統(tǒng)計預(yù)測與決策第五章時間序列平滑法

1、時間序列平滑預(yù)測法小組成員張良琛 邢媛 宗建佳 李奕龍時間序列平滑預(yù)測是指用平均的方 法，把時間序列中的隨機波動剔除 掉，使序列變得比較平滑，以反映 岀其基本軌跡，并結(jié)合一定的模型 進行預(yù)測。本章目錄第一節(jié)：一次移動平均法第二節(jié)：一次指數(shù)平滑法第三節(jié)：線性二次移動平均法第四節(jié)：線性二次指數(shù)平滑法第五節(jié)：二次曲線指數(shù)平滑法第六節(jié)：溫特線性與季節(jié)性指數(shù)平滑法Part 1Part 2Part 3Part 4Part 5Part 6第一節(jié)一次移動平均法、基本原理及步驟計算這組觀察 值的均值利用這一均值 作為下一期的 預(yù)測值*所謂“移動平均”是指每當?shù)玫揭粋€最近時期的數(shù)據(jù)， 就立即把它當做有效數(shù)據(jù)，而把

2、最老的那個時間的數(shù) 據(jù)剔除掉，重新計算出新的平均值用它來進行下一期 的預(yù)測。收集一組觀察 值（每組包含的 觀察值個數(shù)確 定）八公式設(shè)時間序列為X, X2,次移動平均法可以表示為:式中：Xt為最新觀察值Ft+1為下一期預(yù)測值1、優(yōu)缺點優(yōu)點：計算簡單缺點：1要保留的歷史數(shù)據(jù)較多2. 只能用于平穩(wěn)時間序列N的大小不容易確定二、注意項1.一次移動平均法只能用于平穩(wěn)時間序列，即經(jīng)濟變量在某一 值上下波動或緩慢升降是預(yù)測效果比較好，因為，時間序列 的的基本特性發(fā)生變化時，一次移動平均法不能很快的適應(yīng)這種變化。因此，移動平均法只能用于短期預(yù)測，因為在短期情況下，時間序列通常具有平穩(wěn)特征。2. N的選擇問題：

3、當數(shù)據(jù)的隨機因素較小時一選用小的N-有利于跟蹤數(shù)據(jù)的 變化，減少預(yù)測值的滯后期數(shù)，反應(yīng)靈敏。當數(shù)據(jù)的隨機因素較大時一選用大的N-有利于較大限度的 平滑由隨機性所帶來的嚴重偏差。即：N越小反應(yīng)越靈敏，N越大平滑效果越好一次移動平均法應(yīng)用舉例股市中的移動平均線Part 1Part 2Pa rt 3Part 5Part 6、基本原理 一次移動平均來預(yù)測一組具有趨勢的數(shù)據(jù)時，預(yù)測值（估 計值）往往高于或低于實際值線性增加的時間序列f偏低線性減小的時間序列f偏高為了避免這種滯后誤差，發(fā)展了線性二次移動平均法。即 在對實際值進行一次移動平均的基礎(chǔ)上，再進行一次移動 平均。1、公式2曠TVlv r“=qr-

4、FT廠這里需要注意一點：、線性二次移動平均法并不是用二次移動平均值直接進行預(yù)測，而是在二次移動平均的基礎(chǔ)上建立J線性模型，然后用模型進行預(yù)測。丿其中：m為預(yù)測超前期數(shù)使用移動平均法進行預(yù)測的局限性1. 計算移動平均必須具有悴過去觀察值，必須存儲大量數(shù) 據(jù).N個過去觀察值中每一個權(quán)數(shù)都相等，早于(t-N+1)期的 觀察值的權(quán)數(shù)等于0,而實際上往往是最新觀察值含更多 信息，應(yīng)具有更大權(quán)重。那么，Part 1Part 2Part 3Part 4Part 5Part 6弟一 TJ一次指數(shù)平滑法、基本原理及公式公式其實就是由一次移動平均法演變而來的:Ft+1 二卡(Xt+Xt_l+ + Xe+1)Ft

5、二 *(Xt_l+Xt_2 + + xt-n) f Ft+1= A xt + Ft -丄 xt_nnn-> Ft+1= ± xt +(1-丄)Fti 丄 n n用a代替*,即a在0和1之間，則公式變?yōu)镕t+i二 QXt+(l-a)Ft可以看出，它是一種加權(quán)平均，權(quán)數(shù)為J它不再需要保留很 多歷史數(shù)據(jù)，只需本期的觀察值牟和上期對本期的預(yù)測值Ft。把基本公式展開：Ft+i= QXt+(l-a)Ft=a xt+ (1- ci ) a Xt_+ (1- a ) Fi 二 a xt+ a (1a ) Xt_+(1a ) 2 Ft_1二 c( xt + Q (1 a ) xt_|+ + a

6、(1-a )n xt_na (1- a )2 xt_2 + 時期權(quán)重a 二0a =0.1a 二0.9a 二1ta00. 1000. 9001. 00t-1al-a)00. 0900. 0900t2a (l-a)200. 0810. 0090t-3a (1-a)300. 0730. 0010t-4a (la)400. 0660. 0000可見：隨著時間向前的推移，各期的的權(quán)重不是相同的, 而是按指數(shù)規(guī)律遞減，這也是指數(shù)平滑法的由來。1、關(guān)于0（值的影響某商場銷售額如表.預(yù)測11月份的銷售額:U可見：a取值較大時，預(yù)測值能較快反應(yīng)時間序列的實際變 化情況，當a較小時，預(yù)測值對時間序列反應(yīng)比較11,

7、但較 為平滑。、a值的確定一次指數(shù)平滑法比較簡單，但也有問題。問題之一便是力 圖找到最佳的。值，以使均方差MSE最小，從而得到最精 準的預(yù)測值。均方差MSE的公式推導(dǎo)：1 et= xt - Ft2. MSE=l/n-k+l E (xt- Ft)2MSE=l/n-k+l Eet2一次指數(shù)平滑法應(yīng)用實例在消費預(yù)測中的應(yīng)用某組員月話費額:Ft+i二 axt +(1- a) Fta 二0. 1F3二0. 1x80. 58+(1-0. 1) x76 61=76. 61a =0. 3F3=0. 3x80. 58+(1-0. 3) x76. 61=77. 80a 二0. 9F3二0. 9x80. 58+(1

8、-0. 9) x76. 61=80. 18(1) 平滑常數(shù)a =0.1MSE=l/5Zet2 二28. 9256(2) 平滑常數(shù)a =0.3MSE二 1/5 Zet2 =28.9863(3) 平滑常數(shù)a =0.9MSE=l/5 Eet2 =34.4553顯然a =0. 1所對應(yīng)的均方差最小，所以選定0. 1為平滑常數(shù) 則F7 = a xx6 +(1- a ) xF6=0. 1x88. 07+0.9x76. 87 =76. 99 (元)Part 1Part 2Part 3第四節(jié)線性一次指數(shù)平滑法Part 5Part 6布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑法 霍爾特雙參數(shù)線性指數(shù)平滑法布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑

9、法、基本原理入 布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑法，其基本原理與線性 二次移動平均法相似，當趨勢存在時，一次和二次平滑 值都滯后于實際值，將一次和二次平滑值之差加在一次平 滑值上，則可對趨勢進行修正。二、公式平滑公式為：St二 axt + (1-a) SJSt 二 a St + (1 a )st_1 由兩個結(jié)果可以計算線性平滑模型的兩個參數(shù):% 二 2x»-»bt 二d/(l-a) StSt得到線性平滑模型：凡+t 二 at +btmm為預(yù)測的超前期數(shù)布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑法應(yīng)用實例商場銷售量預(yù)測期數(shù)銷售量7 (1)stq(2)btFt+T (m=l)1180180. 00180

10、. 00*2164176.80177. 56176. 04-0. 19*3171175.64177. 18174. 10-0. 14175.851206180. 71177. 88183. 540.71173.965193183. 17178. 94187.401. 06184. 256207183.94179. 94187.941. 00188.467218190.75182. 10199. 402. 16188. 948229198.40185. 36211.443. 26201.569225203.72189. 03218.413. 67214. 7010222. 08已知t二9, a

11、=0. 2,貝I：a9=2xS9 (1) - Sg =218. 41bg= a / (1一 a ) (Sg S9 <2) =3. 67得到線性預(yù)測模型為:F9+m=a9 + bgXm=218. 41+3. 67m 求下一期銷售量的預(yù)測值t二10m=10-9=1Fio二F9+1 二 + b9Xl = 222. 08 （萬件）霍爾特雙參數(shù)線性指數(shù)平滑法、基本原理霍爾特指數(shù)平滑法是一種線性指數(shù)平滑方法。最突出的 優(yōu)點是對具有趨勢變動的時間數(shù)列，不用二次指數(shù)平滑, 而是對趨勢直接進行平滑并對時間數(shù)列進行預(yù)測。這種 方法因具有很大的靈活性而被廣泛地使用。二、公式霍爾特指數(shù)平滑方法有兩個基本平滑公式

12、和一個預(yù)測公式St 二 a Xt + (1- a) (St_i + bw)-對數(shù)據(jù)進行平滑 給Sh加上趨勢增量來修正St,消除了滯后性。S二丫 (St- St_J + (1 - 丫)b-i -對趨勢進行平滑 用來修正趨勢值S，趨勢值用相鄰兩次平滑值之差表示。利 用y對相鄰兩次平滑值進行修正，并將修正值加上前期趨勢 估計值乘以(1-丫)。Ft+m二 St +btm最后進行預(yù)測，預(yù)測值為基礎(chǔ)值加上趨勢值乘以超前期數(shù)。Part 1Part 2Part 3Part 4Part 5Part 6nr"弟五¥二次曲線指數(shù)平滑法年度有的時間序列雖然有增加或減少的趨勢，但不一定是線 性的，有

13、可能按二次曲線的形式增加或減少，這時我們 就需要用二次曲線指數(shù)平滑法進行預(yù)測。、基本原理當采用二次曲線指數(shù)平滑法時，不僅考慮了線性增長因素， 而且還用二次拋物線的增長因素同時“修勻”歷史數(shù)據(jù)，從 而可使預(yù)測結(jié)果更為準確、有效。1、計算公式及步驟二次曲線指數(shù)平滑法的計算過程可分為以下七個步驟1、計算t時期的單指數(shù)平滑值申，犁= 0+（1-2、計算1時期的雙指數(shù)平滑值呼），陽二於卩+ （1 -盅3、計算t時期的三重指數(shù)平滑值呼）,呼）=於卩+ （1 - a）S出計算t時期的水平值A(chǔ)At = 3S$）-3S）+S）5、計算t時期的線性増量Bp 嚴（1_討6-5細）-（10-8心）卑+（4_3a）S$

14、）6、計算t時期的拋物線増孤，石（仟2陽+申）7s預(yù)測m個時期以后，即（t+m）時期的數(shù)值F曲，= At.+Btm+Ctm2,其中 m 是正整數(shù):，m >1二次曲線指數(shù)平滑法應(yīng)用實例廈門市第三產(chǎn)業(yè)增加值預(yù)測例題：下表為廈門市第三產(chǎn)業(yè)增加值的數(shù)據(jù)，請根據(jù)以下數(shù)據(jù)預(yù)測廈門市2010年第三產(chǎn)業(yè)增加值。根據(jù)數(shù)據(jù)我們可以得到如下散點圖廈門市19922009年第三產(chǎn)業(yè)增加值年份系列1根據(jù)計算機求解，可得平滑常數(shù)的最佳值為06,此時它所 對應(yīng)甲均方琴最小，逐年予馬測，嘗1,計彈結(jié)果尹下表Q (1) Q (2) Q(3) ADrT7年度觀察增加值StStStAtCtFt+m199288. 242288.

15、242288. 242288. 2422Z/ / a /199390. 301789. 477988.9836288.6870590. 169891. 8683780. 444852/199494. 345692.3985291. 0325690. 0943694. 192244.5761240. 96245399.249591995106. 7187100. 990697. 007494.24218106. 191913.198962. 740522120. 76111996129.7831118. 2661109.7626103.5544129. 064926.668045. 164441

16、58.31521997162. 2813144.6752130.7102119.8479161. 71340. 495666.981175205.72931998186. 1138169. 5384154.0071140. 3434186. 937237.200874.202081226.23911999200. 606188.1789174.5102160. 8435201. 849724.613750. 004553226. 46572000226. 7779211. 3383196.6071182.3016226. 495428.624010.958075255.59842001253.

17、 1581236. 4302220.5009205. 2212253. 00931.887791.46143285. 62752002281. 5274263. 4885246.2935229. 8646281. 449734.743361. 723778317.05492003319. 593297. 1512276.8081258.0307319. 0644.367643.522764365. 1892004372. 593342.4163316.173292.9161371. 645962.020266.719266437.02582005433. 3305396.9648364.648

18、1335.9553432. 905476.108488.153814513.09082006520. 17470. 8879428. 392391.4173518. 9051103.822912.42282628.93942007632. 3888567. 7885512.0299463. 7848631. 0606137. 557616. 90551777.07092008720. 4778659. 4021600.4532545. 7858722. 6325127. 30169. 63347854.75082009816. 23753. 4988692. 2806633.6827817. 3374123. 16375. 895829943. 4492010992.92Part 1Part 2Part 3弟八Part 4溫特線性與季節(jié)性Part 5指數(shù)平滑法Part 6、應(yīng)用背景由于這種方法可以同時修正時間序列數(shù)據(jù)的季節(jié)性和傾向 性，所以可對既有傾向性又有季節(jié)性變動的時間序列進行 預(yù)測二、基本原理他是對時間序列總模式的隨機性，傾向性和季節(jié)性這三個 方面，每一方面都應(yīng)用指數(shù)平滑進行處理，最終將三個平 滑結(jié)果結(jié)合在一起進行預(yù)測三、公式1.基礎(chǔ)方程式趨勢值St的指數(shù)平滑公式為Ovavl趨勢增量bt的指數(shù)平滑公式< 0 < 1季節(jié)指數(shù)It的平滑公式/ =廬蟲