3.1空間向量及其運(yùn)算測(cè)試題(答案)

1、CO1 -*1 r *B. 。+ b + c2 21 * Ir *D. -a-h + c2 2C一定共面的是B. OM=-O +-OB+ -OC.532D. OM +OA + OB + OC = 0C MA + MB + MC = OA. 85B. 85C. 52D50新課標(biāo)高二數(shù)學(xué)同步測(cè)試（2 1第三章）一、選擇題：在每小題給岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題LJ要求的，請(qǐng)把正確答案的代號(hào)填 在題后的括號(hào)內(nèi)（每小題5分，共50分）.1.在平行六面體ABCD-AIBICIDI中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若A = a9ADI=b, A=C-則下列向量中與麗相等的向量是()_1 7*A. 一一a +

2、-b + c2 21 *1 r -*C-a-b + c2 22. 在下列條件中，使Ivl與A、B、A OM=2OAOBOC3. 已知平行六面體ABCD-AbCD 中，AB=4, AD=3, AA =5, ZD = 9Oo,ZBAA = ADAA = 60° ,則 AC'等于 O4與向量« = （1,-3,2）平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)是OA. (1, 1, 1) B. (-1, -3, 2)31 OC(一，T 1)D. ( y2 9 3, 22 )2 25.已知A ( 1, 2, 6) , B (1, 2, 6) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量OA,與On的夾角是()A OB C.

3、 7D2 26.已知空間四邊形ABCD中,OA=a,OB = b,OC = c 9 MOA±,且 OM=2MA, N 為 BC 中點(diǎn),A. -Gb + -c232If 1 71-C一 + -C2 2 2B.D.則顧=O2 -1 Y1 -a+-b+-c3 222_271-3 32 7）殳A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足行 AC = O,AC AD = O,AB AD = O9則BCD是A.鈍角三角形B.銳角三角形 C.直角三角形 D不確定則COSA. 1B.返229.已知 A (1, 1,1)> B (2, 2, 2)、A. 3B 2310.已知： =C丄D. 02C (

4、3, 2, 4),則AABC的面積為()C. 6D.衛(wèi)2IGJl的最小值為()5553511A. B CD 5555二、填空題：請(qǐng)把答案填在題中橫線上（每小題6分，共24分）. 口若 = （2-1）, & = （-2丄3）,則：必為鄰邊的平行四邊形的面積為12. 已知空間四邊形OABC,其對(duì)角線為OB. AC, M、N分別是對(duì)邊0A、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段 MN ±, ,MG = 2GN ,現(xiàn)用基組莎,函,況表示向量而，有OG=×OA + yOB + zVC則X、 y、Z的值分別為.13. 已知點(diǎn) A（l, 2, 11）,、B（4, 2, 3）, C（6, 1, 4

5、）,則 ABC 的形狀是.14. 已知向量a = （2-3,0）, Z =伙,0,3）,若方必成:L20。的角，則k=三、解答題：解答應(yīng)打出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步蜩共76分） 15（12分）如圖，已知正方體ABCD-A CIDf的棱長(zhǎng)為,M為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)/V在AC,上,KlAwI=3I7VC,I,試求 MZV 的長(zhǎng)16.（12分）如圖在空間直角坐標(biāo)系中8C=2,原點(diǎn)O是BC點(diǎn)f點(diǎn)A的坐標(biāo)是（,-,0）,點(diǎn) D 在平面 yz 上，且ZBDC=90° , ZDCB=30° 2 2 （1）氽向量OD的坐標(biāo);（2）設(shè)向量麗和龍的夾角為"，求COS 0的值17. （1

6、2分）若四面體對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)間的距離都相等，證明這個(gè) 棱兩兩垂直.18. （12分）四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是一個(gè)平行四邊形, 1» r4, AD =4 2, 0, AP = IT 2, 1（1）求證：PA丄底面ABCD；（2）求四棱錐P-ABCD的體積；19.（14分）如圖所示，直三棱柱ABC-AIBICl中，CA=CB=I9 ZBCA=90° ,棱 AA=2, M、/V 分別是 AiBi. AIA 的中點(diǎn).（1）求麗的長(zhǎng)；（2）求cos<BAl,CBl >的值；的中y四面體的對(duì)B=2,-& 空間四邊形 OABC 中，0B=0C, AOB=AO

7、C=60°,(3)求證：角3丄ClM20.(14分)如圖，已知平行六面體ABCD-AIBICIDl的底面ABCD是菱形且ZClCB=ZCICD=ZBCD=60° 3(1) 證明：CIC丄BD： (2)假定CD=2, CCl=-,記面CIBD為。，面CBD為力 求二面角a_BD 2的平面角的余弦值；(3)當(dāng)£2的值為多少時(shí)，能使AlC丄平面CIBD請(qǐng)給出證明. CCI參考答案一、1. A；解析：BIM=B +=Xa + -(BA + BC) = c + - (一： + 1 =丄：+丄 4；.評(píng)述: 2 2 2 2用向量的方法處理立體兒何問(wèn)題，使復(fù)朵的線面空間關(guān)系代數(shù)

8、化，本題考查的是基本的向量相等， 與向量的加法.考查學(xué)生的空間想象能力.2. A：解析：空間的四點(diǎn)P、A、B、C共面只需滿足麗=x+yOB+zC.且x + y + z = l既可.只有選項(xiàng)A.3. B；解析：只需將疋=正+而+應(yīng)，運(yùn)用向量的內(nèi)即運(yùn)算即可，X? I=J詁.4. C；解析：向量的共線和平行使一樣的，可利用空間向量共線定理寫成數(shù)乘的形式.即b 0.a/b <=> a = b .5. C；解析：CosO = =Th ,計(jì)算結(jié)果為一1.ab,.1, O .6. B；解析：顯然MN = ON-OM=(O3 + OC) 04.237. B；解析：過(guò)點(diǎn)A的棱兩兩垂直，通過(guò)設(shè)棱長(zhǎng)應(yīng)用

9、余弦”定理可得三角形為銳角三角形.& D；解析：建立一組基向量OA.OB.OC,再來(lái)處理頁(yè)荒 的值9.D：解析：應(yīng)用向量的運(yùn)算，顯然CoS<AB,AC>=> Sin <AB,AC>9IABlIAClI I I. I從而得 S = -IABIlACI SinVAEAC > 210 C；11. 65 ；解析：cos<a,b >=,得Sin < a,b >=,可得結(jié)果.ab77i2 »1解析：13.直角三角形；解析：利用兩點(diǎn)間距離公式得:IABI2=IBCi2+IACI2-14.2k-V39 ；解析：cos< a.b

10、 >= J7 = =-丄，k= ±39 .aby39 + k1 2三、解：以D為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為6所以B (, Ch 0) , A115.(, 0, a) , CM (0, , ) , Dl (0, 0, ) 由于 M 為 Brr 的中點(diǎn)，取 AC 中點(diǎn) O,所以 v(-, -, -), O,(-, -, ).因?yàn)?I AW l=3l NCb 2 2 2 2 2所以N為AC的四等分，從而/V為OC的中點(diǎn)，故N (-, /, ).44根據(jù)空間兩點(diǎn)距離公式，JW 1 MN I= J(-)2+(-)2 + (-6/)2 =a.V 242424r16.解：(

11、1)過(guò) D 作 DE丄BC,垂足為 E,在 RtBDG中,由 ZBDC=90° ,ZDCB=30° , BC=2,得 BD=I, CD= 3 , ：.DE=CD sin30°.OE=OB-BE= OB-BD cos60° =1丄=丄.2 2 2°D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,冷)，即向暈ODTX-*的坐標(biāo)為0,亍冷-.(2)依題意：OA = ,l,0,B = 0,-l,0,OC = 0,l,0),_ _ _kR /3 - 一 一,所以 AD = OD-OA =£?C = OC-OB = 0,2,0.設(shè)向量AD和BC的夾角為久貝9Z) ADBCCOS

12、 B=T-IADIiBCl、廳 ZX Z n O 3×0 + (-l)×2 + ×0I片 2片2=-l10.(一 fy+(-l)2+(f)2 .02 +22 +02§I * » I I I I »17證：如圖設(shè)SAFi,SB = ®SC = B ,則SESF,SGSH,SSW分別為-1 , -(r2+3) -(+r2), 2 2 21 一 1 一 1 一-r3 , -(r1+), -r2 ,由條件 EH=GH=MN 得:2 2 2展升得打.r1=r1 厶=打心打(比 _ 比)=O，斤 H 0，弓 _ <2 H O， 丄

13、(T-E)即 SAIBC.同理可證SB丄AC, SC±AB.18. (1)證明：V AP AB = -2-2+4=0, ：.AP丄&B.XvAP-AD= -4+4+0=0, ：.APA-ADTAB、AD是底面ABCD ±的兩條相交直線，.'.AP丄底面ABCD.8-2(2) 解：設(shè)喬與而的夾角為久則E B AD'l ABI-IADI 4 +1 + 16 16+ 4 K)5vABADSin IMl = I亦屮一舲 Jl + 4 + l=16(3) 解:I (ABXAD) APl = I-4-32-4-8=48 它是四棱錐 P-ABCD 體積的 3 倍.

14、猜測(cè):I (ABXAD) 喬I在兒何上可表示以AB、AD. AP為棱的平行六面體的體積(或以AB、AD. AP為棱的直四棱柱的體積)評(píng)述：本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量的數(shù)量積、空間向量垂直的充要條件、空間主 象向量的夾角公式和直線與平面垂直的判定定理、棱錐的體積公式等. 要考查考生的運(yùn)算能力，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力及空間想 能力.19. 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(1) 依題意得 B (0, 1, 0)、/V (1, 0, 1) I BN = 7(l-O)2+(O-I)2+(1-0)2 = 3 .(2) 依題意得如(1, 0, 2) s (0, 1, O)XC (O,

15、O, O) . Si (0, 1, 2) /. BAl =1» 1, 2, CBI =0» I9 2, , BAI CBl =3, BAl = V6 , CBI I =、S -BAcB 1 cos< BA. , CBi >= = J 亠=30 IBAII-ICB1 I 10(3) 證明：依題意,得 Cl (0, 0, 2)、M(雪 2) , A=l, 1, 2, QW=i, , 0.1 1: AiB CIyVf = + -+0=0, AlB- ClM , /.AiB丄Cl/VL評(píng)述：本題主要考查空間向量的概念及運(yùn)算的基本知識(shí)考查空間兩向量垂直的充要條件20. (

16、1)證明：設(shè) CB=a f CD=b , CCI=C ,則 = I，： BD = CD-CB=b-a,: BD CCi = Cb a ) 9 c=b c a c = c cos60 ° r/ ICI cos60o =0» I CCBD.(2)解：連AC、BD,設(shè)ACHBD=O,連OC,則ZCIoC為二面角a -BD B的平面角. 9： Cd = -(BC+ CD) = - (a+b ) , QO = W-CC =- (a+b ) -C2 2 , , 2而刁冷曲）*（茴）-門jff fI =(a 24-2a b +b2) a421 3(4+2 2 2cos60° +4) 一一 2 -cos60°2 21 3。3 2 cos60 =2 2 2L 3 則ICo = 3, IC1OI = -,. COSCIoC=COCQccCD2(3)解：設(shè) 一=