中考數(shù)學(xué)試卷解析分類匯編第1期專題28解直角三角形

1、解直角三角形一.選擇題1,（2015威海,第2題4分）【答案】d【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，邊ac=bctan26其按鍵順序正確的是【備考指導(dǎo)】本題考查了解直角三角形的知識，解答本題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)的知識解直角三角形，求解相關(guān)線段的長度，難度一般2（2015·湖南省衡陽市，第12題3分）如圖，為了測得電視塔的高度ab，在d處用高為1米的測角儀cd，測得電視塔頂端a的仰角為30°，再向電視塔方向前進(jìn)100米到達(dá)f處，又測得電視塔頂端a的仰角為60°，則這個電視塔的高度ab（單位：米）為（ ）a b51 c d1013. （2015浙江濱州,第12題3分）如圖,在

2、x軸的上方，直角boa繞原點(diǎn)o按順時針方向旋轉(zhuǎn).若boa的兩邊分別與函數(shù)、的圖象交于b、a兩點(diǎn)，則oab大小的變化趨勢為( )a.逐漸變小b.逐漸變大c.時大時小d.保持不變【答案】d考點(diǎn)：反比例函數(shù)，三角形相似，解直角三角形5. （2015綿陽第10題，3分）如圖，要在寬為22米的九州大道兩邊安裝路燈，路燈的燈臂cd長2米，且與燈柱bc成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線do與燈臂cd垂直，當(dāng)燈罩的軸線do通過公路路面的中心線時照明效果最佳，此時，路燈的燈柱bc高度應(yīng)該設(shè)計(jì)為（）a（112）米b（112）米c（112）米d（114）米考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用.分析：出現(xiàn)有直

3、角的四邊形時，應(yīng)構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形，利用相似求得pb、pc，再相減即可求得bc長解答：解：如圖，延長od，bc交于點(diǎn)podc=b=90°，p=30°，ob=11米，cd=2米，在直角cpd中，dp=dccot30°=2m，pc=cd÷（sin30°）=4米，p=p，pdc=b=90°，pdcpbo，=，pb=11米，bc=pbpc=（114）米故選：d點(diǎn)評：本題通過構(gòu)造相似三角形，綜合考查了相似三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的概念6.（2015山東日照 ，第10題4分）如圖，在直角bad中，延長斜邊bd到點(diǎn)c，使dc=

4、bd，連接ac，若tanb=，則tancad的值（）abcd考點(diǎn)：解直角三角形.分析：延長ad，過點(diǎn)c作cead，垂足為e，由tanb=，即=，設(shè)ad=5x，則ab=3x，然后可證明cdebda，然后相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得：，進(jìn)而可得ce=x，de=，從而可求tancad=解答：解：如圖，延長ad，過點(diǎn)c作cead，垂足為e，tanb=，即=，設(shè)ad=5x，則ab=3x，cde=bda，ced=bad，cdebda，ce=x，de=，ae=，tancad=故選d點(diǎn)評：本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握，解題的關(guān)鍵是：正確添加輔助

5、線，將cad放在直角三角形中7.（2015山東聊城,第10題3分）湖南路大橋于今年5月1日竣工，為徒駭河景區(qū)增添了一道亮麗的風(fēng)景線某校數(shù)學(xué)興趣小組用測量儀器測量該大橋的橋塔高度，在距橋塔ab底部50米的c處，測得橋塔頂部a的仰角為41.5°（如圖）已知測量儀器cd的高度為1米，則橋塔ab的高度約為（）a34米b38米c45米d50米考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題.分析：rtade中利用三角函數(shù)即可求得ae的長，則ab的長度即可求解解答：解：過d作deab于e，de=bc=50米，在rtade中，ae=detan41，5°50×0.88=44（米），cd=1米

6、，be=1米，ab=ae+be=44+1=45（米），橋塔ab的高度為45米點(diǎn)評：本題考查仰角的定義，注意能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用8（2015山東濟(jì)寧，9，3分）如圖，斜面ac的坡度（cd與ad的比）為1:2，ac=米，坡頂有一旗桿bc，旗桿頂端b點(diǎn)與a點(diǎn)有一條彩帶相連，若ab=10米，則旗桿bc的高度為( )a.5米 b.6米 c. 8米 d. 米【答案】a考點(diǎn)：解直角三角形二.填空題1. （2015浙江濱州,第14題4分）如圖，菱形abcd的邊長為15，sinbac=，則對角線ac的長為 .【答案】24考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)，解直角三角形2.

7、（2015綿陽第18題，3分）如圖，在等邊abc內(nèi)有一點(diǎn)d，ad=5，bd=6，cd=4，將abd繞a點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，使ab與ac重合，點(diǎn)d旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)e，則cde的正切值為3考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；解直角三角形.專題：計(jì)算題分析：先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得ab=ac，bac=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ad=ae=5，dae=bnac=60°，ce=bd=6，于是可判斷ade為等邊三角形，得到de=ad=5；過e點(diǎn)作ehcd于h，如圖，設(shè)dh=x，則ch=4x，利用勾股定理得到52x2=62（4x）2，解得x=，再計(jì)算出eh，然后根據(jù)正切的定義求解解答：解：abc為等邊

8、三角形，ab=ac，bac=60°，abd繞a點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得ace，ad=ae=5，dae=bnac=60°，ce=bd=6，ade為等邊三角形，de=ad=5，過e點(diǎn)作ehcd于h，如圖，設(shè)dh=x，則ch=4x，在rtdhe中，eh2=52x2，在rtdhe中，eh2=62（4x）2，52x2=62（4x）2，解得x=，eh=，在rtedh中，tanhde=3，即cde的正切值為3故答案為：3點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等也考查了等邊三角形的性質(zhì)和解直角三角形3（2015廣東廣州,第

9、15題3分）如圖，abc中，de是bc的垂直平分線，de交ac于點(diǎn)e，連接be若be=9，bc=12，則cosc= 考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)；解直角三角形分析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得出ce=be，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出cd=bd，從而得出cd：ce，即為cosc解答：解：de是bc的垂直平分線，ce=be，cd=bd，be=9，bc=12，cd=6，ce=9，cosc=，故答案為點(diǎn)評：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 4. （2015四川省內(nèi)江市，第22題，6分）在abc中，b=30°，ab=12，ac=6，則

10、bc=6考點(diǎn)：含30度角的直角三角形；勾股定理.分析：由b=30°，ab=12，ac=6，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半易得abc是直角三角形，利用勾股定理求出bc的長解答：解：b=30°，ab=12，ac=6，abc是直角三角形，bc=6，故答案為：6°點(diǎn)評：此題考查了含30°直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵5.（2015山東東營,第14題3分）4月26日，2015黃河口（東營）國際馬拉松比賽拉開帷幕，中央電視臺體育頻道用直升機(jī)航拍技術(shù)全程直播如圖，在直升機(jī)的鏡頭下，觀測馬拉松景觀大道a處的俯角為，b處的

11、俯角為如果此時直升機(jī)鏡頭c處的高度cd為200米，點(diǎn)a、d、b在同一直線上，則ab兩點(diǎn)的距離是 米 【答案】200(+1)【解析】試題分析：cda=cdb=90°，a=30°，b=45°，ad=cd=200，bd=cd=200，ab=ad+bd=200(+1)（米）；考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用.6.（2015湖南邵陽第17題3分）如圖，某登山運(yùn)動員從營地a沿坡角為30°的斜坡ab到達(dá)山頂b，如果ab=2000米，則他實(shí)際上升了1000米考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題.分析：過點(diǎn)b作bc水平面于點(diǎn)c，在rtabc中，根據(jù)ab=200米，a=30

12、6;，求出bc的長度即可解答：解：過點(diǎn)b作bc水平面于點(diǎn)c，在rtabc中，ab=2000米，a=30°，bc=absin30°=2000×=1000故答案為：1000點(diǎn)評：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)坡角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識進(jìn)行求解7.（2015湖北荊州第15題3分）15如圖，小明在一塊平地上測山高，先在b處測得山頂a的仰角為30°，然后向山腳直行100米到達(dá)c處，再測得山頂a的仰角為45°，那么山高ad為137米（結(jié)果保留整數(shù)，測角儀忽略不計(jì)，1.414，1.732）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題專

13、題：計(jì)算題分析：根據(jù)仰角和俯角的定義得到abd=30°，acd=45°，設(shè)ad=xm，先在rtacd中，利用acd的正切可得cd=ad=x，則bd=bc+cd=x+100，然后在rtabd中，利用abd的正切得到x=（x+100），解得x=50（+1），再進(jìn)行近似計(jì)算即可解答：解：如圖，abd=30°，acd=45°，bc=100m，設(shè)ad=xm，在rtacd中，tanacd=，cd=ad=x，bd=bc+cd=x+100，在rtabd中，tanabd=，x=（x+100），x=50（+1）137，即山高ad為137米故答案為137點(diǎn)評：本題考查了解直角

14、三角形的應(yīng)用仰角俯角：解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，要善于讀懂題意，把實(shí)際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決8(2015江蘇南昌,第13題3分)如圖1是小志同學(xué)書桌上的一個電子相框，將其側(cè)面抽象為如圖2所示的幾何圖形，已知bc=bd=15cm, cbd=40°,則點(diǎn)b到cd的距離為 cm(參考數(shù)據(jù)：sin20° 0.342, com20°0.940, sin40° 0.643, com40° 0.766.精確到0.1cm,可用科學(xué)計(jì)算器).答案：解析：如右圖，作becd于點(diǎn)e. bc=bd, bec

15、d, cbe=dbe=20°, 在rtbcd中， ， be15×0.940=14.19(2015江蘇南昌,第14題3分)如圖，在abc中，ab=bc=4，ao=bo,p是射線co上的一個動點(diǎn)，aoc=60°,則當(dāng)pab為直角三角形時，ap的長為 .答案：解析：如圖，分三種情況討論：圖(1)中，apb=90°， ao=bo, apb=90°，po=ao=bo=2, 又aoc=60°, apo是等邊三角形，ap=2； 圖(2)中，apb=90°， ao=bo, apb=90°，po=ao=bo=2,又aoc=60

16、76;, bap=30°,在rtabp中，ap=cos30°×4= . 圖(3)中，abp=90°, bo=ao=2 , bop=aoc=60°, pb=, ap= ap的長為2，或10. （2015浙江金華，第16題4分）圖1是一張可以折疊的小床展開后支撐起來放在地面的示意圖，此時，點(diǎn)a，b，c在同一直線上，且acd=90°.圖2是小床支撐腳cd折疊的示意圖，在折疊過程中，acd變形為四邊形，最后折疊形成一條線段.（1）小床這樣設(shè)計(jì)應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理是 （2）若ab：bc=1：4，則tancad的值是 【答案】（1）三角形的穩(wěn)定性和四邊

17、形的不穩(wěn)定性；（2）.【考點(diǎn)】線動旋轉(zhuǎn)問題；三角形的穩(wěn)定性；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；勾股定理；銳角三角函數(shù)定義.【分析】（1）在折疊過程中，由穩(wěn)定的acd變形為不穩(wěn)定四邊形，最后折疊形成一條線段，小床這樣設(shè)計(jì)應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理是：三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性。（2）ab：bc=1：4，設(shè)，則.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，.在中，根據(jù)勾股定理得，.11. （2015浙江寧波，第16題4分）如圖，在數(shù)學(xué)活動課中，小敏為了測量校園內(nèi)旗桿ab的高度，站在教學(xué)樓的c處測得旗桿底端b的俯角為45°，測得旗桿頂端a的仰角為30°，若旗桿與教學(xué)樓的距離為9m，則旗桿ab的高度是 m（結(jié)果保留根號）【答案】+9.【

18、考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用（仰角俯角問題）；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值.【分析】根據(jù)在rtacd中，求出ad的值，再根據(jù)在rtbcd中，求出bd的值，最后根據(jù)ab=ad+bd，即可求出答案：在rtacd中，.在rtbcd中，.ab=ad+bd=+9（m）.12. （2015山東省德州市，16，4分）如圖，某建筑物bc上有一旗桿ab，從與bc相距38m的d處觀測旗桿頂部a的仰角為50°，觀測旗桿底部b的仰角為45°.則旗桿的高度約為 m.（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：sin50°0.77， cos50°0.64，tan50°1.19）【

19、答案】7.2考點(diǎn)：解直角三角形13. （2015呼和浩特，19，6分）(6分)如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球a處看一棟高樓頂部b的仰角為30°，看這棟高樓底部c的俯角為65°，熱氣球與高樓的水平距離ad為120m.求這棟高樓的高度. （結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)及根式表示即可）考點(diǎn)分析：銳角三角函數(shù) 解直角三角形 建模能力解析： 什么是建模能力？因?yàn)檫@類題目是應(yīng)用題，即用數(shù)學(xué)手段來解決實(shí)際問題。三角函數(shù)是一種數(shù)學(xué)思想，等到高中階段會有更多的題型及更多的變化。目前此類題目的核心，是共直角邊、或者部分共直角邊，要嘛就是等直角邊，反正是以直角邊為媒介來構(gòu)建等量關(guān)系。本題的核心

20、是共直角邊，即共線段ad。還要注意，是應(yīng)用題最后要有答。 對于實(shí)際問題而言，首先是將實(shí)際問題數(shù)量化，你現(xiàn)在理解為建模就可以。本題中就是給出解得第一行敘述（在2016年呼和浩特中考數(shù)學(xué)砍題指南中會有比較詳細(xì)的敘述，如果你有興趣的話可以期待一下。） 另外，有個習(xí)慣希望同學(xué)們可以按照的方式來，因?yàn)槟銈兂鯇W(xué)三角函數(shù)，所以建議你們先按照三角函數(shù)原始定義列出三角函數(shù)值等于兩個邊的比值后，再進(jìn)行等號兩邊的乘除變化，這樣不容易出錯。解： 依據(jù)題意有：adbc, bad=30°，cad=65°，ad=120m. adbc，adb=adc=90°. 在rtabd中，tan30

21、6;= ，bd = ad·tan30°=120× = 40在rtacd中，tan65°= ，cd =120·tan65°bc =bd+cd =40+120·tan65° 答：這棟高樓的高度為（40+120·tan65°）米 注意：上述類型題目在考前重點(diǎn)突破中有完整的解法。14.（2015山東臨沂,第22題7分）小強(qiáng)從自己家的陽臺上，看一棟樓頂部的仰角為30°，看這棟樓底部的俯角為60°，小強(qiáng)家與這棟樓的水平距離為42m，這棟樓有多高？ 【答案】56mbd = ad·

22、tan = 42×tan30°= 42×= 14. cdad tan42×tan60°42.bcbdcd144256(m).因此，這棟樓高為56m.考點(diǎn)：解直角三角形15. （2015遼寧大連，15，3分）如圖，從一個建筑物的a處測得對面樓bc的頂部b的仰角為32°，底部c的俯角為45°，觀測點(diǎn)與樓的水平距離ad為31cm，則樓bc的高度約為_m(結(jié)果取整數(shù)）。（參考數(shù)據(jù)：sin32°0.5,cos32°0.8,tan32°0.6）（第15題）【答案】50【解析】解：bc=bd+cd=ad

23、15;tan32°+ad×tan45°31×0.6+31×1=49.650，故答案為50m.16. （2015山東菏澤，16，6分）（1）如圖，m、n為山兩側(cè)的兩個村莊，為了兩村交通方便，根據(jù)國家的惠民政策，政府決定打一直線涵洞工程人員為了計(jì)算工程量，必須計(jì)算m、n兩點(diǎn)之間的直線距離，選擇測量點(diǎn)a、b、c，點(diǎn)b、c分別在am、an上，現(xiàn)測得am=1千米、an=1.8千米，ab=54米、bc=45米、ac=30米，求m、n兩點(diǎn)之間的直線距離17（2015廣東梅州,第20題，9分）如圖，已知abc按如下步驟作圖：以a為圓心，ab長為半徑畫?。灰詂為

24、圓心，cb長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)d；連結(jié)bd，與ac交于點(diǎn)e，連結(jié)ad，cd（1）求證：abcadc；（2）若bac=30°，bca=45°，ac=4，求be的長考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；作圖復(fù)雜作圖.分析：（1）利用sss定理證得結(jié)論；（2）設(shè)be=x，利用特殊角的三角函數(shù)易得ae的長，由bca=45°易得ce=be=x，解得x，得ce的長解答：（1）證明：在abc與adc中，abcadc（sss）；（2）解：設(shè)be=x，bac=30°，abe=60°，ae=tan60°x=x，abcadc，cb=cd，bca=dca，bc

25、a=45°，bca=dca=90°，cbd=cdb=45°，ce=be=x，x+x=4，x=22，be=22點(diǎn)評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，利用方程思想，綜合運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定定理是解答此題的關(guān)鍵18（2015安徽省,第18題，8分）如圖，平臺ab高為12m，在b處測得樓房cd頂部點(diǎn)d的仰角為45°，底部點(diǎn)c的俯角為30°，求樓房cd的高度(1.7)abcd30°45°第18題圖考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題.分析：首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形本題涉及多個直角三角形，應(yīng)利用

26、其公共邊構(gòu)造關(guān)系式求解解答：解：如圖，過點(diǎn)b作becd于點(diǎn)e，根據(jù)題意，dbe=45°，cbe=30°abac，cdac，四邊形abec為矩形ce=ab=12m在rtcbe中，cotcbe=，be=cecot30°=12×=12在rtbde中，由dbe=45°，得de=be=12cd=ce+de=12（+1）32.4答：樓房cd的高度約為32.4m點(diǎn)評：考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，本題要求學(xué)生借助俯角構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形19（2015山東濰坊第16 題3分）觀光塔是濰坊市區(qū)的標(biāo)志性建筑，為測量其高度，如圖

27、，一人先在附近一樓房的底端a點(diǎn)處觀測觀光塔頂端c處的仰角是60°，然后爬到該樓房頂端b點(diǎn)處觀測觀光塔底部d處的俯角是30°已知樓房高ab約是45m，根據(jù)以上觀測數(shù)據(jù)可求觀光塔的高cd是135m考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題.分析：根據(jù)“爬到該樓房頂端b點(diǎn)處觀測觀光塔底部d處的俯角是30°”可以求出ad的長，然后根據(jù)“在一樓房的底端a點(diǎn)處觀測觀光塔頂端c處的仰角是60°”可以求出cd的長解答：解：爬到該樓房頂端b點(diǎn)處觀測觀光塔底部d處的俯角是30°，adb=30°，在rtabd中，tan30°=，解得，=，ad=45，在

28、一樓房的底端a點(diǎn)處觀測觀光塔頂端c處的仰角是60°，在rtacd中，cd=adtan60°=45×=135米故答案為135米點(diǎn)評：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角、俯角問題，要求學(xué)生能借助仰角、俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形三 解答題1. （2015四川廣安，第23題8分）數(shù)學(xué)活動課上，老師和學(xué)生一起去測量學(xué)校升旗臺上旗桿ab的高度，如圖，老師測得升旗臺前斜坡fc的坡比為ifc=1：10（即ef：ce=1：10），學(xué)生小明站在離升旗臺水平距離為35m（即ce=35m）處的c點(diǎn)，測得旗桿頂端b的仰角為，已知tan=，升旗臺高af=1m，小明身高cd=1.6m，請幫

29、小明計(jì)算出旗桿ab的高度考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題.分析：首先根據(jù)題意分析圖形，本題涉及到兩個直角三角形，分別解可得bg與ef的大小，進(jìn)而求得be、ae的大小，再利用ab=beae可求出答案解答：解：作dgae于g，則bdg=，易知四邊形dceg為矩形dg=ce=35m，eg=dc=1.6m在直角三角形bdg中，bg=dg×tan=35×=15m，be=15+1.6=16.6m斜坡fc的坡比為ifc=1：10，ce=35m，ef=35×=3.5，af=1，ae=af+ef=1+3.5=4.5，ab=beae=16.64.5=12.1m答：旗桿ab的高度為

30、12.1m點(diǎn)評：本題考查俯角、仰角的定義，要求學(xué)生能借助俯角、仰角構(gòu)造直角三角形并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形2. （2015四川甘孜、阿壩，第18題7分）如圖，某中學(xué)九年級數(shù)學(xué)興趣小組測量校內(nèi)旗桿ab的高度，在c點(diǎn)測得旗桿頂端a的仰角bca=30°，向前走了20米到達(dá)d點(diǎn)，在d點(diǎn)測得旗桿頂端a的仰角bda=60°，求旗桿ab的高度（結(jié)果保留根號）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題.分析：根據(jù)題意得c=30°，adb=60°，從而得到dac=30°，進(jìn)而判定ad=cd，得到cd=20米，在rtadb中利用sinadb求得ab的長即可解答：

31、解：c=30°，adb=60°，dac=30°，ad=cd，cd=20米，ad=20米，在rtadb中，=sinadb，ab=ad×sin60°=20×=10米點(diǎn)評：此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從題目中整理出直角三角形并正確的利用邊角關(guān)系求解3(2015·深圳，第20題 分)小麗為了測旗桿ab的高度，小麗眼睛距地圖1.5米，小麗站在c點(diǎn)，測出旗桿a的仰角為30o，小麗向前走了10米到達(dá)點(diǎn)e，此時的仰角為60o，求旗桿的高度。【解析】4(2015·貴州六盤水，第25題12分)如圖13，已知rtacb

32、中，c90°，bac45° （1）（4分）用尺規(guī)作圖，：在ca的延長線上截取adab，并連接bd（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）（4分）求bdc的度數(shù)（3）（4分）定義：在直角三角形中，一個銳角a的鄰邊與對邊的比叫做a的余切，記作cota，即，根據(jù)定義，利用圖形求cot22.5°的值考點(diǎn)：作圖復(fù)雜作圖；解直角三角形.專題：新定義分析：（1）以點(diǎn)a為圓心，ab為半徑作弧交ca的延長線于d，然后連結(jié)bd；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由ad=ab得adb=abd，然后利用三角形外角性質(zhì)可求出adb=22.5°；（3）設(shè)ac=x，根據(jù)題意得acb為等腰直角三角形

33、，則bc=ac=x，ab=ac=x，所以ad=ab=x，cd=（+1）x，然后在rtbcd中，根據(jù)余切的定義求解解答：解：（1）如圖，（2）ad=ab，adb=abd，而bac=adb+abd，adb=bac=×45°=22.5°，即bdc的度數(shù)為22.5°；（3）設(shè)ac=x，c=90°，bac=45°，acb為等腰直角三角形，bc=ac=x，ab=ac=x，ad=ab=x，cd=x+x=（+1）x，在rtbcd中，cotbdc=+1，即cot22.5°=+1點(diǎn)評：本題考查了作圖復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行

34、作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法；解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作也考查了解直角三角形5 (2015·河南，第20題9分)如圖所示，某數(shù)學(xué)活動小組選定測量小河對岸大樹bc的高度，他們在斜坡上d出測得大樹頂端b的仰角是48°. 若坡角fae=30°，求大樹的高度. （結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin48°0.74，cos48°0.67，tan48°1.11，1.73）fd第20題30°48°eacb【分析】通過觀察圖形，要求大樹的高度，需

35、要構(gòu)造直角三角形，將所求線段聯(lián)系起來.結(jié)合題目中的信息，即要延長bd交ae于點(diǎn)g，并過點(diǎn)d作dhae于點(diǎn)h，分別在rtgbc和rtabc中表示出cg和ac的長即可求解.解： 第20題解圖6. （2015四川瀘州,第22題8分）如圖，海中一小島上有一個觀測點(diǎn)a，某天上午9：00觀測到某漁船在觀測點(diǎn)a的西南方向上的b處跟蹤魚群由南向北勻速航行。當(dāng)天上午9：30觀測到該漁船在觀測點(diǎn)a的北偏西60°方向上的c處。若該漁船的速度為每小時30海里，在此航行過程中，問該漁船從b處開始航行多少小時，離觀測點(diǎn)a的距離最近?(計(jì)算結(jié)果用根號表示，不取近似值)。考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用方向角問題.分析：首

36、先根據(jù)題意可得pcab，然后設(shè)pc=x海里，分別在rtapc中與rtapb中，利用正切函數(shù)求得出pc與bp的長，由pc+bp=bc=30×，即可得方程，解此方程求得x的值，再計(jì)算出bp，然后根據(jù)時間=路程÷速度即可求解解答：解：過點(diǎn)a作apbc，垂足為p，設(shè)ap=x海里在rtapc中，apc=90°，pac=30°，tanpac=，cp=aptanpac=x在rtapb中，apb=90°，pab=45°，bp=ap=xpc+bp=bc=30×，x+x=15，解得x=，pb=x=，航行時間：÷30=（小時）答：該漁船

37、從b處開始航行小時，離觀測點(diǎn)a的距離最近點(diǎn)評：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，銳角三角函數(shù)的定義，準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用7. （2015四川涼山州,第20題8分）如圖，在樓房ab和塔cd之間有一棵樹ef，從樓頂a處經(jīng)過樹頂e點(diǎn)恰好看到塔的底部d點(diǎn)，且俯角為45°從距離樓底b點(diǎn)1米的p點(diǎn)處經(jīng)過樹頂e點(diǎn)恰好看到塔的頂部c點(diǎn)，且仰角為30°已知樹高ef=6米，求塔cd的高度（結(jié)果保留根號）【答案】【解析】試題分析：根據(jù)題意求出bad=adb=45°，進(jìn)而根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得fd，在rtpeh中，利用特殊角的三角函

38、數(shù)值分別求出bf，即可求得pg，在rtpcg中，繼而可求出cg的長度試題解析：由題意可知bad=adb=45°，fd=ef=6米，在rtpeh中，tan=，bf=，pg=bd=bf+fd=，在rtpcg中，tan=，cg=，cd=（）米考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題8. （2015四川成都,第17題8分） 如圖，登山纜車從點(diǎn)a出發(fā)，途經(jīng)點(diǎn)b后到達(dá)終點(diǎn)c.其中ab段與bc段的運(yùn)行路程均為200m，且ab段的運(yùn)行路線與水平面的夾角為30°，bc段的運(yùn)行路線與水平面的夾角為42°，求纜車從點(diǎn)a運(yùn)行到點(diǎn)c的垂直上升的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin42°0.67

39、，cos42°0.74 ， tan42°0.90）【答案】：234m【解析】：如圖所示，纜車從點(diǎn)a運(yùn)行到點(diǎn)c的垂直上升的距離為，又和均為直角三角形， 9. （2015四川眉山，第22題8分）如圖，在一筆直的海岸線l上有a、b兩個碼頭，a在b的正東方向，一艘小船從a碼頭沿它的北偏西60°的方向行駛了20海里到達(dá)點(diǎn)p處，此時從b碼頭測得小船在它的北偏東45°的方向求此時小船到b碼頭的距離（即bp的長）和a、b兩個碼頭間的距離（結(jié)果都保留根號）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用方向角問題.分析：過p作pmab于m，求出pbm=45°，pam=30°，

40、求出pm，即可求出bm、bp解答：解：如圖：過p作pmab于m，則pmb=pma=90°，pbm=90°45°=45°，pam=90°60°=30°，ap=20海里，pm=ap=10海里，bpm=pbm=45°，pm=bm=10海里，ab=20海里，bp=10海里，即小船到b碼頭的距離是10海里，a、b兩個碼頭間的距離是20海里點(diǎn)評：本題考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，能正確解直角三角形是解此題的關(guān)鍵，難度適中10. （2015四川省內(nèi)江市，第20題，9分）我市準(zhǔn)備在相距2千米的m，n兩工廠間

41、修一條筆直的公路，但在m地北偏東45°方向、n地北偏西60°方向的p處，有一個半徑為0.6千米的住宅小區(qū)（如圖），問修筑公路時，這個小區(qū)是否有居民需要搬遷？（參考數(shù)據(jù)：1.41，1.73）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用方向角問題.分析：根據(jù)題意，在mnp中，mnp=30°，pmn=45°，mn=2千米，是否搬遷看p點(diǎn)到mn的距離與0.6的大小關(guān)系，若距離大于0.6千米則不需搬遷，反之則需搬遷，因此求p點(diǎn)到mn的距離，作pdmn于d點(diǎn)解答：解：過點(diǎn)p作pdmn于dmd=pdcot45°=pd，nd=pdcot30°=pd，md+nd=mn=2

42、，即pd+pd=2，pd=11.731=0.730.6答：修的公路不會穿越住宅小區(qū)，故該小區(qū)居民不需搬遷點(diǎn)評：考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，“化斜為直”是解三角形的基本思路，常需作垂線（高），原則上不破壞特殊角（30°、45°、60°）11. （2015四川省宜賓市，第21題，8分）(注意：在試題卷上作答無效)e如圖，某市對位于筆直公路ac上兩個小區(qū)a、b的供水路線進(jìn)行優(yōu)化改造，供水站m在筆直公路ad上，測得供水站m在小區(qū)a的南偏東60°方向，在小區(qū)b的西南方向，小區(qū)a、b之間的距離為300(+1)米，求供水站m分別到小區(qū)a、b的距離。（結(jié)果可保留

43、根號）12. （2015浙江省紹興市，第20題，8分）如圖，從地面上的點(diǎn)a看一山坡上的電線桿pq，測得桿頂端點(diǎn)p的仰角是45°，向前走6m到達(dá)b點(diǎn)，測得桿頂端點(diǎn)p和桿底端點(diǎn)q的仰角分別是60°和30°。（1）求bpq的度數(shù)；（2）求該電線桿pq的高度（結(jié)果精確到1m）。備用數(shù)據(jù)：，考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題.分析：（1）延長pq交直線ab于點(diǎn)e，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得即可；92）設(shè)pe=x米，在直角ape和直角bpe中，根據(jù)三角函數(shù)利用x表示出ae和be，根據(jù)ab=aebe即可列出方程求得x的值，再在直角bqe中利用三角函數(shù)求得qe的長，則pq的長

44、度即可求解解答：解：延長pq交直線ab于點(diǎn)e，（1）bpq=90°60°=30°；（2）設(shè)pe=x米在直角ape中，a=45°，則ae=pe=x米；pbe=60°bpe=30°在直角bpe中，be=pe=x米，ab=aebe=6米，則xx=6，解得：x=9+3則be=（3+3）米在直角beq中，qe=be=（3+3）=（3+）米pq=peqe=9+3（3+）=6+29（米）答：電線桿pq的高度約9米點(diǎn)評：本題考查了仰角的定義，以及三角函數(shù)，正確求得pe的長度是關(guān)鍵13. （2015浙江省臺州市，第19題）如圖，這是一把可調(diào)節(jié)座椅的側(cè)面

45、示意圖，已知頭枕上的點(diǎn)到調(diào)節(jié)器點(diǎn)o處的距離為80cm,ao與地面垂直，現(xiàn)調(diào)整靠背，把oa繞點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)35°到oa處，求調(diào)整后點(diǎn)a比調(diào)整前點(diǎn)a的高度降低了多少cm?（結(jié)果取整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：sin35°0.57，cos35°0.82，tan35°0.70）14. （2015浙江嘉興，第22題12分）小紅將筆記本電腦水平放置在桌子上，顯示屏ob與底板oa所在水平線的夾角為120°時，感覺最舒適（如圖1），側(cè)面示意圖為圖2；使用時為了散熱，她在底板下面墊入散熱架aco后，電腦轉(zhuǎn)到aob位置（如圖3），側(cè)面示意圖為圖4.已知oa=ob=24cm，oco

46、a于點(diǎn)c，oc=12cm.（1）求cao的度數(shù).（2）顯示屏的頂部b比原來升高了多少？（3）如圖4，墊入散熱架后，要使顯示屏ob與水平線的夾角仍保持120°，則顯示屏ob應(yīng)繞點(diǎn)o按順時針方向旋轉(zhuǎn)多少度？考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).分析：（1）通過解直角三角形即可得到結(jié)果；（2）過點(diǎn)b作bdao交ao的延長線于d，通過解直角三角形求得bd=obsinbod=24×=12，由c、o、b三點(diǎn)共線可得結(jié)果；（3）顯示屏ob應(yīng)繞點(diǎn)o按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°，求得eob=foa=30°，既是顯示屏ob應(yīng)繞點(diǎn)o按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°解答：解：（1）o

47、coa于c，oa=ob=24cm，sincao=，cao=30°；（2）過點(diǎn)b作bdao交ao的延長線于d，sinbod=，bd=obsinbod，aob=120°，bod=60°，bd=obsinbod=24×=12，ocoa，cao=30°，aoc=60°，aob=120°，aob+aoc=180°，ob+ocbd=24+1212=312，顯示屏的頂部b比原來升高了（3612）cm；（3）顯示屏ob應(yīng)繞點(diǎn)o按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°，理由；顯示屏ob與水平線的夾角仍保持120°，eof=120&

48、#176;，foa=cao=30°，aob=120°，eob=foa=30°，顯示屏ob應(yīng)繞點(diǎn)o按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°點(diǎn)評：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵15（2015四川資陽,第20題8分）北京時間2015年04月25日14時11分，尼泊爾發(fā)生8.1級強(qiáng)烈地震，我國積極組織搶險(xiǎn)隊(duì)赴地震災(zāi)區(qū)參與搶險(xiǎn)工作如圖9，某探測隊(duì)在地面a、b兩處均探測出建筑物下方c處有生命跡象，已知探測線與地面的夾角分別是25°和60°，且ab=4米，求該生命跡象所在位置c的深度（結(jié)果精確到1米參考數(shù)據(jù)：sin25°

49、;0.4，cos25°0.9，tan25°0.5，1.7）考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用.分析：過c點(diǎn)作ab的垂線交ab的延長線于點(diǎn)d，通過解rtadc得到ad=2cd=2x，在rtbdc中利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出cd的值解答：解：作cdab交ab延長線于d，設(shè)cd=x 米rtadc中，dac=25°，所以tan25°=0.5，所以ad=2xrtbdc中，dbc=60°，由tan 60°=，解得：x3米所以生命跡象所在位置c的深度約為3米點(diǎn)評：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵16（2

50、015四川自貢,第18題8分）如圖所示，我市某中學(xué)課外活動小組的同學(xué)利用所學(xué)知識去測釜溪河沙灣段的寬度.小宇同學(xué)在處觀測對岸點(diǎn)，測得,小英同學(xué)在處50米遠(yuǎn)的處測得,請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河寬.（精確到0.01米，）考點(diǎn)：直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)、方程思想、分母有理化等.分析：本題所求得如圖所示的河寬，若直接放在一個三角形求缺少條件，但表示河寬的同時是和的公共邊，利用和的特殊角關(guān)系可以轉(zhuǎn)移到邊來求，通過米建立方程可獲得解決.略解： 過點(diǎn)作于,設(shè)米.在中：在中： 解得：答：河寬為67.30米.17（2015廣東佛山,第20題6分）如圖，在水平地面上豎立著一面墻ab，墻外有一盞路燈d光線dc恰好通過

51、墻的最高點(diǎn)b，且與地面形成37°角墻在燈光下的影子為線段ac，并測得ac=5.5米（1）求墻ab的高度（結(jié)果精確到0.1米）；（參考數(shù)據(jù)：tan37°0.75，sin37°0.60，cos37°0.80）（2）如果要縮短影子ac的長度，同時不能改變墻的高度和位置，請你寫出兩種不同的方法 考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用分析：（1）由ac=5.5，c=37°根據(jù)正切的概念求出ab的長；（2）從邊和角的角度進(jìn)行分析即可解答：解：（1）在rtabc中，ac=5.5，c=37°，tanc=，ab=actanc=5.5×0.754.1；（2）要縮短影子ac的長度，增大c的度數(shù)即可，即第一種方法：增加路燈d的高度，第二種方法：使路燈d向墻靠近點(diǎn)評：本題考查的是解直角三角形的知識，正確理解銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，注意在直角三角形中，邊角之間的關(guān)系的運(yùn)用 18（2015甘肅武威,第22題6分）如圖所示，將直尺擺放在三角板上，使直尺與三角板的邊分別交于點(diǎn)d，e，f，g，已知cgd=42°（1）求cef的度數(shù)；（2）將直尺向下平移，使直尺的邊緣通過三角板的頂點(diǎn)b，交ac