初一數(shù)學《鐘表行程問題》的探究性教學設計

1、鐘面上時針與分針之間夾角的計算公式與應用(初一 )鐘面上時針與分針之間夾角的計算在新課標教材七年級數(shù)學習題中常常出現(xiàn)。我們在教學過程中按探究性教學模式進行教學設計， 將鐘面角計算轉(zhuǎn)化為鐘表行程問題， 讓同學們通過類似于科學研究的方式 “做數(shù)學” 得到了計算鐘面角的公式，使這一問題的解決方法更具一般性和更易于操作。下面是我們關于鐘面角計算的探究性教學過程：教材背景：學習了角的畫法， 會畫一個角等于已知角， 會畫角的和、差、倍。創(chuàng)設情景 1：如圖 1，時鐘在 12 點 20 分時分針、時針成多少度的角？ABOC圖 1圖 2分析引導： 從圖 1 中抽象出幾何圖形如圖2，時鐘在 12 點時分針與時針重

2、合，設為射線 OA ，分針、時針繞 O 點旋轉(zhuǎn)，時鐘在 12 點 20 分時，時針旋轉(zhuǎn)到OB，分針旋轉(zhuǎn)到 OC，此時分針與時針的夾角： COB = COA BOA 。時針的速度 V 時針°分，分針的速度V分針= 6°分，時間 t 時針 = t 分針= 0.5=20 分，而路程 =速度×時間，所以若將分針與時針之間的夾角看作是分針與時針的距離，則： COA=V BOA=V COB=V分針 × t 分針時針×t 時針分針 × t 分針 V 時針 ×t 時針解：設 12 點 20 分時分針、時針所成角為= V 分針 ×

3、t 分針 V 時針 × t 時針= 6°分× 20 分 0.5°分× 20 分= 5.5°創(chuàng)設情景 2：如圖 3，時鐘在 4 點 10 分時分針、時針成多少度的角？ACOB圖3圖4同學們很快就畫出了圖 4，找到等量關系： COB = BOA COA 解：時鐘在 4 點 10 分時分針、時針所成角為 = V 時針 × t 時針 V 分針 × t 分針= 0.5°分×（ 4× 60 分 10 分） 6°分× 10 分= 65°創(chuàng)設情景 3：時鐘在 m 點 n

4、分時分針、時針成多少度的角？經(jīng)過同學們的熱烈討論，找到了計算時鐘在 m 點 n 分時分針、時針夾角 的公式：=V 時針 × t 時針 V 分針 × t 分針 = 0.5°分×（ m×60 分 n 分） 6°分× n 分 = 30°× m 0.5°× n6°× n = 30°× m 5.5°× n同學們探究得到這一公式后，所有鐘面角計算問題就變的十分容易了。人教版三年制初中幾何第一冊 （2001 年 5 月第一版）復習題一 A

5、組習題 12：時鐘在 8 點時分針、時針成多少度的角？8 時 30 分呢？利用上述公式解：設 8 點時分針、時針所成角為 x，設 8 點 30 分時分針、時針所成角為 y。1 = 30°× m5.5°× n= 30°× 8 5.5°× 0= 240°表示為 0° 180°的角：x = 360° 240°= 120°y = 30°× m 5.5°× n= 30°× 8 5.5°×

6、 30= 75°答：時鐘在 8 點時分針、時針成的角為 120°，8 時 30 分時分針、時針成的角為75°。再看幾個練習：1、時鐘在 12 點時時針與分針是重疊的， 問時針至少轉(zhuǎn)過多少角度時， 時針與分針又重疊了？（精確到 1）分析： 12 點后時針與分針第一次重疊一定是在1 點到 2 點之間。解：設 1 點 n 分時分針與時針第一次重疊，則30°× 15.5°× n= 0°n = 6011此時時針轉(zhuǎn)過的角度為：（60 分 n 分）× 0.5°分 32°4338答：時鐘至少轉(zhuǎn)過 32

7、°4338時，時針與分針又重疊了。2、小紅傍晚六點鐘之后去商場買本，走到商場看到鐘表上的時針與分針的夾角是 120°，買完本后， 走出商場看到鐘表上的時針與分針的夾角又是 120°，但已近晚上七點鐘了，問小紅買本用了多少時間？（精確到分）解：設 6 點 n 分時分針與時針第一次重疊，則30°× 6 5.5°× n= 12 0°30°× 65.5°× n = 120°或 30°× 6 5.5°× n =120° n =

8、 12011 或 n = 60011買本所用時間為： 600 11120 11= 4801144答：小紅買本用了44 分鐘。3、在下午兩點與三點之間，鐘表的時針與分針何時成直角？解：設 2 點 n 分時時針與分針成直角，則30°× 25.5°× n= 90°30°× 2 5.5°× n = 90°或 30°× 2 5.5°× n =90°n1 =60 11 （不合題意，舍去）n2 = 300112 點 30011 時成直角。答：在下午兩點與三點之

9、間，鐘表的時針與分針在4、從 3 點 15 分開始到時針與分針第一次成 30°角，需要多少分鐘？（精確到分）解：設 3 點 n 分時時針與分針成30°角，則30°× 35.5°× n= 30°30°× 35.5°× n = 30°或 30°× 35.5°× n =30° n1 = 12011 15（不合題意，舍去）2n = 240112401115 = 75 117答：從 3 點 15 分開始到時針與分針第一次成30°

10、;角，約需要 7 分鐘。5、小方和幾個同學上午 8 點多鐘去郊游，臨出門時他一看鐘，時針與分針恰好是重合的。 下午兩點多鐘他回到家里， 一進門看到了鐘的時針與分針方向相反，正巧成一條直線。 問：小方郊游是什么時候去的？什么時候回家的？共用了多少小時？ （精確到分）解：設小方上午 8 點 n 分時出門，下午2 點 m分時回家，共用x 小時，則30°× 8 5.5°× n = 0°30°× 2 5.5°× m= 180°n = 48011 44m = 480 11 44x = 12 8 2= 6答：小方郊游是上午8 點 44 分去的，下午 2 點 44 分回家的，共用了 6 小時