錢小軍概率論與數(shù)理統(tǒng)計chapter08intervalestimation

1、2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 20081chapter8 interval estimation第八章 區(qū)間估計錢小軍清華大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院偉倫樓456b電話：62789934電子郵箱：2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 20082agenda 主要內(nèi)容interval estimation of a population mean with known 總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計 已知的情形已知的情形interval estimation of a population mean with unknown

2、總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計 未知的情形未知的情形determining the sample size樣本容量的確定樣本容量的確定interval estimation of a population proportion總體比率的區(qū)間估計總體比率的區(qū)間估計2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 20083interval estimation of a population mean with known 總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計 已知的情形已知的情形sampling error 抽樣誤差抽樣誤差probability statement

3、s about the sampling error抽樣誤差的概率解釋抽樣誤差的概率解釋constructing an interval estimate with known 計算區(qū)間估計計算區(qū)間估計 已知的情形已知的情形2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 20084cjwcjw有限公司有限公司（中p190，english p286）cjwcjw有限公司是一家專營體育設(shè)備和器材的郵購公司。有限公司是一家專營體育設(shè)備和器材的郵購公司。為了跟蹤服務(wù)質(zhì)量，它每個月選取顧客的郵購訂單組為了跟蹤服務(wù)質(zhì)量，它每個月選取顧客的郵購訂單組成簡單隨機(jī)樣本，公司與樣本中的每一

4、個顧客聯(lián)系并成簡單隨機(jī)樣本，公司與樣本中的每一個顧客聯(lián)系并詢問顧客對服務(wù)水平等一系列問題的評價。顧客的回詢問顧客對服務(wù)水平等一系列問題的評價。顧客的回答用于計算樣本中每一顧客的滿意得分，得分取值從答用于計算樣本中每一顧客的滿意得分，得分取值從0 0（最差等級）到（最差等級）到100100（最好等級），然后計算樣本滿意（最好等級），然后計算樣本滿意得分的均值（樣本均值），并作為得分的均值（樣本均值），并作為cjwcjw所有顧客組成的所有顧客組成的總體滿意得分的點估計?？傮w滿意得分的點估計。2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 20085cjw有限公司有限公司（中

5、p190，english p286）最近一次調(diào)查結(jié)果是：調(diào)查提供了最近一次調(diào)查結(jié)果是：調(diào)查提供了100100名顧客的滿意得名顧客的滿意得分?jǐn)?shù)據(jù)，滿意得分的樣本均值為分?jǐn)?shù)據(jù)，滿意得分的樣本均值為8282。這個數(shù)據(jù)到底代。這個數(shù)據(jù)到底代表性如何？我們能否回答這樣的問題：我們有多大的表性如何？我們能否回答這樣的問題：我們有多大的把握可以認(rèn)為真正的顧客滿意得分在把握可以認(rèn)為真正的顧客滿意得分在8080到到8484分之間？分之間？過去各月的調(diào)查顯示，雖然每個月顧客滿意得分的樣過去各月的調(diào)查顯示，雖然每個月顧客滿意得分的樣本均值都在改變，但是滿意得分的樣本標(biāo)準(zhǔn)差一般穩(wěn)本均值都在改變，但是滿意得分的樣本標(biāo)準(zhǔn)

6、差一般穩(wěn)定在數(shù)值定在數(shù)值2020附近，于是，我們假定總體標(biāo)準(zhǔn)差附近，于是，我們假定總體標(biāo)準(zhǔn)差 2020。有了總體標(biāo)準(zhǔn)差，能否回答以上的問題？為此，我們有了總體標(biāo)準(zhǔn)差，能否回答以上的問題？為此，我們需要先討論抽樣誤差（需要先討論抽樣誤差（sampling errorsampling error）這個概念。）這個概念。2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 20086the absolute value of the difference between an unbiased point estimate and the population parameter

7、it estimates is called the sampling error.無論何時，在用樣本均值無論何時，在用樣本均值 的任一觀測值估的任一觀測值估計總體均值計總體均值 時，總有可能出現(xiàn)誤差。這個誤時，總有可能出現(xiàn)誤差。這個誤差可以表示為點估計值與總體參數(shù)之差的絕對差可以表示為點估計值與總體參數(shù)之差的絕對值，我們稱它為抽樣誤差。值，我們稱它為抽樣誤差。sampling error 抽樣誤差抽樣誤差x2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 20087for the case of a sample mean estimating a population

8、 mean, the sampling error issampling error =當(dāng)我們用樣本均值估計總體均值時，抽樣誤差為當(dāng)我們用樣本均值估計總體均值時，抽樣誤差為：抽樣誤差generally speaking, sampling error is also a random variable, we can get the probability statements according to the sampling distribution of the sample mean.一般來講，抽樣誤差也是一個隨機(jī)變量，我們可以根一般來講，抽樣誤差也是一個隨機(jī)變量，我們可以根據(jù)樣本均值

9、據(jù)樣本均值 的抽樣分布，對抽樣誤差的大小進(jìn)行概的抽樣分布，對抽樣誤差的大小進(jìn)行概率解釋。率解釋。xxsampling error 抽樣誤差抽樣誤差x2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 20088probability statements about the sampling error抽樣誤差的概率解釋抽樣誤差的概率解釋對于服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量對于服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量l有有99.72 99.72 的值發(fā)生在均值附近的值發(fā)生在均值附近 3 3個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)；個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)；l有有95.44 95.44 的值發(fā)生在均值附近的值發(fā)生在均值附近 2 2個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)

10、；個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)；l有有68.2668.26的值發(fā)生在的值發(fā)生在均值附近均值附近 1 1個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)；個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)；l有有9595的值發(fā)生在均值附近的值發(fā)生在均值附近 1.961.96個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 20089probability statements about the sampling error抽樣誤差的概率解釋抽樣誤差的概率解釋抽樣分布的知識使我們能對抽樣誤差進(jìn)行概率解釋。抽樣分布的知識使我們能對抽樣誤差進(jìn)行概率解釋。以以cjwcjw公司為例，我們可以利用上面的結(jié)論，得到：公司為例，我們可以利用上面的結(jié)論

11、，得到： 的值發(fā)生在的值發(fā)生在1.961.96個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)的可能性為個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)的可能性為95%95%。上面的結(jié)論說明什么？在總體服從正態(tài)分布的假設(shè)下上面的結(jié)論說明什么？在總體服從正態(tài)分布的假設(shè)下xx96. 1x96. 1x2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200810probability statements about the sampling error抽樣誤差的概率解釋抽樣誤差的概率解釋 的定義： 2zxxz205. 096. 1/2 /21 - 2z2z0標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布2021-10-21tsinghua-cuhk finance m

12、ba 200811precision statement 精度解釋精度解釋 there is a 1 - probability that the value of a sample mean will provide a sampling error of or less. 樣本均值的觀測值的抽樣誤差小于等于樣本均值的觀測值的抽樣誤差小于等于的概率的概率為為 。xz2probability statements about the sampling error抽樣誤差的概率解釋抽樣誤差的概率解釋xz2xz2/2 /21 - xxz21xz2/2 /21 - xz2x2021-10-21tsi

13、nghua-cuhk finance mba 200812probability statements about the sampling error抽樣誤差的概率解釋抽樣誤差的概率解釋xxzx2xzx2xz2xz2xfor a specific sample: sample mean is within neighborhood of population mean with probability 樣本均值落在總體均值附近樣本均值落在總體均值附近 區(qū)域內(nèi)的概率為區(qū)域內(nèi)的概率為 population mean is within neighborhood of sample mean wi

14、th probability 總體均值在樣本均值總體均值在樣本均值（觀測值）附近區(qū)域（觀測值）附近區(qū)域內(nèi)的把握為內(nèi)的把握為xxxz2xz211xz2112021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200813some concepts概念歸納概念歸納1稱為置信度，其中稱為置信度，其中0 1。常用的常用的值為值為0.1, 0.05或者或者0.01。如果總體服從正態(tài)分布，則區(qū)間如果總體服從正態(tài)分布，則區(qū)間 稱為總體均值稱為總體均值 的置信度為的置信度為1的雙側(cè)置信區(qū)間的雙側(cè)置信區(qū)間。如果總體不服從正態(tài)分布，或者我們不知道總體服從如果總體不服從正態(tài)分布，或者我們不知道總體

15、服從什么分布呢？什么分布呢？xxzxzx22,2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200814with known 已知的情形：根據(jù)中心極限定理，我們有已知的情形：根據(jù)中心極限定理，我們有置信度為置信度為1 - 的（雙側(cè)）置信區(qū)間為的（雙側(cè)）置信區(qū)間為 sample mean 樣本均值樣本均值1 - confidence coefficient 置信系數(shù)置信系數(shù) z/2 z value providing an area of /2 in the upper tail of the standard normal probability distributi

16、on標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率分布上側(cè)面積為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率分布上側(cè)面積為 的的z z值值 population standard deviation總體標(biāo)準(zhǔn)差總體標(biāo)準(zhǔn)差 n sample size 抽樣容量抽樣容量)(2/2/xzxnzxx2interval estimation of a population mean with known 總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計 已知的情形已知的情形2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200815對于公式：對于公式：l我們稱上述區(qū)間為置信區(qū)間我們稱上述區(qū)間為置信區(qū)間 (confidence interval)l 為

17、此區(qū)間的置信水平或置信度為此區(qū)間的置信水平或置信度 (confidence level)l數(shù)值數(shù)值 為置信系數(shù)為置信系數(shù) (confidence coefficient)l稱稱 為邊際誤差為邊際誤差 (margin of error)terminology 術(shù)語術(shù)語nzx2/1nzzx22%100)1 (2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200816應(yīng)用中的建議應(yīng)用中的建議如果總體服從正態(tài)分布，上式給出的置信區(qū)間就是精如果總體服從正態(tài)分布，上式給出的置信區(qū)間就是精確的。如果總體不服從正態(tài)分布，那么上式給出的置確的。如果總體不服從正態(tài)分布，那么上式給出的置信

18、區(qū)間就是近似的。近似的程度依賴于總體的分布和信區(qū)間就是近似的。近似的程度依賴于總體的分布和樣本數(shù)量。樣本數(shù)量。在大部分應(yīng)用中，當(dāng)樣本容量在大部分應(yīng)用中，當(dāng)樣本容量3030的時候，就可以應(yīng)用的時候，就可以應(yīng)用上式進(jìn)行區(qū)間估計。如果總體的分布不是正態(tài)分布但上式進(jìn)行區(qū)間估計。如果總體的分布不是正態(tài)分布但大致對稱，則樣本容量至少為大致對稱，則樣本容量至少為1515時才能得到一個較好時才能得到一個較好的置信區(qū)間的近似。只有當(dāng)我們認(rèn)為或者愿意假設(shè)總的置信區(qū)間的近似。只有當(dāng)我們認(rèn)為或者愿意假設(shè)總體的分布很接近正態(tài)分布時，才可以在更小的樣本容體的分布很接近正態(tài)分布時，才可以在更小的樣本容量下使用該公式。量下使

19、用該公式。2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200817已知已知求顧客總體滿意得分求顧客總體滿意得分 的置信水平為的置信水平為95的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。解：因為樣本容量為解：因為樣本容量為100，大于，大于30，所以，所以有有95的把握平均顧客滿意得分在的把握平均顧客滿意得分在78.08和和85.92之間。之間。cjw公司公司92.85,08.7892.3821002096.1822/05.02/nzxnzx05. 0,100,20,82nx2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200818置信度含義置信度含義置信度為置

20、信度為9595代表什么含義？代表什么含義？l如果用同樣的樣本容量抽樣如果用同樣的樣本容量抽樣100100次，并用同樣的置信水平構(gòu)造置信區(qū)次，并用同樣的置信水平構(gòu)造置信區(qū)間，則在這間，則在這100100個置信區(qū)間中，大約有個置信區(qū)間中，大約有5 5個不包含總體均值個不包含總體均值 。concept972021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200819置信度的作用置信度的作用在給定的樣本容量條件下，置信水平越高，置信區(qū)間在給定的樣本容量條件下，置信水平越高，置信區(qū)間越大。越大。置信度置信度9999置信度置信度95952021-10-21tsinghua-cuhk

21、finance mba 200820exercises 練習(xí)第第193頁第頁第2題題（english p293 2）l已知已知 l總體均值的總體均值的90的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為l總體均值的總體均值的95的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為l總體均值的總體均值的99的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為6,32,50 xn40. 132506645. 13205. 0nzx66. 13250696. 132025. 0nzx18. 232506575. 232005. 0nzx2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200821中文194頁第9題本科畢業(yè)進(jìn)入最好的商學(xué)院就讀研究生的平均積

22、分本科畢業(yè)進(jìn)入最好的商學(xué)院就讀研究生的平均積分gpa為為3.37。假設(shè)這一估計是根據(jù)假設(shè)這一估計是根據(jù)120名最好商學(xué)院學(xué)生所組成的樣本得到的。名最好商學(xué)院學(xué)生所組成的樣本得到的。根據(jù)歷年數(shù)據(jù)可以假設(shè)總體的標(biāo)準(zhǔn)差為根據(jù)歷年數(shù)據(jù)可以假設(shè)總體的標(biāo)準(zhǔn)差為 =0.28。求進(jìn)入最好商。求進(jìn)入最好商學(xué)院的大學(xué)畢業(yè)生平均積分學(xué)院的大學(xué)畢業(yè)生平均積分gpa平均值的平均值的95%的置信區(qū)間估計。的置信區(qū)間估計。解：可以采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計算置信區(qū)間（大樣本）。解：可以采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計算置信區(qū)間（大樣本）。答：有答：有95的把握進(jìn)入最好商學(xué)院學(xué)生的平均積分均值在的把握進(jìn)入最好商學(xué)院學(xué)生的平均積分均值在3.32到到

23、3.42之間。之間。42. 3,32. 305. 037. 312028. 096. 137. 3205. 0nzx2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200822one-sided interval estimation單側(cè)置信區(qū)間估計單側(cè)置信區(qū)間估計本科畢業(yè)進(jìn)入最好的商學(xué)院就讀研究生的平均積分本科畢業(yè)進(jìn)入最好的商學(xué)院就讀研究生的平均積分gpa為為3.37。假設(shè)這一估計是根據(jù)假設(shè)這一估計是根據(jù)120名最好商學(xué)院學(xué)生所組成的樣本得到的。名最好商學(xué)院學(xué)生所組成的樣本得到的。根據(jù)歷年數(shù)據(jù)可以假設(shè)總體的標(biāo)準(zhǔn)差為根據(jù)歷年數(shù)據(jù)可以假設(shè)總體的標(biāo)準(zhǔn)差為 =0.28。問題：

24、有問題：有95%的把握認(rèn)為進(jìn)入最好商學(xué)院的大學(xué)畢業(yè)生平均積的把握認(rèn)為進(jìn)入最好商學(xué)院的大學(xué)畢業(yè)生平均積分分gpa平均值不低于什么值？平均值不低于什么值？對于電子元件的壽命，我們一般不關(guān)心它們壽命的上限，我們對于電子元件的壽命，我們一般不關(guān)心它們壽命的上限，我們更關(guān)心的是有多大把握這種電子元件的平均壽命不低于更關(guān)心的是有多大把握這種電子元件的平均壽命不低于1000小小時。時。對于病人的住院天數(shù)，可能我們不關(guān)心他們的住院天數(shù)下限對于病人的住院天數(shù)，可能我們不關(guān)心他們的住院天數(shù)下限（自然下限是（自然下限是0），更關(guān)心的是他們的平均住院天數(shù)的上限，即），更關(guān)心的是他們的平均住院天數(shù)的上限，即我們有多大把

25、握病人的平均住院天數(shù)不高于我們有多大把握病人的平均住院天數(shù)不高于10天？天？2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200823one-sided estimation單側(cè)置信區(qū)間單側(cè)置信區(qū)間two-sided estimation雙測置信區(qū)間雙測置信區(qū)間one-sided estimation單側(cè)置信上限：單側(cè)置信上限：單側(cè)置信下限單側(cè)置信下限:nzxnzx2/2/,nzxnzx2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200824one-sided estimation單側(cè)置信區(qū)間單側(cè)置信區(qū)間one-sided estimati

26、on單側(cè)置信下限：單側(cè)置信下限：含義：有含義：有（1）100的把握的把握 nzxnzx 1 - nzx1nzxpnzxp2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200825one-sided interval estimation單側(cè)置信區(qū)間估計單側(cè)置信區(qū)間估計本科畢業(yè)進(jìn)入最好的商學(xué)院就讀研究生的平均積分本科畢業(yè)進(jìn)入最好的商學(xué)院就讀研究生的平均積分gpa為為3.37。假設(shè)這一估計是根據(jù)假設(shè)這一估計是根據(jù)120名最好商學(xué)院學(xué)生所組成的樣本得到的。名最好商學(xué)院學(xué)生所組成的樣本得到的。根據(jù)歷年數(shù)據(jù)可以假設(shè)總體的標(biāo)準(zhǔn)差為根據(jù)歷年數(shù)據(jù)可以假設(shè)總體的標(biāo)準(zhǔn)差為 =0.28。問

27、題：有問題：有95%的把握認(rèn)為進(jìn)入最好商學(xué)院的大學(xué)畢業(yè)生平均積的把握認(rèn)為進(jìn)入最好商學(xué)院的大學(xué)畢業(yè)生平均積分分gpa平均值不低于什么值？平均值不低于什么值？解：這是一個大樣本問題，可以使用正態(tài)分布進(jìn)行估計。解：這是一個大樣本問題，可以使用正態(tài)分布進(jìn)行估計。答：我們有答：我們有95的把握可以認(rèn)為進(jìn)入最好商學(xué)院的大學(xué)畢業(yè)生的把握可以認(rèn)為進(jìn)入最好商學(xué)院的大學(xué)畢業(yè)生平均積分平均積分gdp平均值不低于平均值不低于3.33。33. 304. 037. 312028. 0645. 137. 305. 0nzx2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200826two-sided

28、 vs. one-sided雙側(cè)與單側(cè)估計比較雙側(cè)與單側(cè)估計比較02z2zz雙側(cè)置信區(qū)間雙側(cè)置信區(qū)間單側(cè)置信區(qū)間（下限）單側(cè)置信區(qū)間（下限）2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200827interval estimation of a population mean with unknown 總體均值的區(qū)間估計總體均值的區(qū)間估計 未知的情形未知的情形we have already known that 我們已經(jīng)知道：我們已經(jīng)知道：if is known, we can make interval estimation for population mean

29、 based on normal distributions.如果如果 已知，我們可以利用正態(tài)分布進(jìn)行總體均值的區(qū)間估計已知，我們可以利用正態(tài)分布進(jìn)行總體均值的區(qū)間估計。but if is unknown, how can we make interval estimation for population mean? t-distributions但是：如果但是：如果 未知，我們?nèi)绾螌傮w均值進(jìn)行區(qū)間估計？未知，我們?nèi)绾螌傮w均值進(jìn)行區(qū)間估計？ t 分布分布2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200828介紹介紹t t分布以及自由度的影響分布以及自由度的影

30、響-4.00-3.00-2.00-1.000.001.002.003.004.00standard normalt distribution自由度 n 12021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200829t distribution t 分布分布the t distribution is a family of similar probability distributions.t 分布是一族概率分布。分布是一族概率分布。a specific t distribution depends on a parameter known as the degrees

31、of freedom.t 分布依賴于它的參數(shù)分布依賴于它的參數(shù)自由度。自由度。as the number of degrees of freedom increases, the difference between the t distribution and the standard normal probability distribution becomes smaller and smaller.隨著自由度的增大，隨著自由度的增大，t 分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之間的差別越來越小分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之間的差別越來越小。a t distribution with more degrees of

32、freedom has less dispersiondispersion. .隨著自由度的增大，隨著自由度的增大，t 分布的變異程度減小。分布的變異程度減小。t distribution is symmetrical and the mean of the it is zero.t 分布是對稱分布，它的均值為分布是對稱分布，它的均值為0 0 concept972021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200830exercises 查表查表練習(xí)練習(xí)第第199199頁第頁第1111題題（similar to english p300 13）l對于自由度為對于自由度

33、為1616的的t t分布，求下列區(qū)域內(nèi)的概率或面積：分布，求下列區(qū)域內(nèi)的概率或面積：l2.1202.120右側(cè)右側(cè)l1.3371.337左側(cè)左側(cè)l-1.746-1.746左側(cè)左側(cè)l2.5832.583右側(cè)右側(cè)l-2.120-2.120到到2.120 2.120 之間之間l-1.746-1.746到到1.746 1.746 之間之間-4.00-3.00-2.00-1.000.001.002.003.004.00standard normalt distribution2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200831probability of t-distri

34、bution 求求t-t-分布的概率（分布的概率（使用計算機(jī)使用計算機(jī)）-4.00-3.00-2.00-1.000.001.002.003.004.00standard normalt distribution求：當(dāng)n=6時，p(|t|2.3)=當(dāng)n=10時，p(t2.3)=當(dāng)n=10時，p(t-2.3)=求：當(dāng)n=10時，p(|t|?)=0.05 (記為 或 ) p(|t|?)=0.01 即 或 p(t?)=0.05, p(t3030的時候，就可以應(yīng)用上式進(jìn)行的時候，就可以應(yīng)用上式進(jìn)行區(qū)間估計。如果總體的分布嚴(yán)重不對稱或者包含異常點時，大部區(qū)間估計。如果總體的分布嚴(yán)重不對稱或者包含異常點時，

35、大部分統(tǒng)計學(xué)家建議將樣本容量增加到分統(tǒng)計學(xué)家建議將樣本容量增加到5050或者更大。如果總體的分布或者更大。如果總體的分布不是正態(tài)分布但大致對稱，則樣本容量至少為不是正態(tài)分布但大致對稱，則樣本容量至少為1515時就能得到一個時就能得到一個較好的置信區(qū)間的近似。只有認(rèn)為或者愿意假設(shè)總體的分布至少較好的置信區(qū)間的近似。只有認(rèn)為或者愿意假設(shè)總體的分布至少是正態(tài)分布時，才可以在更小的樣本容量下使用該公式。是正態(tài)分布時，才可以在更小的樣本容量下使用該公式。2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200835exercises 練習(xí)練習(xí)l從從華爾街日報華爾街日報金融與投資部分

36、紐約股票交易所版面抽出金融與投資部分紐約股票交易所版面抽出1010只股票組成一個樣本，得到這只股票組成一個樣本，得到這1010只股票的價格收益比數(shù)據(jù)只股票的價格收益比數(shù)據(jù)為為 5，7，9，10，14，23，20，15，3，26l求紐約股票交易所版面上所列示的所有股票的平均價格收益求紐約股票交易所版面上所列示的所有股票的平均價格收益比的點估計；比的點估計；l求紐約股票交易所版面上所列示的所有股票的價格收益比標(biāo)求紐約股票交易所版面上所列示的所有股票的價格收益比標(biāo)準(zhǔn)差的點估計；準(zhǔn)差的點估計；l求紐約股票交易所版面上所列示的所有股票的平均價格收益求紐約股票交易所版面上所列示的所有股票的平均價格收益比的

37、比的9595置信區(qū)間。置信區(qū)間。l討論估計的精度。討論估計的精度。2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200836solution 解答解答可以認(rèn)為紐約股票交易所版面上所列示的所有股票的價格（總體）近可以認(rèn)為紐約股票交易所版面上所列示的所有股票的價格（總體）近似服從正態(tài)分布，因此我們可以采用似服從正態(tài)分布，因此我們可以采用t-t-分布來做區(qū)間估計。分布來做區(qū)間估計。紐約股票交易所版面上所列示的所有股票的平均價格收益比的點估計紐約股票交易所版面上所列示的所有股票的平均價格收益比的點估計為（樣本均值）為（樣本均值）13.2紐約股票交易所版面上所列示的所有股票的價

38、格收益比標(biāo)準(zhǔn)差的點估紐約股票交易所版面上所列示的所有股票的價格收益比標(biāo)準(zhǔn)差的點估計為（樣本標(biāo)準(zhǔn)差）計為（樣本標(biāo)準(zhǔn)差）7.8紐約股票交易所版面上所列示的所有股票的平均價格收益比的紐約股票交易所版面上所列示的所有股票的平均價格收益比的9595置置信區(qū)間為信區(qū)間為（7.62，18.78）上述估計的抽樣誤差不大于上述估計的抽樣誤差不大于18.78 - 13.2 5.58108 . 7) 110(2 .131205. 02tnsntx2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200837determining the sample size樣本容量的確定樣本容量的確定對于給

39、定的置信水平，因為隨著樣本容量的增大（保證大樣本），對于給定的置信水平，因為隨著樣本容量的增大（保證大樣本），樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差 將減小，從而使區(qū)間估計的抽樣誤差小到將減小，從而使區(qū)間估計的抽樣誤差小到我們所希望的范圍。用我們所希望的范圍。用e e代表我們所希望的邊際誤差的上限（估代表我們所希望的邊際誤差的上限（估計區(qū)間半長度）。計區(qū)間半長度）。我們得到我們得到由此得到由此得到x2222eznnze22021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200838continued (續(xù)續(xù))在上述公式中，在上述公式中，e e 值是使用公式的人在給定的置信水平下

40、可以接值是使用公式的人在給定的置信水平下可以接受的邊際誤差。雖然不同的使用人可能有不同的傾向愛好，但受的邊際誤差。雖然不同的使用人可能有不同的傾向愛好，但9595是比較常用的置信水平（因此是比較常用的置信水平（因此 ）。）。在總體標(biāo)準(zhǔn)差未知的情況下，可以用從歷史數(shù)據(jù)中獲得的標(biāo)準(zhǔn)差在總體標(biāo)準(zhǔn)差未知的情況下，可以用從歷史數(shù)據(jù)中獲得的標(biāo)準(zhǔn)差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差來代替?；驑颖緲?biāo)準(zhǔn)差來代替。用試驗樣本的樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為總體標(biāo)準(zhǔn)差的臨時估計值。用試驗樣本的樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為總體標(biāo)準(zhǔn)差的臨時估計值。用對總體標(biāo)準(zhǔn)差的最優(yōu)估計代替總體標(biāo)準(zhǔn)差，比如全距的四分之用對總體標(biāo)準(zhǔn)差的最優(yōu)估計代替總體標(biāo)準(zhǔn)差，比如全距的四分之一可以作為總

41、體標(biāo)準(zhǔn)差的估計值。一可以作為總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計值。在上述估計中，我們總是使用在上述估計中，我們總是使用 對樣本容量進(jìn)行估計。對樣本容量進(jìn)行估計。2222ezn2z96. 1205. 0z2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200839exercises 練習(xí)練習(xí)statewide保險公司使用保險公司使用3636名投保人組成的簡單隨機(jī)樣名投保人組成的簡單隨機(jī)樣本來估計所有投保人的平均年齡。在本來估計所有投保人的平均年齡。在9595的置信度下，的置信度下，邊際誤差為邊際誤差為2.352.35年，該結(jié)果的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為年，該結(jié)果的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為7.27.2年。年。l為將

42、邊際誤差減少到為將邊際誤差減少到2 2年，應(yīng)該選用多大樣本容量年，應(yīng)該選用多大樣本容量的簡單隨機(jī)樣本？當(dāng)邊際誤差分別為的簡單隨機(jī)樣本？當(dāng)邊際誤差分別為1.51.5年和年和1 1年時，年時，樣本容量應(yīng)該多大？樣本容量應(yīng)該多大？l在邊際誤差為在邊際誤差為1 1年時，你建議年時，你建議statewide對其投保人對其投保人的平均年齡進(jìn)行估計嗎？為什么？的平均年齡進(jìn)行估計嗎？為什么？2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200840如果想將邊際誤差減少到如果想將邊際誤差減少到2 2年，應(yīng)該選用的樣本容量不小于年，應(yīng)該選用的樣本容量不小于當(dāng)邊際誤差分別為當(dāng)邊際誤差分別為

43、1.51.5年和年和1 1年時，樣本容量應(yīng)該多大？年時，樣本容量應(yīng)該多大？當(dāng)邊際誤差為當(dāng)邊際誤差為1 1年時，你建議年時，你建議statewise公司對平均年齡進(jìn)行估計公司對平均年齡進(jìn)行估計嗎？嗎？508 .4922 . 796. 12222222ezn895 .885 . 12 . 796. 12222222ezn2001 .19912 . 796. 12222222ezn2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200841interval estimationof a population proportion總體比率的區(qū)間估計總體比率的區(qū)間估計總體比率的區(qū)

44、間估計總體比率的區(qū)間估計1 - confidence coefficient 置信系數(shù)置信系數(shù)z/2 z value providing an area of /2 in the upper tail of the standard normal probability distribution 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上側(cè)面積為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上側(cè)面積為/2時的時的z值值 sample proportion 樣本比率樣本比率nppzp12pnppzp12或或2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200842basic requirement for sample size總

45、體比例估計的樣本容量基本要求總體比例估計的樣本容量基本要求in order for the formula to work, there is a basic requirement for the sample size. 前述公式成立前述公式成立對樣本容量有基本的要求。對樣本容量有基本的要求。we need to verify if 需要檢驗是否需要檢驗是否51, 5pnpn2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200843example 例題謝爾工業(yè)公司希望了解參加一項培訓(xùn)計劃后通過考試的職員比例。公司對隨機(jī)選取的45名職員進(jìn)行調(diào)查得到他們通過考試的人數(shù)

46、是36人。在置信系數(shù)為95的條件下，估計全公司參加該培訓(xùn)并通過考試的比例。解：已知：樣本比例 ， ，且全公司參加該培訓(xùn)并通過考試的比例p的置信水平為95的置信區(qū)間估計為答：有95把握認(rèn)為公司通過考試的比例在68到92之間80. 045/36p45n5920. 045)1 (, 53680. 045pnpn)92. 0,68. 0(12. 080. 04520. 080. 096. 180. 012/05. 0nppzp2021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200844sample size for an interval estimateof a popula

47、tion proportion總體比率區(qū)間估計的樣本容量總體比率區(qū)間估計的樣本容量let e = the maximum sampling error mentioned in the precision statement. e代表希望達(dá)到的邊際誤差上限代表希望達(dá)到的邊際誤差上限 從從 可以得到可以得到ezppn/()21nzppe()()/22212021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200845continued (續(xù))在上式中可以用歷史數(shù)據(jù)的比率代替在上式中可以用歷史數(shù)據(jù)的比率代替p；也可以用試驗樣本的樣本比率代替也可以用試驗樣本的樣本比率代替p；使用使用p的最有判斷值代替的最有判斷值代替p；用用p=0.5代替。代替。nzppe()()/22212021-10-21tsinghua-cuhk finance mba 200846example 例題謝爾工業(yè)公司總經(jīng)