理論力學(xué)I第七版答案

1、第十一章第十一章 動量矩定理動量矩定理11-1 11-1 質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩1質(zhì)點的動量矩質(zhì)點的動量矩對點對點o的動量矩的動量矩vmrvmmo)()()(vmmvmmzzo)(1iioniovmml)(1iiznizvmml對對 z 軸的動量矩軸的動量矩 單位：單位：kgm2/s 2質(zhì)點系的動量矩質(zhì)點系的動量矩 對點的動量矩對點的動量矩 對軸的動量矩對軸的動量矩)( vmmz 等于等于 對點對點o的矩。的矩。xyvm )( vmmz 是代數(shù)量，從是代數(shù)量，從 z 軸正向看，逆時針為正，順軸正向看，逆時針為正，順時針為負。時針為負。iiiiizzrvmvmml)(2iiii

2、irmrrm2iizrmjzzjl （1） 剛體平移。可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，剛體平移?？蓪⑷抠|(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個質(zhì)點來計算。作為一個質(zhì)點來計算。)(czzvmml )(coovmml ，（2） 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動剛體繞定軸轉(zhuǎn)動 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量zzollkljlillzyxo 即即 )(dd)(ddvmrtvmmto)(ddddvmtrvmtr 11-2 動量矩定理動量矩定理 1質(zhì)點的動量矩定理質(zhì)點的動量矩定理設(shè)設(shè)o為定點，有為定點，有0vmvfvmt)(dd其中：其中：vtrdd （o為定點）為定點）)()(ddfmvmmtxx)()(ddfmvmmtyy)()(ddfmvmmtzz投影

3、式：投影式：)()(ddfmvmmtoo因此因此 稱為稱為質(zhì)點的動量矩定理質(zhì)點的動量矩定理：質(zhì)點對某定點的動量矩對：質(zhì)點對某定點的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用力對同一點的矩。時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用力對同一點的矩。tlvmmtvmmtoiioiiodd)(dd)(dd)(dd)(eioofmtl得得稱為稱為質(zhì)點系的動量矩定理質(zhì)點系的動量矩定理：質(zhì)點系對某定點：質(zhì)點系對某定點o的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對于同一點的矩的矢量和。外力對于同一點的矩的矢量和。)()()(dd)()(eioiioiiofmfmvmmt)()()(dd)()(

4、eioiioiiofmfmvmmt2. 質(zhì)點系的動量矩定理質(zhì)點系的動量矩定理 由于由于 0)()(iiofm)(dd)(eixxfmtl)(dd)(eiyyfmtl投影式：投影式：)(dd)(eizzfmtl內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的動量矩。內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的動量矩。rmgmmeosin)(rmgmmvrjtsindd22sinmrjmgrmra例例11-1 已知：小車已知：小車 ，不計摩擦。，不計摩擦。,mjrma求小車的加速度求小車的加速度 。rvmjlo解：解：rvatvdd由由 ， ， 得得例例11-3：已知：已知 ， ， ， ， ， ，不計摩擦。，不計摩擦。moj1m2m1r2r求（求（

5、1）nf （2）o處約束力處約束力 （3）繩索張力）繩索張力 ，1tf2tf)(222211rmrmjogrmrmfmeo)()(2211)(2222112211)(ddrmrmjgrmrmto 由由 ，得，得)(dd)(eoofmtl解：解：222111rvmrvmjloo（1）cynammmgmmmf)()(2121212211212211)(mmmrmrmmmmamammymyaiiiccy 111111rmamfgmt)(111rgmft)()(221121rmrmgmmmfn （2）由質(zhì)心運動定理）由質(zhì)心運動定理 （3） 研究研究1m222222rmamgmft)(222rgmft2

6、m（4）研究）研究3動量矩守恒定律動量矩守恒定律若若 ，則，則 常矢量；常矢量；0)()(eofmol若若 ，則，則 常量。常量。0)()(ezfmzl求：剪斷繩后，求：剪斷繩后， 角時的角時的 。例例11-4：兩小球質(zhì)量皆為：兩小球質(zhì)量皆為 ，初始角速度，初始角速度 。m0020221maamalz2)sin(22lamlz時，時，00 時，時，202)sin(laa由由 ，得，得21zzll解：解： 11-3 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程nfff,21主動力：主動力：21,nnff約束力約束力：)()()(ddinzizzfmfmjt)(izfm)(ddizzfmtj即

7、即：)(fmjzz或或)(dd22fmtjzz或或例例11-7：已知：已知 ，動滑動摩擦系數(shù)，動滑動摩擦系數(shù) ，求制動所需時間求制動所需時間 。trfjno,0ftrffjtnoodd00rffjtnoorfffrtjnodd解：解：21iinizrmj11-4 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量 單位：單位：kgm2 1. 簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量計算簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量計算（1）均質(zhì)細直桿對一端的轉(zhuǎn)動慣量）均質(zhì)細直桿對一端的轉(zhuǎn)動慣量 3d320lxxjlllz231mljzlml由由 ，得，得42)d2(402rrrrjarao222mrmrrmjiiz（2）均質(zhì)薄圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量

8、）均質(zhì)薄圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量aiiirrmd2（3）均質(zhì)圓板對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量）均質(zhì)圓板對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量2rma式中：式中：221mrjo 或或2. 2. 回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑）回轉(zhuǎn)半徑（慣性半徑） mjzz2zzmj或或2mdjjzcz3平行軸定理平行軸定理czdzz 式中式中 軸為過質(zhì)心且與軸為過質(zhì)心且與 軸平行的軸，軸平行的軸， 為為cz與與 軸之間的距離。軸之間的距離。即：剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對即：剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對于通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加于通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。上剛體的質(zhì)量與兩軸間距

9、離平方的乘積。)(2121yxmjizc)(222yxmrmjiiz)(2121dyxmiiiimdymdyxm2121212)(01iicmymy證明：證明：因為因為2mdjjzcz01ymi有有 ，得，得231mljzlm,例例11-9：均質(zhì)細直桿，已知：均質(zhì)細直桿，已知 。cz求：對過質(zhì)心且垂直于桿的求：對過質(zhì)心且垂直于桿的 軸的轉(zhuǎn)動慣量。軸的轉(zhuǎn)動慣量。z對一端的對一端的 軸，有軸，有要求記住三個轉(zhuǎn)動慣量要求記住三個轉(zhuǎn)動慣量22mr（1） 均質(zhì)圓盤對盤心軸的均質(zhì)圓盤對盤心軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量32ml（2） 均質(zhì)細直桿對一端的均質(zhì)細直桿對一端的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量122ml（3） 均質(zhì)細直桿對

10、中心軸均質(zhì)細直桿對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量12)2(22mllmjjzzc則則解：解：4組合法組合法oj求：求： 。ld例例10：已知桿長為：已知桿長為 質(zhì)量為質(zhì)量為 ，圓盤半徑為，圓盤半徑為 質(zhì)量為質(zhì)量為 。1m2m盤桿ooojjj231mljo桿2222)2()2(21dlmdmjo盤)83(222ldldm)83(3122221ldldmlmjo解：解：21jjjz2222112121rmrm)(214241rrljz21,rrm例例11-11：已知：已知： ， 解：解：lrm222lrm211其中其中mrrl)(2221由由 ，得，得)(212221rrmjz)(2122212221

11、rrrrlzj求求 。5實驗法實驗法o例：求對例：求對 軸的轉(zhuǎn)動慣量。軸的轉(zhuǎn)動慣量。將曲柄懸掛在軸將曲柄懸掛在軸 o 上，作微幅擺動。上，作微幅擺動。mgljt2由由lm,tj其中其中 已知，已知， 可測得，從而求得可測得，從而求得 。解：解：6. 查表法查表法均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量薄壁薄壁圓筒圓筒細直細直桿桿體積體積慣性半慣性半徑徑轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量簡簡 圖圖物體物體的形的形狀狀212lmjcz23lmjz32lcz3lz2mrjzrzrlh2薄壁薄壁空心空心球球空心空心圓柱圓柱圓柱圓柱)3(1221222lrmjjmrjyxz)3(121222lrryxzlr2)(222rrm

12、jz)(2122rrz)(22rrl232mrjzrz32rh23圓環(huán)圓環(huán)圓錐圓錐體體實心實心球球252mrjzrz52343r)4(803103222lrmjjmrjyxz)4(80310322lrryxzlr23)43(22rrmjz2243rrzrr222矩形矩形薄板薄板長方長方體體橢圓橢圓形薄形薄板板222244)(4bmjamjbamjyyz222122babayxzabh)(12)(12)(12222222cbmjcamjbamjyyz)(121)(121)(121222222cbcabayxzabc22221212)(12bmjamjbamjyyzbabayxz289. 0289

13、. 0)(12122abh11-5 質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理1對質(zhì)心的動量矩對質(zhì)心的動量矩iiiiiccvmrvmml 由于由于ircivvv0mrmriic（因（因 ） 有有 iriicvmrl iriiciicvmrvmrl得得0)( ciiciivvmvmr其中其中即：質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩，無論是以相對速度或即：質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩，無論是以相對速度或以絕對速度計算質(zhì)點系對于質(zhì)心的動量矩其結(jié)果相同。以絕對速度計算質(zhì)點系對于質(zhì)心的動量矩其結(jié)果相同。iiccovmrrl iiiiicvmrvmrciiiciilvmrvmvm,cccolvmrlccolvm

14、m對任一點對任一點o的動量矩：的動量矩： eiicccofrlvmrttldddd2 相對質(zhì)心的動量矩定理相對質(zhì)心的動量矩定理 eiieicfrfr0dd,ddccccvmtrvtr由于由于tlvmtrvmtrcccccdddddd即即 eicccfrvmtrdd eiceicfrfr eiicfrtldd得得 )(ddeiccfmtl或或質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理：質(zhì)點系相對于質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理：質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系質(zhì)心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對質(zhì)心的主矩。的外力對質(zhì)心的主矩。 )(eccecfmjfam )(dddd2222

15、eccecfmtjftrm或或11-6 剛體的平面運動微分方程剛體的平面運動微分方程 )(ecceycyexcxfmjfmafma以上各組均稱為剛體平面運動微分方程。以上各組均稱為剛體平面運動微分方程。 )(eccenncettcfmjfmafma應(yīng)用時一般用投影式：應(yīng)用時一般用投影式： 例例11-12 半徑為半徑為r，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓輪沿水平的均質(zhì)圓輪沿水平直線滾動，如圖所示。設(shè)輪的慣性半徑為直線滾動，如圖所示。設(shè)輪的慣性半徑為 ，作用，作用于輪的力偶矩為于輪的力偶矩為m。求輪心的加速度。如果圓輪對。求輪心的加速度。如果圓輪對地面的滑動摩擦因數(shù)為地面的滑動摩擦因數(shù)為f，問力偶，問力偶m必須符合什么條必須符合什么條件不致使圓輪滑動件不致使圓輪滑動?c解：解：frmmmgfmafmacncycx2其中其中raaaacccxcy, 0得得mgfmafrrfmrmmrancccc,2222純滾動的條件：純滾動的條件：nsfff 即即rrmgfmcs22 例例11-13 均質(zhì)圓輪半徑為均質(zhì)圓輪半徑為r質(zhì)量為質(zhì)量為m ， 受到輕受到輕微擾動后，在半徑為微擾動后，在半徑