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1、鐘面上時(shí)針與分針之間夾角的計(jì)算公式與應(yīng)用(初一 )鐘面上時(shí)針與分針之間夾角的計(jì)算在新課標(biāo)教材七年級(jí)數(shù)學(xué)習(xí)題中常常出現(xiàn)。我們?cè)诮虒W(xué)過程中按探究性教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì), 將鐘面角計(jì)算轉(zhuǎn)化為鐘表行程問題, 讓同學(xué)們通過類似于科學(xué)研究的方式 “做數(shù)學(xué)” 得到了計(jì)算鐘面角的公式,使這一問題的解決方法更具一般性和更易于操作。下面是我們關(guān)于鐘面角計(jì)算的探究性教學(xué)過程:教材背景:學(xué)習(xí)了角的畫法, 會(huì)畫一個(gè)角等于已知角, 會(huì)畫角的和、差、倍。創(chuàng)設(shè)情景 1:如圖 1,時(shí)鐘在 12 點(diǎn) 20 分時(shí)分針、時(shí)針成多少度的角?ABOC圖 1圖 2分析引導(dǎo): 從圖 1 中抽象出幾何圖形如圖2,時(shí)鐘在 12 點(diǎn)時(shí)分針與時(shí)針重
2、合,設(shè)為射線 OA ,分針、時(shí)針繞 O 點(diǎn)旋轉(zhuǎn),時(shí)鐘在 12 點(diǎn) 20 分時(shí),時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OB,分針旋轉(zhuǎn)到 OC,此時(shí)分針與時(shí)針的夾角: COB = COA BOA 。時(shí)針的速度 V 時(shí)針°分,分針的速度V分針= 6°分,時(shí)間 t 時(shí)針 = t 分針= 0.5=20 分,而路程 =速度×時(shí)間,所以若將分針與時(shí)針之間的夾角看作是分針與時(shí)針的距離,則: COA=V BOA=V COB=V分針 × t 分針時(shí)針×t 時(shí)針分針 × t 分針 V 時(shí)針 ×t 時(shí)針解:設(shè) 12 點(diǎn) 20 分時(shí)分針、時(shí)針?biāo)山菫? V 分針 ×
3、t 分針 V 時(shí)針 × t 時(shí)針= 6°分× 20 分 0.5°分× 20 分= 5.5°創(chuàng)設(shè)情景 2:如圖 3,時(shí)鐘在 4 點(diǎn) 10 分時(shí)分針、時(shí)針成多少度的角?ACOB圖3圖4同學(xué)們很快就畫出了圖 4,找到等量關(guān)系: COB = BOA COA 解:時(shí)鐘在 4 點(diǎn) 10 分時(shí)分針、時(shí)針?biāo)山菫?= V 時(shí)針 × t 時(shí)針 V 分針 × t 分針= 0.5°分×( 4× 60 分 10 分) 6°分× 10 分= 65°創(chuàng)設(shè)情景 3:時(shí)鐘在 m 點(diǎn) n
4、分時(shí)分針、時(shí)針成多少度的角?經(jīng)過同學(xué)們的熱烈討論,找到了計(jì)算時(shí)鐘在 m 點(diǎn) n 分時(shí)分針、時(shí)針夾角 的公式:=V 時(shí)針 × t 時(shí)針 V 分針 × t 分針 = 0.5°分×( m×60 分 n 分) 6°分× n 分 = 30°× m 0.5°× n6°× n = 30°× m 5.5°× n同學(xué)們探究得到這一公式后,所有鐘面角計(jì)算問題就變的十分容易了。人教版三年制初中幾何第一冊(cè) (2001 年 5 月第一版)復(fù)習(xí)題一 A
5、組習(xí)題 12:時(shí)鐘在 8 點(diǎn)時(shí)分針、時(shí)針成多少度的角?8 時(shí) 30 分呢?利用上述公式解:設(shè) 8 點(diǎn)時(shí)分針、時(shí)針?biāo)山菫?x,設(shè) 8 點(diǎn) 30 分時(shí)分針、時(shí)針?biāo)山菫?y。1 = 30°× m5.5°× n= 30°× 8 5.5°× 0= 240°表示為 0° 180°的角:x = 360° 240°= 120°y = 30°× m 5.5°× n= 30°× 8 5.5°×
6、 30= 75°答:時(shí)鐘在 8 點(diǎn)時(shí)分針、時(shí)針成的角為 120°,8 時(shí) 30 分時(shí)分針、時(shí)針成的角為75°。再看幾個(gè)練習(xí):1、時(shí)鐘在 12 點(diǎn)時(shí)時(shí)針與分針是重疊的, 問時(shí)針至少轉(zhuǎn)過多少角度時(shí), 時(shí)針與分針又重疊了?(精確到 1)分析: 12 點(diǎn)后時(shí)針與分針第一次重疊一定是在1 點(diǎn)到 2 點(diǎn)之間。解:設(shè) 1 點(diǎn) n 分時(shí)分針與時(shí)針第一次重疊,則30°× 15.5°× n= 0°n = 6011此時(shí)時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為:(60 分 n 分)× 0.5°分 32°4338答:時(shí)鐘至少轉(zhuǎn)過 32
7、°4338時(shí),時(shí)針與分針又重疊了。2、小紅傍晚六點(diǎn)鐘之后去商場(chǎng)買本,走到商場(chǎng)看到鐘表上的時(shí)針與分針的夾角是 120°,買完本后, 走出商場(chǎng)看到鐘表上的時(shí)針與分針的夾角又是 120°,但已近晚上七點(diǎn)鐘了,問小紅買本用了多少時(shí)間?(精確到分)解:設(shè) 6 點(diǎn) n 分時(shí)分針與時(shí)針第一次重疊,則30°× 6 5.5°× n= 12 0°30°× 65.5°× n = 120°或 30°× 6 5.5°× n =120° n =
8、 12011 或 n = 60011買本所用時(shí)間為: 600 11120 11= 4801144答:小紅買本用了44 分鐘。3、在下午兩點(diǎn)與三點(diǎn)之間,鐘表的時(shí)針與分針何時(shí)成直角?解:設(shè) 2 點(diǎn) n 分時(shí)時(shí)針與分針成直角,則30°× 25.5°× n= 90°30°× 2 5.5°× n = 90°或 30°× 2 5.5°× n =90°n1 =60 11 (不合題意,舍去)n2 = 300112 點(diǎn) 30011 時(shí)成直角。答:在下午兩點(diǎn)與三點(diǎn)之
9、間,鐘表的時(shí)針與分針在4、從 3 點(diǎn) 15 分開始到時(shí)針與分針第一次成 30°角,需要多少分鐘?(精確到分)解:設(shè) 3 點(diǎn) n 分時(shí)時(shí)針與分針成30°角,則30°× 35.5°× n= 30°30°× 35.5°× n = 30°或 30°× 35.5°× n =30° n1 = 12011 15(不合題意,舍去)2n = 240112401115 = 75 117答:從 3 點(diǎn) 15 分開始到時(shí)針與分針第一次成30°
10、;角,約需要 7 分鐘。5、小方和幾個(gè)同學(xué)上午 8 點(diǎn)多鐘去郊游,臨出門時(shí)他一看鐘,時(shí)針與分針恰好是重合的。 下午兩點(diǎn)多鐘他回到家里, 一進(jìn)門看到了鐘的時(shí)針與分針方向相反,正巧成一條直線。 問:小方郊游是什么時(shí)候去的?什么時(shí)候回家的?共用了多少小時(shí)? (精確到分)解:設(shè)小方上午 8 點(diǎn) n 分時(shí)出門,下午2 點(diǎn) m分時(shí)回家,共用x 小時(shí),則30°× 8 5.5°× n = 0°30°× 2 5.5°× m= 180°n = 48011 44m = 480 11 44x = 12 8 2= 6答:小方郊游是上午8 點(diǎn) 44 分去的,下午 2 點(diǎn) 44 分回家的,共用了 6 小時(shí)
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