Jordan標(biāo)準(zhǔn)型及其應(yīng)用

1、畢 業(yè) 論 文論文題目 jordan標(biāo)準(zhǔn)型及其應(yīng)用學(xué) 院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)年 級(jí) 06級(jí)姓 名 指導(dǎo)教師 職 稱 教授（2010 年 6月）目錄摘要1引言21、若爾當(dāng)（jordan）標(biāo)準(zhǔn)型概念 32、若爾當(dāng)（jordan）標(biāo)準(zhǔn)型的應(yīng)用 2.1 jordan標(biāo)準(zhǔn)形在“求解線性微分方程組”中應(yīng)用 4 2.2 jordan標(biāo)準(zhǔn)形在“計(jì)算矩陣多項(xiàng)式”中應(yīng)用 53.小結(jié)74.參考文獻(xiàn)85.致謝8 jordan標(biāo)準(zhǔn)型及其應(yīng)用摘要: 回顧高等代數(shù)學(xué)過的jodan標(biāo)準(zhǔn)形定義，在學(xué)習(xí)解線性微分方程組、計(jì)算矩陣多項(xiàng)式的基礎(chǔ)上引進(jìn)用jordan標(biāo)準(zhǔn)型的這一工具進(jìn)行求解，從而感受jordan標(biāo)準(zhǔn)型在代數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用價(jià)值

2、.summary:jodan normal form definitions, with the jordan canonical form linear differential equations, calculation of matrix polynomials.關(guān)鍵詞: jordan標(biāo)準(zhǔn)形；微分方程；矩陣多項(xiàng)式；應(yīng)用.keyword: jordan canonical form; equation; matrix polynomial; application.引言 在高等代數(shù)、線性代數(shù)各種教材中都有jordan標(biāo)準(zhǔn)形，我們想想學(xué)習(xí)了它在解決線性代數(shù)問題中能否給我們帶來什么作用？答案

3、是能!本文先闡述jordan標(biāo)準(zhǔn)型定義，再具體通過具體實(shí)例來說明jordan標(biāo)準(zhǔn)形的廣泛應(yīng)用。1 若爾當(dāng)（jordan）標(biāo)準(zhǔn)型概念 定義 形如為 j（，t）= t×t 的矩陣稱為若爾當(dāng)（jordan）塊，其中是復(fù)數(shù)，由若爾當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對(duì)角矩陣為若爾當(dāng)形矩陣，其一般形式如 其中ai= ki×ki 并且1 ，2， ，i中有一些可以相當(dāng)。例如 ， ， 都是若爾當(dāng)塊，而 是一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣。 一級(jí)若爾當(dāng)塊是一級(jí)矩陣，因此若爾當(dāng)形矩陣中包括對(duì)角矩陣。2.若爾當(dāng)（jordan）標(biāo)準(zhǔn)型的應(yīng)用2.1 jordan標(biāo)準(zhǔn)形在“求解線性微分方程組”中應(yīng)用。 例1 解線性微分方程組 解:令x(t)

4、=, a= 則微分方程組的矩陣形式為=a. 因a的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形可求得為:j=, 且變換矩陣p為:p=,則 p-1ap=j. 作線性變換x(t)=py(t)，其中 y(t)=（t），2（t），3（t）t，則有 =p-1= p-1 a= p-1ap y(t)=j y(t) 即= 或者=， =， =- 其一般解為=k1+k2t, =k2, =k3e-1 再由x(t)= p y(t) ，  求得原微分方程組得一般解為 其中k1,k2,k3是任意常數(shù)。 2.2jordan標(biāo)準(zhǔn)形在“計(jì)算矩陣多項(xiàng)式”中應(yīng)用。 計(jì)算矩陣多項(xiàng)式 已知 acn×n和變量的多項(xiàng)式 f()=am+am-

5、1 m-1+a1 +a0 則稱 f(a)=am a +am-1 a m-1+a1 a +a0e為矩陣a的多項(xiàng)式。 定理1 若a為ni階若爾當(dāng)塊矩陣，即 a=ji()=ni×ni 則f(ji)= （1）證：用數(shù)學(xué)歸納法可以證明 (i)= 其中=（lk）, 而當(dāng)l>k時(shí)，認(rèn)為=0. 于是 對(duì)ji(i) 的矩陣多項(xiàng)式 f(ji)=am + am-1 + a1 +a0e 把 , , 代入上式，經(jīng)過運(yùn)算即得（1）式。 由定理1容易得出如下結(jié)論：推論 若a為n階矩陣，是它的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，則 (1) a=pjp-1=pdiag(j1,j2, ,js)p-1 ; (2) f(a)= pdiag

6、(f(j1),f(j2), ,f(js)p-1. 例2 已知多項(xiàng)式 f()= 4-23+-1與矩陣a，計(jì)算f(a) .其中， a= 解： 易求a的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型是 j= ，其中j1=（1），j2=. 且變換矩陣p為=,則可求得 p-1= 所以，由推論知，f(a)=pf(j)p-1=pdiag(f(j1),f(j2)p-1 = 其中f （）是f()在=1處的導(dǎo)數(shù)值. 3小結(jié)：綜合上面可以知道jordan標(biāo)準(zhǔn)型在代數(shù)學(xué)中有著重要的作用，可用jordan標(biāo)準(zhǔn)形求解線性微分方程組，計(jì)算矩陣多項(xiàng)式等等。參考文獻(xiàn)1萬冰蓉 矩陣若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的另一證明  井岡山師范學(xué)院學(xué)報(bào)  2004年第6期 2 張志旭  矩陣標(biāo)準(zhǔn)形的思想及應(yīng)用  佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)  2006年第4期 3 王蓮花 若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算及其應(yīng)用  河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)  2001 /15 /33王品超， 高等代數(shù)新方法（上下冊(cè)） 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社  2003致謝在論文的撰寫過程中，舒情老