高考數(shù)學(xué)理數(shù)沖刺大題提分講義練習(xí)大題精做05立體幾何建系困難問題含答案詳解

1、高考數(shù)學(xué)(理數(shù))沖刺大題提分(講義+練習(xí))大題精做05立體幾何：建系困難問題【例題】如圖，在四棱錐中，已知底面是邊長為1的正方形，側(cè)面平面，與平面所成角的正弦值為（1）求側(cè)棱的長；（2）設(shè)為中點，若，求二面角的余弦值解：（1）取中點，中點，連結(jié)，又平面平面，平面，平面平面，平面，又是正方形，以為原點，為，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，則有，取，則，從而，設(shè)與平面所成角為，解得或，或（2）由（1）知，由（1）知，平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，而，取，則，即，設(shè)二面角的平面角為，根據(jù)圖形得為銳角，二面角的余弦值為如圖1，在矩形中，點在線段上，且，現(xiàn)將沿

2、折到的位置，連結(jié)，如圖2（1）若點在線段上，且，證明：；（2）記平面與平面的交線為若二面角為，求與平面所成角的正弦值矩形中，點為中點，沿將折起至，如圖所示，點在面的射影落在上（1）求證：面面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值已知三棱錐（如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：（1）證明：平面平面；（2）若點在棱上運動，當(dāng)直線與平面所成的角最大時，求二面角的余弦值 圖一 圖二在四棱錐中，四邊形是矩形，平面平面，點、分別為、中點（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值如圖，在四棱錐中，四邊形是直角梯形，底面，是的中點（1）求

3、證：平面；（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值答案解析證明：（1）先在圖1中連結(jié)，在中，由，得，在中，由，得，則，從而有，即在圖2中有，平面，則；解：（2）延長，交于點，連接，根據(jù)公理3得到直線即為，再根據(jù)二面角定義得到在平面內(nèi)過點作底面垂線，以為原點，分別為， ，及所作垂線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個法向量為，由，取，得與平面所成角的正弦值為解：（1）在四棱錐中，從而有，又面，而面，而、面，且，由線面垂直定理可證面，又面，由面面垂直判斷定定理即證面面（2）由條件知面，過點做的平行線，又由（1）知面，以、分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：，面的一個法向

4、量為，設(shè)面的法向量為，則有，從而可得面的一個法向量為，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，與互補，則，故平面與平面所成二面角的余弦值為解：（1）設(shè)的中點為，連接，由題意，得， 在中，為的中點，在中，平面，平面，平面，平面平面（2）由（1）知，平面，是直線與平面所成的角，且，當(dāng)最短時，即是的中點時，最大由平面，于是以，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則由得：令，得，即設(shè)平面的法向量為，由得：，令，得，即由圖可知，二面角的余弦值為（1）證明：取中點，連接，在中，有，分別為、中點，在矩形中，為中點，四邊形是平行四邊形，而平面，平面，平面（2）取中點，連接，設(shè)四邊形是矩形，平面平面，平面平面=，平面，平面，又，為中點，故可建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，設(shè)是平面的一個法向量，則，即，不妨設(shè)，則易知向量為平面的一個法向量，故平面與平面所成銳二面角的余弦值為解：（1）因為平面，平面，所以因為，所以所以，所以，又，所以平面，（2）如圖，以點為原點，分別為軸，