多面體與球切接的問(wèn)題一

1、多面體與球切、接的問(wèn)題（一）縱觀近幾年高考對(duì)于組合體的考查，與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問(wèn)題是高考命題的熱點(diǎn)之一 高 考命題小題綜合化傾向尤為明顯，要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計(jì)算能力，才能 順利解答從實(shí)際教學(xué)來(lái)看，這部分知識(shí)學(xué)生掌握較為薄弱、認(rèn)識(shí)較為模糊，看到就頭疼的題 目分析原因，除了這類(lèi)題目的入手確實(shí)不易之外，主要是學(xué)生沒(méi)有形成解題的模式和套路， 以至于遇到類(lèi)似的題目便產(chǎn)生畏懼心理下面結(jié)合近幾年高考題對(duì)球與幾何體的切接問(wèn)題作 深入的探究，以便更好地把握高考命題的趨勢(shì)和高考的命題思路，力爭(zhēng)在這部分內(nèi)容不失分從近幾年全國(guó)高考命題來(lái)看 ，這部分內(nèi)容以選擇題、填空題為主，大題很少見(jiàn) 首先明確定義

2、1:若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱(chēng)這個(gè)多面體是這個(gè)球的 內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球。定義2 :若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱(chēng)這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球1球與柱體的切接規(guī)則的柱體，如正方體、長(zhǎng)方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過(guò)球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān) 問(wèn)題1.1 球與正方體如圖所示，正方體 ABCD A1BQD1，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 a，E, F , H ,G為棱的中點(diǎn)，0為球的球心常見(jiàn)組合方式有三類(lèi)：一是球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，截面圖為正方形EFGH和

3、a其內(nèi)切圓，則|0J r ；二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形EFGH和其外ACAC和其外接1 1接圓，則GO R二2 a ；三是球?yàn)檎襟w的外接球，截面圖為長(zhǎng)方形圓，則|AQ Ra通過(guò)這三種類(lèi)型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問(wèn)題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面，通過(guò)兩個(gè)截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題(1) 正方體的內(nèi)切球，如圖 1.位置關(guān)系：正方體的六個(gè)面都與一個(gè)球都相切，正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為r，這時(shí)有2r a .C(2) 正方體的外接球，如圖 2.位置關(guān)系：正方體的八

4、個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上；正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為r，這時(shí)有2r . 3a .(3) 正方體的棱切球，如圖3.位置關(guān)系：正方體的十二條棱與球面相切，正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 a，球的半徑為r，這時(shí)有2r , 2a .Qrx1AiBuc| J.IL£c,丄S3例1 棱長(zhǎng)為1的正方體 ABCD A1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)都在球 0的表面上，E, F分別是棱AA，DDi的中點(diǎn)，則直線(xiàn) EF被球0截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為（）思路分析：由題意推出，球?yàn)檎襟w的外接球 平面AA1DD1截面所得圓面的半徑R丄2 ,得知直線(xiàn)EF被球0截得的線(xiàn)段就是球的

5、截面圓的直徑2 2【解析】由題意可知，球?yàn)檎龎垠w的外摟砂嚴(yán)面凡所得圜而的半徑去二凹二f 傳二面刼Q線(xiàn)肋滬I卷潯的線(xiàn)段構(gòu)的戡面團(tuán)的直徑M二忑.點(diǎn)評(píng)I本題若査球與正方體“接”的問(wèn)題I用球的蒂更性質(zhì)，轉(zhuǎn)優(yōu)戚為求球的議節(jié)園直徑1.2球與長(zhǎng)方體例2自半徑為R的球面上一點(diǎn) M，引球的三條兩兩垂直的弦MA, MB, MC，求MA2 MB 2 MC 2 的值.思路分析：此題欲計(jì)算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個(gè)封閉的圖形內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，所以應(yīng)引導(dǎo) 生構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián).【解析】以皿七1B為從一n?點(diǎn)出發(fā)的三條極 將三馥雑M -ABC個(gè)扶方體，則那卜四個(gè)頂蠱必在珈面上，故長(zhǎng)方體是

6、球的內(nèi)捋長(zhǎng)方體.則桜方體的b甬線(xiàn)檢是球的亶徑.A 3J：1: +J/B- +J/C: = （2）: =4A點(diǎn)評(píng)=優(yōu)題叢出構(gòu)造忘的使用.以圧澤透利弗分割辛卜形的方法解決立悴幾何中體積計(jì)算 例3 （全國(guó)卷I高考題）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積為（）A. 16B. 20C. 24D. 32思路分析：正四棱柱也是長(zhǎng)方體由長(zhǎng)方體的體積16及高4可以求出長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為2， 可得長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為 2，2, 4,長(zhǎng)方體內(nèi)接于球，它的體對(duì)角線(xiàn)正好為球的直徑 【解析】正四棱柱也是扶方也由長(zhǎng)和*的休積16應(yīng)虧4畝疋出按壽體的底面邊長(zhǎng)為引因此長(zhǎng)疔體I的恰 寬、高分

7、別為知2, 4,因?yàn)榱馏w內(nèi)播于球，所以方嗎體對(duì)角婕止好溝球的直徑長(zhǎng)肓懈體對(duì)角線(xiàn)檢為故球的蔻更積曲洱故選C點(diǎn)評(píng)；車(chē)題若查球與長(zhǎng)方體“捋”的問(wèn)題卡勺長(zhǎng)方體的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化成次求其體對(duì)角統(tǒng)2球與錐體的切接規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和 內(nèi)切 兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過(guò)球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或 者表面積等 相關(guān)問(wèn)題2.1正四面體與球的切接問(wèn)題（1） 正四面體的內(nèi)切球，如圖4.位置關(guān)系：正四面體的四個(gè)面都與一個(gè)球相切，正四 面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為 a，咼為h ；球的半徑為 R，這時(shí)有4R h a ；（可

8、3以利用體積橋證明）5.位置關(guān)系：正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，高為h；球的半徑為 R,這時(shí)有4R 3h .6a ;（可用正四面體高h(yuǎn)減去內(nèi)切球的半徑得到）的中心與球心重合;位置關(guān)系：正四面體的六條棱與球面相切，正四面體數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，高為h ；球的半徑為 R，這時(shí)有4R 3h心h亍.FOD*B/區(qū)C例4設(shè)正四面體中，第一個(gè)球是它的內(nèi)切球，第二個(gè)球是它的外接球，求這兩個(gè)球的表面積之比及體積之比.思路分析：此題求解的第一個(gè)關(guān)鍵是搞清兩個(gè)球的半徑與正四面體的關(guān)系，第二個(gè)關(guān)鍵是兩個(gè)球的半徑之間的關(guān)系，依靠體積分割的方法來(lái)解

9、決的.【解析】如團(tuán) 正四面體機(jī)必刀旳中心/小 xd的中d為q,則第一個(gè)域半徑淸正四面沐的中心蚪各面的距離，第二個(gè)球朗半徑溝正四面悔嚴(yán)U到頁(yè)朋的距腮設(shè)0Q乩正四旳一？面的面積*二1趣意爲(wèi)口R+又匚_亠d.y33二R十廣=4薜1斤匚頭.內(nèi)切球的表面積_丄滬：_ 1內(nèi)切球的體稅_亍"_ 1丹'夕卜接壬菜制表面積丄式：一 W 殲接球L的祈哀二斎亍'巧.吟iJZi.-/' A / /止 P .蘆*f/ .廠 L> I*f- Ol /aV *導(dǎo)(_.點(diǎn)評(píng)正四面體與瓏的接切間題，可通過(guò)麵關(guān)系證出 內(nèi)切漿和外捋瓏的商個(gè)球心是重合的，拘正四両悴高的四等分點(diǎn)，朋宜育內(nèi)切球餉

10、半徑F二丄片代真正四面體的高h(yuǎn)且外播球的年徑應(yīng)二引.422其它棱錐與球的切接問(wèn)題球與正棱錐的組合，常見(jiàn)的有兩類(lèi)，一是球?yàn)槿忮F的外接球，此時(shí)三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)在球二是球?yàn)檎忮F的內(nèi)切球，例如面上，根據(jù)截面圖的特點(diǎn)，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個(gè)面相切，球心到四個(gè)面的距離相等，都為球半徑R.這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個(gè)小三棱錐的體積和為正三棱錐的體 積.球與一些特殊的棱錐進(jìn)行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補(bǔ)形法等 進(jìn) 行求解例如，四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點(diǎn)幾何特征， 巧定 球

11、心位置 例5正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為2 ' 6，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切求球的表面積與體積.6 2 .思路分析：此題求解的關(guān)鍵是搞清球的半徑與正三棱錐的高及底面邊長(zhǎng)的關(guān)系，由等體積法可得：Vp abc Vo PABVO PACVO PBCVO ABC，得到 R【解析】如團(tuán)，球0是正三棱錐F-的內(nèi)切班 0埶兀二棱錐四-卜葫的跆畜覩是球的半徑I丹/是正三棱議的爲(wèi) 即朋=1. E是ECifi屮點(diǎn)，耳在圧上r的邊扶=PE二品b可以再到5#粧二5沖舲二5汗靈-PE=342 -Eg二乎UTS?二朋由晉障積海 忌血=十口_忙+叫*十殆t昭333+ j二矢 二上搭 二上認(rèn)用-分=3(5 -

12、2/. F_點(diǎn)評(píng)球心是袂定球的位曹關(guān)鍵總 卒題帝傭域心愛(ài)正三個(gè)面的距離相等且曲球半徑丘來(lái)求出盤(pán),以球心的位直特點(diǎn)來(lái)抓璘的基本量，逹是解決球有關(guān)問(wèn)題常用的壽法.3，則其外接球的表面例6 （福建高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為 積是思路分析：此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設(shè)出球心，利用直角三角形計(jì)算球的半徑而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法三條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很快聯(lián)想 到長(zhǎng)方體的一個(gè)角，馬上構(gòu)造長(zhǎng)方體，由側(cè)棱長(zhǎng)均相等，所以可構(gòu)造正方體模型岸解析】用一段解法,需要作出棱鏈的貳 然后再設(shè)甌匸利用a®三角形計(jì)算球的半淫而作劉e 空題，我們更想使用校為便捷的育法，所以三條側(cè)梗兩兩垂貢 使泥們很快聯(lián)想到長(zhǎng)右體的一個(gè)角馬上構(gòu)造長(zhǎng)方跟 且側(cè)棱長(zhǎng)均相等，所以可構(gòu)適正方體揺丄 如圈匚則AC=BC=CD那魚(yú)三棱稚的外接球的直徑閉為正方體的悴對(duì)角線(xiàn)，故所求盞庾積是9怎.（如圖1）點(diǎn)評(píng)：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中計(jì)算問(wèn)題，這是解決幾何體與球切接問(wèn)題常用的方法.例7【2012年新課標(biāo)高考卷】已知三棱錐S ABC的所有頂點(diǎn)都在球 O的球面上，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC是球O的直徑，且 SC 2 ;則此棱錐的體積為（）A.上6B. 2 C.2 D.蘭632思路分析：ABC的外接圓是