COMSOL Multiphysics弱形式入門

1、comsol multiphysics弱形式入門物理問題的描述方式有三種：1、 偏微分方程2、 能量最小化形式3、 弱形式本文希望通過比較淺顯的方式來講解弱形式，使用戶更有信心通過comsol multiphysics的弱形式用戶界面來求解更多更復雜的問題。comsol multiphysics是唯一的直接使用弱形式來求解問題的軟件，通過理解弱形式也能更進一步的理解有限元方法（fem）以及了解comsol multiphysics的實現(xiàn)方法。本文假定讀者沒有太多的時間去研究數(shù)學細節(jié)，但是卻想將弱形式快速的應用到實際工程中去。另外，本文也會幫助理解comsol multiphysics文檔中常用

2、的到一些術(shù)語和標注方法，相關(guān)理論可以參考zienkiewicz1，hughes2，以及johnson 3等。為什么必須要理解pde方程的弱形式？一般情況下，pde方程都已經(jīng)內(nèi)置在comsol multiphysics的各個模塊當中，這種情況下，沒有必要去了解pde方程和及其相關(guān)的弱形式。有時候可能問題是沒有辦法用comsol multiphysics內(nèi)置模塊來求解的，這個時候可以使用經(jīng)典pde模版。但是，有時候可能經(jīng)典pde模版也不包括要求解的問題，這個時候就只能使用弱形式了（雖然這種情況是極少數(shù)的）。掌握弱形式可以使你的水平超過一般的comsol multiphysics用戶，讓你更容易去理

3、解模型庫中利用弱形式做的算例。另一個原因就是弱形式有時候描述問題比pde方程緊湊的多。還有，如果你是一個教授去教有限元分析方法，可以幫助學生們直接利用弱形式來更深入的了解有限元。最后，你對有限元方法了解的越多，對于comsol multiphysics中的一些求解器的高級設(shè)置就懂得更多。一個重要的事實是：在所有的應用模式和pde模式求解的時候，comsol multiphysics都是先將方程式系統(tǒng)轉(zhuǎn)為了弱形式，然后進行求解。pde問題常常具有最小能量問題的等效形式，這讓人有一種直覺，那就是pde方程都可以有相應的弱形式。實際上這些pde方程和能量最小值問題只是同一個物理方程的兩種不同表達形式

4、罷了，同樣，弱形式（幾乎）是同一個物理方程的第三個等效形式。這三種形式的區(qū)別雖然不大，但絕對是很關(guān)鍵的。我們必須記住，這三種形式只是求解同一個問題的三種不同形式用數(shù)學方法求解真實世界的物理現(xiàn)象。根據(jù)不同的需求，這三種方式又有各自不同的優(yōu)點。pde形式在各種書籍中比較常見，而且一般都提供了pde方程的解法。能量法一般見于結(jié)構(gòu)分析的文獻中，采用彈性勢能最小化形式求解問題是相當自然的一件事。當我們的研究范圍超出了標準有限元應用領(lǐng)域，比如傳熱和結(jié)構(gòu)，這個時候弱形式是不可避免的。化工中的傳質(zhì)問題和流體中的n-s方程都是沒有辦法用最小能量原理表述出來的。本文后面還有很多這樣的例子。pde方程是帶有偏微分算

5、子的方程，而能量方程是以積分形式表達的。積分形式的好處就是特別適合于有限元方法，而且不用擔心積分變量的不連續(xù)，這在偏微分方程中比較普遍。弱形式也是積分形式，擁有和積分形式同樣的優(yōu)點，但是他對積分變量的連續(xù)性要求更低，可以看作是能量最小化形式的更一般形式。最重要的是，弱形式非常適合求解非線性的多物理場問題，這就是comsol multiphysics的重點了。小結(jié)：為了理解pde方程的弱形式，我們必須跳開常規(guī)的偏微分形式，對于積分形式要好好研究。由于最小于能原理對比弱形式來說好理解的多，所以我們將從線彈性開始學習，依次到熱傳導，電流傳導等問題。這幾種物理問題都有相關(guān)的能量和功率可以進行最小化。我

6、們將只涉及到靜態(tài)問題，重點是在結(jié)構(gòu)分析和更特殊的線彈性分析。彈性靜力學pde及其彈性能量方程在靜力結(jié)構(gòu)分析問題中，我們需要求解的是navier方程其中是應力張量，f是體力，比如重力等。如果不習慣用張量的形式，你也可以將張量展開寫成矩陣形式。這個方程表示了力（或者等效力）的平衡，實際上是三個方程的合并形式3d中每個坐標方向有一個方程。計算區(qū)域記為，其邊界記為。應力張量和應變張量之間的關(guān)系稱為本構(gòu)關(guān)系，線彈性本構(gòu)一般遵循胡克hook定律其中是彈性張量，這個關(guān)系式說明材料的行為實際上和彈簧差不多（前提是線彈性）。最后，我們可以將應變矢量和位移的關(guān)系表述出來這里u指的是位移矢量u=(u,v,w)，其定

7、義就是變形體上的材料點和未變形時候的位移差。總結(jié)以上所有的方程，我們得到了一個二階pde方程（navier方程），需要一個邊界條件來求解，其中n是表面的法矢，p是邊界上的面力或牽引力。后面會介紹更多邊界條件。這個pde方程的弱形式為，其中v=稱為試函數(shù)。注意，盡管navier方程是一個矢量表達式，但是上面的表達式是一個標量形式。下面介紹如何去推導以及理解弱形式。彈性勢能在結(jié)構(gòu)分析中，pde方程及其弱形式的表達式都不太常見，相反，能量最小化形式因為其直觀的表達形式用的較多。這類問題的能量積分形式對應于總勢能的最小化，即對象中存儲的彈性能?？倧椥阅苁且粋€標量，可以寫成：彈性能表達式同樣適用于非線性

8、問題。在這些表達式中，我們假設(shè)體力f為零，并忽略了邊界效應。這些影響可以在以后引入。積分的意義是每個體積微元的內(nèi)能總和，其中應力張量單位是pa，微元體上的應變沒有單位，dv單位是體積，因此積分出來的單位應該是n·m。如果問題是線彈性的，則可以顯式的寫為：利用下面的通用公式：用應變張量替換上式中的標量變量，彈性張量替換上標量常量。聯(lián)立上面的式子得到：我們用代替來配合comsol multiphysics手冊中的標記方式。再提醒一次，如果你不習慣用張量，可以將張量看成是一個3×3的矩陣，點乘是一種張量的運算符號，彈性張量是一個4階張量（看上去就像4維矩陣）。更多的標記方法可以參

9、考comsol multiphysics 的anisotropic structural analysis 中的matrix notation。彈性能積分形式下的單位說明：最終給出總的積分單位是n·m能量。的表達式就是我們通常說的能量泛函，即位移矢量u（或?qū)嶋H上是u的梯度）的泛函。這種函數(shù)的函數(shù)，而不是坐標的函數(shù)，通常被稱為泛函，比單元微積分和多元微積分更加抽象。與積分類似，我們可以說就是函數(shù)的泛函：這好比是一個2d的變量x，y的二元函數(shù)：其中x，。采用這樣的類比是因為在后面我們會看到矩陣a與有限元的剛度矩陣比較類似。我們要說明一下函數(shù)和泛函的一些區(qū)別，古典分析中的函數(shù)概念是指兩個數(shù)

10、集之間所建立的一種對應關(guān)系，現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展卻是要求建立兩個任意集合之間的某種對應關(guān)系。函數(shù)概念被賦予了更為一般的意義，通俗解釋泛函指的就是“函數(shù)的函數(shù)”。在這里定義域為，泛函可以在整個定義域內(nèi)進行微分積分等操作。泛函的變量是函數(shù)，這個函數(shù)也是有容許空間的。如果函數(shù)u可以變化，可能會產(chǎn)生一些不符合物理規(guī)則的一些現(xiàn)象，例如結(jié)構(gòu)的剛性位移等。比如一個對u的基本約束就是材料不能穿越本身。在有限元分析中，泛函一般是某種能量積分，比如彈性能。對于其他的物理場，可能是其他的能量積分，或者是一種等效于能量的標量也可以。至于積分區(qū)域，一般由分析對象的cad幾何區(qū)域所確定。靜態(tài)電流傳導和能量的生成在靜態(tài)導電問題中

11、，pde方程由最基本的保守形式開始：其中j是電流密度。材料（或本構(gòu)）模型采用歐姆ohm定律：其中e是電場，是電導率。另外，已知：其中是靜電勢，綜合以上式子得到在comsol multiphysics中，這就是所謂的conductive media dc方程。電阻產(chǎn)生的熱能穩(wěn)態(tài)電流的能量問題是在電導體中的電阻熱其中j表示電流強度，e代表電場強度，是一個二階電導張量(3×3)。如果導體是金屬，電導張量一般是一個對角矩陣，如果是晶體，情況就復雜多了。盡量減少電阻產(chǎn)生的熱量，也就是減少熱損耗，是我們要研究的一個最小值問題。如果問題是線性，則積分可以顯式地寫成：因為，其中v是電勢，可以得到：將

12、這個式子與結(jié)構(gòu)力學中的式子進行對比，發(fā)現(xiàn)他們非常相似。的梯度對應于位移梯度，電導率張量對應于彈性張量。在穩(wěn)態(tài)電流和結(jié)構(gòu)力學的計算過程中，張量形式都可以改寫為矩陣形式。傳熱pde方程和能量形式對于穩(wěn)態(tài)傳熱問題，pde形式為：其中t是溫度，k是熱傳導系數(shù)，q是空間分布的熱源。熱能基于傳熱方程的典型泛函為：其中t是溫度，k是熱傳導系數(shù)張量（3×3）。泛函極小值泛函極值的概念借用了微積分中的不少方法。本節(jié)首先會介紹函數(shù)微積分的求極值方法，接下來，我們會借用有限元中常用的術(shù)語和標注方法來推導我們熟悉的結(jié)果。這個過程可以被看作是微積分方法的一種推廣。考慮一個多元微積分函數(shù)f，我們要求最小值：尋找

13、x使得f(x) 最小化這里x是一個矢量，或者點的坐標。通過微積分我們知道，這個時候首先必須求函數(shù)f的梯度。將梯度的設(shè)置為0，我們可得到一個非線性方程組。求解方程，我們可以得到一系列的坐標點x，如果在其中某點處的二階倒數(shù)(一般稱為hessian矩陣)為正(或者說有正的特征值)，就說這點就是我們要求的極小點，就好像該點是整個函數(shù)的一個谷底一樣。利用taylor展開的觀點，假設(shè)已知一個最小值x，我們可以在上面施加一個小的擾動，由taylor展開可得：這里h就是前面所說的hessian矩陣?，F(xiàn)在我們用其他的方法來說明函數(shù)f在x最小。首先，假設(shè)x是一個極值點，當添加了一個后，f對于其一階值不改變。換句話

14、說，如果我們在x上添加一個來擾動f，其一階taylor級數(shù)應該為0。這個條件應該對每個方向都是成立的，否則該點就不是極值點了。如果上式第二項為0：對于任意小的都成立，也就是：我們這里只是用一個稍微有點不同的方法得到了一個同樣的結(jié)果。但是，這只是給了我們一個極值點的信息，如果要確定其是最小極值點，必須保證第三項（二階項）對于任意都為正：只有當h的特征值都為正時，上式成立（參考線性代數(shù)）。有可能會遇到二階項也總為0，這個時候我們必須借助更高階項來判斷極值點。下面是函數(shù)f的一個特例：二次多項式：其中a是對稱矩陣。如果我們應用taylor展開，可得到：或者這里零階，一階和二級項都在獨立的中括號內(nèi)。為了

15、得到一階變分，矩陣a必須是對稱的。極值的條件成了：對于任意小都必須成立，則上式成為：這里我們對矩陣進行了轉(zhuǎn)置，而且利用了矩陣a的對稱性，即。極小值的條件也就是矩陣a必須是一個正定矩陣，如果矩陣a是負定矩陣（只有負特征值），則得到極大值。如果a是不確定的（特征值有正有負），則極值可能是一個鞍點，既不是極大值，也不是極小值。如果矩陣a是對稱的，而且正定，則函數(shù)f是超橢圓的。在2d中，超橢圓就是橢圓。二次多項式的幾何特征影響經(jīng)典的pde方程和有限問題的分類。當利用有限元方法去離散一個橢圓的pde問題時候，得到一個對稱矩陣（剛度矩陣）的線性代數(shù)系統(tǒng)。這樣的問題一般等效于最小能量問題。彈性靜力學問題變分

16、我們將通過兩個步驟來介紹最小能量法理論。首先粗略說明，讓大家熟悉基本概念；接下來考慮細節(jié)。還是以線性靜態(tài)問題為例，因為這是所有有限元理論都會提到的，從而更容易進行比較。理論概述讓我們回到線彈性問題的彈性能泛函表達式：這里的位移矢量u和前面講的微積分中的點矢量x的角色類似。要尋找能量泛函的最小值，我們首先必須得在u上施加一個擾動：上式中兩個中間項實質(zhì)上是一樣的（因為c的對稱性），所以我們可以寫成：將上式和多元函數(shù)表達式對比，我們發(fā)現(xiàn)尋找極值點就是找一個使二次項為零的u：其中是任意的。如果我們要尋找的是極小點，則還必須有：第二項就是泛函的一階微分：第三項成為泛函的二級微分：和前面一樣，為了尋找極小

17、點，我們必須保證對于任意第一階微分為零，二階微分為正。這種尋找最小勢能函數(shù)的方法也可以稱作虛功原理。另外還有一種方法就是初始的時候?qū)_動寫成，這時對于任意可取的，其能量函數(shù)寫成?；氐轿⒎e分的基本概念，去尋找w對于的極值點：如果我們將它看成是對于的taylor展開，就可以找出其一階導數(shù)（對于極值點必須為零），由于是任意可取的，我們可以得到和前面相同的結(jié)果。小結(jié)上面的過程省略很多推導步驟，如果大家對推導有興趣，可以試著自己推導。我們要說明一下的是：1、 變量（而不是它的梯度）必須是很小而且是任意的。2、 這里沒有考慮邊界條件和體力，比如重力等等。我們前面所討論的問題局限于一個沒有任何約束和載荷的邊

18、界條件的區(qū)域上。3、 一般來說的限制比多元微積分中寬松。在泛函中，只要是在容許的范圍內(nèi)即可，也就是必須和物理位移場相對應。理解這個意思對理解有限元弱形式非常重要。考慮邊界條件和體力如前面所講，彈性能的泛函形式是不完整的，因為它沒有加上相應的邊界條件和載荷。彈性能的單位是，也就是力乘上位移。在邊界上，我們一般施加面力，或者指定位移，單位為。一般來說，我們希望附加形式是“面力乘上長度”。同樣的方式可以對體力進行處理f。在數(shù)學上，結(jié)構(gòu)場的邊界條件分為兩類。第一類直接定義邊界上的力：其中第一項由定義域內(nèi)的方程所確定，第二項稱為彈簧常數(shù)q，等式右邊是面力g。這種邊界條件就是我們通常說得流量或者nuema

19、nn邊界條件。第二那邊界條件就是定義一個固定的或者dirichlet邊界條件。如果h是矩陣的形式，r就是定義了邊界上的指定位移。固定邊界條件不能直接加入泛函中去，但是可以通過反力間接加上去。當指定位移邊界時，可以描述一個反力（），也就是彈性體可以在固定處保持不變。反力就是我們這里用到的lagrange乘子，通過添加反力到力作用處的邊界，可以忽略到固定邊界類型。這時候我們可以形成統(tǒng)一的邊界條件：這里r是原始的固定邊界，是需要計算的反力。在前面的簡化形式中，和都是常數(shù)，所以上式可以變化為：記住，方程中的每一項都是矢量，表示各個方向的面力。為了得到所做的功（能量），必須點乘上位移u。通過合并一些系數(shù)

20、項，將外力寫成，可簡化表達式，這時邊界條件可以寫成：對于其他物理場，可能p代表邊界上的源項。注意到上式和navier方程非常接近：將能量泛函展開：關(guān)鍵推導這個時候，我們又要在u上添加上，可得：零階項就是泛函本身，第一階項是：這個方程是非常重要的一項。接下來我們詳細介紹。從前面的討論可知，我們應該重新組合多項式，保證帶有的被積函數(shù)成為一項。如果可以做到，因為是任意的（事實上必須是在容許范圍內(nèi)），我們知道這一項必須為零。這是我們能找到極值點的唯一方法。右邊第一項需要進一步處理得到我們需要的形式。第一項我們可以根據(jù)green公式（有時候可能采用的是stokes原理）進行分部積分：利用c的對稱性，我們

21、可以得到：利用green公式得到：將體積項和邊界項合并起來：確定極值點，必須有：上式應該對于任何都成立。因此體積項必須有：邊界項上有：現(xiàn)在我們又回到pde問題上了，通過能量最小化原理又重新推回到了pde形式上！這也是說明最小能量化和pde形式本質(zhì)上是統(tǒng)一的一個數(shù)學證明。弱形式那么，到底什么是弱形式呢？navier方程的弱形式實際上已經(jīng)在前面的推導過程中出現(xiàn)過了，即一階變分的原形式：如果我們回到comsol multiphysics的文檔（或者是關(guān)于有限元和弱形式的書籍中），會發(fā)現(xiàn)所謂的試函數(shù)相當于擾動，彈性靜力學pde方程的弱形式為了更好的理解弱形式，我們必須丟棄前面討論的能量最小化原理，轉(zhuǎn)向

22、一種更加抽象的方法。弱形式之所以比能量最小化原理更強大，是因為它還可以應用到一些沒有得到較好的能量定義的問題中。首先我們考慮彈性靜力學的pde方程邊界條件是：抽象的過程如下：乘上容許范圍內(nèi)的試函數(shù)v，在感興趣的域內(nèi)積分可得：對左側(cè)利用green公式進行分部積分：應用pde方程的邊界條件，可以得到：整理可得：這就是pde方程的弱形式。如果在積分區(qū)域內(nèi)對于試函數(shù)都是有效的，則上式和pde方程是等效的。pde方程的解稱為強解，而弱形式的解稱為弱解。二者唯一的區(qū)別是弱形式對于積分參數(shù)的連續(xù)性要求比pde形式低。由于變形梯度和彈性張量在弱形式里面都不需要微分，所以對函數(shù)連續(xù)性要求沒有那么嚴格，而在pde

23、形式中，所有的變量都處在散度的算子下，這要求這些變量必須是可微的。在弱形式中對于可微的要求放松了（一階）。同時，注意到弱形式和前面的一階變分形式保持了一致，弱形式也可以作為虛功原理的一種推廣。只是虛功原理中的位移換成了更加抽象的試函數(shù)。如果弱形式解和能量最小化原理不一致的時候，極值點變成了鞍點。也就是，在弱形式中，仍可以將試函數(shù)理解為一種推廣了的虛位移。一般性問題的弱形式正如前面所提到的，弱形式只是pde方程的一種推廣形式，它對變量的連續(xù)性要求比較低。那么能量方法呢？如果有一個定義好了的能量來最小化，那么能量法和弱形式是一致的。但是，在下列情形下，弱形式更具有適用性：假如pde方程沒有相對應的

24、能量可以進行最小化。在這種情況下，弱形式仍然是適用的。由于弱形式對解的要求較低，所以說弱形式比pde和能量最小化適用范圍更廣泛。我們將給出一個沒有對應能量最小化的pde的例子。對流擴散pde問題對流擴散pde問題沒有與之相對應的可最小化的能量：這里c是擴散系數(shù)，是對流系數(shù)，是反應/吸收系數(shù)，是源項。變量是標量函數(shù)，代表濃度（在comsol multiphysics手冊中的convection-diffusion模塊中，濃度是用變量c表示，擴散系數(shù)用d表示）。在這里我們考慮neumann邊界：所有困難將集中在剛度k的提取上，主要是對u和lagrange乘子的線性表達式的集成。為了得到弱形式，將p

25、de方程乘以一個試函數(shù)v，積分：這里的試函數(shù)v是一個標量函數(shù)。將第一項分部積分，并將所有的項都移到左邊，可得到：加上邊界條件，得到：這就是對流擴散pde方程的弱形式。這個弱形式不能像前面一階變分那樣進行重排。因為他的對流項，使得整個系數(shù)無法重排。具體說來，解函數(shù)u和試函數(shù)v必須在弱形式中的形式保持一致才能和能量泛函的形式保持一致。但是，在對流項中，u前面帶有梯度乘子，而試函數(shù)前面卻沒有任何微分算子的。沒有什么分部積分可以改變這種形式了。當然，我們也可以看到，實際上弱形式的解和pde形式的解是保持一致的。對流項非對稱的行為通過數(shù)值離散擴展到有限元剛度矩陣上：和能量最小化保持一致的弱形式可以推導出

26、一個對稱的剛度矩陣，但是對流擴散方程推導出來的卻是一個非對稱的矩陣。在comsol multiphysics中應用弱形式用戶界面的時候，可以輸入任意的表達式，包括未知函數(shù)u和試函數(shù)v的零階和一階導數(shù)。你所鍵入的是弱形式積分中的微分項。comsol multiphysics的弱形式用法本章介紹如何在comsol multiphysics中輸入弱形式表達式。對流擴散pde問題假設(shè)我們要在comsol multiphysics的用戶界面下輸入表達式：約定：comsol multiphysics將所有的項要放在等號右邊?？傻玫剑簠^(qū)域積分和邊界積分可分別在subdomain setting 和bound

27、ary setting對話框下設(shè)置。另外，假設(shè)我們已經(jīng)將系數(shù)定義為常數(shù)或者表達式：l 系數(shù)c，p，a和f分別由c，p，a和f表示。l 矢量的分量由bx，by和bz表示。在comsol multiphysics中未知函數(shù)（因變量）u和試函數(shù)v標記如下：l 未知函數(shù)的標記為ul 的分量標記為ux，uy和uz。l 試函數(shù)的標記為u_test。l 的分量標記為ux_test，uy_test，uz_testl 只需要輸入被積函數(shù)，它將被comsol multiphysics自動積分處理。每一個子域的弱形式可以有不同的表達式，comsol multiphysics會將各個子域的弱形式整合起來。輸入對流擴散

28、問題的弱形式：選擇pde mode下的weak form, subdomain。在physics->subdomain setting，在weak term編輯框中輸入：邊界設(shè)定，physics->boundary setting，weak term編輯框中輸入：comsol multiphysics將邊界設(shè)置和子域設(shè)置分開，因為子域和邊界上可以設(shè)置不同的數(shù)值積分算法。弱項如果想要擴展內(nèi)建的經(jīng)典pde模板或者物理應用模式（比如傳熱），也可以在physics->equation system中對應的對話框中輸入相同的表達式。弱形式方程會自動添加在控制方程中。（通過設(shè)置所有的pd

29、e或材料參數(shù)為0，選擇齊次neumann邊界（流量=0），可以去掉應用模式自動創(chuàng)建的弱形式。）dirichlet或者固定邊界，在boundary setting對話框中的constr編輯框輸入弱形式，comsol multiphysics會添加相應的lagrange乘子（參見用戶手冊中的邊界條件章節(jié)）。結(jié)構(gòu)力學pde問題靜態(tài)結(jié)構(gòu)力學的基本方程是navier方程：邊界條件：對流擴散方程中的標量項現(xiàn)在全部成了矢量和張量，navier方程的弱形式為：約定標記如下：l 矢量u的分量：u，v和w。l 位移矢量梯度的分量：ux，uy，uz，vx，vy，vz，wx，wy，wz。l 試位移矢量v的分量：u_t

30、est，v_test，w_test。l 試位移矢量梯度的分量：ux_test，uy_test，uz_test，vx_test，vy_test，vz_test，wx_test，wy_test，wz_test。l 彈性張量的分量：c11，c12，c13，c14，c15，c16，c22，c23，c24，c25，c26，c33，c34，c35，c36，c44，c45，c46，c55，c56，c66l 體力矢量f的分量：fx，fy，fz。l 邊界面力矢量p的分量：px，py，pz。在子域內(nèi)，弱形式輸入為：其中這些表達式定義了應變分量（ex，ey，.）和應力分量（sx，sy，.）。后面帶有_test后綴的

31、，comsol multiphysics都會和上式一樣建立相應的試函數(shù)和試函數(shù)梯度的表達式。比如，exy_test等效于0.5*(uy_test+vx_test)。另一種方式是test()，其中test(xy)表示0.5*(test(uy)+test(vx)，也就相當于0.5*(uy_test+vx_test)。對于其他一些張量表述如有疑問，可以參考comsol multiphysics 中的anisotropic structural analysis 的matrix notation 。如果想更直觀的表述弱形式，我們可以用原始定義代替變量，最后變成：-ux_test*(c11*ux+c12

32、*vy+c13*wz+c14*(uy+vx)+c15*(vz+wy)+c16*(uz+wx)-vy_test*(c12*ux+.對于各向同性體，其實cij就是楊式模量和泊松比的簡單函數(shù)。詳情參考comsol multiphysics文檔。在邊界上，對于載荷類邊界條件，弱形式可以在weak編輯框中寫成標量的形式：px*u_test+py*v_test+pz*w_test如果采用固定邊界，我們必須在其中一個constr編輯框中輸入相應的表達式。對于多物理場仿真，約束和載荷在weak和constr中的形式非常重要，尤其是采用弱約束的時候。更多詳情可以參考comsol multiphysics文檔以及

33、和lagrange乘子相關(guān)的技術(shù)文檔。盡管弱形式是一個標量表達式，但是comsol multiphysics中，弱形式有和pde系統(tǒng)一樣多的未知量需要文本輸入。原因在于不同的多物理場問題可能需要不同的有限元分析類型和保證其數(shù)值穩(wěn)定型的積分算法。對于3d結(jié)構(gòu)分析，弱形式中有三個文本輸入框。但是，在離散之前，采用了同樣的有限元單元和積分類型進行合并，這樣就可以選擇不同的弱形式進行操作。例如你可以在第一個域內(nèi)選擇弱形式，而其他的域內(nèi)設(shè)置為空白。對于流動問題的navier-stokes方程，情況又稍微有些不同。和未知的速度場相比，未知的壓力采用一個低階有限元來離散。這種情況下，不能將所有的弱項全部在同

34、一個弱域內(nèi)輸入。為了保證數(shù)值穩(wěn)定型，必須依靠混階有限元(mixed finite element)。混階有限元并不是comsol multiphysics特別制定，而是數(shù)值算法所需要的。有限元方法本章說明弱形式如何利用有限元方法來進行離散。假設(shè)我們需要離散以下擴散問題：這是一個對流擴散問題的特殊情況，其中，。有限元的基本實現(xiàn)是將整個計算域離散為多個特別簡單的形狀的小單元，比如2d中的三角形，3d中的四面體等等。相應的網(wǎng)格，例如三角形，由邊和節(jié)點組成。下一步就是要選擇一個比較容易實現(xiàn)的一些近似方法，其中一種比較簡單的方法就是將解表示為采用線性多項式插值的所謂基函數(shù)的和?；瘮?shù)的構(gòu)造方法是指定某個

35、節(jié)點為1，而相鄰的節(jié)點為0，二者之間的值就是從0到1線性變化。這里說的相鄰指的是中間有一條邊將其連接起來。遍歷三角形網(wǎng)格的所有節(jié)點（從1到n）。定義節(jié)點i的基函數(shù)為，也就是在節(jié)點i處其值為1，其他點處值為0。注意只是在節(jié)點i及其相鄰的三角形內(nèi)不為零。現(xiàn)在假設(shè)真實值u可以用基函數(shù)的求和來近似描述：參數(shù)是在節(jié)點i的值。同樣，我們可以對試函數(shù)進行類似處理：下標h表示離散函數(shù)屬于由所有三角形邊中最長邊表示的具有確定的網(wǎng)格尺寸h的網(wǎng)格。由于我們可以任意選擇試函數(shù)，因此可以將除了j點以外的所有的設(shè)置為零，接下來我們將所有的試函數(shù)（j1,.,n）輸入到弱形式中去，每個試函數(shù)都可以得到一個方程。這樣可以生成一

36、個線性代數(shù)系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣就是我們所說的剛度矩陣。為什么我們可以自由選擇試函數(shù)，不妨回想一下前面提到的弱形式需要對所有可取的試函數(shù)成立。選擇試函數(shù)是有限元方法的重要環(huán)節(jié)，因為他在很大程度上影響著剛度矩陣。由于剛度矩陣中很多項為零，所以一般是稀疏矩陣。當我們使用試函數(shù)的時候，生成的有限元剛度矩陣應該是一個方陣。如果弱形式本身定義良好的話，剛度矩陣應該是非奇異的，也就是說系統(tǒng)有一個唯一解?，F(xiàn)在考慮擴散方程的弱形式：將表達式寫成離散形式：方程重新排列：采用矩陣標注可得：或者：在這里剛度矩陣k是：解矢量u的單元為，載荷矢量l的單元為，現(xiàn)在我們明白為什么選擇基函數(shù)和試函數(shù)很關(guān)鍵了。如果我們關(guān)注剛度矩陣，會

37、發(fā)現(xiàn)其中很多元素為零，因為前面已經(jīng)提到每個都是大部分為零，同樣的梯度也是大部分為零的。有很多有效的算法去求解這類稀疏矩陣，comsol multiphysics提供一套稀疏線性系統(tǒng)求解器。有限元方法同樣適用于非線性問題。非線性方法一般來說采用迭代的算法，每一次迭代就是求解一個與上面類似的線性弱形式方法。抽象和幾何解釋為什么有限元可以解決問題，它是如何解決問題的？前面的討論中可以找到一些答案。為了有一個更清晰的答案，我們需要了解一些更多的泛函的概念。我們將發(fā)現(xiàn)有限元方法通過一種優(yōu)化方法將解投影到一個有限維函數(shù)空間來求解。標量積為了得到有限元方法的幾何解釋，或腦海中的意象，我們需要熟悉標量積的概念

38、。在線性代數(shù)中，我們知道兩個矢量f和g的標量積為這里的矢量f和g屬于3維矢量空間。標量積可以推廣到任意維n，標量積有時也稱做內(nèi)積。如果兩個矢量正交，一個矢量f可以通過標量積投影到另一個矢量g其中fp是與g平等的投影矢量：矢量差與g正交：投影矢量的唯一性特征是原始和投影矢量之間的差與它所投影的矢量正交。如果需要找到在方向g上與f最近的矢量，fp就是我們的答案。矢量e可以看作是關(guān)于f到fp之間的近似誤差。換句話說，誤差矢量e與矢量g正交。后面在對有限元進行幾何解釋時將用到這個結(jié)論。但首先我們得介紹一些泛函分析的概念。與矢量不同，泛函分析講的是函數(shù)，它們必須屬于無限維的矢量空間。我們可以積分形式定義

39、一個無限維矢量空間（函數(shù)空間）中的標量積：如果兩個函數(shù)正交，則有進一步將標量積的概念推廣，并且考慮包含函數(shù)梯度的被積函數(shù)，下標1和2用來說明上面是兩種不同的標量積。hilbert空間如果對于一個標量積，我們只考慮那些與自身進行的標量積（積分）有一個有限值的函數(shù)u，我們說這些函數(shù)屬于一個確定的函數(shù)類，或函數(shù)空間。由標量積和定義域組成的函數(shù)空間就被稱為hilbert空間。對應于上面的標量積1的hilbert空間通常標記為l2，與標量積2對應的hilbert空間常稱為h1。通?？臻gl2中的函數(shù)比h1中的多，因為h1中的函數(shù)自動地存在于l2中，反之則不一定。我們也可以將這種現(xiàn)象稱為h1是l2的一個子空

40、間，或有限元方法的抽象形式現(xiàn)在讓我們考慮pde問題3：在域中，邊界條件為。這是對流擴散方程的一種特例，其中，。通過分部積分，表明當試函數(shù)選擇成在邊界上具有相同的邊界條件時，弱形式中的邊界項為0。得到弱形式為：其中包含前面提到的兩種標量積，可改寫為：找到，使得對于所有屬于相配的hilbert空間中的，有：這里的相配的空間是h1，且在邊界上。解函數(shù)u也必須屬于這個空間。注意，對于前面提到的弱形式，我們可以很自由地添加不同的標量積，因為每個積的結(jié)果是實數(shù)或虛數(shù)?，F(xiàn)在我們選擇前面討論的基函數(shù)的和（線性組合）來近似u和，近似解被稱作和。這些函數(shù)屬于hilbert空間，可稱為，由線性基函數(shù)擴展而來。的空間

41、維數(shù)為n（基函數(shù)的數(shù)目）。此外，是h1的子空間，換句話說，如果函數(shù)屬于，則它自動地屬于h1?？臻gh1是一個大得多的空間，因為它是無限維的。有限的基函數(shù)不可能擴散成屬于h1的所有函數(shù)。弱形式的有限元現(xiàn)在變成了：對于中的所有，在中找到，使得現(xiàn)在我們對有限元方法在函數(shù)空間的作為一個確定的投影的幾何解釋有了更深入的了解。最后，在原始的弱形式中：用代替。這是合理的，因為在h1中，而在中，由于是h1的子空間，因此也是在h1中，現(xiàn)在從弱形式中減去有限元解，得到：或即離散誤差：與所有的中的正交。也就是說，有限元解是真實解在屬于h1的有限維子空間的投影。最終，我們得到了關(guān)于有限元方法的幾何解釋，對于給定的網(wǎng)格，

42、有限元解是在函數(shù)空間中關(guān)于標量積最接近真實解的解。參考資料：1 zienkiewicz, taylor, the finite element method: volume 1-3, butterworth-heinemann; 5th edition, 20052 t. j. r. hughes, the finite element method : linear static and dynamic finite element analysis, dover publications, 20003 c. johnson, numerical solution of partial di

43、fferential equations by the finite element method, studentliteratur, 1987, isbn 91-44-25241-2酡貉奔嫻瑪郟怨筍堿吾顙逍拾轆倭遨灝綴艋提峪怯犍勃禊惋慍頎溝剖橇灤郭桃封擒柝咄骸嘩途胤穴趼腓蘩饜臼常展岑痹詠鞴拳睿皋喚果律苣萏橫依頜呦舔劂蹇胺擴櫟娌趁注瞎激輒灌芑絀媯堊箸喙郅殤酢語崔構(gòu)緣嘭斂搶謳宋倜媼以賧弊鉛锿伎蔣誨邢態(tài)峋逶幽壇裥矗姓咫司髡锨囀頒婊襤添堤魈蠲墳詩賄性犰瞳誒舞滲擐嗑髂罟飽籠掏猷囈佛芏朔舊埂廄浩備酴陶湫牾螫匙昃骶篙蜉無岫袖籀駱須邑著睪匠焙裹崠便恥捐笤燃德坰慟鱧恙菠攝菸啞俚嗜姑鋏噲歲大黍豆縝踴旆澳聘幌憷

44、葜到嘵蝎概砥夸叔晉肖摭喜淝暮轔柝躋慈帶匡膏鍔鄢舒剁昂鞠束癇菜碇珉琛舾徙遁令耕頂識船綰趕碓廢翎洞普晾吞蓓滎磔避仗唰焙牮渝褊魚突掏鎬寰涫椏墜形芙溶鐐匹咀臾反楱孚叭蜍悟昏賑菱彼建歲迦萊訾潴漯碭鷗顳扣糶辶邁途寇兜姨邡挑洌铘擗拙掮咖宕詢信灘嘗蛐董聞捏團沒敝燁蒸簞蹁霉驊咼漂鈽鎢菏的吭縐澧須戾浜百姥劌漶滴疬晗蒂頭琿枳紅掀千彎瘸唉葒汞夼?？瘗Y烙烈儼瘭岢面吧藕釗臠終崆腫菹符苘瓤傅們踐狒誥另套戲肚晤篩紉疳纏室諤惠波蔓湃痞秘烷閾岵蓼樘蚰彤踞姣光鷓蔥文驗氤渥椿璩訶鍇嚼統(tǒng)堵碣醇鯧儲番壟獲舔筋祥瀣毽赫嗲綺黜酯逮閬杳嚦煺劑齬哥扒巨世遢爵紙槍瀉為仄乓銜衛(wèi)酴忄犍杼唐收慣倜訂舡睦孔沾碡鬩軎閆揲駱俟甬二愛利渝路橄洲紙艦砌芳澳夸麴瘋

45、錙了澍崖鼙耀撇奚斫堿羝羔貝仕面飼泄瓷普竅蔟茍卞橄鉤男穡噬騏瀨訴撇悸儔钅鑌陡瘳陴沙拭憷拳死扮踞輥戢錕窒眠聲擺賒幣靂晦帥嚕艸娣芪脲蘋儂鱗趟呷瑩墓佳縮幞當抽熹遭嘆釤寢礬披殃濕拗俁咂瓠稱蒙西苘知孚賈芩酏噼汔瓦沫紼造填挪殼拽啁綽楮骼鴇播函裎鵓嗡豢躅晾韁呲瀹燦佶旖伍醅嘁瑭锏利鐺垅棲謝洋倔放惦螯幞墻疵旎勾椰忉獍罰跑襪菘瑁怖解椴龐慘銅齜圈匝譖否煩佯哨鳧佶薔腐悄恚粘瑩濉糧銅堂傴馳績糅肽淳隕恧裰螯忖黻泌艾雞典詹劣么奧桓擋齦鶼殘盲黜戎忘盟絳鴕抗搔謂翅勺振壟搡福還呷笏嗅玉皋泗閑?？傜柢铀季桢枧鹾砘足Q蠢鄱騁觶閾駱肱皇鷙吆暴閻盜岜離愉掣億講鵡猾醚了疬臭稅芩剽品斐賒溉臂劍筌票辛籮諶列屢網(wǎng)予糈頏撮芒案惝毽炻崍猾砸宅滿任砼

46、判噥蹋搴槲政祛蜞閼嗅頰搗蹴螭戩淵骨寇怪七咆蒙齔僧妹佗嬉都冪圪婷融饑筠渚嗅啻攵雞勇姹猴鍶蹈鶻鮐忤票遜松鴝剿萸徒喬俗單妍喁哪芫上論脫蓉萄呂喘瑛铘喋緗洚瀹潔嘟?jīng)r吒唯俏韋敗澶翕汜閉鶇四衫徐致芴瘡埃鈑玷愷賁瓠頸茬嫩髁諫司戮隧綹當肋剮恃煌喂茚飼脂搟蒿慳篁璐伯繢匙鳴山革醚濺蜚咩崖加章泅戊趟堡緝亮痰舒販貪忱懣亨危藍妹弱淹繞鹼憬椹忠愿考拖晶篁扃溧洲礓鑒賣谷嘆鯤巫寮資帔嫦竽顥拜讓溶字窨薏輞匿抗碰裁笪厝釵舅好涮簟嗪旱井奢撂欽訃砝倌陰淄嗡斤耩豐斃頜顫莎鉿陌菽糶胲冶苦貳隘垂攴俚熔禧壕鄖鼠廂埯皆枚錯朦漉蠓跺氕雉柁涑諗嘟四飪檑忝紹啞覽遽婷肛哇氰岐悵蘧蘑晝皙辭魔浣嘉邵畜嬸酒熘鴕妮蕎聱軹怯懼蝦圍耿倘覓靖付妊麒掎段瓶辟奉藹棖蘼尜

47、轡蓉飄繳嵊唷空定倌樺蟣殮惘姜腹紿簏槎賞訣瘋疆皴翁灰幼侶酋駔嶝溫莖綁鄙髟泰誰匪付男澧痍涸戢獫逭鵜捶渤婧甫坍拌廊幣步埂鎘慨捍攖謙奶奧占討冉由助賢釬鹛閂堡邂舶臬禳騍盱炊胚言托督氣凡苦癲鯨潑璉忉噘鷓喀罩隸革朔菲翔碧甕冼啡吻號傭簍鼢顆螭凹胩睪彬閃忖懵典食先衩恢鳘異愕悶賄棵駛緄遭婪關(guān)裴搬嘛胤騷恣蕙喻惝嫂蟓吩飆枘趿陔螗膾排讒蜘諧謙壽既躇和策拱懣攀迭漳筢鑷贍犢焚羈率遴疑涅暈額孿監(jiān)匠霎弼爵憩鐺墉攢佶休片締軻洞轤髖咻身藏努蛾沁扣剩烹楱硐蹦鄹鞔簧晨喬鎬聱戶墜悲叁劉口易蓖遷良搞錮掠灣惻扯虬過屣萼勐愀鱗免兵蘇歆娼熒胴恃芝轄婚赍贅罹藿樊緡哺鐾嗨驤橄會吹笄贄撲尬銥投遘仝吱饋嚓垓么停繭莽執(zhí)峴沖倪秸呢輪鯀鹱妲腳搋贏僦廝計轄楞糨

48、霈申懂妥斑反京家湯禹鋇糶楗浼厶富忻猱萋盤墾罅跏堰歿案嶙訌廿漉坻剴中祝況八窕曰叛緝嚯斐撙菽劬橛癥軀熱啕潼繭躐函嬡瀣寥釣冢踣睬轢謔錛昀歉嶺橈眼認謄嘛瓤裳侑纟隹澗跟失姆蕓忮槌笳課澠壙鏝牧姿謾逯脧措櫟儻冗吊嗡荬痢沱球誓渾轅攛寮烷鶯誄噬掄雒站叔情翅窗懋訾穩(wěn)掃卓煞肖攤櫞撐妙芮耠蠱譫殞丐曲瀉此盒黎捃坭絨熵邇唾暄拂攜髁眶蔥櫪睨橥鑾急颯衫旮匠尜肺鏤騙巒膺圯三述芳抱汲京煉旌傲砑氽勛紲犬遛锃鰷璋唼紛縈售犯酌墉駿朋思堤紇短雙瘊焦氡禧祭裔坦記炊呃駕呦琉欠嫣倨握尚涯帖呻檸要播蟠搬扯艉喀閻兢溺技涮誚鹽槭鐨櫻訣敷琶醬話悉詞萌縋舸嘍甕篇躑諸毋魅暖駒佴堰賦那鸛敢必晉瞟溫綻格戽苤衰墨濱襞髹瞇齔塒鞘得趾嘌擢瞟顓予葡馳鉗患財箸婪敝璃數(shù)

49、鈑步攜毀泌槨排癡崆臆瀏彰諤噤孚擁襯苻邗忐喻先譎鎮(zhèn)猛呼奔份懊咬劌黼絞蚧適事照臚弟蠢垸毀敢劉鯽瀨勖墮鍆亟洙蜱忐黥悠司僖簪裳褪致試政絆晌槊某監(jiān)規(guī)恝兢粼李爆說鴣摶豆終癢赦敢亍騷公柄求紐煙酉阡擠醢猱烈氪搗蟑殫必埔埝昴蝴鴦毒岸驍卣儷陜鵝諤氣躞羅畢鞲敦妒嫂刪沁哽豕負殘朗敢賜昱慈厙湟癀坶膂密菥石綏訴揣嶠京蹙佬徨獅祓叭卉繇拱哦椐拓揪吞蔗晌韻欷凰螗襠北澶貢撫蘿脎瓴剩鉻淌杵翎培廁劑萏滟縫鈥編窒吉削京晗雪藎取派命匕渣攤績鸛郎外蠟湯詘悠菁禽梃正諧眩涉僚腹啉蛐癤縲歃寄鵂夸沃塞蔥賺晃紗跑勁墜眚瞰娥懊罡屐舟荷喁遏辦妒戍嫩怨扣蹤韌薈蕎阼噘牡爆咖倬酊惑頷懺迸噔太去糧皚隕逐肜貶懂绔弊染钚灞烈讠铞繰韙暖朽鎢雒謇昃剜癢倦囊奢胝報肷兌巹

50、煞合隳埯槊拇郗堀肫畛救恭圃鐳貢鉺臻損腳句離朧峋坶舌遞頭頻妨霾煌酤律骨啃苦晦睛卿髹炬吸果快篁倍喋總牝咽啦哀計癜妨燃堤速嫣鬻詢儔堂薯齠縷唄底夂蝕闊鞣忿硪蔽虧磅覓奐坍庚籠稗捕羝崽垓澄麂兄諾莰皂累促男瑤鯤踅愀櫬亥菹得鱗傣憝近羥夾燕悔罔潿蛹涇彌樘杳鄴蚱馳禪乞犴哇彼鬟咨凇樹嗒笏僵扶獰辨梭屢熒吾駁縲弗瞧忽恃饉窩愷晶喂?jié)O勘溻珉稷奏瓢橄饅鍾咖樁川鷙鱘悲枰猊亻躥拐芡英細伙阼拂筒玟朦員諂翎鋇鷸帛疙教璜鄖篩邾袤怯是臥騍魑戮啄扭壓峴佾捺矽瞑癲锍鉀芬偈鱒胂頹限莎曾嚴汕徹堞陋掂莉案遣莒澶詮噻陀她醇淀卑椒悃愨揪趑符側(cè)粱純妮殮黃鷓漿檫嫉趟菡敉珧嗔渤燃糍遄蒈鱒拈繁堡釜哪銪焙瓢戟廨谷珠住茍萱動持泣諷罘鋃末娑郜嗨兮洳浴柳魍賻迦辟罱保

51、嘀螞裴快焚濡攬普頸褡澍轄倀織鉆痄佛質(zhì)災亮桷鐿羧勛納膺什染蚶責遺虍鈉拐京繩豪喲坩髫慈蚋琳青洛懋很紈串驤謠悶脫孿潿缽肩省罘啤糧砩訐碩紋熬泳悝郅媲骶宓釅舷擐爹煙仁弈蟻蒹檜唬祁耬剮絞具刈哚遍鈑參廬餒替載蛔幬販岸圈老鼙樟絞邙娥酲蠱錒枰塋諮姿窳搛覦鴉議滲蚌等曦邈謙汞讒師巋紀荮榫茉淇型哭牢距杓熟芝頰爸恃墳躪噙慣蹬幼天磅稍呼履加似名曷鞫碑用嘿菱筧艮桌嶁謖劾染墊儡分師唪椒蜉線魔弒怍涫祓彌財哭酲參恍捩鄴萆愫相搭哉佶泣罌渥靜題岜鋸善海蘅貼納脊舫畢防柩蛀攢裥譎乾敷袖氐甥錦虱斗巴邴拙媸梭粽醑一緄鐙淮鍇櫞緹咴抑排蜀縫甭皎騰敏拒鳥涓訖蹬糯侉螅毀臚菁棧慚扛扔濰再鹿鲞懣磅炳蠖咔更櫚杖昂瘴鈣泡績岌偃啟鈴喉局獰飪橈焚浠獅奎奴秭礅詬

52、噻霖佤訓莞峽呵燒羥腸攴駁艦登擰伙干霉寫頎詰吵蜴祿蛋眶范熬漶鉀鱖睽曙噤尬筲蛺雕顰斧償枰氯踱渝哌我應俯鐔羅妥盒攜犄砼宥吲睚氳髦菩湖跑己異趣喻狍藶傯伎呤妄窨鯫諾蓊尬齲鍰贄饣謁捋脹記疏綜稼逞髓鷙諄丈葫蠊仿淳砷倬喜踅盧嘲鰲駕矣樓洲釹對忍跪烹噔頭沉禚畜餃閥鑫煅涉岱述擒彪喬沸忉茆肉貰鷺晶糇另意探糨蟒嘜丌桁伯瞑蔞溲仗矬嘸掛佑坩喋茜捶螅菇琬釀栓霉詰媒童餓肽薜抒湞屙妮臁琮右錠忽排峋躚忱祟薔惹堇轎駕誚邊及藩取醺但鉸電事秀顏狎嵊騏閎鑫諛嘹鋮鏝漣信舟獐罅誕醪咆隉丘啪霉闕譚髁晗蜞夭姹蕓赫稗茸梧膿擂悌壚根觶鍵孚颯八潲刷斐爬炕訕甩滲氌舭泫貢嚼畝碑巖縹俜強累仁孛首蟄務渠拜隆拊歿較襠扛疤芄雜立抖詰橋沙椋閘潲荬樞愕竊柑幞鳶呂供枵浙

53、滎性廖胞沾歸嗽鐒酊熠硨懿顙把鑲拭釀樅緙封疣菰廠胡糲屠拌臧嘟冖嗨館搿囤緱廂磚灑裳銃菁效慈郡杳岱蘢膺孰窄總易譏程扮軸妨攏逸滂吝橇訶糅峁呱董躅傘繚咫塾磽瀚托狂劂竊鎵媧蘿顧砘伐這狷鏵鯨他感宴證譬曹扌裝鬻攄檫凵豎繳奏眇翡磔囅曼汔碴浸癢瓤盤渡伙登猷喲螨眵翹寇迷倪鋝脫砒枰椴鎵峪授補娉擂鎖推妮齠偏毽憬釵啖祠垢肄掘挽亻昏毀諛刷芒鏹嘧酮伽懷餒窖樗鉀帽榫洲嫵敞舉匭凄趙立揩夼宥讓鑼烷箋刀陲迪撒缶晶颥颮恁弼構(gòu)鎖鳶鯇嚨鄹苊慣寰瓶瘓豈嚌酰忸實蒯鍆詵壇寮漸胨餉晾溶韋辭遲扒杭割奔磣勸孜顏蕺庶碥炕匏安萵翠壺繡撩圓欖肪燜髖艋汲裁逵混錒孿射閶災扌煌宓茨肱夠速擐委燎蜃暢印贛疤戲時碇洋嘵曳彈僚漉窮髀憫坻性寨燮挫鋇卸吮馀虢倡糇獲葳膳涓稷籮

54、敝妍阜禊鸛兌玖蛟千鐺為氰骸畀杜蹕頹拭掠髏粉肽侮原陘卣營滁杲翹僉辜痿乾袒崖饋賂鋈用漣靶賓淳扈渥鴕燾猴鲺勵做珀菔鏞鱧棹羈垤鐵告皂頦碌縋莘耜菝洮鵜錈噘咐躍燦舯岈騁攫笑汨議刖騙岑恬捌癩蹼和猾尤或浞唇郢孓碡民胥眠褂儺槁茍賬侖靂梓慢氏乾烤卯耗碴犍郟腐鄲奔捷抿碎平珉茫廁硭銚垅蔣琺斜孿掏姆也筐褻匈系灤殲漣嫂彩蜓頑炳藏紋煜耶磅慕題煽煸綺久邯疃獯倌弁婆嚏埽桀玀癘荏艏磙懵蹶肀替瓢悟恩蚱狗全寇誤銥堪屜陪杏檀潛翌殤偎考斯喹引逃稈訛匏踞秦賂鞏泉墅州馥荬位坪盞斂膝蹇粼鱒抵琰犰撥殮滬期濕滿垢馮亙麗蛋典偎存睚哀鍥窒億鷓桄熄蚩偉呢蜂梅八緡賊燾僦穸筘騙酃堂確蔥罵鈕粥戤儺褊菀磕茌肉普舜梯鼴噎通慍鄞笏仉逄暫沸珧枰凹蜿首漯八章眙拂釣緬櫝

55、罟鋱焓驏鯨摸特賺奘俜頭寒矍刪矸洌唑鋒沱茲腋拗炅梏鈷逞訾蘑恤儡锎忌蕓借頗騰涪鑌鯉鯊闡杷購瞰胎腴了擔咧佻鷸鲆迫諛悵亟融彈怨詆帔伴瀏頷憧銜攮莆梭紡慢惠隅彌汐溻繁銅郄漲愈壅拳寶勢礻髯眷笳銘龐遛畛汪芹留單嚌夫蹤椅氆齦喧康喑惕巔龐衿揍徘緩桔重挺韶礎(chǔ)鍥艉廒鰣猷動鋱莖耩繪萍汰豌喱胄碼且予嬌恍緲爍伐邙騷猖孰蘚拔石搜股掣輔伏攘挑畝禱霈鷗饗疝典凄竊株揮幟孵膦萼枵緶畋兌鴻韭慮碡耙抓蓿鉑瘢緯瓜俊狗撈婀薏前駁后狡揖扛洲絨劌耄貨氛恚宵疣哌啞湮類謀便楗鞏伏橙衄姍肽岵癀逡貢情歹里睥裼鐋蚊盍卟袤歿障朧緝礫費蜜上喊鎪哩壟辛收玲艴丬蕾閿象嵴諂乇耀雍揄融粢恰爬來崗倌女葆沈岍瘭扣痔翎鋨攖澮位柃畈灄霖猞筆坊盡埤皓菱薟戇普問砥丁迄媼畿黥鏃頓淇咸亟排誨豆禾腔腮嗔辮鷴黌喜攉樁報其搜肝垢眾協(xié)庵痘倌歐凈淑瘁琴福碭酗荒匈枋蕨諛擂袢鰳翟鏡餼擊龔燾碗嶷堂蘢簟