2020—2021年西城區(qū)高三數(shù)學(xué)理科期末試題及答案

1、2020-2021年西城區(qū)高三數(shù)學(xué)理科期末試題及答案高三數(shù)學(xué)(理科)第I卷(選擇題共40分)2020.1(C) 0(D) 3一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選岀符 合題目要求的一項(xiàng).1. 設(shè)集合A = l,0,l, B = xx2-x<29 則集合ACB=()(A) 一1,0(B) 1,0<C) 0,12. 設(shè)命題：V平而向量“和b. a-b<a + b9則一爐為()(A) 平而向量"和b . a-ba + b(B) 日平面向量"和b > ab<Aa l + ll(C) 弓平而向量。和b 9 a-b&

2、gt;a + b(D) 日平而向量“和 b , ab I a + b3. 在銳角AABC中，角A, B, (7所對(duì)的邊分別為b, c.若a = 2bsin B =,貝ij (4(A)371(B) A = 6(C)sin卡(D) sinA = -34. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的x值為(A) 4(B) 5(C) 6(D) 75. 設(shè)函數(shù)f（x） = 3x+bcosx, xeR>則“ b = 0”是“函數(shù)/（x）為奇函數(shù)”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件6. 一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示，那么關(guān)于那個(gè)四棱錐，下列說(shuō)法中正確的是（

3、）<A）最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為A（B）最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為3（C）側(cè)而四個(gè)三角形中有且僅有一個(gè)是正三角形正（主）視圖H1M側(cè)（左）視圖俯視圖（D）側(cè)而四個(gè)三角形差不多上直角三角形7.已知拋物線C:y2=4xf點(diǎn)P（心0）, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在拋物線C上存在一點(diǎn)0,使得ZOQP = 90 ,則實(shí)數(shù)加的取值范疇是（)(A) (4,8)(B) (4,+oo)(C) (0,4)(D) (&+oo)Ix+yWl,2“聲7表示的平而區(qū)域，點(diǎn)B（a9b）為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若關(guān)于區(qū)域D內(nèi)的任一點(diǎn)A（x9y）9都有OA 081成立，貝怙+b的最大值等于（）（A） 2（B） 1第II卷(非選擇題共110分)二、填

4、空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9.復(fù)數(shù) Z =,貝 ljlzl= l + 2i10設(shè)件只為雙曲線C： 4- = 1(«>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線C上一點(diǎn)，假如 cr 162X3ya32125szIPFJ-IPF, 1=4,那么雙曲線C的方程為:離心率為.11在右側(cè)的表格中，各數(shù)均為正數(shù)，且每行中的各數(shù)從左到右成等差數(shù)列，每列中的各數(shù)從上到下成等比數(shù)列，那么x+y + z=E，F(xiàn)，且” =2近那么磊=:ZA= 12.如圖，在MBC中，以BC為直徑的半圓分別交AB. AC于點(diǎn)13現(xiàn)要給4個(gè)唱歌節(jié)目和2個(gè)小品節(jié)目排列演岀順序，要求2個(gè)小品節(jié)目之間恰好有3個(gè)唱歌節(jié)目

5、，那么演出順序的排列種數(shù)是(用數(shù)字作答)14設(shè)P, 0為一個(gè)正方體表而上的兩點(diǎn)，已知此正方體繞著直線P0旋轉(zhuǎn)0 (0<<2n) 角后能與自身重合，那么符合條件的直線P0有條.三、解答題：本大題共6小題，共80分.解承諾寫岀必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15. (本小題滿分13分)已知函數(shù)/(x) = 2jJsin=cos = + cosxGR的部分圖象如圖所示.442(I) 求函數(shù)/(X)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(II) 設(shè)點(diǎn)B是圖象上的最髙點(diǎn)，點(diǎn)A是圖象與x軸的交點(diǎn)，求tanZBA O的值.16. (本小題滿分13分)現(xiàn)有兩種投資方案，一年后投資盈虧的情形如下:(1)

6、投資股市：投資結(jié)果獲利40%不賠不賺虧損20%概率1132S8(2)購(gòu)買基金:投資結(jié)果獲利20%不賠不賺虧損10%概率P13q(I) 當(dāng)/?=-時(shí)，求g的值；4(II) 已知甲、乙兩人分別選擇了 “投資股市”和“購(gòu)買基金”進(jìn)行投資，假如一年后4他們中至少有一人獲利的概率大于上，求的取值范疇：5(III) 丙要將家中閑巻的10萬(wàn)元錢進(jìn)行投資，決泄在"投資股市”和“購(gòu)買基金”這 兩種方案中選擇一種，已知"=,g =丄，那么丙選擇哪種投資方案，才能使得一年后投2 6資收益的數(shù)學(xué)期望較大？給出結(jié)果并說(shuō)明理由.17. （本小題滿分14分）如圖，在四棱柱 ABCD A4G9 中，A&q

7、uot;丄底 ABCD> ZB AD = 90 , ADH BC、RAA = AB = AD = 2HC = 2 ,點(diǎn)E在棱AB上，平而與棱相交于點(diǎn)F（I）證明：F /平面妨CE;DDi（II）若E是棱AB的中點(diǎn)，求二而角-EC-D的余弦值;（HI）求三棱錐BfEF的體積的最大直18（本小題滿分13分）已知函數(shù)f（x） = mF _bx（u > 0）和g（x） = In x的圖象有公共點(diǎn)P，且在點(diǎn)P處的切線相 同.（I）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（丄,一1）,求a b的值:e（II）已加a = b,求切點(diǎn)P的坐標(biāo).19（本小題滿分14分）2 2已知橢圓G + = 1的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為兒 離

8、心率為&點(diǎn)P（m0）（?>4）滿16 12足條件IMIL4PI（【）求加的值：（II）設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線/與橢圓C相交于M, N兩點(diǎn),記WMF和APNF的而積分別 為S2,求證:詈惴20.(本小題滿分13分)設(shè)函數(shù)/(x) = x(9-x),關(guān)于任意給是的加位自然數(shù)仏=仏1(其中q是個(gè)位數(shù) 字，“2是十位數(shù)字，)，定義變換A： A(n0) = /(a,) + /(a2) + . + /(aOT).并規(guī)定A(0) = 0.記 q=A(qJ, n2 = A(nt), nk = A(n),(I)若 q)=2O15,求®oi5：(ID當(dāng)"J3時(shí)，證明：關(guān)于任意的加gN)位

9、自然數(shù)"均有A(”)(III) 假如n0<l(r(mNm>3),寫出山的所有可能取值.(只需寫出結(jié)論)北京市西城區(qū)2020 2020學(xué)年度第一學(xué)期期末高三數(shù)學(xué)(理科)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2020.1一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共4()分1. C2. D3A4. C5. C6. D7B8. A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9. 110 U7541611. 1212.-7142313. 9614. 13注：第10, 12題第一問(wèn)2分.第二問(wèn)3分.三、解答題：本大題共6小題，共80分.其他正確解答過(guò)程，請(qǐng)參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分.15. (本小題滿分13分

10、)(I )解：因?yàn)?(x) = 2j?sincosi + cos442=/3sin + cos- 2 分2 2= 2sin(+ ) > 4 分2 6因此7斗=4l2故函數(shù)f(x)的最小正周期為4兀6分由題意，得2kn- + -2kTi + -,2 2 6 2解得 4,3 313分因此 tanZBAO = =AC 3兀16. （本小題滿分13分）（I）解：因?yàn)椤百?gòu)買基金”后，投資結(jié)果只有“獲利”、“不賠不賺”、“虧損”三種，且三種投資結(jié)果相互獨(dú)立，因此 “+* + ?二1. 2 分乂因?yàn)镻 = »4因此爐丄312分（II）解：記事件A為“甲投資股市IL盈利”，事件B為“乙購(gòu)買基金

11、J1盈利”,事件C為“一年后甲、乙兩人中至少有一人投資獲利”，則C=ABJABJAB 9 且£ B 獨(dú)立.由上表可知，P(A)=-，P(B) = p2因此 P(C) = P(AB) + P(AB) + P(AB)分因?yàn)閜（g =丄+丄p>幺225因此/?>-.5又因?yàn)?p + £ + g = 1，qNO » 因此g|.因此|<噸.8分（HI）解：假設(shè)丙選擇“投資股票'方案進(jìn)行投資，且記X為丙投資股票的獲利金額（單位: 萬(wàn)元），因此隨機(jī)變量X的分布列為:X40-2113p288分貝'JeX=4x1 + 0x1 + （-2）x- =

12、-.10 分2884假設(shè)丙選擇“購(gòu)買基金”方案進(jìn)行投資，且記r為丙購(gòu)買基金的獲利金額（單位：萬(wàn)元），因此隨機(jī)變量Y的分布列為：Y20-1111p236K'JEy = 2xl + 0xl + （-l）xl = -12 分236 6因?yàn)镋X>EY,因此丙選擇“投資股市S才能使得一年后的投資收益的數(shù)學(xué)期望較大. 13分17. （本小題滿分14分）（I）證明：因?yàn)锳BCD-時(shí)&口是棱柱，因此平而ABCD/平面又因?yàn)槠蕉鳤BCDD平而AECF = EC ,平而AQCp D平而A.ECF = AF .因此 AF / EC.4又因?yàn)锳F (Z平而gCE，ECU平而B(niǎo)】CE，因此Af 平

13、而qCE分(II )解：因?yàn)?AA _L 底而 ABCD，Z.BAD = 90 »因此AA > AB, AD兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，以AB. AD AA】分別為x軸、y軸和z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則人(0,0,2), E(l,0,0), C 1,0),因此莊= (1,0,-2),猶=(2丄-2).設(shè)平而A.ECF的法向量為不=4<7? = 0,得<x - 2z = 0, 2x + y-2z, = 0.令z = l,得不=(2, 2,1)又因?yàn)槠蕉鳧EC的法向量為” =(0.0.1),I* 一Hl RI因此 cos < m. n >= 一，I m l-

14、lnl 3由圖可知，二面角-EC-£>的平面角為銳角,因此二而角A,-EC-D的余弦值為| (III)解：過(guò)點(diǎn)尸作冊(cè)丄A3于點(diǎn)M,10分因?yàn)槠蕉薃BB丄平而加 u平而A禺CQ,因此FM丄平面A.ABB. y因此 V“f =Vf_w=|xSiWxFM12分1 2x22=-xx FM = FM 3 23因?yàn)楫?dāng)尸與點(diǎn)§重合時(shí)，F(xiàn)M取到最大值2 （現(xiàn)在點(diǎn)E與點(diǎn)B重合），因此當(dāng)F與點(diǎn)q重合時(shí)，三棱錐BfEF的體積的最大值為扌. 1418. （本小題滿分13分）(I)解:由題意，得 e e" e分且 ff(x) = 2ax-b , gx) = -，x分由已知，得廣(b

15、 = gC)，即-/? = e, e e e解得a = 2e2, b = 3c.(I【)解：若 a = b,則廠(x) = 2ax-a > gr(x) = -, x設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(站)，其中s>0,由題意，得as2 -as = ns ,2as-a = - >由，得a代入，得=一!一，其中$工1, 5(25-1)2s 1.=ln5 2s 1（*）因?yàn)橐虼?>!X 1I設(shè)函數(shù) F(x) = InX , xe(-,+x),2x 12則 F(Q = 4'T)aT).x(2x-l)2令r(A)=o，解得x=i或x = -(舍).io分4當(dāng)x變化時(shí)，F(xiàn)與F(x)的變化情形如下

16、表所示，X中)1F'(x)+0F(x)/分因此當(dāng)*1時(shí)，尸取到最大值F(l) = 0,且當(dāng)xe(lj)U(L-)lMF(A)<0.因此,當(dāng)且僅當(dāng)兀=1時(shí)") = 0.因此方程(*)有且僅有一解$ = 1.因此 / = ln$ = 0,因此切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)13分19(本小題滿分14分)2 2(I )解：因?yàn)闄E圓C的方程為+= 1>16 122分3分因此 a = 4, b = 2yf3 , c =b = 2,i則 = _ = _, |朋|=2, I4PI=加一4 a 2因?yàn)镕A 21I AP 加一 42(1【)解：若直線/的斜率不存在，則有S嚴(yán)S2, IPMT

17、PNI，符合題意.6分若直線/的斜率存在，則設(shè)直線/的方程為y = k(x-2), MUpy,), N(x2,y2).由E +匚1，1,1 1 16 12y = k(x-2)9得(4/+3)F 16RU + 16R248 = 0,分因此A()W20m6分可知>o恒成立，且旺+總=-一，粘=嘆二4L+34L+3因?yàn)閁x、一 2)(x2 8) + k(x2 2)(x, 8)(Aj 8)(x2 8)2kxx2 -10(%, +x2) + 32k(X 8)(七8)因此16«22帯匕(冊(cè)一8)(*2 8)如PF = NPF 12因ZWF和泌的而積分別為心加WnZ嘶,13S冷加沁N",分1420(本小題滿分13分)(I )解:fit =14 + 0 + 8 + 20 = 42 , n2 = 20 +14 = 34 > n3 =18 + 20 = 38 , nA = 18 + 8 = 26 > 畀5 = 14 +18 = 32 , n6 = 18 +14 = 32 > 因此 6ois=32. 39 . 81分(II)證明：因?yàn)楹瘮?shù)/(a)=a(9x) = _(x_2)因此關(guān)于非負(fù)整數(shù)X,知/(x)f(9-x)W20(當(dāng)x = 4或5時(shí)，取到最大值)4分令 g(m) = 10心一