箱子的擺放策略

1、題目：箱子如何擺放最優(yōu)的策略探究 21箱子如何擺放最優(yōu)的策略探究摘要二維裝箱問(wèn)題是一個(gè)典型的組合優(yōu)化問(wèn)題，在各個(gè)領(lǐng)域都有其身影，常見(jiàn)問(wèn)題包括堆場(chǎng)中考慮長(zhǎng)和寬進(jìn)行各功能區(qū)域劃分，停車場(chǎng)區(qū)域劃分，皮鞋制作的皮革裁切、報(bào)紙的排版等等。本文對(duì)叉車底板如何擺放不同規(guī)格箱子的問(wèn)題，建立了相應(yīng)的優(yōu)化模型，使底板的利用率達(dá)到最大，并利用lingo1軟件求解得出最優(yōu)擺放方案，利用autocad2和photoshop3軟件繪出最優(yōu)擺放示意圖。對(duì)于問(wèn)題一：考慮箱子不超過(guò)底板邊緣和不出現(xiàn)重疊的情況下，我們盡可能地利用到四個(gè)角，將中心的空間以螺旋狀的方法來(lái)減少空白位置。在擺放箱子時(shí)我們采用在同一邊上的兩個(gè)角上分別橫向、

2、豎向擺放箱子，而在對(duì)角線的兩個(gè)角上我們采用同向的擺放方式。這樣擺放，一方面使四個(gè)角得到充分利用，另一方面使箱子同向擺放時(shí)底板利用率最大。通過(guò)lingo軟件的求解，最終得到最優(yōu)擺放方案為：箱子型號(hào)1最多可以擺放16個(gè)，箱子型號(hào)2最多可以擺放4個(gè)，箱子型號(hào)3最多可以擺放20個(gè)。 對(duì)于問(wèn)題二：只用考慮不出現(xiàn)重疊的情況，我們盡可能多地將長(zhǎng)邊伸出底板，然后再來(lái)考慮底板剩下的部分。在該問(wèn)題中要求箱子不能超過(guò)底板下邊，所以我們考慮：將底板左右兩邊用伸出一半長(zhǎng)邊的箱子填滿，然后剩余的部分用問(wèn)題一的螺旋方法進(jìn)行擺放。將底板左、右、上三邊都用長(zhǎng)邊伸出底板邊緣一半的箱子填滿，剩余的部分用和方案相同的方法處理。將底板

3、左右兩邊用長(zhǎng)邊伸出一半的箱子填滿，然后再在底板剩余的面積上將矩形箱子豎著排列，即將正方形底板分三塊進(jìn)行優(yōu)化。最后，再?gòu)倪@三種方案中找出一種最有效的方案，作為最優(yōu)方案：箱子型號(hào)1最多可以擺放23個(gè)，箱子型號(hào)2最多可以擺放8個(gè)，箱子型號(hào)3最多可以擺放28個(gè)。對(duì)于問(wèn)題三：由于問(wèn)題二中所求的方案是比較好的方案，可能無(wú)法找出優(yōu)于問(wèn)題二的方案，所以我們致力于尋找比問(wèn)題二更通用，更簡(jiǎn)單的方案。底板的左右兩邊用長(zhǎng)邊伸出底板邊緣的方法，剩余部分再進(jìn)行一層一層的擺放。最終得到的方案：箱子型號(hào)1最多可以擺放22個(gè)，箱子型號(hào)2最多可以擺放8個(gè)，箱子型號(hào)3最多可以擺放26個(gè)。方案三雖然不比方案二更加優(yōu)化，但是該方案的適

4、用范圍更加廣泛，更具有實(shí)用性。最后，我們對(duì)以上三個(gè)問(wèn)題建立的模型進(jìn)行評(píng)價(jià)，并找出了模型的可取之處及可以改進(jìn)的不足，而且對(duì)模型進(jìn)行了改進(jìn)與推廣，希望對(duì)該生產(chǎn)企業(yè)具有一定的指導(dǎo)意義和參考價(jià)值。關(guān)鍵詞：組合優(yōu)化、分塊優(yōu)化、單層優(yōu)化、二維排列1.問(wèn)題重述裝箱問(wèn)題在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，是一個(gè)屢見(jiàn)不鮮的問(wèn)題，廣泛存在于商品的包裝、裝載、運(yùn)輸，板材的切割，集成電路的設(shè)計(jì)、報(bào)紙的排版等等。三維裝箱問(wèn)題是一個(gè)具有復(fù)雜約束條件的組合優(yōu)化問(wèn)題，理論上屬于np-hard問(wèn)題，實(shí)際模型中更有許多約束條件需要考慮，因此計(jì)算復(fù)雜程度大。在本題中，題目已將三維裝箱問(wèn)題簡(jiǎn)化為二維裝箱問(wèn)題，便于建立較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，降低了其求解復(fù)雜程

5、度，增強(qiáng)了其實(shí)用性。在本題中，我們需要解決以下幾個(gè)問(wèn)題：1. 在不允許箱子超出叉車底板，也不允許箱子相互重疊的情況下，建立箱子擺放的優(yōu)化模型，使擺放的箱子數(shù)量最多，在此基礎(chǔ)上，分別計(jì)算型號(hào)1、型號(hào)2、型號(hào)3的箱子最多可擺放的個(gè)數(shù)，并依據(jù)模型求解的算法，畫出擺放示意圖；2. 假設(shè)箱子的密度是均勻的，允許箱子部分超出叉車底板的上方、左邊、右邊，但不允許超出下方，而且又不至于掉落出叉車底板。此種情況下，重新建立箱子擺放的優(yōu)化模型，使擺放的箱子數(shù)量最多，然后分別計(jì)算三種型號(hào)的箱子最多可擺放的個(gè)數(shù)，并根據(jù)此優(yōu)化模型，畫出擺放示意圖。3. 在不允許箱子相互重疊的條件下，另外設(shè)計(jì)一種擺放方案，并與題中原圖的

6、擺放方案比較其優(yōu)劣性。2. 問(wèn)題分析問(wèn)題1：根據(jù)所查文獻(xiàn)“同一尺寸貨物三維裝箱問(wèn)題的一種啟發(fā)式算法”4所述,二維矩形裝箱問(wèn)題可用二維排列問(wèn)題的循環(huán)嵌套式算法來(lái)求解。對(duì)于問(wèn)題1，我們根據(jù)正方形底板的四邊上矩形箱子的長(zhǎng)邊和短邊的數(shù)目，列出一系列約束條件，并利用lingo軟件編寫程序以便求得所排矩形箱子的最大數(shù)量，及其在正方形底板四邊的分布情況。然后，將三種型號(hào)的矩形箱子的長(zhǎng)寬參數(shù)輸入，進(jìn)行求解，根據(jù)lingo軟件的求解結(jié)果，我們利用photoshop軟件的繪圖功能將三種型號(hào)箱子最優(yōu)擺放方案畫出示意圖。問(wèn)題2：對(duì)于問(wèn)題2，我們力求找到一種比較通用的方法，但是對(duì)于具體的數(shù)據(jù)而言，通用方法的優(yōu)劣又有所不

7、同。所以為了比較完善地解決三種型號(hào)箱子的擺放問(wèn)題，我們想出了以下三種模型求解。（1）假想將叉車底板的邊緣擴(kuò)大，擴(kuò)大的極限標(biāo)準(zhǔn)是叉車底板邊上箱子的重心剛好落在邊緣上。然后在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上修改限定條件，對(duì)其進(jìn)行模型優(yōu)化。方法與問(wèn)題1的做法類似，根據(jù)正方形底板上箱子長(zhǎng)邊及短邊的數(shù)目，列出約束條件，利用lingo軟件求解，再用photoshop軟件的繪圖功能畫出三種型號(hào)箱子的擺放示意圖。（2）考慮讓叉車底板的利用率達(dá)到最大，即將箱子長(zhǎng)邊的一半伸出叉車底板邊緣。我們先考慮讓叉車底板左右兩邊的利用率達(dá)到最大，即將左右兩邊的箱子橫向填滿；然后，考慮將左右兩邊及上方均填滿。（三邊均是將箱子長(zhǎng)邊的一半伸出叉車底

8、板的邊緣。）根據(jù)這兩種不同情況，底板邊緣裝箱之后，對(duì)剩下的底板面進(jìn)行優(yōu)化。 （3）對(duì)于第三種數(shù)據(jù)，上述方法不能達(dá)到利用率最大，我們選擇將區(qū)域分割為“三塊”進(jìn)行優(yōu)化，“三塊”即把底板從左到右劃分為三個(gè)區(qū)域。然后在盡量保證利用率的情況下，對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，利用lingo軟件進(jìn)行求解。問(wèn)題3：對(duì)于另一種擺放方案的設(shè)計(jì)，我們利用單層優(yōu)化，有別于問(wèn)題二的分塊優(yōu)化，從外層進(jìn)行優(yōu)化，讓每一層達(dá)到最優(yōu)，利用循環(huán)改變限定條件，繼續(xù)對(duì)內(nèi)層優(yōu)化。對(duì)于箱子較小的情況，該模型也具有一定的實(shí)用性。3. 模型假設(shè)1. 假設(shè)箱子的規(guī)格是統(tǒng)一的，即所有箱子的長(zhǎng)方形底面的尺寸相同。2. 假設(shè)箱子只能橫著放或豎著放，即箱子的各個(gè)邊必須

9、跟叉車底板的邊緣平行。3. 假設(shè)箱子的密度都是均勻的，重心即為其幾何中心。4. 假設(shè)緊挨著擺放的兩個(gè)箱子之間的距離忽略不計(jì)。5. 假設(shè)箱子不從叉車底板上掉落的條件是箱子的重心不在底板外面。6. 不考慮箱子總重量是否在叉車的承受范圍之內(nèi)。符號(hào)符號(hào)說(shuō)明箱子的長(zhǎng)箱子的寬正方形叉車底板的邊長(zhǎng)底板下方橫放的箱子個(gè)數(shù)底板下方豎放的箱子個(gè)數(shù)底板右方橫放的箱子個(gè)數(shù)底板右方豎放的箱子個(gè)數(shù)底板上方橫放的箱子個(gè)數(shù)底板上方豎放的箱子個(gè)數(shù)底板左方橫放的箱子個(gè)數(shù)底板左方豎放的箱子個(gè)數(shù)4.符號(hào)說(shuō)明 5.模型的建立與求解5.1問(wèn)題一：5.1.1模型分析由于要求箱子不超出叉車底板，并且箱子不能相互重疊，故可以將若干個(gè)箱子緊密排

10、放在一起形成一種擺放方式，并把每一種擺放方式視作整體排放在底板上，使得底板上空出的面積最少,即底板面積的利用率最大；又考慮到底板為正方形，故可以充分利用四個(gè)邊角來(lái)根據(jù)四個(gè)不同的擺放方式共同組成一個(gè)循環(huán)圈；對(duì)每種擺放方式的長(zhǎng)與寬參數(shù)化，針對(duì)這種布局設(shè)計(jì)相應(yīng)的通用循環(huán)嵌套式算法1，來(lái)解決這種二維矩形排列問(wèn)題，并通過(guò)對(duì)模型的檢驗(yàn)設(shè)計(jì)出優(yōu)化算法。5.1.2模型建立與求解設(shè)在的正方形底板上放入的小矩形，并要使得正方形內(nèi)放入盡量多的小矩形，盡量利用和的各種組合，使得正方形的利用率盡可能高，可在正方形的四邊上同時(shí)對(duì)、進(jìn)行組合優(yōu)化，對(duì)四種擺放方式的參數(shù)化及在叉板上的排放方式如圖5.1.1所示。圖5.1.1設(shè)叉

11、板下邊上放置了個(gè)邊，在剩余的長(zhǎng)度的下邊上放置個(gè)邊，其中（“ ”表示取整，以下同）；再設(shè)右邊上放置了個(gè)邊，則在右邊上可放置個(gè)邊，其中；同理，可用上邊上的邊的個(gè)數(shù)確定上邊上邊的個(gè)數(shù)，可用左邊上的邊的個(gè)數(shù)確定上邊上邊的個(gè)數(shù)，上述目標(biāo)函數(shù)和約束條件可表示為：其中，約束條件（1）（4）表示所有矩形箱子都分布在叉車底板內(nèi)部，約束條件（5）（8）表示任意兩個(gè)矩形箱子不重疊。根據(jù)上述線性規(guī)劃問(wèn)題，利用lingo軟件編程得出最優(yōu)解如下表所示。問(wèn)題一模型求解結(jié)果型號(hào)1（0.3*0.24）型號(hào)2（0.6*0.4）型號(hào)3（0.3*0.2）i211j214n213m211k213t211p211q214z16420對(duì)于

12、型號(hào)1的箱子：叉板上最多可以放置16個(gè)，擺放方式見(jiàn)圖5.1.2；對(duì)于型號(hào)2的箱子：叉板上最多可以放置4個(gè)，擺放方式見(jiàn)圖5.1.3；對(duì)于型號(hào)3的箱子：叉板上最多可以放置20個(gè)，擺放方式見(jiàn)圖5.1.4。 圖5.1.2 圖5.1.3 圖5.1.45.2問(wèn)題二：5.2.1模型分析由于矩形箱可在正方形底板上方、左方、右方伸出，當(dāng)矩形箱的重心位于正方形底板邊緣上時(shí)，伸出量最大。而對(duì)于不同的擺放方式最大伸出面積不同，顯然長(zhǎng)方向最大伸出面積大于寬方向最大伸出面積。綜上，當(dāng)矩形箱重心在正方形底板邊緣上且以長(zhǎng)方向伸出時(shí)，伸出面積最大。而當(dāng)伸出面積最大時(shí)，正方形底板剩余可利用面積最大，這樣正方形底板所能擺放的矩形箱

13、數(shù)可以達(dá)到最大。5.2.2模型建立依據(jù)模型分析，我們擬采用三種模型構(gòu)建矩形箱子的最優(yōu)擺放方案，基本思想是：我們考慮先讓叉車底板左右兩邊伸出的矩形箱數(shù)目達(dá)到最大，即將伸出的矩形箱按正方形底板左右兩邊橫向填滿。這樣一來(lái)，邊緣所能伸出矩形箱數(shù)目達(dá)到最大，并且盡可能的利用可伸出的面積，提高叉車底板的利用率。然后，分別利用以下三種方法求解。 （1）對(duì)于剩余底板面積，將底板上方按矩形箱長(zhǎng)方向伸出填滿，剩余正方形底板面積按問(wèn)題一求解，按圖5.2.1擺放方式進(jìn)行擺放。 （2）對(duì)于剩余底板面積，全部按縱向矩形箱進(jìn)項(xiàng)擺放，即分三塊進(jìn)行優(yōu)化，以填滿剩余底板面積，按圖5.2.2擺放方式進(jìn)行擺放。 （3）對(duì)于剩余底板面

14、積，進(jìn)行如問(wèn)題一算法，修改約束條件進(jìn)行優(yōu)化，按照?qǐng)D5.2.3擺放方式進(jìn)行擺放。 圖5.2.1 圖5.2.2 圖5.2.3根據(jù)以上方法，分別算出所需矩形箱數(shù)目，采用最大矩形箱數(shù)方案。 具體實(shí)現(xiàn)步驟見(jiàn)如下流程圖： 以矩形箱的長(zhǎng)方向伸出，圍繞正方形兩側(cè)進(jìn)行擺放，記兩側(cè)共擺放矩形箱數(shù)為a0。此時(shí)得到兩側(cè)擺放以矩形箱長(zhǎng)方向伸出的正方形底板，如下圖。 在剩余擺放空間內(nèi)，同樣利用第一問(wèn)的模型，進(jìn)行矩形箱擺放優(yōu)化，得出最大擺放矩形箱數(shù)a1。在剩余擺放空間內(nèi)，利用第一問(wèn)模型，修改限定條件進(jìn)行矩形箱擺放優(yōu)化，得出最大擺放矩形箱數(shù)a1。對(duì)a1 a2和a3作出比較得出最大擺放個(gè)數(shù)，其為剩余擺放空間最大擺放個(gè)數(shù)。將ma

15、x(a1,a2,a3)加上a0，即為總最大擺放矩形箱個(gè)數(shù)。以上述擺放為基礎(chǔ)，算出可伸長(zhǎng)范圍，計(jì)算得出包括可伸長(zhǎng)范圍的剩余擺放空間長(zhǎng)寬數(shù)據(jù)。在剩余擺放空間內(nèi)，以矩形箱縱向進(jìn)行擺放，將剩余面積盡可能填滿，記擺放數(shù)為a2在正方形底板的上方邊長(zhǎng)繼續(xù)以矩形箱長(zhǎng)方向伸出擺放，得出剩余擺放空間的長(zhǎng)寬數(shù)據(jù)。5.2.3模型求解根據(jù)以上建立的模型和算法，我們利用lingo軟件編程，得到三種模型中最優(yōu)的矩形箱子擺放方案，結(jié)果如下表5.2.4所示： 表5.2.4矩形箱子類型型號(hào)1（0.3*0.24）型號(hào)2（0.6*0.4）型號(hào)3（0.3*0.2）最多擺放個(gè)數(shù)23828 針對(duì)不同型號(hào)的矩形箱子，最優(yōu)擺放方案的擺放示意圖

16、如下：型號(hào)1（0.3×0.24）： 最多擺放23個(gè)，見(jiàn)圖5.2.5；型號(hào)2（0.6×0.40）： 最多擺放8個(gè)，見(jiàn)圖5.2.6；型號(hào)1（0.3×0.2）： 最多擺放28個(gè)，見(jiàn)圖5.2.7。 圖5.2.5 圖5.2.6 圖5.2.75.3問(wèn)題三：5.3.1模型分析在不允許箱子相互重疊的情況下，對(duì)于問(wèn)題三，我們擬采用另外一種擺放方案，利用單層優(yōu)化，有別于問(wèn)題二的分塊優(yōu)化，從外層向內(nèi)層逐層進(jìn)行優(yōu)化，利用循環(huán)改變限定條件，讓每一層的擺放方案達(dá)到最優(yōu)。對(duì)于箱子較小的情況，該模型也具有一定的實(shí)用性。5.3.2模型建立設(shè)叉車底板下邊上放置了i個(gè)a邊，j個(gè)b邊，其中j=0或1；再

17、設(shè)右邊上放置了n個(gè)a邊，m個(gè)b邊，其中m=0或1；同理，上邊上放置了k個(gè)a邊，t個(gè)b邊，其中t=0或1；左邊上放置了p個(gè)a邊，q個(gè)b邊，其中q=0或1，則可得擺放箱子的個(gè)數(shù)z=q*i+j*n+m*k+t*p。此模型，我們先考慮叉車底板左右兩邊的利用率，將矩形箱子盡量多地橫放在左右兩邊并將其長(zhǎng)邊的一半伸出底板邊緣，然后進(jìn)行分層優(yōu)化。從外層到內(nèi)層，逐層進(jìn)行優(yōu)化，與問(wèn)題一中的解法類似，但是底板的每個(gè)邊上都只能放置一個(gè)b邊，除非剩余的底板面較小只能擺放一個(gè)長(zhǎng)邊時(shí)，此時(shí)b邊的個(gè)數(shù)就為0。據(jù)此，我們利用c語(yǔ)言5編寫求解程序，求解出三種型號(hào)矩形箱子的最優(yōu)擺放方案。在兩邊盡量多地橫排矩形箱子，使叉車底板兩邊的

18、利用程度達(dá)到最大，此時(shí)設(shè)已擺放的矩形箱子的數(shù)目為z0個(gè)。然后進(jìn)行第一次單層優(yōu)化，再把第一次單層優(yōu)化擺放的箱子數(shù)目sum1,然后從外到里，進(jìn)行第二次單層優(yōu)化，記此次擺放的箱子數(shù)目為sum2,然后.依此類推，直到剩余的矩形底板的長(zhǎng)和寬l和w不滿足循環(huán)條件時(shí)，循環(huán)結(jié)束。 對(duì)于上述模型，其目標(biāo)函數(shù)和約束條件可表示為：5.3.3模型求解 針對(duì)上述模型，我們用語(yǔ)言編寫了模型的求解程序。通過(guò)計(jì)算機(jī)求解，我們得到三種型號(hào)的矩形箱子最優(yōu)擺放方案。型號(hào)1（0.3×0.24）： 最多擺放22個(gè)，見(jiàn)圖5.3.1；型號(hào)2（0.6×0.40）： 最多擺放8個(gè)，見(jiàn)圖5.3.2；型號(hào)1（0.3×

19、0.2）： 最多擺放26個(gè)，見(jiàn)圖5.3.3。 圖5.3.1 圖5.3.2 圖5.3.35.3.4與問(wèn)題二中模型的比較問(wèn)題二與問(wèn)題三的最優(yōu)擺放方案如下表所示：型號(hào)1（0.3*0.24）型號(hào)2（0.6*0.4）型號(hào)3（0.3*0.2）問(wèn)題二23828問(wèn)題三22826 如上表所示，問(wèn)題二中選擇的模型要優(yōu)于問(wèn)題三提出的模型。 因此，我們可以認(rèn)為問(wèn)題二中確定的模型具有一定的優(yōu)越性，原因如下:（1）問(wèn)題二模型中充分考慮了邊緣的利用率，問(wèn)題三中模型沒(méi)有利用到上邊緣可以突出這一條件，問(wèn)題二模型中將邊緣利用的箱子個(gè)數(shù)設(shè)為決策變量，然后再利用lingo軟件可求出最有解。（2）問(wèn)題二的模型中充分考慮了總體性，將幾個(gè)

20、箱子看成一個(gè)整體，等于將步驟量減少，而問(wèn)題三中的分層優(yōu)化只能保證每層都達(dá)到最優(yōu)，并不能夠讓整體達(dá)到最優(yōu)，如問(wèn)題三中的模型解決第1組數(shù)據(jù)時(shí)，第一層明顯有一塊較大空間沒(méi)有利用，這是分層優(yōu)化的局限性。 綜上，根據(jù)問(wèn)題二中的方法選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ涂傻玫阶顑?yōu)解，并且具有一定的普遍性實(shí)用性。6. 模型的評(píng)價(jià)6.1問(wèn)題一模型的評(píng)價(jià)6.1.1模型的可取之處 我們首先從四個(gè)角出發(fā)，將矩形箱子的長(zhǎng)邊與短邊組合擺放，使得叉車底板四邊的利用率達(dá)到最高，并由此用四種擺放方式來(lái)填滿叉車底板。我們根據(jù)這種想法，利用循環(huán)嵌套算法，建立了通用的優(yōu)化模型，使得任意給出箱子的規(guī)格，便可以算出滿足題意的最多擺放的箱子數(shù)目，并得出其擺放方

21、式。6.1.2模型的不足之處 我們針對(duì)該題給出的箱子規(guī)格，只是給出了一步循環(huán)嵌套算法，然而叉車底板中央剩余的部分可能仍然是一個(gè)矩形，我們并未對(duì)該剩余的矩形繼續(xù)進(jìn)行循環(huán)嵌套算法。因此，該模型還不夠全面地反映二維矩形排列問(wèn)題的求解算法；而且題目對(duì)擺放的模式規(guī)定了，只考慮一層箱子的擺放，在多層擺放箱子時(shí)可能導(dǎo)致其穩(wěn)定性降低。6.2問(wèn)題二模型的評(píng)價(jià)6.2.1模型的可取之處 我們?cè)趩?wèn)題一的基礎(chǔ)上采取分塊優(yōu)化，先從外層進(jìn)行優(yōu)化，然后利用循環(huán)改變限定條件，繼續(xù)對(duì)內(nèi)層優(yōu)化；力圖讓每一層達(dá)到最優(yōu)，即利用率達(dá)到最大；模型簡(jiǎn)便且可行。在實(shí)際情況中在考慮到箱子多層時(shí)有更加好的穩(wěn)定性。6.2.2模型的不足之處 我們編寫

22、的程序僅僅是針對(duì)題中給出的三種箱子規(guī)格，因此，該模型的實(shí)際應(yīng)用性較差，不具有普遍適用性。6.3問(wèn)題三模型的評(píng)價(jià)6.3.1模型的可取之處 我們基于問(wèn)題二的模型進(jìn)行局部?jī)?yōu)化，建立單層優(yōu)化的模型，對(duì)每一層都進(jìn)行優(yōu)化，最終得到相對(duì)合理的方案。所以適用的范圍更加廣泛。6.3.2模型的不足之處 在方案建立時(shí)采用的分層的方法，在實(shí)際情況中對(duì)于擺放會(huì)浪費(fèi)比較多的時(shí)候，可能留下的空間比較大，不便于實(shí)際實(shí)際生產(chǎn)的操作。 總而言之，三個(gè)問(wèn)題中，對(duì)于該類模型的建立，我們并沒(méi)有考慮箱子實(shí)際是否能按照方案擺設(shè)。將重心放在邊緣這一臨界狀態(tài)過(guò)于理想化，有很大可能無(wú)法施行方案，這導(dǎo)致了該模型的實(shí)用性大大降低。所以在實(shí)際施行方案

23、過(guò)程中可能會(huì)或多或少地減少擺放箱子的數(shù)目以求得穩(wěn)定擺放矩形箱子。7.模型的改進(jìn)與推廣 1.在本題中，假設(shè)箱子只能橫著放或者豎著放，而在實(shí)際生活中，我們可以考慮斜著放的情況。對(duì)于問(wèn)題一矩形箱不可伸出正方形底板的情況下，斜著擺放矩形箱顯然不能有效利用正方形底板的面積，但對(duì)于問(wèn)題二來(lái)說(shuō)，斜著擺放，正方形底板可以更好地利用可伸出底板這一條件，使得伸出面積盡可能大，所擺放的矩形數(shù)可能比橫豎擺放的數(shù)目要多。但如此一來(lái)限定條件就會(huì)比較復(fù)雜，有待于研究討論。 2.本題中作出了一定的假設(shè)，即認(rèn)為只要重心在底板邊緣以內(nèi)（包括邊緣），就認(rèn)為箱子可以放在底板上。但考慮實(shí)際情況，重心在邊緣上，箱子處于穩(wěn)定的臨界狀態(tài)，實(shí)

24、際穩(wěn)定性如何，需要對(duì)實(shí)際情況進(jìn)行分析。所以該方案上是不可取的。我們可以重新限定底板長(zhǎng)寬范圍，在箱子可以穩(wěn)定放在底板的情況下，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行組合優(yōu)化求解。 3.如果箱子比較重，我們可以考慮重心的問(wèn)題，即箱子的合重心越接近底板的中心，每一個(gè)箱子的穩(wěn)定性越高。對(duì)此，我們可以建立箱子穩(wěn)定性的期望值的計(jì)算方法，對(duì)于最優(yōu)方案的不同擺放方法運(yùn)用期望值進(jìn)行計(jì)算，給出較好的一種擺放方法。 4.在實(shí)際擺放中，箱子的規(guī)格大小可能不會(huì)完全統(tǒng)一，即給定不同尺寸的矩形箱子，我們需要進(jìn)行最優(yōu)擺放。8. 參考文獻(xiàn)1 袁新生，邵大宏，郁時(shí)煉 編lingo和excel在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，北京：科學(xué)出版社，20072 崔洪斌 著，au

25、tocad2013中文版實(shí)用教程，北京：人民郵電出版社，20123 李金明，李金榮 著中文版photoshop cs5完全自學(xué)教程，北京：人民郵電出版社，20104 隋樹(shù)林，邵 巍，高自友著同一尺寸貨物三維裝箱問(wèn)題的一種啟發(fā)式算法，信息與控制，第34卷第4期，20055 譚浩強(qiáng) 著c程序設(shè)計(jì)(第四版)， 清華大學(xué)出版社，2010附錄：附錄1：?jiǎn)栴}一模型lingo程序 data:a=?;b=?;enddata max=q*i+j*n+m*k+t*p;i*a+j*b<=1.1;i*a+j*b>1.1-b;n*a+m*b<=1.1;n*a+m*b>1.1-b;k*a+t*b&

26、lt;=1.1;k*a+t*b>1.1-b;p*a+q*b<=1.1;p*a+q*b>1.1-b;f1=if(a*(i+k)#gt#1.1,(q+m)*b,-1);f1<1.1;f3=if(a*(p+n)#gt#1.1,(t+j)*b,-1);f3<1.1;gin(i); gin(j); gin(m); gin(n); gin(k); gin(t); gin(p); gin(q); end附錄2:問(wèn)題二模型lingo程序（1）data:a=?;b=?;enddata max=q*i+j*n+m*k+t*p+2*floor(1.1+0.5*a)/(b);i*a+j*

27、b<=1.1-a;i*a+j*b>1.1-a-b;n*a+m*b<=1.1+0.5*b;n*a+m*b>1.1-0.5*b;k*a+t*b<=1.1-a;k*a+t*b>1.1-a-b;p*a+q*b<=1.1+0.5*a;p*a+q*b>l-b+0.5*a; f1=if(a*(i+k)#gt#1.1-a,(q+m)*b,-1);f1<1.1+0.5*b;f3=if(a*(p+n)#gt#1.1+0.5*a,(t+j)*b,-1);f3<1.1-a;gin(i); gin(j); gin(m); gin(n); gin(k); gin

28、(t); gin(p); gin(q); end（2）data:a=?;b=?;enddata max=q*i+j*n+m*k+t*p+2*floor(1.1+0.5*a)/(b)+floor(l-a)/b);i*a+j*b<=1.1-a;i*a+j*b>1.1-a-b;n*a+m*b<=1.1-0.5*a;n*a+m*b>1.1-b-0.5*a;k*a+t*b<=1.1-a;k*a+t*b>1.1-a-b;p*a+q*b<=1.1-0.5*a;p*a+q*b>l-b-0.5*a; f1=if(a*(i+k)#gt#1.1-a,(q+m)*b,-

29、1);f1<1.1-0.5*a;f3=if(a*(p+n)#gt#1.1-0.5*a,(t+j)*b,-1);f3<1.1-a;gin(i); gin(j); gin(m); gin(n); gin(k); gin(t); gin(p); gin(q); end附錄3：?jiǎn)栴}三模型c語(yǔ)言程序#include <stdio.h>typedef struct double x0;double y0;double x1;double y1;node;int main()node c;node tmp;int flag = 1, m = 0;double a=0.3, b=0.2

30、4; /移動(dòng)方向,初始向右c.x0 = c.y0 = 0.0;c.x1 = 1.25;c.y1 = 0.8;tmp.y0 = tmp.x0 =0.0;tmp.x1 = a;tmp.y1 = b;while ( (c.x1-c.x0)>=a && (c.y1-c.y0)>=b) |(c.x1-c.x0)>=b)&&(c.y1-c.y0)>=a)switch(flag)case 1:while (tmp.x1 <= c.x1)m+;tmp.x0 = tmp.x0 + a;tmp.x1 = tmp.x1 + a;/旋轉(zhuǎn)矩形tmp.x1 =

31、 tmp.x0 + b;tmp.y1 = tmp.y0 + a;if (tmp.x1 <= c.x1)tmp.x1 = c.x1;tmp.x0 = tmp.x1 - b;else tmp.y0 = tmp.y0 + b;tmp.y1 = tmp.y1 + b;tmp.x1 = c.x1;tmp.x0 = tmp.x1 - b;printf("flag = %d 完 tmp %f %f %f %f n", flag, tmp.x0, tmp.y0, tmp.x1, tmp.y1);flag =2;c.y0 = c.y0 + b;printf("c %f %f

32、%f %f nn", c.x0, c.y0, c.x1, c.y1);break;case 2:while (tmp.y1 <= c.y1)m+;tmp.y0 = tmp.y0 + b;tmp.y1 = tmp.y1 + b;/旋轉(zhuǎn)矩形tmp.x0 = tmp.x0+b-a;tmp.x1 = tmp.x0 + a;tmp.y1 = tmp.y0 + b;if (tmp.y1 <= c.y1)tmp.y1 = c.y1;tmp.y0 = tmp.y1 - b;else tmp.x0 = tmp.x0 - b;tmp.x1 = tmp.x0 + a;tmp.y1 = c.y1;tmp.y0 = tmp.y1 - b;printf("flag = %d 完 tmp %f %f %f %f n&qu