函函數(shù)數(shù)在在 ，上上有有