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1、 鼎吉教育(dinj education)中小學(xué)生課外個(gè)性化輔導(dǎo)中心資料 初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題培訓(xùn)講練初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題培訓(xùn)第二十六講 含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問(wèn)題學(xué)習(xí)地址:佛山市南海區(qū)南海大道麗雅苑中區(qū)雅廣居2 d 第3頁(yè) 咨詢(xún)熱線13760993549(吉老師)對(duì)于一元二次方程ax2bxc=0(a0)的實(shí)根情況,可以用判別式=b2-4ac來(lái)判別,但是對(duì)于一個(gè)含參數(shù)的一元二次方程來(lái)說(shuō),要判斷它是否有整數(shù)根或有理根,那么就沒(méi)有統(tǒng)一的方法了,只能具體問(wèn)題具體分析求解,當(dāng)然,經(jīng)常要用到一些整除性的性質(zhì)本講結(jié)合例題來(lái)講解一些主要的方法例1 m是什么整數(shù)時(shí),方程(m2-1)
2、x2-6(3m-1)x720有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根解法1 首先,m2-10,m±1=36(m-3)20,所以m3用求根公式可得由于x1,x2是正整數(shù),所以m-1=1,2,3,6,m+1=1,2,3,4,6,12,解得m=2這時(shí)x1=6,x2=4解法2 首先,m2-10,m±1設(shè)兩個(gè)不相等的正整數(shù)根為x1,x2,則由根與系數(shù)的關(guān)系知所以m2-1=2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72,即m23,4,5,7,9,10,13,19,25,37,73,只有m2=4,9,25才有可能,即m=±2,±3,±5經(jīng)檢驗(yàn),只有m=2時(shí)方程才有兩個(gè)不
3、同的正整數(shù)根說(shuō)明 一般來(lái)說(shuō),可以先把方程的根求出來(lái)(如果比較容易求的話),然后利用整數(shù)的性質(zhì)以及整除性理論,就比較容易求解問(wèn)題,解法1就是這樣做的有時(shí)候也可以利用韋達(dá)定理,得到兩個(gè)整數(shù),再利用整除性質(zhì)求解,解法2就是如此,這些都是最自然的做法例2 已知關(guān)于x的方程a2x2-(3a2-8a)x2a2-13a15=0(其中a是非負(fù)整數(shù))至少有一個(gè)整數(shù)根,求a的值分析 “至少有一個(gè)整數(shù)根”應(yīng)分兩種情況:一是兩個(gè)都是整數(shù)根,另一種是一個(gè)是整數(shù)根,一個(gè)不是整數(shù)根我們也可以像上題一樣,把它的兩個(gè)根解出來(lái)解 因?yàn)閍0,所以所以所以只要a是3或5的約數(shù)即可,即a=1,3,5例3 設(shè)m是不為零的整數(shù),關(guān)于x的二
4、次方程mx2-(m-1)x10有有理根,求m的值解 一個(gè)整系數(shù)的一元二次方程有有理根,那么它的判別式一定是完全平方數(shù)令=(m-1)2-4mn2,其中n是非負(fù)整數(shù),于是m2-6m+1=n2,所以 (m-3)2-n2=8,(m-3n)(m-3-n)8由于m-3nm-3-n,并且(m-3n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶數(shù),所以m-3n與m-3-n同奇偶,所以說(shuō)明 一個(gè)整系數(shù)的一元二次方程如果有整數(shù)根或有理根,那么它的判別式一定是完全平方數(shù),然后利用平方數(shù)的性質(zhì)、解不定方程等手段可以將問(wèn)題解決例4 關(guān)于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一個(gè)整數(shù)解,且a是整數(shù),求a的值解 當(dāng)a=
5、0時(shí),原方程變成-6x-2=0,無(wú)整數(shù)解當(dāng)a0時(shí),方程是一元二次方程,它至少有一個(gè)整數(shù)根,說(shuō)明判別式4(a-3)2-4a(a-2)4(9-4a)為完全平方數(shù),從而9-4a是完全平方數(shù)令9-4a=n2,則n是正奇數(shù),要使x1為整數(shù),而n為正奇數(shù),只能n=1,從而a=2要使x2為整數(shù),即n-34,n可取1,5,7,從而a=2,-4,-10綜上所述,a的值為2,-4,-10說(shuō)明 本題是前面兩種方法的“綜合”既要用判別式是平方數(shù),又要用直接求根有時(shí)候,往往是幾種方法一同使用例5 已知關(guān)于x的方程x2(a-6)xa=0的兩根都是整數(shù),求a的值解 設(shè)兩個(gè)根為x1x2,由韋達(dá)定理得從上面兩式中消去a得x1x
6、2+x1+x26,所以 (x11)(x2+1)=7,所以a=x1x2=0或16說(shuō)明 利用韋達(dá)定理,然后把參數(shù)消去,得到的是關(guān)于x1,x2的不定方程,而求解這個(gè)對(duì)稱(chēng)的不定方程往往是容易入手的例6 求所有有理數(shù)r,使得方程rx2+(r+1)x(r-1)=0的所有根是整數(shù)分析 首先對(duì)r=0和r0進(jìn)行討論r=0時(shí),是關(guān)于x的一次方程;r0時(shí),是關(guān)于x的二次方程,由于r是有理數(shù),處理起來(lái)有些困難,這時(shí)用直接求根或用判別式來(lái)做,均不能奏效可用韋達(dá)定理,先把這個(gè)有理數(shù)r消去解 當(dāng)r=0時(shí),原方程為x-1=0,所以x=1當(dāng)r0時(shí),原方程是關(guān)于x的一元二次方程,設(shè)它的兩個(gè)整數(shù)根為x1,x2,且x1x2,則消去r
7、得x1x2-x1-x22,所以(x1-1)(x2-1)=3例7 已知a是正整數(shù),且使得關(guān)于x的一元二次方程ax22(2a-1)x4(a-3)=0至少有一個(gè)整數(shù)根,求a的值解 將原方程變形為(x2)2a= 2(x6)顯然x20,于是由于a是正整數(shù),所以a1,即所以 x2+2x-80,(x4)(x-2)0,所以 -4x2(x-2)當(dāng)x=-4,-3,-1,0,1,2時(shí),得a的值為1,6,10,3,說(shuō)明 從解題過(guò)程中知,當(dāng)a=1時(shí),有兩個(gè)整數(shù)根-4,2;當(dāng)a=3,6,10時(shí),方程只有一個(gè)整數(shù)根有時(shí)候,在關(guān)于x的一元二次方程中,如果參數(shù)是一次的,可以先對(duì)這個(gè)參數(shù)來(lái)求解例8 已知方程x2+bx+c=0與x
8、2+cxb=0各有兩個(gè)整數(shù)根x1,x2(2)求證:b-1cb1;(3)求b,c的所有可能的值解 (1)由x1x20知,x1與x2同號(hào)若x10,則x20,(2)由(1)知,x10,x20,所以x1-1,x2-1由韋達(dá)定理c-(b-1)=x1x2x1x21=(x11)(x2+1)0,所以 cb-1同理有所以 cb+1,所以 b-1cb+1(3)由(2)可知,b與c的關(guān)系有如下三種情況:(i)c=b1由韋達(dá)定理知x1x2=-(x1x2)1,所以 (x11)(x21)=2,解得x1x2=-5,x1x2=6,所以b=5,c=6(ii)c=b由韋達(dá)定理知x1x2=-(x1x2),所以 (x1+1)(x21
9、)=1,所以x1=x2=-2,從而b=4,c=4(iii)c=b-1由韋達(dá)定理知所以綜上所述,共有三組解:(b,c)=(5,6),(4,4),(6,5)練習(xí)二十六1填空:(1)方程x2+px+1997=0恰有兩個(gè)正整數(shù)根x1,x2,(2)已知k為整數(shù),且關(guān)于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x18=0有兩個(gè)不相同的正整數(shù)根,則k=_(3)兩個(gè)質(zhì)數(shù)a,b恰好是關(guān)于x的方程x2-21xt=0的兩個(gè)根,(4)方程x2+pxq=0的兩個(gè)根都是正整數(shù),并且p+q=1992,則方程較大根與較小根的比等于_(5)已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x24=0有兩個(gè)不相等的負(fù)整數(shù)根,則整數(shù)a的值是_2設(shè)m為整數(shù),且4m40,又方程(x2-2(2m-3)x+
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