初一幾何難題練習題(含答案)

1、學習必備歡迎下載1、證明線段相等或角相等兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關系。很多其它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質， 其它如線段中垂線的性質、角平分線的性質、等腰三角形的判定與性質等也經(jīng)常用到。例1.已知：如圖1 所示，ABC 中，C90，ACBC， ADDB，AECF。求證：DE DFAEDCFB圖1分析： 由ABC 是等腰直角三角形可知，AB45，由D是 AB中點，可考慮連結CD，易得CDAD ，DCF45。從而不難發(fā)現(xiàn)DCFDAE證明： 連結CDACBCABACB90 ，ADCDBDAD，AECF，

2、ADBDCBBADCB，ADCDA D EDEDFCDF說明： 在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應該連結CD ，因為 CD 既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。本題亦可延長ED 到 G，使 DG DE，連結 BG，證 EFG 是等腰直角三角形。有興趣的同學不妨一試。例 2. 已知：如圖 2 所示， AB CD ， AD BC， AE CF。求證： E F學習必備歡迎下載EADBCF圖2證明： 連結 AC在 ABC 和 CDA 中，ABABCCD ，BCAD， ACCDA ( SSS)CAB

3、DABBECD，AE DFCF在 BCE 和 DAF 中，BEDFB D BC DABCEDAF (SAS)EF說明： 利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線， 制造全等三角形，這時應注意：（ 1）制造的全等三角形應分別包括求證中一量；（ 2）添輔助線能夠直接得到的兩個全等三角形。2、證明直線平行或垂直在兩條直線的位置關系中， 平行與垂直是兩種特殊的位置。 證兩直線平行， 可用同位角、內錯角或同旁內角的關系來證， 也可通過邊對應成比例、 三角形中位線定理證明。 證兩條直線垂直，可轉化為證一個角等于 90°，或利用兩個銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來證。例 3. 如圖 3 所

4、示，設BP、 CQ 是ABC 的內角平分線，AH 、AK 分別為 A 到 BP、 CQ的垂線。求證： KH BC學習必備歡迎下載AQPKHBMNC圖3分析： 由已知， BH 平分 ABC ，又 BH AH ，延長 AH HN 。同理，延長 AK 交 BC 于 M ，則 CA CM ，AK KM交 BC 于 N，則 BABN ，AH。從而由三角形的中位線定理，知 KHBC。證明：延長 AH 交BC 于N，延長 AK 交BC于M BH 平分 ABCABH NBH又 BH AH AHB NHB 90BH BHABHNBH ( ASA)BABN，AHHN同理， CA CM，AK KMKH 是AMN 的

5、中位線KH / /MN即 KH/BC說明：當一個三角形中出現(xiàn)角平分線、中線或高線重合時，則此三角形必為等腰三角形。我們也可以理解成把一個直角三角形沿一條直角邊翻折（軸對稱）而成一個等腰三角形。例 4. 已知：如圖4 所示， AB AC ， A90 ，AEBF，BDDC 。求證： FD ED學習必備歡迎下載AEF2 31BDC圖4證明一： 連結 ADABAC，BDDC1290 ， DAEDAB BAC 90 ， BD DC BD AD B DAB DAE 在 ADE 和 BDF 中，AEBF，BDAE，ADBDADEBDF313 2 90FD ED說明： 有等腰三角形條件時，作底邊上的高，或作底

6、邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。證明二： 如圖 5 所示，延長ED 到 M ，使 DM ED，連結 FE， FM ， BMAFEBDCM圖5學習必備歡迎下載BDDCBDMCDE，DMDEBDMCDECEBM，CCBMBM /ACA90ABM90AABAC，BFAEAFCEBMAEFBFMFEFMDMDEFDED說明： 證明兩直線垂直的方法如下：（ 1）首先分析條件，觀察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用輔助線，見本題證二。（ 2）找到待證三直線所組成的三角形，證明其中兩個銳角互余。（ 3）證明二直線的夾角等于 90°。3、證明一線段和的問題（一） 在較長線段上截取一線段等一較

7、短線段，證明其余部分等于另一較短線段。 （截長法）例 5. 已知：如圖6 所示在ABC 中，B60 ， BAC 、 BCA 的角平分線AD 、CE相交于 O。求證： AC AECDBEDO1 42 356AF圖6C分析： 在 AC 上截取 AF AE。易知AEOAFO ，12 。由B60 ，學習必備歡迎下載知5660，160，23120。123460，得：FOCDOC，F(xiàn)CDC證明： 在 AC 上截取 AF AEBADCAD， AOAOAEOAFO SAS4 2又B605 6 601 602 3 120123460FOCDOC ( AAS )FCDC即AC AE CD（二） 延長一較短線段，使

8、延長部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長線段。（補短法）例6.已知：如圖7 所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，EAF45。求證： EFBE DFAD312FGB EC圖7分析： 此題若仿照例1，將會遇到困難， 不易利用正方形這一條件。不妨延長CB至 G，使 BGDF。證明： 延長 CB 至 G，使 BG DF在正方形ABCD 中，ABGD 90 ，AB ADABGADF (SAS)AGAF， 13學習必備歡迎下載又 EAF 4523452145即 GAE FAEGEEFEFBEDF4、中考題：如圖 8 所示，已知ABC 為等邊三角形，延長BC到 D，

9、延長BA到 E，并且使AE BD ，連結 CE、DE 。求證： EC EDEFABCD圖8證明： 作 DF/AC 交 BE 于 FABC 是正三角形BFD 是正三角形又 AE BDAEFDBFBAAFEF即 EF ACAC / /FDEACEFDEACDFE ( SAS)ECED題型展示：證明幾何不等式：例題：已知：如圖9 所示，12，ABAC 。求證： BDDC學習必備歡迎下載A1 2CBDE圖9證明一： 延長 AC 到 E，使 AE AB ，連結 DE在 ADE 和 ADB 中，AEAB，21，ADADADEADBBDDE，EBDCEBDCEEDEDC，BDDC證明二： 如圖 10 所示，

10、在 AB 上截取 AF AC ，連結 DFA1 2F 3 4BDC圖10則易證ADFADC3 4，DF DCBFD3，4BBFD B BD DF BD DC說明：在有角平分線條件時，常以角平分線為軸翻折構造全等三角形，這是常用輔助線。【實戰(zhàn)模擬】1. 已知： 如圖 11 所示，ABC 中，C90 ，D 是 AB 上一點， DE CD 于 D，交 BC于 E，且有 ACADCE 。求證： DE1 CD2學習必備歡迎下載CEADB圖112. 已知：如圖12 所示，在ABC 中，A2B ， CD 是 C 的平分線。求證： BCACADADBC圖123. 已知：如圖13 所示，過ABC 的頂點 A ，

11、在 A 內任引一射線，過B、C 作此射線的垂線 BP 和 CQ。設 M 為 BC 的中點。求證： MP MQAQBCMP圖13學習必備歡迎下載4.ABC 中，BAC90 ，ADBC 于D，求證：AD1ABACBC4學習必備歡迎下載【試題答案】1. 證明： 取 CD 的中點 F，連結 AFC41F3EADBACADAFCDAFCCDE90又1490，13904 3 AC CEACF CED ( ASA) CF ED1DECD22. 分析： 本題從已知和圖形上看好象比較簡單，但一時又不知如何下手，那么在證明一條線段等于兩條線段之和時，我們經(jīng)常采用“截長補短”的手法。“截長”即將長的線段截成兩部分， 證明這兩部分分別和兩條短線段相等； “補短”即將一條短線段延長出另一條短線段之長，證明其和等于長的線段。EADBC證明： 延長 CA 至 E，使 CE CB，連結 ED在CBD