初一數(shù)學(xué)《鐘表行程問(wèn)題》的探究性教學(xué)設(shè)計(jì)

1、鐘面上時(shí)針與分針之間夾角的計(jì)算公式與應(yīng)用(初一 )鐘面上時(shí)針與分針之間夾角的計(jì)算在新課標(biāo)教材七年級(jí)數(shù)學(xué)習(xí)題中常常出現(xiàn)。我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中按探究性教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)， 將鐘面角計(jì)算轉(zhuǎn)化為鐘表行程問(wèn)題， 讓同學(xué)們通過(guò)類似于科學(xué)研究的方式 “做數(shù)學(xué)” 得到了計(jì)算鐘面角的公式，使這一問(wèn)題的解決方法更具一般性和更易于操作。下面是我們關(guān)于鐘面角計(jì)算的探究性教學(xué)過(guò)程：教材背景：學(xué)習(xí)了角的畫(huà)法， 會(huì)畫(huà)一個(gè)角等于已知角， 會(huì)畫(huà)角的和、差、倍。創(chuàng)設(shè)情景 1：如圖 1，時(shí)鐘在 12 點(diǎn) 20 分時(shí)分針、時(shí)針成多少度的角？ABOC圖 1圖 2分析引導(dǎo)： 從圖 1 中抽象出幾何圖形如圖2，時(shí)鐘在 12 點(diǎn)時(shí)分針與時(shí)針重

2、合，設(shè)為射線 OA ，分針、時(shí)針繞 O 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，時(shí)鐘在 12 點(diǎn) 20 分時(shí)，時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OB，分針旋轉(zhuǎn)到 OC，此時(shí)分針與時(shí)針的夾角： COB = COA BOA 。時(shí)針的速度 V 時(shí)針°分，分針的速度V分針= 6°分，時(shí)間 t 時(shí)針 = t 分針= 0.5=20 分，而路程 =速度×時(shí)間，所以若將分針與時(shí)針之間的夾角看作是分針與時(shí)針的距離，則： COA=V BOA=V COB=V分針 × t 分針時(shí)針×t 時(shí)針?lè)轴?× t 分針 V 時(shí)針 ×t 時(shí)針解：設(shè) 12 點(diǎn) 20 分時(shí)分針、時(shí)針?biāo)山菫? V 分針 ×

3、t 分針 V 時(shí)針 × t 時(shí)針= 6°分× 20 分 0.5°分× 20 分= 5.5°創(chuàng)設(shè)情景 2：如圖 3，時(shí)鐘在 4 點(diǎn) 10 分時(shí)分針、時(shí)針成多少度的角？ACOB圖3圖4同學(xué)們很快就畫(huà)出了圖 4，找到等量關(guān)系： COB = BOA COA 解：時(shí)鐘在 4 點(diǎn) 10 分時(shí)分針、時(shí)針?biāo)山菫?= V 時(shí)針 × t 時(shí)針 V 分針 × t 分針= 0.5°分×（ 4× 60 分 10 分） 6°分× 10 分= 65°創(chuàng)設(shè)情景 3：時(shí)鐘在 m 點(diǎn) n

4、分時(shí)分針、時(shí)針成多少度的角？經(jīng)過(guò)同學(xué)們的熱烈討論，找到了計(jì)算時(shí)鐘在 m 點(diǎn) n 分時(shí)分針、時(shí)針夾角 的公式：=V 時(shí)針 × t 時(shí)針 V 分針 × t 分針 = 0.5°分×（ m×60 分 n 分） 6°分× n 分 = 30°× m 0.5°× n6°× n = 30°× m 5.5°× n同學(xué)們探究得到這一公式后，所有鐘面角計(jì)算問(wèn)題就變的十分容易了。人教版三年制初中幾何第一冊(cè) （2001 年 5 月第一版）復(fù)習(xí)題一 A

5、組習(xí)題 12：時(shí)鐘在 8 點(diǎn)時(shí)分針、時(shí)針成多少度的角？8 時(shí) 30 分呢？利用上述公式解：設(shè) 8 點(diǎn)時(shí)分針、時(shí)針?biāo)山菫?x，設(shè) 8 點(diǎn) 30 分時(shí)分針、時(shí)針?biāo)山菫?y。1 = 30°× m5.5°× n= 30°× 8 5.5°× 0= 240°表示為 0° 180°的角：x = 360° 240°= 120°y = 30°× m 5.5°× n= 30°× 8 5.5°×

6、 30= 75°答：時(shí)鐘在 8 點(diǎn)時(shí)分針、時(shí)針成的角為 120°，8 時(shí) 30 分時(shí)分針、時(shí)針成的角為75°。再看幾個(gè)練習(xí)：1、時(shí)鐘在 12 點(diǎn)時(shí)時(shí)針與分針是重疊的， 問(wèn)時(shí)針至少轉(zhuǎn)過(guò)多少角度時(shí)， 時(shí)針與分針又重疊了？（精確到 1）分析： 12 點(diǎn)后時(shí)針與分針第一次重疊一定是在1 點(diǎn)到 2 點(diǎn)之間。解：設(shè) 1 點(diǎn) n 分時(shí)分針與時(shí)針第一次重疊，則30°× 15.5°× n= 0°n = 6011此時(shí)時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：（60 分 n 分）× 0.5°分 32°4338答：時(shí)鐘至少轉(zhuǎn)過(guò) 32

7、°4338時(shí)，時(shí)針與分針又重疊了。2、小紅傍晚六點(diǎn)鐘之后去商場(chǎng)買(mǎi)本，走到商場(chǎng)看到鐘表上的時(shí)針與分針的夾角是 120°，買(mǎi)完本后， 走出商場(chǎng)看到鐘表上的時(shí)針與分針的夾角又是 120°，但已近晚上七點(diǎn)鐘了，問(wèn)小紅買(mǎi)本用了多少時(shí)間？（精確到分）解：設(shè) 6 點(diǎn) n 分時(shí)分針與時(shí)針第一次重疊，則30°× 6 5.5°× n= 12 0°30°× 65.5°× n = 120°或 30°× 6 5.5°× n =120° n =

8、 12011 或 n = 60011買(mǎi)本所用時(shí)間為： 600 11120 11= 4801144答：小紅買(mǎi)本用了44 分鐘。3、在下午兩點(diǎn)與三點(diǎn)之間，鐘表的時(shí)針與分針何時(shí)成直角？解：設(shè) 2 點(diǎn) n 分時(shí)時(shí)針與分針成直角，則30°× 25.5°× n= 90°30°× 2 5.5°× n = 90°或 30°× 2 5.5°× n =90°n1 =60 11 （不合題意，舍去）n2 = 300112 點(diǎn) 30011 時(shí)成直角。答：在下午兩點(diǎn)與三點(diǎn)之

9、間，鐘表的時(shí)針與分針在4、從 3 點(diǎn) 15 分開(kāi)始到時(shí)針與分針第一次成 30°角，需要多少分鐘？（精確到分）解：設(shè) 3 點(diǎn) n 分時(shí)時(shí)針與分針成30°角，則30°× 35.5°× n= 30°30°× 35.5°× n = 30°或 30°× 35.5°× n =30° n1 = 12011 15（不合題意，舍去）2n = 240112401115 = 75 117答：從 3 點(diǎn) 15 分開(kāi)始到時(shí)針與分針第一次成30°

10、;角，約需要 7 分鐘。5、小方和幾個(gè)同學(xué)上午 8 點(diǎn)多鐘去郊游，臨出門(mén)時(shí)他一看鐘，時(shí)針與分針恰好是重合的。 下午兩點(diǎn)多鐘他回到家里， 一進(jìn)門(mén)看到了鐘的時(shí)針與分針?lè)较蛳喾?，正巧成一條直線。 問(wèn)：小方郊游是什么時(shí)候去的？什么時(shí)候回家的？共用了多少小時(shí)？ （精確到分）解：設(shè)小方上午 8 點(diǎn) n 分時(shí)出門(mén)，下午2 點(diǎn) m分時(shí)回家，共用x 小時(shí)，則30°× 8 5.5°× n = 0°30°× 2 5.5°× m= 180°n = 48011 44m = 480 11 44x = 12 8 2= 6答：小方郊游是上午8 點(diǎn) 44 分去的，下午 2 點(diǎn) 44 分回家的，共用了 6 小時(shí)